ELETRÔNICA II
Dina Chavante Freitas
Ministério da Educação
Governo do Estado do Amazonas
Centro de Educação Tecnológica do Amazonas
Diretora-Presidente/CETAM
Joésia Moreira Julião Pacheco
Diretora Acadêmica
Maria Stela Brito Cyrino
Organização
Coordenação de Cursos de Formação Inicial e Continuada
Revisão
Projeto Gráfico - Capa
O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego (Pronatec) tem como objetivo expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos técnicos e profissionais de nível médio, e de cursos de formação inicial e continuada para trabalhadores e pessoas expostas a exclusão social.
Além disso, o Pronatec visa à ampliação de vagas e expansão das redes estaduais de educação profissional. Ou seja, a oferta, pelos estados, de ensino médio concomitante com a educação profissional e a formação inicial e continuada para diversos públicos.
No CETAM o Pronatec é entendido como uma ação educativa de muita importância, fomentando o acesso das pessoas a educação profissional e ampliando as ofertas da instituição, consolidando uma política de governo de qualificar pessoas, como instrumento de cidadania para gerar ocupação e renda.
7 7 8 10 16 16 17 18 26 29 29 29 31 32 33 33 34 36 38 42 45 SUMÁRIO
UNIDADE 1 – MATEMÁTICA APLICADA A ELETRÔNICA 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1.2 OS CINCO CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS
1.2 EQUAÇÃO DO 1° GRAU
1.2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 1.2.2 MÉTODO DA ADIÇÃO
1.2.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
1.3 EQUAÇÃO DO 2° GRAU
1.3.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
1.4 ESTUDO E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
1.4.1GRÁFICOS
1.4.1.1 TIPOS DE GRÁFICOS
1.4.1.2 INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
1.4.2 CRESCENTE, DECRESCENTE, CONSTANTES E RAÍZES
1.5 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAS
1.5.1 UM POUCO DE HISTÓRIA
1.5.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 1.5.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 1.5.4 REGRA DE TRÊS SIMPLES
1.5.5 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano de 1872. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definições de conjunto. Tal teoria ficou conhecida também como "teoria ingênua" ou "teoria intuitiva" por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à ideia central da própria teoria. Tais antinomias levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas futuras, influenciando de modo indelével as ciências da matemática e da lógica. Mais tarde, a teoria original receberia complementos e aperfeiçoamentos no início do século XX por outros matemáticos.
O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc.
Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua teoria exemplos como:
1. Um conjunto unitário possui um único elemento
2. Dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos 3. Conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento
4. Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.
A ideia de conjunto era um conceito primitivo e autoexplicativo de acordo com a teoria; não necessitaria de definição.
Conjunto pode ser definido como o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes e, quando esses elementos são números, tais conjuntos são chamados de conjuntos numéricos.
1.1.2 Os cinco conjuntos numéricos fundamentais
Os conjuntos numéricos fundamentais são os conjuntos mais amplamente utilizados. São eles:
Conjunto dos Números Naturais - Representado pela letra maiúscula N, este conjunto abrange todos os números inteiros positivos, incluindo o zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
Para representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do N:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
As chaves são usadas para dar ideia de conjunto e os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos são infinitos. O conjunto numérico dos números naturais começa no zero e é infinito, porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. Veja a seguir um subconjunto do conjunto dos números naturais formado pelos quatro primeiros múltiplos de 7:
- Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é formado por todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos negativos.
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
O conjunto dos Inteiros possui alguns subconjuntos, a saber:
Inteiros não negativos: Representado por Z+, este subconjunto dos inteiros é composto por todos os números inteiros que não são negativos. Podemos perceber que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,8, …}
Inteiros não positivos: Representado por Z-, os inteiros não positivos são todos os números inteiros que não são positivos.
Z– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos: Representado por Z*+, este subconjunto é conjunto Z+ excluindo o zero.
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos: Representado por Z*-, são todos os números do conjunto Z-, excluindo o zero.
Conjunto dos Números Racionais - Representado pela letra Q, o conjunto
dos números racionais engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos e os números decimais infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente, também conhecidos como dízimas periódicas).
Conjunto dos Números Irracionais - Formado pelos números decimais
infinitos não-periódicos.
Exemplos: o número PI (= 3,14159265…), resultado da divisão do perímetro
de uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2.
Conjunto dos Números Reais - Representado pela letra R, o conjunto dos
números reais é formado por todos os conjuntos descritos anteriormente, sendo a união do conjunto dos racionais com os irracionais.
