Entropia de emaranhamento de antiferromagnetos dimerizados

(1)

Leonardo da Silva Garcia Leite

Entropia de emaranhamento de

antiferromagnetos dimerizados

Campinas

2017

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Entropia de emaranhamento de

antiferromagnetos dimerizados

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de F´ı-sica “Gleb Wataghin” da Universidade Esta-dual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em F´ısica, na área de F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Lu´ıs Doretto

Este exemplar corresponde à versão final da disserta¸cão defendida pelo

aluno Leonardo da Silva Garcia

Leite, e orientado pelo Prof. Dr.

Ricardo Lu´ıs Doretto.

Campinas

2017

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Leite, Leonardo da Silva Garcia,

L536e LeiEntropia de emaranhamento de antiferromagnetos dimerizados / Leonardo da Silva Garcia Leite. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

LeiOrientador: Ricardo Luís Doretto.

LeiDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Lei1. Sistemas eletrônicos fortemente correlacionados. 2. Entropia de

emaranhamento. 3. Sólido de singletos. 4. Heisenberg, Modelo de. I. Doretto, Ricardo Luís, 1976-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Entanglement entropy of dimerized antiferromagnets Palavras-chave em inglês:

Strongly correlated electron systems Entanglement entropy

Valence bond solid Heisenberg model

Área de concentração: Física Titulação: Mestre em Física Banca examinadora:

Ricardo Luís Doretto [Orientador] Frederico Borges de Brito

Eduardo Miranda

Data de defesa: 05-12-2017

Programa de Pós-Graduação: Física

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AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 05 / 12 / 2017.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Ricardo Luís Doretto – Orientador – IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Frederico Borges de Brito – IFSC/USP

- Prof. Dr. Eduardo Miranda – IFGW/UNICAMP

OBS.: Informo que as assinaturas dos respectivos professores membros da banca

constam na ata de defesa já juntada no processo vida acadêmica do aluno.

CAMPINAS

2017

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Agrade¸co,

em especial ao Prof. Ricardo Lu´ıs Doretto, pela orienta¸cão, paciência e todo apoio necessário para realiza¸cão deste trabalho.

`

a Unicamp e ao IFGW pela ´otima estrutura que oferecem aos estudantes e pesquisadores.

`

a todos os funcion´arios do IFGW, principalmente `a CPG e a secretaria do DFMC pelo excelente suporte.

`

a CAPES pela oportunidade dada atrav´es de minha bolsa de mestrado. `

a minha namorada Ingrid pelo seu companheirismo e inspira¸c˜ao.

aos familiares e amigos, sejam presentes ou distantes, que sempre me apoiaram em cada passo.

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Nesse trabalho, calculamos a entropia de emaranhamento de um antiferromagneto de Heisenberg dimerizado em uma rede quadrada. Dois padrões de dimeriza¸cão distintos são considerados: colunar e alternado. Em ambos os casos, focamos na fase de sólidos de singletos (VBS) que é descrita pela representa¸cão dos operadores de liga¸cão. Nesse formalismo, o hamiltoniano de spin original é mapeado em um modelo efetivo de bósons interagentes com excita¸cões de tripleto. O hamiltoniano efetivo é estudado na aproxima¸cão harmônica e o espectro das excita¸cões elementares e o diagrama de fase dos dois modelos dimerizados são determinados. Consideramos um subsistema unidimensional (cadeia) de comprimento L dentro de uma rede quadrada com condi¸cões periódicas de contorno e calculamos a entropia de emaranhamento. Seguimos um procedimento anal´ıtico baseado na teoria de ondas de spin modificadas que havia sido desenvolvido originalmente para calcular a entropia de emaranhamento em fases magneticamente ordenadas. Em parti-cular, esse procedimento nos permite considerar subsistemas unidimensionais compostos por até 200 s´ıtios. Combinamos esse procedimento com o formalismo dos operadores de liga¸cão na aproxima¸cão harmônica e mostramos que, para os dois modelos de Heisenberg dimerizados, a entropia de emaranhamento da fase VBS obedece uma lei de área. Tanto para a dimeriza¸cão colunar quanto para a alternada, mostramos que a entropia de ema-ranhamento aumenta à medida que o sistema se aproxima da transi¸cão de fase quântica entre as fases Néel-VBS.

Palavras-chave: Sistemas fortemente correlacionados, Modelo de Heisenberg, S´olido de singletos, Entropia de emaranhamento

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We calculate the entanglement entropy of spin-1/2 dimerized Heisenberg antiferromag-nets on a square lattice. Two distinct dimerization patterns are considered: columnar and staggered. In both cases, we concentrate on the valence bond solid (VBS) phase and des-cribe such a phase with the so-called bond operator representation. Within this formalism, the original spin Hamiltonian is mapped into an effective interacting boson model for the triplet excitations. We study the effective Hamiltonian at the harmonic approximation and determine the spectrum of the elementary triplet excitations and the phase diagram of both dimerized models. We then consider an one-dimensional (chain) subsystem of length L within a square lattice with periodic boundary conditions and determine the entanglement entropy. We follow an analytical procedure based on spin-wave theory that was originally developed to calculate the entanglement entropy of magnetic ordered pha-ses. In particular, it allow us to consider line subsystems up to 200 sites. We combine such a procedure with the results of the bond operator formalism at the harmonic level and show that, for both dimerized Heisenberg models, the entanglement entropy of the VBS phase obeys an area law. For both columnar-dimer and staggered-dimer models, we also show that the entanglement entropy increases as the dimerization decreases and the system approaches the N´eel–VBS quantum phase transition.

Keywords: Strong correlated systems, Heisenberg model, Valence bond solid, Entan-glement entropy

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2.1 Distˆancias no modelo de Heitler-London, rα representa as distˆancias que

envolvem os elétrons 1 e 2 e R representa as distâncias que envolvem os núcleos. Extra´ıda da Ref. [18]. . . 20 2.2 Representa¸cão esquemática do estado fundamental clássico para um

sis-tema (a) ferromagnético e (b) antiferromagnético. Os momentos magn´ eti-cos estão situados sobre a rede cristalina do material e estão alinhados em rela¸cão a uma dire¸cão espec´ıfica. . . 24 2.3 Magnetiza¸cão normalizada pela magnetiza¸cão máxima, em fun¸cão da

tem-peratura normalizada pela temtem-peratura de Curie [18]. A curva separa a fase ordenada da fase desordenada. A curva separa a fase ordenada da fase desordenada. Próxima da magnetiza¸cão total e próxima da magneti-za¸cão nula a curva segue um decaimento exponencial e decaimento de lei de potência respectivamente. . . 25 2.4 Inverso da susceptibilidade magnética de três tipos de materiais [18]. Em

sistemas ferrimagnéticos, os spins primeiros-vizinhos, mas a magnetiza¸cão de uma subrede é diferente da outra. . . 26 2.5 Representa¸cão esquemática de um diagrama de fases em torno do ponto

cr´ıtico quˆantico rc para um sistema 3D [1]. O eixo vertical representa

a temperatura e o eixo horizontal o parˆametro de ordem. Variando-se a temperatura temos duas regi˜oes, uma ordenada e outra termicamente desordenada. A temperatura zero existe um ponto de transi¸c˜` ao rc que

separa a região ordenada da região desordenada. Efeitos da criticalidade quântica podem afetar quantidades f´ısicas a temperatura finita. . . 27 2.6 Fronteira entre o subsistema A e seu complementar B. Os subsistemas

trocam correla¸c˜oes localmente pela interface representada pela cor branca. 35 3.1 Estrutura cristalina do composto antiferromagn´etico LaCuO4. Na figura,

os átomos de cobre possuem momento magnético localizado e estão alinha-dos sobre um plano, que pode ser aproximado como uma rede quadrada. Figura adaptada de [32]. . . 36

