04-Heaps-AED-UFRPE-pbcm

(1)

Algoritmos e Estruturas de Dados

Prof. Péricles Miranda

{periclesmiranda@gmail.com}

(2)

Conteúdo



Introdução



Heaps

(3)

(4)

Introdução



Hearpsort também é um algoritmo de ordenação.



O heapsort possui complexidade de execução na ordem

de O(n log n).



No algoritmo heapsort, uma estrutura auxiliar é usada

(5)

Introdução



A estrutura de dados Heap não é usada apenas pelo

algoritmo de heapsort, mas também em outras aplicações,

como listas de prioridade.



Veremos aplicações de listas de prioridades em alguns

algoritmos na disciplina:



Algoritmo Prim;



Algoritmo Dijkistra.

(6)

(7)

Heaps



Heap é uma estrutura de prioridades, que pode ser representada na

forma de árvore binária semi-completa, indicando uma ordem

parcial entre seus elementos.

16 14 10 3 8 2 4 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10

(8)

Heaps



Os heaps são geralmente implementados como vetores

unidimensionais (arrays), onde a raiz ocupa a posição 1, e

os elementos obedecem à relação: A[i].esq = A[2i], A[i].dir

= A[2i + 1].

14 10

16 8 7 9 3 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(9)

Heaps

procedimento indice_pai(i)

retorne 𝑖/2 ;

fim_procedimento_indice_pai

procedimento indice_filho_esquerda(i)

retorne 2𝑖;

fim_procedimento_indice_filho_esquerda

procedimento indice_filho_direita(i)

retorne 2𝑖 + 1;

fim_procedimento_índice_filho_direita

(10)

Heaps



Existem dois tipos principais de heaps.



Max-heaps;



Min-heaps.



Ambos os casos, os elementos devem satisfazer a uma

(11)

Heaps



Em um max-heap, cada elemento i deve satisfazer a

propriedade abaixo (maior elemento na raiz):

𝐴 𝑖 . 𝑝𝑎𝑖 ≥ 𝐴[𝑖]



Em um min-heap, cada elemento i deve satisfazer a

propriedade abaixo (menor elemento na raiz):

(12)

Heaps



Considerando um heap como uma árvore, definimos a altura

de um nó como o número de arestas no maior caminho entre

o nó e uma de suas folhas.



A altura de um heap é dada como a altura de sua raiz.



Como um heap é baseado em uma árvore binária, a altura do

(13)

Heaps

procedimento max_heapfy(A, i)

𝑙 ← 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒_𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜_𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎(𝑖)

;

𝑟 ← 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒_𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜_𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎(𝑖)

;

se 𝑙 ≤ 𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜_ℎ𝑒𝑎𝑝 e A[l] > A[i] então

𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 ← 𝑙

_;

senão 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 ← 𝑖;

se 𝑟 ≤ 𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜_ℎ𝑒𝑎𝑝 e A[r] > A[maior] então

𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 ← 𝑟

;

se 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 ≠ 𝑖 então

trocar(A[i], A[maior]);

max_heapfy(A, maior);

(14)

Heaps



Exemplo:

16 4 10 3 14 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 10 16 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(15)

Heaps



Exemplo:

16 4 10 3 14 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 10 16 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(16)

Heaps



Exemplo:

16 4 10 3 14 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 10 16 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(17)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 4 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 4 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(18)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 4 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 4 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(19)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 4 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 4 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(20)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 8 2 4 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 i = 9 10 14 10 16 8 7 9 3 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(21)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 8 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 i = 9 10 14 10 16 8 7 9 3 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(22)

Heaps



A construção de um heap pode ser feita de

baixo-para-cima através do processo que segue.

procedimento constroi_max_heap(A)

𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜_ℎ𝑒𝑎𝑝 ← 𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜

_;

para 𝑖 ← 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜/2 até 1 faça

max_heapfy(A, i);

fim_constroi_max_heap

(23)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 2 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 2 16 9 10 14 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(24)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 2 14 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 2 16 9 10 14 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(25)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 2 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 2 16 9 10 14 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(26)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 2 14 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 2 16 9 10 14 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(27)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 2 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 2 16 9 10 14 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(28)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 2 14 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 2 16 9 10 14 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(29)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 14 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 14 16 9 10 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(30)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 14 2 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 14 16 9 10 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(31)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 14 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 14 16 9 10 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(32)

Heaps



Exemplo:

4 1 3 10 14 2 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 4 14 16 9 10 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(33)

Heaps



Exemplo:

4 1 10 3 14 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 10 4 14 16 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(34)

Heaps



Exemplo:

4 1 10 3 14 2 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 10 4 14 16 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(35)

Heaps



Exemplo:

4 1 10 3 14 16 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 10 4 14 16 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(36)

Heaps



Exemplo:

4 1 10 3 14 2 8 9 16 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 10 4 14 16 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(37)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 1 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 1 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(38)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 2 8 9 1 7 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 1 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(39)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 1 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 1 9 3 2 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(40)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(41)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(42)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(43)

Heaps



Exemplo:

4 16 10 3 14 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 16 10 4 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(44)

Heaps



Exemplo:

16 4 10 3 14 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 10 16 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(45)

Heaps



Exemplo:

16 4 10 3 14 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 10 16 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(46)

Heaps



Exemplo:

16 4 10 3 14 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 10 16 14 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(47)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 4 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 4 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(48)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 4 2 8 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 4 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(49)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 4 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 4 7 9 3 2 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(50)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 8 2 4 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 8 7 9 3 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(51)

Heaps



Exemplo:

16 14 10 3 8 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 14 10 16 8 7 9 3 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(52)

(53)

Heapsort



O algoritmo Heapsort tem início com a construção de um

max-heap para um vetor de dados A qualquer.



Tendo em vista que o maior elemento estará localizado

na raiz, podemos colocá-lo em sua posição correta pela

troca do mesmo com o elemento da posição A[n].

(54)

Heapsort



Após a modificação anterior, passamos a ignorar a última posição do

vetor original.



Isso é feito através do decremento do tamanho do heap

(A.tamanho_heap).



Como a nova raiz pode estar violando à propriedade de um max_heap,

realizamos um max_heapfy na raiz.



Esse processo é repetido no heap de tamanho n-1 até que o heap tenha

(55)

Heapsort

procedimento heapsort(A)

constroi_max_heap(A);

para 𝑖 ← 𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 até 2 faça

trocar(A[1], A[i]);

𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜_ℎ𝑒𝑎𝑝 ← 𝐴. 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜_ℎ𝑒𝑎𝑝 − 1

_;

max_heapfy(A, 1);

fim_heapsort

(56)

Heapsort

 _Exemplo: 16 14 10 3 8 2 4 9 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 14 10 16 8 7 9 3 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(57)

Heaps



Exemplo:

1 14 10 3 8 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 i = 10 14 10 1 8 7 9 3 2 4 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(58)

Heaps



Exemplo:

14 8 10 3 4 2 1 9 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 i = 10 8 10 14 4 7 9 3 2 1 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(59)

Heaps



Exemplo:

1 8 10 3 4 7 9 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 i = 9 10 8 10 1 4 7 9 3 2 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(60)

Heaps



Exemplo:

10 8 9 3 4 2 14 1 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 i = 9 10 8 9 10 4 7 1 3 2 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(61)

Heaps



Exemplo:

2 8 9 3 4 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 8 9 2 4 7 1 3 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(62)

Heaps



Exemplo:

9 8 3 2 4 10 14 1 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 8 3 9 4 7 1 2 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(63)

Heaps



Exemplo:

2 8 3 9 4 7 1 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 8 3 2 4 7 1 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(64)

Heaps



Exemplo:

8 7 3 9 4 10 14 1 2 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 7 3 8 4 2 1 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(65)

Heaps



Exemplo:

1 7 3 9 4 2 8 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 7 3 1 4 2 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(66)

Heaps



Exemplo:

7 4 3 9 1 10 14 8 2 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 3 7 1 2 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(67)

Heaps



Exemplo:

2 4 3 9 1 7 8 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 4 3 2 1 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(68)

Heaps



Exemplo:

4 2 3 9 1 10 14 8 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 2 3 4 1 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(69)

Heaps



Exemplo:

1 2 3 9 4 7 8 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 2 3 1 4 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(70)

Heaps



Exemplo:

3 2 1 9 4 10 14 8 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 2 3 1 4 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(71)

Heaps



Exemplo:

1 2 3 9 4 7 8 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 2 3 1 4 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(72)

Heaps



Exemplo:

2 1 3 9 4 10 14 8 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 1 3 2 4 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(73)

Heaps



Exemplo:

1 2 3 9 4 7 8 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 2 3 1 4 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(74)

Heaps



Exemplo:

1 2 3 9 4 10 14 8 7 16 1 2 3 4 5 ₆ ₇ 8 9 10 i = 2 3 1 4 7 8 9 10 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10