1.2 EQUAÇÃO DO 1° GRAU
O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.
Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações.
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade
expressavam o valor desconhecido.
Observe os problemas abaixo: Problema 1: “Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.
Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19.
Problema 2: “Qual o valor de Aha, sabendo aha mais um oitavo de aha
resulta 9?”
x + x/8 = 9
Na lápide do túmulo de Diofanto foi escrita uma equação que relata sua vida, e o seu resultado revela a idade que tinha quando faleceu. "Aqui jaz o matemático
que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer". De acordo com esse enigma,
Diofanto teria 84 anos.
Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos para as equações do 1º grau, 2º grau, 3º grau, 4º grau e nas maiores ou iguais ao grau 5. A álgebra é considerada peça fundamental na Matemática moderna, contribuindo na elaboração e resolução de cálculos complexos. As inúmeras aplicações estão presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática entre outros.
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".
Exemplos:
2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(Não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau: ax + b = 0
Onde a e b são números conhecidos e, a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa “desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas.
Exemplo: 4x + 2 = 8 – 2x
Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado.
Veja: 4x + 2x = 8 – 2
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes. ·. 6x = 6
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe:
x = 6 / 6 x = 1
Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação, observe:
4x + 2 = 8 – 2x 4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1 4 + 2 = 8 – 2
6 = 6 → sentença verdadeira
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira. Exemplo1: 10x – 9 = 21 + 2x + 3x 10x – 2x – 3x = 21 + 9 10x – 5x = 30 5x = 30 x = 30/5 x = 6 Verificando: 10x – 9 = 21 + 2x + 3x 10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6 60 – 9 = 21 + 12 + 18 51 = 51 → sentença verdadeira
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.
Exemplo2 : 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10 3x – 7x = –40
Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.
–4x = – 40 * (–1) 4x = 40 x = 40/4 x = 10 Verificando: 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40 30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40 20 = 20 → sentença verdadeira
Exemplo3: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade
distributiva da multiplicação 10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 – 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2 – 13x + 8x = – 10 – 5x = – 10 * (–1) 5x = 10 x = 10/5 x = 2 Verificando: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) 10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1)
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1) 10 – (14) = 10 + 2(–7)
10 – 14 = 10 – 14
– 4 = – 4 → sentença verdadeira
1.2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo:
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as equações do sistema. A solução de um sistema pode ser feita através de dois métodos resolutivos: adição e substituição.
1.2.2 Método da Adição
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no intuito de obter resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir:
1.2.3 Método da Substituição
Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do sistema, e substituir o valor isolado na outra equação. Observe:
Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de acordo com a configuração do sistema, podemos resolvê-lo utilizando o método da adição ou o método da substituição.
A solução de um sistema consiste em um resultado que é chamado de par ordenado, o gráfico de uma equação do 1º grau é dado por uma reta. Um sistema de duas equações possui duas retas representadas no plano e a intersecção dessas retas é a solução geométrica do sistema. Concluímos que a solução de um sistema pode ser apresentada de duas formas matemáticas, uma algébrica outra geométrica (graficamente).
1.3 EQUAÇÃO DO 2° GRAU
São inúmeros os problemas que resolvemos usando uma equação do segundo grau. No Brasil, a fórmula de Bhaskara é ensinada como uma técnica de resolução para as equações do segundo grau. O uso da fórmula de Bhaskara no ensino atual é trabalhado como algo que elimina a problemática da resolução da equação do segundo grau. O único problema que resta é quanto a representação do problema dado na linguagem natural para linguagem simbólica, ou seja determinar a equação que modela a situação problema. Historicamente a equação do segundo grau foi objeto de estudo desde a antiguidade e por diferentes povos.
Definição: Uma equação do 2º grau é toda sentença do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0.
Façamos alguns exemplos:
3𝑥 ² − 4𝑥 + 8 = 0 nesse caso temos 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, 𝑐 = 8 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 onde 𝑎 = 1, 𝑏 = −5, 𝑐 = 6
A solução de uma equação do 2º grau de maneira análoga ao que estudamos em equações do 1º grau, dizemos que 𝑥 é uma raiz (solução) de uma equação do 2º grau do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, caso a igualdade anterior seja verificada.
como raízes os valores 𝑥 = 2 e 𝑥 = 3. Sempre que houver dúvidas em relação às soluções, faça as verificações! Acompanhe:
se 𝑥 = 2 temos: 2 ² − 5 ∙ 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = −6 + 6 = 0 (OK); se 𝑥 = 3 temos: 3 ² − 5 ∙ 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = −6 + 6 = 0 (OK).