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existência de duas fases distintas, uma paramagnética quântica e uma fase com ordem magnética de longo alcance (fase de Néel). . . 37 3.3 Representa¸cão esquemática da a) dimeriza¸cão alternada , b) dimeriza¸cão

colunar em uma rede cristalina quadrada. As linhas finas e grossas cor-respondem, respectivamente, aos acoplamentos J e J0. Os pontos cinza escuro e azuis indicam os spins 1 e 2 das sub-redes adjacentes definidas pelos d´ımeros. . . 38 3.4 Representa¸c˜ao esquem´atica do diagrama de fases do modelo de Heisenberg

(3.3) com dimeriza¸cão colunar, onde se observa a transi¸cão entre o estado de Néel e o sólido de singletos (VBS). Variando-se um certo parâmetro de controle g = J0/J do sistema, a intera¸cão J0 entre os pares de spins, representada pelas linhas cont´ınuas pretas, aumenta. A partir de um valor cr´ıtico gc, as intera¸cões ficam tão fortes que há a transi¸cão para o estado

VBS, onde o sistema é dominado por singletos, representados por elipses. . 39 3.5 Rede (retangular) subjacente associada à dimeriza¸cão colunar. As

liga-¸c˜oes marcadas com um ponto vermelho representam as intera¸c˜oes J e J0 que devem ser calculadas para cada d´ımero. Os c´ırculos pretos e cinzas correspondem, respectivamente, aos spins ~S1 _{e ~}_S2 _{. . . .} ₄₀

3.6 Rede (retangular) subjacente associada à dimeriza¸cão alternada. As liga-¸cões marcadas com um ponto vermelho representam as intera¸cões J e J0 que devem ser calculadas para cada d´ımero. Os c´ırculos pretos e cinzas correspondem, respectivamente, aos spins ~S1 _{e ~}_S2_{. . . .} ₄₁

3.7 A primeira zona de Brillouin das dimeriza¸cões, que é retangular para a dimeriza¸cão colunar (a), limitada pelas retas ky = ±π e kx = ±π₂, e tem

forma quadrada para a dimeriza¸c˜ao alternada (b), que possui os valores extremos ky = ±π e kx = ±π. A partir destes extremos podemos calcular

os pontos Γ, Y , M , X respectivos às redes. . . 42 3.8 Número médio de singletos N0 e multiplicador de Lagrange µ para

diferen-tes valores da constante de acoplamento J0. À medida que do acoplamento J0 decresce o número médio de singletos diminui. . . 50 3.9 Espectro dos triplons na primeira zona de Brillouin para as dimeriza¸cões

(a) colunar e (b) alternada, usando a aproxima¸cão harmônica. Existe um gap de energia para as excita¸cões que tente a zero ao aproximarmos do valor cr´ıtico J_c0. . . 50 3.10 Energia de gap para as dimeriza¸cões (a) colunar e (b) alternada em termos

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dire¸cões. Para o caso (a) o subsistema apresenta 4 vértices que irão afetar os valores da entropia de emaranhamento. . . 58 4.2 Subsistema representado pela faixa azul, que cobre uma cadeia de d´ımeros. 59 4.3 Raiz quadrada dos autovalores µ2

m da matriz de correla¸c˜ao (4.20), referentes

`

a um subsistema que possui 100 s´ıtios e para as dimeriza¸c˜oes colunar (es-querda) e alternada (direita) em fun¸c˜ao de diferentes valores da constante de acoplamento J0. . . 63 4.4 Pseudo-energias kx (esquerda) e o espectro de triplons para ky = 0

(di-reita) para diferentes valores da constante de acoplamento J0. Os gráficos superiores, (a) e (b), se referem à dimeriza¸cão colunar, enquanto os gráficos inferiores, (c) e (d), são referentes à dimeriza¸cão alternada. . . 63 4.5 Entropia de emaranhamento de Rényi (2.74) q = 1 (linha cont´ınua) e q = 2

(linha tracejada) em fun¸cão do tamanho L0 do subsistema A, para diferentes acoplamentos J0. Dimeriza¸cão colunar. . . 64 4.6 Entropia de emaranhamento de Rényi (2.74) q = 1 (linha cont´ınua) e q = 2

(linha tracejada) em fun¸cão do tamanho L0 do subsistema A, para diferentes acoplamentos J0. Dimeriza¸cão alternada. . . 65 4.7 Criticalidade da entropia de emaranhamento S1, para L0 = 100. Próximo

ao pronto cr´ıtico J0/J_c0 ≈ 1, o valor de S1cresce de maneira suave. Longe do

ponto cr´ıtico a entropia tente lentamente a um valor constante, indicando a queda da intera¸c˜ao entre os subsistemas. . . 66 4.8 Coeficiente a(J0), veja Eq. (4.62), em termos de |J_c0 − J0_{| para um}

subsis-tema de tamanho L0 = 100. As curvas convergem a taxas diferentes. . . 67 4.9 Curvas utilizadas para determinar o n´umero de pontos utilizados para o

ajuste da uma reta ao gráfico 4.10. Foram utilizados os valores máximos destas curvas como limiar. . . 67 4.10 Gráfico log-log correspondente aos dados mostrados na Fig. 4.8, as curvas

sólidas são os ajustes e a inclina¸cão desta retas fornece o expoente cr´ıtico ν. 68 G.1 Integra¸cão sobre a primeira zona de Brillouin retangular. . . 89

(12)

2.1 Temperatura cr´ıtica de alguns elementos. O primeiro grupo s˜ao materiais ferromagn´eticos caracterizados pela temperatura de Curie TC e o segundo

grupo s˜ao antiferromagnetos, caracterizados pela temperatura de N´eel TN.

Adaptado da Ref. [20]. . . 25 2.2 Susceptibilidade magn´etica de alguns materiais em torno da temperatura

ambiente. Adaptado das Refs. [23] e [24]. . . 27 3.1 Vetores primitivos do espa¸co rec´ıproco, que tamb´em d˜ao origem a uma rede

retangular para o caso colunar e uma rede quadrada para o caso alternado. 42 3.2 Valores cr´ıticos do parˆametro de ordem . . . 49 4.1 Coeficientes do ajuste S1(L0) = a L0 + b ln L0 + c, para diferentes valores

de J0, referentes as figuras 4.5 e 4.6. O coeficiente b é de 3 à 5 ordens de grandeza menor que os outros parâmetros. . . 64 4.2 Comparativo entre os expoentes cr´ıticos obtidos neste trabalho e na Ref.

(13)

Lista de Figuras 9

Lista de Tabelas 12

1 Introdu¸c˜ao 15

2 Fundamentos te´oricos 18

2.1 Introdu¸c˜ao ao magnetismo . . . 18

2.1.1 Modelo de Heisenberg . . . 18

2.1.2 Fases magn´eticas cl´assicas . . . 22

2.1.3 Transi¸c˜oes de fase quˆanticas . . . 27

2.2 Fundamentos em mecˆanica quˆantica . . . 28

2.2.1 Emaranhamento . . . 28

2.2.2 Operador densidade e entropia de Von Neumann . . . 31

2.2.3 Operador densidade reduzido e entropia de emaranhamento . . . . 32

2.2.4 Comportamento da entropia de emaranhamento . . . 34

3 Antiferromagneto dimerizado e a fase s´olido de singletos 36 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 36

3.2 Antiferromagneto na rede quadrada . . . 37

3.3 O modelo de Heisenberg para a fase VBS . . . 40

3.4 Descri¸cão através dos operadores de liga¸cão . . . 42

3.5 Diagonaliza¸c˜ao do hamiltoniano quadr´atico . . . 46

3.6 Equa¸c˜oes auto-consistentes . . . 48

4 Entropia de emaranhamento da fase VBS 52 4.1 Entropia de emaranhamento . . . 52

4.2 C´alculo da entropia de emaranhamento . . . 57

4.3 Discuss˜ao dos resultados . . . 62

5 Conclus˜oes 69

(14)