Considere agora a equação 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 0, a qual afirmamos que somente 𝑥 = −2 é raiz. Para efeitos de verificação temos que substituir o valor 𝑥 = −2 na equação dada.
Veja:
se 𝑥 = −2 então:(−2) ² + 4 . (−2) + 4 =0 logo 4 − 8 + 4 = −4 + 4 = 0 (OK). Mas o que garante a existência de apenas uma raiz para essa equação? Afinal, nosso primeiro exemplo apresentou duas soluções. Mais ainda, será que não há um método eficaz que faça com que achemos soluções de equações do 2º sem ter que ficar “chutando” valores? Eis que surge a fórmula de Bhaskara, uma ferramenta extremamente útil que responde à nossa indagação. Seja uma equação do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Se 𝑥 é uma raiz da equação, então 𝑥 pode ser calculado da seguinte maneira: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐/ 2𝑎 onde, por questões de “poluição visual”, denotamos por Δ a relação 𝑏2 − 4𝑎𝑐, a qual chamaremos de discriminante, ou seja: Δ= 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Logo : 𝑥 = −𝑏 ± Δ/ 2𝑎 . Observe que é fundamental não errar na identificação das constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐, pois a fórmula de Bháskara depende somente destas. Um sinal de + ou – colocados no lugar errado comprometem toda a resolução de um problema. Seja cuidadoso! Abaixo segue um exemplo para ilustrar a aplicação da fórmula. 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 . Observe que 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑐 = 8.
Façamos primeiro o cálculo de Δ= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Δ= (−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8 logo Δ = 36 − 32 = 4
Então: 𝑥 = −𝑏 ± Δ = −(−6) ± 4 2 ∙ 2a 2.1
Veja que há duas possibilidades para o valor de 𝑥: 𝑥1 = 6 − 2 / 2 = 4 /2 = 2 e 𝑥2 = 6 + 2 / 2 = 8 /2 = 4 Portanto o conjunto solução 𝑆 é dado por 𝑆 = {2,4}.
Resolva você as seguintes equações:
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 0 𝑥 2 + 4 = 0
Analise a quantidade de soluções de cada uma. O que podemos concluir? O sinal de Δ e a quantidade de soluções.
Se Δ> 0, a equação possui duas soluções reais e distintas; Se Δ= 0, a equação possui apenas uma solução real Se Δ< 0, a equação não possui solução real
Soma e produto entre as raízes sejam 𝑥2 e 𝑥2 raízes da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Então valem as seguintes relações: 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐 𝑎
Exemplo:
Para a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, as relações de soma e produto são dadas por 𝑥1 + 𝑥2 = − (−5) 1 = 5 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 6 1 = 6
A pergunta que você deve se fazer é: quais são os números cuja soma e produto resultam em 5 e 6, respectivamente? Evidentemente a resposta é 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3. Vale salientar que esse procedimento é um cálculo mental, não tente “algebrizar” essas relações, pois você voltará na equação original, fazendo contas à toa. Também vale ressaltar que nem sempre as relações entre soma e produto representam o melhor caminho para a resolução de uma equação do 2º grau. Caso
resolverá seu problema.
Resolva:
Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem:
a = 1, b = 3 e c = –10 Δ = b² – 4ac Δ = 3² – 4 * 1 * (–10) Δ= 9 + 40 Δ = 49 Exemplo:
Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0 a = 2, b = 12 e c = 18
Δ = b² – 4ac
Δ = 12² – 4 * 2 * 18 Δ= 144 – 144 Δ = 0
A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3.
Exemplo:
Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 a = 4, b = 6 e c = 50
Δ = b² – 4ac Δ = 6² – 4 * 4 * 50 Δ= 36 – 800 Δ = – 764
Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é menor que zero.