A Expoentes cr´ıticos e classes de universalidade 76

B Transforma¸c˜ao de Holstein-Primakoff 78

C Tranforma¸c˜ao de Bogoliubov de um hamiltoniano quadr´atico 80

D M´etodo de Newton em 2D 82

E Vetores de ordem magn´etica para a fase VBS 83

F Pseudoespectro e a matriz de correla¸c˜ao 86

(15)

Cap´ıtulo

1

Introdu¸c˜

ao

Atualmente, materiais antiferromagnéticos tem sido bastante estudados devido à des-coberta de um novo tipo de transi¸cão de fase que pode ocorrer nesses materiais. Deno-minada de transi¸cão de fase quântica, essa transi¸cão ocorre à temperatura zero e pela varia¸cão de um parâmetro de controle como, por exemplo, a dopagem, a pressão sobre o material ou a intensidade de um campo magnético externo aplicado sobre o sistema. Nesse tipo de transi¸cão de fase, a ordem do sistema é destru´ıda por flutua¸cões de natu-reza quântica e a transi¸cão pode ser interpretada como o resultado da competi¸cão entre diferentes estados fundamentais [1]. Um dos sistemas mais estudados atualmente são os supercondutores de alta temperatura cr´ıtica, que apresentam uma transi¸cão entre uma fase isolante antiferromagnética para uma fase supercondutora guiada pela dopagem do material. A fase supercondutora tem a propriedade de conduzir eletricidade sem resis-tência devido ao aparecimento de um pareamento entre elétrons, chamados de pares de Cooper.

A existência do ponto cr´ıtico quântico afeta diretamente o espectro das excita¸cões elementares do sistema, de modo que mesmo para temperaturas finitas é poss´ıvel detectar varia¸cões nas propriedades do sistema. Por exemplo, aplicando pressão sobre um material antiferromagnético a temperaturas próximas de zero, é poss´ıvel alterar levemente sua estrutura e induzir uma dimeriza¸cão no material, até que para uma certa pressão cr´ıtica o material sofre uma transi¸cão de fase quântica para a fase de sólido de singletos, onde o estado fundamental é paramagnético [2].

O estudo do emaranhamento em sistemas de muitos corpos tem sido fundamental para a classifica¸cão dessas transi¸cões de fase quânticas [3]. Em particular, uma nova medida para caracterizar diversos tipos de sistemas tem sido utilizada recentemente na área de f´ısica da matéria condensada, a chamada entropia de emaranhamento. Essa quantidade foi introduzida por Bombelli [4] em 1986 no contexto da teoria quântica de campos aplicada ao estudo de buracos negros. Esta medida nada mais é que a entropia de Von Neumann aplicada a um sistema bipartido, onde consideramos um universo em equil´ıbrio térmico,

(16)

que está dividido entre sistema e banho. Ao contrário da entropia estat´ıstica, a entropia de emaranhamento não é uma quantidade extensiva, isto é, não escala com o volume do sistema, mas depende apenas do tamanho da fronteira entre as subdivisões. Essa lei de área apresentada pela entropia de emaranhamento é sens´ıvel à transi¸cões de fase, de modo que seu valor cresce ou diminui dependendo do quão perto se está do ponto cr´ıtico quântico. Além disso, a entropia de emaranhamento também é sens´ıvel às propriedades que não são capturadas pelas teorias baseadas em fun¸cões de correla¸cão e parâmetros de ordem como, por exemplo, as transi¸cões entre fases que apresentam ordem topológicas [5, 6], o que fornece uma visão alternativa e complementar sobre os sistemas de muitos corpos.

A determina¸cao da entropia de emaranhamento foi feita em diversos sistemas da área de f´ısica da matéria condensada [3, 7]. Calabrese e Cardy mostraram que para o modelo de Ising unidimensional com campo magnético transverso, a entropia de emaranhamento diverge quando o campo externo é forte o suficiente para quebrar a simetria do estado fundamental ferromagnético [8]. Alternativamente, Frénot e Roscilde estudaram a critica-lidade da entropia de emaranhamento próxima à transi¸cão entre fases isolante e superfluida do modelo de Bose-Hubbard [9]. Em uma série de trabalhos [10, 11, 12], Laflorencie e colaboradores calcularam tanto analiticamente quando através de simula¸cões de Monte Carlo quântico a entropia de emaranhamento de um antiferromagneto na fase de Néel descrito pelo modelo de Heisenberg J1-J2. Verificou-se que a entropia de emaranhamento

segue a lei de área e que apresenta também uma corre¸cão logar´ıtmica, onde seu pré-fator é exatamente o número de modos de Goldstone do sistema, em concordância com o que havia sido previsto na Ref. [6]. Embora ainda não haja nenhum trabalho experimental onde a entropia de emaranhamento tenha sido medida, há propostas de protocolos para a determina¸cão experimental dessa quantidade [13].

Neste trabalho, aplicamos técnicas semelhantes àquelas desenvolvidas nas referências [9, 10, 11, 12] para calcular a entropia de emaranhamento do estado fundamental da fase de sólido de singletos [valence bond solid (VBS)] de sistemas antiferromagnéticos bidimen-sionais. Nessa fase, o estado fundamental é composto por singletos que se organizam de forma ordenada dependendo do tipo de dimeriza¸cão do sistema. Wenzel e colaboradores [14] mostraram através de simula¸cões de Monte Carlo quântico que algumas dessas dime-riza¸cões podem apresentar propriedades distintas como, por exemplo, diferentes expoentes cr´ıticos. Em particular, verificou-se que a chamada dimeriza¸cão alternada apresentou um comportamento cr´ıtico distinto da classe de universalidade O(3).

Para descrever analiticamente a fase VBS, utilizamos um modelo de Heisenberg bi-dimensional em uma rede quadrada em conjunto com o formalismo dos operadores de liga¸cão introduzidos por Sachdev e Bhatt [15]. Com este formalismo, é poss´ıvel descrever bem a fase de sólido de singleto e suas excita¸cões. Essa técnica foi aplicada com sucesso em diversos trabalhos como, por exemplo, as referências [16] e [17].

(17)

Após calcular o espectro das excita¸cões elementares do modelo, calculamos também a entropia de emaranhamento de forma anal´ıtica, e mostramos que ela satisfaz a lei de área caracter´ıstica de sistemas que apresentam uma energia de gap finita. O comportamento cr´ıtico da entropia de emaranhamento também foi analisado, de forma que foi poss´ıvel extrair o expoente cr´ıtico ν para ambas as dimeriza¸cões.

A organiza¸cão deste trabalho é a seguinte: Faremos uma breve introdu¸cão aos funda-mentos teóricos necessários no cap´ıtulo 2 e modelaremos a fase VBS usando o formalismo dos operadores de liga¸cão ao longo do cap´ıtulo 3. Em seguida, no cap´ıtulo 4, iremos apli-car o método descrito nas Refs. [9, 10, 11, 12] para calcular a entropia de emaranhamento do sistema. Mostraremos que para duas dimeriza¸cões diferentes a lei de área é obedecida e calcularemos também seu comportamento perto da região cr´ıtica. Apresentaremos nossas conclusões e perspectivas futuras no cap´ıtulo 5. Alguns cálculos extensos foram deixados para os apêndices, assim como alguns detalhes numéricos.

(18)

Cap´ıtulo

2

Fundamentos te´

oricos

2.1 Introdu¸

c˜

ao ao magnetismo

Neste cap´ıtulo, faremos uma breve introdu¸cão às ferramentas e aos conceitos básicos utilizados para descrever sistemas magnéticos. Discutiremos o modelo de Heisenberg, os sistemas ferromagnético e antiferromagnético e as fases magnéticas com ordem de longo alcance. Concluiremos o cap´ıtulo discutindo as transi¸cões de fase clássica e quântica.

2.1.1 Modelo de Heisenberg

O modelo de Heisenberg ´e utilizado para descrever um sistema de spins interagentes. Para mostrarmos brevemente sua origem, vamos considerar o operador hamiltoniano para um sistema de 2 el´etrons com spin-1/2:

ˆ H = 2 X i=1 ˆ p2 i 2m + ˆV ( ~r1, ~r2), (2.1)

onde m é a massa das part´ıculas, ˆpi é o operador de momento linear, ~ri é a posi¸cão da

part´ıcula i e V (~r1, ~r2) ´e a energia potencial de intera¸c˜ao entre as duas part´ıculas.

Sabemos que as fun¸cões de onda para férmions são antissimétricas perante a troca de posi¸cão das part´ıculas e, assim, devemos construir os autoestados do hamiltoniano preservando essa simetria. O momento angular total do sistema está relacionado à soma dos momentos angulares de cada elétron. Para um sistema formado por dois spins S = 1/2, o estado antissimétrico corresponde ao estado de singleto,

|0; 0i = √1

(19)

enquanto os estados sim´etricos correspondem aos trˆes estados de tripletos,

|1; 1i = | ↑↑i, (2.3)

|1; −1i = | ↓↓i, |1, 0i = √1

2( | ↑↓i + | ↓↑i ) .

As solu¸cões da parte espacial podem ser antisimétrica ou simétrica e as denotaremos por |q±i. Desta forma, a solu¸cão completa de (2.1) será o produto direto da parte espacial

e da parte de spin, o que fornece os autoestados de energia:

|ψi =    |q+i|0; 0i |q−i|1; msi , ms = 0, ±1. (2.4)

Como o hamiltoniano independe do spin eletrônico, a energia do sistema está associada apenas à componente espacial do estado (2.4),

H|ψi = H|q±i = E±|q±i. (2.5)

Supondo que as energias E+ e E− sejam diferentes, haver´a um estado de menor energia,

o que implica que um dos estados de spin será privilegiado em rela¸cão ao outro. Neste caso, podemos tentar encontrar um hamiltoniano efetivo que ao invés de atuar sobre as coordenadas das part´ıculas atue apenas sobre os autoestados de spin, ou seja,

Hef f|0; 0i = E+|0; 0i, (2.6)

Hef f|1; msi = E−|1; msi.

Verifica-se que o hamiltoniano efetivo assume a forma

Hef f = J0 − J12S~1 · ~S2, (2.7) onde J0 = 1 4(E++ 3E−), (2.8) J12= 1 ~2 (E+− E−), (2.9) tal que H|ψi = Hef f|ψi. (2.10)

Para melhor investigar o caso E+ 6= E− e compreender o significado de J12, ´e

(20)

nas Refs. [18] e [19]. Considerando um sistema formado por dois átomos de hidrogênio, cada um possuindo um único elétron. O hamiltoniano que descreve esse sistema é dado por ˆ H = H0+ H1 (2.11) onde, H0 = 1 2m(p 2 1+ p 2 2) − e2 4πε0 1 r1a + 1 r2b , (2.12) H1 = e2 4πε0 1 Rab + 1 r12 − 1 r1b − 1 r2a , (2.13)

onde as distˆancias r1a , r1b,r2a, r2b, r12e Rab est˜ao mostradas na Fig. 2.1 O termo H0

des-creve as energias cinéticas dos elétrons e a intera¸cão Coulombiana entre os elétrons e seus respectivos núcleos, ao passo que H1 descreve a intera¸cão entre os dois núcleos, a intera¸cão

entre os dois elétrons e um termo onde as intera¸cões elétron-núcleos estão trocadas. A re-solu¸cão completa da equa¸cão de Schrödinger para esse hamiltoniano não é conhecida, mas podemos recorrer a um método variacional para obtermos alguns resultados interessantes desse modelo.

Vamos considerar o seguinte ansatz variacional para o estado fundamental do sistema |qi = c1|φ1ai|φ

2

bi + c2|φ2ai|φ 1

bi = c1|q1i + c2|q2i, (2.14)

onde c1 e c2 são constantes e |φai, |φbi são os autoestados do problema de átomos de

hidrogênio isolados, isto é, solu¸cões de H0. Os coeficientes c1 e c2 são determinados

Figura 2.1: Distˆancias no modelo de Heitler-London, rα representa as distˆancias que envolvem

(21)

minimizando-se o valor esperado

E0 = hq| ˆH|qi

hq|qi (2.15)

que ´e um limite superior para o valor real da energia do estado fundamental. ´E interessante definir as seguintes integrais

L = hφ1,2_a |φ1,2_b i = Z d3r φ∗_a(r)φb(r), (2.16) V = hq1| ˆH|q1i = hq2| ˆH|q2i = Z d3r1 Z d3r2H |φˆ a(r1)|2|φb(r1)|2, (2.17) X = hq1| ˆH|q2i = hq2| ˆH|q1i = Z d3r1 Z d3r2φ∗a(r1)φ∗b(r2) ˆH1φa(r2)φb(r1). (2.18)

Aqui, L é chamada de integral de overlap, uma quantidade que mede a superposi¸cão entre os orbitais eletrônicos. A integral V é chamada de integral de Coulomb ou integral direta, e quantifica a energia eletrostática do sistema. A terceira integral X é a integral de troca. Desta forma, podemos reescrever o valor esperado (2.15) em termos das integrais (2.16)-(2.18), E0 = (c 2 1+ c22)V + 2c1c2X (c2 1+ c22) + 2c1c2L2 . (2.19)

Aplicando a condi¸c˜ao variacional

∂E0 ∂c1 = ∂E 0 ∂c2 = 0, (2.20) obtemos (c2₁− c2₂)(X − V L2) = 0. (2.21)

Em conjunto com a condi¸cão de normaliza¸cão para o estado |qi, verifica-se que os valores que minimizam a energia são c1 = c2 = 1/

√

2, de modo que o valor final da energia ser´a E_±0 = V ± X

1 ± L2. (2.22)

A partir da equa¸c˜ao (2.22), nota-se que E₊0 6= E0

− se L 6= 0 e/ou X 6= 0. A diferen¸ca entre

as energia E+ e E− fornece a constante J12 definida em (2.7),

J12= 1 ~2 (E₊0 − E0 −) = 2 ~2 X − V L2 1 − L4 . (2.23)

Quando o overlap L é nulo, a constante J12é proporcional apenas à integral de troca X,

de modo que é comum o uso do nome integral de troca para se referir à intera¸cão entre os pares de spin.

Podemos generalizar essa intera¸cão efetiva entre os spins dos dois elétrons para o caso de um sistema constitu´ıdo por muitos elétrons. Considerando que o momento magn´

(22)

e-tico efetivo do i-ésimo elétron é dado por Sj, podemos generalizar a Eq.(2.7) e definir o

chamado modelo de Heisenberg ˆ

H =X

ij

Jij S~i · ~Sj. (2.24)

O valor da integral de troca Jij, tamb´em chamada de constante de acoplamento, determina

o quão forte é a intera¸cão entre os spins. Experimentalmente, seu valor está relacionado, por exemplo, com a composi¸cão do material (dopagem) ou com a pressão aplicada sobre o mesmo. Caso Jij < 0, o modelo descreve sistemas ferromagnéticos, pois para minimizar

a energia necessitamos que os spins estejam alinhados na mesmo dire¸cão. Alternativa-mente, para Jij > 0, o modelo descreve sistemas antiferromagnéticos. Normalmente, são

desconsiderados termos de autointera¸cão e supomos que a for¸ca da intera¸cão é rec´ıproca. A soma em (2.24) inclui, em princ´ıpio, todos os spins mas, para spins localizados, uma boa aproxima¸cão é considerar que os spins interagem apenas com seus vizinhos mais próximos devido à curta extensão dos orbitais atômicos.