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:
Exemplo:
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6 x = 6 – y
x² + y² = 20 (6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) y² – 6y + 8 = 0 Δ = b² – 4ac Δ = (–6)² – 4 * 1 * 8 Δ = 36 – 32 Δ = 4 a = 1, b = –6 e c = 8
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: Para y = 4, temos: x = 6 – y x = 6 – 4 x = 2 Par ordenado (2; 4) Para y = 2, temos: x = 6 – y x = 6 – 2 x = 4 Par ordenado (4; 2) S = {(2: 4) e (4; 2)} Exemplo: Isolando x ou y na 2ª equação: x – y = –3 x = y – 3
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + 2y² = 18 (y – 3)² + 2y² = 18
y² – 2y – 3 = 0 Δ = b² – 4ac Δ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) Δ = 4 + 12 Δ = 16 a = 1, b = –2 e c = –3
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: Para y = 3, temos:
x = y – 3 x = 3 – 3 x = 0
Par ordenado (0; 3) Para y = –1, temos: x = y – 3 x = –1 –3 x = –4 Par ordenado (–4; –1) S = {(0; 3) e (–4; –1)}
1.3.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 1 x2 +xy = 48 2
2º grau. Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: Assim: 2x + y = 16 1 y = 16 - 2x Substituindo y em 2 , temos: x2 + x ( 16 - 2x) = 48 x 2 + 16x - 2x2 = 48
- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. x2 - 16x + 48 = 0
x'=4 e x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e (12, -8). Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m Largura = 2x = 2. 4 = 8m
Isolando y em 1
y - 3x = -1 y = 3x – 1
Substituindo em 2 x2 - 2x(3x - 1) = -3 x2 - 6x2 + 2x = -3
-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 5x2 - 2x - 3 = 0
x'=1 e x''= - 3∕5
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e
1.4 ESTUDO E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
1.4.1 GRÁFICOS
A análise de gráficos é importante para responder questões de diferentes disciplinas. Para facilitar a interpretação dos gráficos, estudaremos as diferentes possibilidades de formato. Esse conteúdo é muito intuitivo, então daremos maior ênfase aos exercícios, buscando apresentar a melhor forma de solucionar as questões. Lembrem-se: cada vez mais as provas do vestibular e do Enem cobram esse assunto tão importante.
1.4.1.1 TIPOS DE GRÁFICOS
Os gráficos podem ser de muitos tipos. Os mais comuns são os de Linha, Coluna, Barra e Pizza. Abaixo seguem alguns exemplos desses modelos:
Figura 2: Gráfico tipo Linha
O gráfico abaixo mostra o lucro de três empresas: A, B e C. Vamos pensar e entender um pouco mais sobre o que ele está nos dizendo.
Figura 4: Interpretação de Gráficos
Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a reta representada pelo lucro de cada empresa de "eixo vertical". O eixo vertical mede a altura dos pontos. Portanto, quanto mais alto o ponto, maior será o lucro. E, por sua vez, a reta que representa os meses de eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do ponto. Assim, quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical – o tempo será maior.
Repare, agora, somente nos pontos A e B. Esses estão na mesma reta vertical, o quer dizer que eles têm a mesma largura. Portanto, correspondem ao mesmo mês. E, ainda, o ponto A está um pouco mais acima que o B. O que isso significa? A Empresa Álgebra possui mais lucro que a Empresa Aritmética, visto que a altura do ponto A é maior.
Olhemos para os pontos B e C. Nesse caso, ambos possuem a mesma altura, mas larguras diferentes. Então, no mês de Abril a Empresa Aritmética possui
um lucro de aproximadamente R$2.500, o mesmo lucro da empresa Álgebra, porém no mês de maio.
Por fim, o ponto D: ele representa o lucro da empresa Aritmética no mês de junho. O menor lucro entre as três aqui mostradas. Basta ver que o ponto D está mais abaixo que os outros.
Em resumo: é muito importante saber o que cada eixo representa. Se o eixo vertical representasse o índice de chuva em uma determinada região, então quanto mais alto o gráfico, mais chuva. Ou, em um outro exemplo: se o eixo horizontal tivesse determinado pela pressão de um gás, então quanto menor a largura, menor será sua pressão.
1.4.2 Crescente, decrescente, constantes e raízes
A ideia aqui é localizar se o gráfico cresce, diminui ou até mesmo onde ele permanece constante. Um importante lembrete: o eixo horizontal cresce no mesmo sentido em que lemos um texto, da esquerda para direita. Por sua vez, o eixo vertical cresce de baixo para cima.
Olhando para o gráfico acima, conseguimos reparar que ele possui as três caraterísticas. Lendo da esquerda para direita no eixo horizontal:
seja, (∞ ; -1) ou (2; 5).
Decrescente: o gráfico diminui no intervalo depois do -1 até o 2. Ou seja,
(-1; 2).
Constante: o gráfico permanece com seu valor no intervalo depois do 5. (5;
∞).