Embora o hamiltoniano de Heisenberg tenha uma forma simples, sua resolu¸cão é com-plicada devido às rela¸cões de comuta¸cão entre as componentes dos operadores de spin, isto é,

[Si, Sj] = i~ ijkSk. (2.25)

2.1.2 Fases magn´

eticas cl´

assicas

Vamos considerar o modelo de Heisenberg (2.24) em duas dimensões espaciais, onde os spins estão distribu´ıdos sobre uma rede quadrada de parâmetro de rede a = 1. Clas-sicamente, podemos considerar os operadores de spin como vetores clássicos de módulo S que apontam em uma dire¸cão arbitrária no plano, assim,

~ Sn= S h cos( ~Q · ~Rn)ˆx + sin( ~Q · ~Rn)ˆy i , (2.26)

onde ˆx e ˆy são vetores unitários e ortogonais. O vetor ~Q é o chamado vetor de ordem e está ligado diretamente com a orienta¸cão dos momentos magnéticos, como mostrado abaixo. Supondo que a constante de acoplamento J12 dependa apenas das distâncias

entre os spins, o hamiltoniano (2.24) se torna Hcl = S2

X

nm

J (| ~Rn− ~Rm|) cos[ ~Q · ( ~Rn− ~Rm)]. (2.27)

Estamos trabalhando sobre uma rede quadrada, onde ~Rn = n1x + nˆ 2y, com nˆ i sendo um

(23)

e definindo ~δ = ~Rn− ~Rm, temos que Hcl = S2N X ~ δ J (δ) cos( ~Q · ~δ) (2.28) = S2N 2J [cos(Qx) + cos(Qy)] ,

onde usamos que J (δ) = J = constante. Para encontrarmos a energia do estado fun-damental, minimizamos Hcl com rela¸c˜ao `as componentes do vetor ~Q. Considerando as

condi¸c˜oes sobre as primeiras derivadas, ∂Hcl ∂Qx = −S2N 2J a sin(Qxa) = 0, (2.29) ∂Hcl ∂Qy = −S2N 2J a sin(Qya) = 0, (2.30)

e sobre as segundas derivadas, ∂2Hcl ∂Q2 x = −S2N 2J a2cos(Qxa) ≥ 0, (2.31) ∂2Hcl ∂Q2 y = −S2N 2J a2cos(Qya) ≥ 0, (2.32)

obtemos duas solu¸c˜oes distintas dependendo do sinal da constante de troca J:

1. Caso J < 0. As componentes do vetor de ordenamento magn´etico s˜ao Qx= Qy = 0

e, desta forma, todos os spins encontram-se alinhados em uma mesma dire¸c˜ao, isto ´

e,

~

Sn = S ˆx. (2.33)

Esta é exatamente a ordem do estado fundamental de um material ferromagn´ e-tico. Um representa¸cão gráfica está mostrada na figura 2.2.

2. Caso J > 0. Aqui as componentes do vetor de ordenamento magn´etico s˜ao dadas por Qx = Qy = π, de modo que

~

Sn = S cos[π (n1 + n2)] ˆx = (−1)n1+n2 S ˆx. (2.34)

Nessa configura¸cão, os spins estão distribu´ıdos de modo antiparalelo em rela¸cão aos seus primeiros vizinhos. Materiais que possuem esse tipo de ordenamento são chamados de antiferromagnetos. A figura 2.2 mostra uma representa¸cão deste estado fundamental clássico onde é poss´ıvel ver o surgimento de duas sub-redes com diferentes orienta¸cões, esse é conhecido como estado de Néel.

(24)

(a) (b)

Figura 2.2: Representa¸cão esquemática do estado fundamental clássico para um sistema (a) ferromagnético e (b) antiferromagnético. Os momentos magnéticos estão situados sobre a rede cristalina do material e estão alinhados em rela¸cão a uma dire¸cão espec´ıfica.

acima, pois este ordenamento depende da temperatura do material. Uma quantidade utilizada para caracterizar sistemas ferromagnéticos é a chamada magnetiza¸cão que cor-responde à soma ~ M = N X i h~Sii (2.35)

de todos os N momentos magnéticos da rede. De modo análogo, para sistemas antiferro-magnéticos, define-se a magnetiza¸cão alternada como

~ Ma= N X i (−1)ih~Sii, (2.36)

que leva em considera¸cão a estrutura de sub-rede do material. Estes valores quantificam o quão ordenado o sistema está, sendo seu valor máximo quando todos os spins estiverem paralelos (antiparalelos).

A figura 2.3 mostra uma medida experimental da magnetiza¸c˜ao de um material ferro-magn´etico (N´ıquel). Abaixo de uma temperatura cr´ıtica TC, chamada de temperatura

de Curie, o material está em uma fase ordenada, isto é, grande parte de seus momentos magnéticos apontam em uma dire¸cão espec´ıfica. Acima de TC, não há mais ordem

mag-nética e dizemos que o sistema se encontra em uma fase paramagnética. A magnetiza¸cão perto do ponto cr´ıtico é descrita por uma lei de potência de expoente cr´ıtico 1/2 (ver apêndice A). Cada material possui um valor espec´ıfico de TC. A temperatura cr´ıtica para

sistemas antiferromagnéticos é a temperatura de Néel TN. A tabela 2.1 mostra alguns

valores de temperatura cr´ıtica para materiais ferromagnéticos e antiferromagnéticos. Na teoria de Landau [21], que descreve transi¸cões de fase clássicas, a magnetiza¸cão é o parâmetro de ordem do sistema. Como o parâmetro de ordem se aproxima de zero continuamente à medida que a temperatura aumenta, dizemos que essa é uma transi¸cão de

(25)

Figura 2.3: Magnetiza¸cão normalizada pela magnetiza¸cão máxima, em fun¸cão da temperatura normalizada pela temperatura de Curie [18]. A curva separa a fase ordenada da fase desordenada. A curva separa a fase ordenada da fase desordenada. Próxima da magnetiza¸cão total e próxima da magnetiza¸cão nula a curva segue um decaimento exponencial e decaimento de lei de potência respectivamente.

segunda ordem. Landau foi o primeiro a perceber que algumas transi¸cões de fases como, por exemplo, a transi¸cão entre as fases paramagnética e ferromagnética estão relacionadas com uma mudan¸ca de simetria do sistema. Na fase paramagnética, que é desordenada, os spins apontam para dire¸cões aleatórias, de modo que se giramos o sistema como um todo de um ângulo qualquer em rela¸cão a uma dada dire¸cão, ele ainda parecerá o mesmo, isto é, completamente desordenado e aleatório. Dizemos então que existe simetria de rota¸cão dos spins. Porém, para a fase magneticamente ordenada, existe uma dire¸cão preferencial determinada pelo alinhamento dos spins e, assim, o sistema é invariante por rota¸cões apenas ao longo dessa dire¸cão. Nesse caso, como o sistema descrito pelo hamiltoniano (2.24) apresenta uma simetria maior que o estado fundamental, temos a chamada quebra espontânea de simetria. Sempre que há uma quebra espontânea de simetria existe o aparecimento dos modos de Nambu-Goldstone, que são excita¸cões cuja a dispersão ω(k) vai a zero quando o vetor de onda k tende a zero. Fisicamente, isto significa que o custo de

Tabela 2.1: Temperatura cr´ıtica de alguns elementos. O primeiro grupo são materiais ferromag-néticos caracterizados pela temperatura de Curie TC e o segundo grupo são antiferromagnetos,

caracterizados pela temperatura de N´eel TN. Adaptado da Ref. [20].

Material Temperatura cr´ıtica (K)

Cobalto 1388 Ferro 1043 N´ıquel 627 Gadol´ınio 292 Manganˆes 100 Cromo 308

(26)

energia necessário para gerar estas excita¸cões é quase nulo e que o comprimento da onda associada à excita¸cão é da ordem do tamanho do sistema. Dois exemplos de modos de Goldstone em f´ısica do estado sólido são os fônons, que ocorrem pela quebra de simetria de transla¸cão cont´ınua da fase l´ıquida para uma simetria de transla¸cão discreta da fase sólida, e as ondas de spins nas fases magnéticas que surgem da quebra da simetria de rota¸cão dos spins. Outras propriedades são emergentes quando há quebra espontânea de simetria, como a rigidez do sistema e a velocidade de dispersão dos modos. Para mais detalhes veja, por exemplo, a referência [22].

Outra medida que caracteriza os sistemas magnéticos é a susceptibilidade magnética χ definida pela rela¸cão

~

M = χ ~H. (2.37)

Esta grandeza quantifica em um valor a varia¸cão da magnetiza¸cão ~M de um dado mate-rial devido a um campo magnético externo ~H, já que os momentos magnéticos individuais tendem a se alinhar com o campo externo dependendo de sua intensidade. Materiais fer-romagnéticos e antiferromagnéticos podem ser diferenciados medindo-se sua susceptibili-dade magnética na fase paramagnética (desordenada), como esquematicamente ilustrado na Fig. 2.4 [23]. A susceptibilidade é uma quantidade adimensional que caracteriza cada material. Em alguns casos, onde a magnetiza¸cão em uma certa dire¸cão depende da com-ponente do campo magnético externo em outra dire¸cão, a susceptibilidade é dada por um tensor de ordem 2. A tabela 2.2 mostra alguns valores de χ para um conjunto de elementos.

Figura 2.4: Inverso da susceptibilidade magnética de três tipos de materiais [18]. Em sistemas ferrimagnéticos, os spins primeiros-vizinhos, mas a magnetiza¸cão de uma subrede é diferente da outra.

(27)

Tabela 2.2: Susceptibilidade magn´etica de alguns materiais em torno da temperatura ambiente. Adaptado das Refs. [23] e [24].

Material Susceptibilidade magn´etica (cm3/mol)

Cromo +1.67 × 10−4 Manganˆes +5.11 × 10−4 Gadol´ınio +1.85 × 10−1 H´elio −2.02 × 10−6 Cobre −5.46 × 10−6 Prata −19.5 × 10−6

2.1.3 Transi¸

c˜

oes de fase quˆ

anticas

Uma transi¸cão de fase clássica pode ser observada em um material antiferromagnético quando o sistema passa pela temperatura de Néel TN. Se a temperatura for maior que TN

não existirá magnetiza¸cão alternada no sistema, caso contrário, irá aparecer um ordena-mento espontâneo dos momentos magnéticos. Neste caso, a temperatura é o parâmetro de controle que leva o sistema de uma fase para outra. Para o caso T = 0, podemos utilizar como parâmetro de controle a pressão aplicada ao sistema, dopagem ou o campo magnético aplicado. Neste caso, flutua¸cões quânticas podem destruir a ordem do sistema caracterizando, assim, um transi¸cão de fase quântica. A Fig. 2.5 mostra qualitativamente um diagrama de fase para um sistema tridimensional (3D) onde o valor cr´ıtico rc do

parâmetro de ordem r separa a região ordenada da região desordenada quanticamente. Podemos ver uma região de desordem térmica acima da temperatura de Néel, que está representada por um linha sólida. É poss´ıvel definir uma região de criticalidade quântica

Figura 2.5: Representa¸cão esquemática de um diagrama de fases em torno do ponto cr´ıtico quântico rc para um sistema 3D [1]. O eixo vertical representa a temperatura e o eixo

hori-zontal o parâmetro de ordem. Variando-se a temperatura temos duas regiões, uma ordenada e outra termicamente desordenada. À temperatura zero existe um ponto de transi¸cão rc que

separa a região ordenada da região desordenada. Efeitos da criticalidade quântica podem afetar quantidades f´ısicas a temperatura finita.

(28)

a uma temperatura finita situada exatamente acima do ponto cr´ıtico quântico (QCP), onde os efeitos quânticos provenientes da competi¸cão entre os estados fundamentais po-dem provocar altera¸cões nas propriedades macroscópicas do sistema. Uma discussão mais detalhada sobre esse assunto pode ser encontrada nas referências [1, 25, 26].

2.2 Fundamentos em mecˆ

anica quˆ

antica

Uma breve introdu¸cão dos conceitos de emaranhamento, operador densidade e entropia de emaranhamento será desenvolvida nessa se¸cão que é fortemente baseada nas Refs. [27] e [28].

2.2.1 Emaranhamento

Vamos considerar um sistema composto por dois subsistemas A e B cujos espa¸cos de Hilbert correspondentes s˜ao HA e HB. Sejam {|ϕAi i} e {|ϕBi i} respectivamente as bases

associadas aos subespa¸cos HA e HB. O espa¸co de Hilbert do sistema completo ´e dado

pelo produto tensorial dos dois subespa¸cos

HAB = HA⊗ HB. (2.38)

De forma geral, um estado arbitr´ario do sistema completo pode ser escrito como |ψABi = X m,n Am,n|ϕAmi|ϕ B ni. (2.39)

A dimensão do espa¸co de Hilbert HAB será o produto das dimensões dos dois subespa¸cos

e os elementos da matriz A são coeficientes complexos que devem satisfazer a condi¸cão de normaliza¸cão

X

n,m

|An,m|2 = 1. (2.40)

Podemos ainda simplificar (2.39) usando a decomposi¸c˜ao do valor singular [29]

A = UDV∗, (2.41)

onde U é uma matriz quadrada unitária, V é uma matriz retangular que possui linhas ortonormais e D é uma matriz quadrada diagonal que possui as dimensões do menor subespa¸co. Escrevemos então

|ψABi = X n,m,k UmnDnnVnk∗ |ϕ A mi|ϕ B ki. (2.42)

(29)

Esta ´e a chamada decomposi¸c˜ao de Schmidt, sendo {|φni} a base ortonormal de Schmidt

e λn os coeficientes de Schmidt. A soma ser´a limitada pela dimens˜ao do subespa¸co menor.

Sistema de dois spins-1/2

Para ilustrar os conceitos acima, vamos considerar um sistema de dois spins-1/2 onde podemos representar um vetor arbitr´ario do espa¸co HAB como

|ψABi = α| ↑↑i + β| ↑↓i + γ| ↓↑i + δ| ↓↓i, (2.44)

onde subentende-se que o primeiro spin se refere ao spin do subespa¸co A e o segundo spin ao subespa¸co B. Como o estado deve ser normalizado, impomos que α2_{+ β}2_{+ γ}2_{+ δ}2 _{= 1.}

Observe que a equa¸cão (2.44) já está na forma diagonal de Schmidt (2.43). Considerando, em particular, que os subespa¸cos A e B são independentes, podemos escrever os estados referentes a cada subsistema como

|ψAi = a1| ↑iA+ a2| ↓iA,

|ψBi = b1| ↑iB+ b2| ↓iB,

(2.45)

de modo que o estado composto ser´a descrito pelo produto direto

|ψABi = |ψAi ⊗ |ψBi (2.46)

= a1b1| ↑↑i + a1b2| ↑↓i + a2b1| ↓↑i + a2b2| ↓↓i. (2.47)

Comparando-se as Eqs. (2.44) e (2.47), encontramos a condi¸c˜ao que caracteriza um estado do tipo produto

αδ = βγ. (2.48)

Vejamos dois exemplos para diferenciar os estados produto daqueles que n˜ao podem ser escritos como em (2.47): • Estado produto |ψABi = 1 √ 2( | ↑i + | ↓i ) ⊗ 1 √ 2( | ↑i + | ↓i ) = 1

2( | ↑↑i + | ↑↓i + | ↓↑i + | ↓↓i ) ,

(30)

onde αδ = βγ = 1₄. • Estado singleto |ψABi = 1 √ 2(| ↑↓i − | ↓↑i) , (2.50) onde αδ = 0 e βγ = −1₂.

Os estados que não podem ser decompostos como um produto de outros estados são estados emaranhados. Essa é uma propriedade quântica que não tem análogo clássico e é a base para a teoria de informa¸cão quântica. Deve-se mencionar que a informa¸cão sobre o emaranhamento entre os estados está codificado nos valores dos coeficientes de Schmidt λn.