E, por fim, as raízes são onde o gráfico passa pelo eixo horizontal. Com isso, no exemplo acima, as raízes são -2, 0 e 4.
1.5 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAS
1.5.1 Um pouco de história
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica o aumento da outra, em outros, inversamente proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer dos casos anteriores, podemos resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas proporcionais utilizando regra de três simples ou composta.
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga, podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três.
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas. Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo.
Veja abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, direta e inversamente proporcionais. Vamos resolver juntos?
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
2. Quatro pedreiros constroemi uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo?
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
1.5.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão.
ingresso de mais um membro nesta família aumentará proporcionalmente sua despesa semanal.
Exemplo:
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
1.5.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc.
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c
12/6 = 2/1 60/120 = 1/2
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2.
Exemplo:
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Verifique que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s ----> 200s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s
Assim:
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
1.5.4 REGRA DE TRÊS SIMPLES
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. Acompanhem:
Exemplo:
Os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação verdadeira.
Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho.
1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha
necessito para fazer 18 pães?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores.
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de
trigo e número de pães são inversa ou diretamente proporcionais.
Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução;
As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais.
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.
2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros
construirão a mesma casa em quanto tempo?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores.
pedreiros e dias gastos na construção são inversa ou diretamente proporcionais.
Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais;
Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução;
Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais.
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída
1.5.5 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais e, num determinado problema, existem seis valores, dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta.
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho.
3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas
condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os valores:
Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais entre si.
Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas
tempo de montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de
montagem, dobraremos o número de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.
Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas
número de homens, teremos reduzido à metade o tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.
Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima;
Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias.
4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças
desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima.
Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas
número de operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de
operários, dobraremos também o número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias
de trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de
trabalho, dobraremos também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente proporcionais;
Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima;
Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas originais.
1.6 NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA
Do grego trigono = triângulo e métron = medida, a trigonometria tem como objetivo principal a resolução de triângulos, determinando seus seis elementos que são três lados e três ângulos. O estudo é responsável pela relação entre os lados e os ângulos do triângulo. Suas abordagens envolvem em campos da geometria, como o estudo da esfera com a trigonometria esférica. A trigonometria pode ser usada para, por exemplo, estimar a distância das estrelas e a distância entre divisas, e os campos que usam a trigonometria envolvem a astronomia, a navegação, teoria musical, óptica, eletrônica, biologia, entre muitos outros.
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. O estudo da trigonometria tem suas origens nos primórdios das civilizações, particularmente nas aplicações arquitetônicas. Ainda hoje, os profissionais ligados à construção civil usam conceitos de trigonometria nos processos mais elementares.
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente construiu a primeira tabela de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.
Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125
a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela, veja:
Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente).
Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos utilizamos as seguintes definições:
sen x = sen (180º – x) cos x = – cos (180º – x)
Exemplo: Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º.
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660 cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000
Exemplo: No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x
e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
cos 65° = y / 9 0,42 * 9 = y y = 3,78 sen 65° = x /9 0,91 * 9 = x x = 8,19
medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866) sen 60° = / a 0,866 . a = 20,78 a = 24 cos 60° = b / 24 0,5 * 24 = b b = 12
Exemplo: Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, quais são os valores de tg  e tg Ê?
Se sabemos que é um triângulo isósceles, então seus lados são iguais. Logo, tg  = 1 e tg Ê = 1.
Exemplo: Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3 . 3 = 9 / x 3x = 9 x = 3 (RA)² = 9² + 3² (RA)² = 90 (RA) =
FILHO, Benigno Barreto. Matemática: Aula por aula. Editora FTD. Local: São Paulo, 3ª edição.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. 1 ª edição. Editora Ática. Ano 2005.
<www.estudopratico.com.br∕conjunto-numericos> acesso no dia 27 de janeiro de 2016.
<mundoeducação.bol.uol.br∕ matemática∕sistema-equacao.htm> acesso no dia 27 de janeiro de 2016
<mundoeducação.bol.uol.br∕ matemática∕ historia-as-equacoes.htm> acesso no dia 03 de fevereiro de 2016
<www.somatemática.com.br∕ trigonometria> acesso no dia 03 de fevereiro de 2016 <brasilescola.uol.com.br ∕ matemática∕ trigonometria.htm> acesso no dia 04 de fevereiro de 2016
<brasilescola.uol.com.br ∕ matemática∕ seno-cosseno-tangente-angulos.htm> acesso no dia 08 de fevereiro de 2016