Uma propriedade importante que diferencia os estados produto dos estados emaranha-dos segue da defini¸cão da fun¸cão de correla¸cão

C(A,B)=< AB > − < A >< B > . (2.51)

Aqui, os observ´aveis A e B atuam apenas em seus respectivos subespa¸cos, por exemplo, para o caso de dois spins S = 1/2 descrito acima, temos que

A| ↑iA= a↑| ↑iA , A| ↓iA= a↓| ↓iA, (2.52)

B| ↑iB = b↑| ↑iB , B| ↓iB = b↓| ↓iB. (2.53)

A opera¸cão < >= hψAB| |ψABi é o valor esperado de um observável em rela¸cão ao

sistema completo. Se a correla¸c˜ao for igual a zero, significa que as probabilidades de obter um resultado no subespa¸co A s˜ao independentes das probabilidades para o subespa¸co B. Usando (2.44) para calcular (2.51), obtemos

< A >= (α2+ β2) a↑ + (γ2+ δ2) a↓ < B >= (α2+ γ2) b↑+ (β2+ δ2) b↓. (2.54) Dessa forma, < A >< B >=(α2 + β2)(α2+ γ2) b↑a↑+ (α2 + β2)(β2+ δ2) b↓a↑ + (γ2+ δ2)(α2+ γ2) b↑a↓+ (γ2+ δ2)(β2+ δ2) b↓a↓, (2.55) < AB >= α2 b↑a↑+ β2 b↓a↑+ γ2 b↑a↓+ δ2 b↓a↓. (2.56)

(31)

j´a que

C(A,B) =(α2+ β2)(α2+ γ2) − α2 b↑a↑++(α2+ β2)(β2+ δ2) − β2 b↓a↑ (2.57)

+(γ2+ δ2)(α2+ γ2) − γ2 b↑a↓+(γ2+ δ2)(β2+ δ2) − δ2 b↓a↓ = 0.

A condi¸c˜ao para o primeiro termo entre colchetes (e semelhante para os demais) ´e

α2(α2+ β2+ γ2− 1) + β2_γ2 _{= 0.} _(2.58)

Essa condi¸cão não é geralmente satisfeita mas, para o caso de um estado produto, a correla¸cão será nula devido à Eq. (2.48) além da condi¸cão de normaliza¸cão dos coeficientes. Portanto, estados produto, que são estados separáveis, não apresentam correla¸cão entre si.

2.2.2 Operador densidade e entropia de Von Neumann

Um dos postulados da mecânica quântica nos diz que para um estado qualquer do sistema existirá um único operador densidade que o caracteriza [30]. No caso mais geral, um sistema quântico será preparado como uma mistura estat´ıstica de vários estados |ψii,

cada um destes possuindo uma certa probabilidade clássica pi associada à sua ocorrência.

Neste caso, o operador densidade ´e definido como [31]

ρ =X

i

pi|ψiihψi|. (2.59)

Por exemplo, um feixe de elétrons onde metade das part´ıculas possuem a proje¸cão de seu spin na dire¸cão para cima e metade na dire¸cão para baixo é descrito pelo operador densidade

ρ = 1

2| ↑ih↑ | + 1

2| ↓ih↓ |. (2.60)

Como a soma das probabilidades deve ser igual `a unidade, identificamos a primeira pro-priedade do operador densidade,

T r(ρ) = 1. (2.61)

Considerando os autoestados do operador ρ para o c´alculo do tra¸co, temos que X

i

wi = 1, (2.62)

onde wi s˜ao os autovalores de ρ. Caso trabalhemos com um estado puro, ou seja, sem

mistura estat´ıstica de diferentes estados, ρ ser´a exatamente o projetor para esse estado, isto ´e,

(32)

Neste caso, as probabilidades s˜ao todas nulas exceto para o estado |ψi que possui 100% de probabilidade de ocorrer.

Sendo ρ um operador hermitiano, podemos usar sua representa¸c˜ao espectral

ρ =X

i

wi|aiihai|. (2.64)

Nota-se que ρ ser´a caracterizado por autovalores wi ≥ 0 e por uma base ortonormal {|aii}

que o diagonaliza. Novamente, ρ descreverá um estado puro se todos seus autovalores forem zero, com exce¸cão de um autovalor que será igual a 1.

O valor esperado de qualquer observ´avel O pode ser calculado em termos de ρ, < O > =X i wihψi|O|ψii = X i wi X a X b

ha|ψiihψi|bihb|O|ai (2.65)

=X a ha| X i wi|ψihψ| ! O|ai = T r (ρ O) . (2.66)

Existe uma medida que pode determinar o grau de incerteza de um estado,

S(ρ) = −T r(ρ ln ρ), (2.67)

que, calculada na base dos autoestados de ρ, assume a forma

S(ρ) = −X

n

wnln wn. (2.68)

A partir de (2.68), verifica-se que para um estado puro S(ρ) = 0 pois wn = δni, isto

é, a quantidade (2.67) assume seu valor m´ınimo. Por outro lado, para estados mistos haverá a contribui¸cão não nula de cada um dos autovalores de ρ e, assim, S > 0. A medida definida pela equa¸cão (2.67) é a chamada entropia de Von Neumann que pode também ser interpretada como uma generaliza¸cão para sistemas quânticos da entropia de Shannon, dada a forma da Eq. (2.68). Nesta interpreta¸cão, S(ρ) = 0 representa nossa informa¸cão máxima sobre o estado do sistema.

2.2.3 Operador densidade reduzido e entropia de

emaranha-mento

As defini¸cões do operador densidade e da entropia de Von Neumann podem ser es-tendidas para sistemas bipartidos. Um fato interessante é que se um sistema composto é descrito por um estado puro, geralmente seus subsistemas serão descritos por estados mistos, exceto se o estado composto é um estado produto como o estado (2.38) [31]. O operador densidade de um sistema composto formado por dois subsistemas A e B é dado

(33)

por

ρAB = |ψABihψAB| (2.69)

e, se usarmos a representa¸c˜ao da base de Schmidt (2.43), temos que ρAB = X n X m λnλ∗m|φ A ni|φ B nihφ A m|hφ B m|. (2.70)

O operador densidade reduzido pode ser encontrado quando eliminamos os graus de liberdade de uma das partes atrav´es do c´alculo do tra¸co parcial, desta forma,

ρA = T rB(ρ) = X m hφB m|ρ|φ B mi = X n |λn|2|φAnihφ A n|. (2.71)

Se realizarmos o procedimento an´alogo para determinar ρB, verificaremos que os

autova-lores de ρAs˜ao iguais aos autovalores de ρB. Observe que o espectro de autovalores de ρA

contém informa¸cões sobre o emaranhamento dos subsistemas, pois são dados pelo módulo quadrado dos coeficientes de Schmidt λn. Valores esperados de observáveis podem ser

A entropia de emaranhamento Sα ´e definida estendendo o conceito da entropia de

Von Neumann (2.67) para sistemas bipartidos. Utilizando o operador densidade reduzido (2.71), definimos Sα como

Sα = −T r(ραln ρα) = −

X

n

|λn|2ln |λn|2 , α = A, B, (2.73)

onde o tra¸co foi reescrito como uma soma usando os autovalores de ρα. A entropia de

emaranhamento condensa a informa¸cão da correla¸cão em um simples número, ou seja, em uma única medida. Já que SA = SB, podemos desconsiderar o ´ındice α e considerar a

entropia dos dois subsistemas como uma ´unica quantidade.

Ainda ´e poss´ıvel generalizar o conceito de entropia de emaranhamento e definir a chamada entropia de emaranhamento de R´enyi de ordem q

Sq= 1 1 − q ln T r(ρ q α) = 1 1 − q ln X i |λi|2q ! , (2.74)

(34)

proprie-dades q ≥ 0 e q 6= 1. `A medida que q se aproxima de zero, a entropia de R´enyi quantifica as probabilidades mais igualmente, ao passo que para valores altos de q, as probabilidades recorrentes contribuem mais efetivamente. A entropia de Von Neumann pode ser obtida da Eq. (2.74) considerando o limite q → 1. Em princ´ıpio, ao tomarmos o limite

lim q→1Sq = 1 1 − 1ln X i |λi|2 ! (2.75)

obtemos um valor indeterminado, já que o termo entre parenteses é o tra¸co de ρα, que é

igual a 1. A indetermina¸c˜ao pode ser resolvida facilmente a partir da regra de L’Hopital. Usando que _∂q∂aq _{= a}q _{ln a, podemos reescrever (2.75) como}

lim q→1Sq = − limq→1 1 P i |λi|2q X i |λi|2q ln |λi|2 = − X i |λi|2 ln |λi|2 (2.76) ou seja, lim q→1Sq = S1 = −T r(ραln ρα). (2.77)

2.2.4 Comportamento da entropia de emaranhamento

A entropia de emaranhamento tem comportamento bem definido e espec´ıfico para diferentes sistemas f´ısicos. Na área de f´ısica da matéria condensada, um conjunto de sistemas foi estudado através de simula¸cões computacionais e de métodos anal´ıticos. Uma revisão mais detalhada sobre a entropia de emaranhamento em matéria condensada pode ser encontrada nas referencias [3] e [7] . A seguir, descreveremos propriedades da entropia de emaranhamento para dois tipos de sistemas que serão importantes para o entendimento deste trabalho.

A primeira classe de sistemas s˜ao aqueles que apresentam um gap de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Esses sistemas satisfazem a chamada lei de ´area

Sq = aqLd−1, (2.78)

onde aq é um coeficiente, L representa o comprimento do subsistema e d é o número

de dimensões espaciais do sistema. A equa¸cão (2.78) possui uma interpreta¸cão f´ısica simples: as correla¸cões entre os subsistemas são proporcionais às dimensões da interface entre as duas regiões, como ilustrado na Fig. 2.6. Portanto, à medida que o sistema cresce, a entropia cresce de forma linear com a extensão da superf´ıcie que divide os dois subsistemas.

A segunda classe de sistemas s˜ao aqueles que n˜ao apresentam um gap de energia entre o seu primeiro estado excitado e o estado fundamental. Em particular, para um sistema

(35)

Figura 2.6: Fronteira entre o subsistema A e seu complementar B. Os subsistemas trocam correla¸c˜oes localmente pela interface representada pela cor branca.

antiferromagnético na fase ordenada (fase de Néel), foi mostrado analiticamente [6] que a entropia de emaranhamento apresenta uma corre¸cão logar´ıtmica à lei de área,

Sq = aqLd−1+ 1 2NGln ρ_s v L d−1_{+ γ}ord q , (2.79)

dado que a fronteira entre as duas parti¸cões seja suave e sem quinas. Estes sistemas sem gap apresentam excita¸cões de baixa energia que, por exemplo, em sistemas ferromagnéticos são as ondas de spin. As correla¸cões entre os subsistemas são transportadas por essas excita¸cões e, portanto, também contribuem para a entropia. Aqui, um aspecto interessante é que o pré-fator do termo logar´ıtmico em (2.79) é exatamente metade do número dos modos de Goldstone NG associados à quebra espontânea de simetria, como discutido

na se¸cão 2.1.2. A última contribui¸cão em (2.79) é um termo constante que depende da geometria do sistema como, por exemplo, a razão entre o tamanho do sistema e do subsistema.

(36)

Cap´ıtulo

3

Antiferromagneto dimerizado e a fase s´

olido

de singletos

Neste cap´ıtulo, iremos introduzir as propriedades de um antiferromagneto dimerizado e mostrar que em uma certa região do espa¸co de parâmetros seu estado fundamental é dado por um sólido de singletos. Após deduzir o hamiltoniano que descreve o sistema, utilizaremos o formalismo dos operadores de liga¸cão para efetuar os cálculos de algumas propriedades da fase de sólido de singletos.

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Os sólidos antiferromagnéticos em geral apresentam uma estrutura cristalina bem de-finida, muitas vezes complexas quando em três dimensões. Dependendo do material, esta

Figura 3.1: Estrutura cristalina do composto antiferromagn´etico LaCuO4. Na figura, os

´

atomos de cobre possuem momento magn´etico localizado e est˜ao alinhados sobre um plano, que pode ser aproximado como uma rede quadrada. Figura adaptada de [32].

(37)

Figura 3.2: Energia de gap das excita¸c˜oes elementares do T lCuCl3, obtidas da espectroscopia

de espalhamento inelástico de nêutrons [32], que mostram a existência de duas fases distintas, uma paramagnética quântica e uma fase com ordem magnética de longo alcance (fase de Néel).

estrutura pode formar planos de alinhamento entre os ´atomos como, por exemplo, os ´

atomos de cobre do antiferromagneto LaCuO4, mostrado na figura 3.1. Nesses casos, a

intera¸cão entre os momentos magnéticos no mesmo plano são mais intensas que as intera-¸cões entre momentos magnéticos localizados em planos diferentes, de modo que o material se comporta efetivamente como um sistema bidimensional.

No composto antiferromagn´etico T lCuCl3, esse alinhamento acontece de tal forma que

os momentos magnéticos localizados estão alinhados em cadeias unidimensionais acopladas [33]. A partir de um experimento de espectroscopia de espalhamento inelástico de nêutrons neste composto [2], foi detectada a temperatura finita de T = 1.85K a emergência de um estado quanticamente desordenado, uma fase paramagnética quântica. Mapeando a evolu¸cão das excita¸cões elementares do material, mostradas na figura 3.2, foi poss´ıvel verificar através da indu¸cão de pressão sobre a amostra, que existe uma transi¸cão entre o estado de Néel e um estado chamado de sólido de singletos, ou no inglês valence bond solid(VBS). Nas próximas se¸cões, iremos investigar a descri¸cão desta fase.

3.2 Antiferromagneto na rede quadrada

Neste trabalho, estamos interessados em descrever um material antiferromagnético bidimensional através do modelo de Heisenberg (2.24). Vamos considerar momentos mag-néticos S = 1/2 localizados nos s´ıtios de uma rede quadrada que interagem apenas com seus primeiro-vizinhos. O hamiltoniano do sistema é dado por

H = X

<ij>

(38)

Na equa¸cão (3.1), a intera¸cão entre os spins primeiros-vizinhos são denominadas J e J0, ambas constantes e positivas e distribu´ıdas pela rede como mostrado na Fig. 3.3. Os pares de spins que estão ligados pelo acoplamento J0 recebem o nome especial de d´ımeros. Dependendo da escolha das sub-redes, os d´ımeros poderão se alinhar de diferentes manei-ras que denominamos dimeriza¸cões. A Fig. 3.3 mostra as duas configura¸cões dos d´ımeros que iremos abordar neste trabalho, a dimeriza¸cão alternada e a dimeriza¸cão colunar. O valor das constantes de acoplamento J e J0 dependem diretamente das integrais de troca (2.18) e de overlap (2.16). Entretando, em nosso estudo, vamos considerar J e J0 como parâmetros e vamos nos concentrar na região J0 > J .

No limite J0 = J , o modelo (3.1) corresponde ao modelo

H = J X

<ij>

~

Si· ~Sj, (3.2)

que descreve sistemas antiferromagn´eticos cujo estado fundamental corresponde ao estado de N´eel ilustrado na Fig. 2.2b.

Agora, para o regime onde J0 >> J , a intera¸cão entre o par de spins que compõe o d´ımero se torna tão forte que induz o emaranhamento entre esses dois spins que, após atingirem o estado de equil´ıbrio, estarão em um estado de singleto. Desta forma, o estado fundamental do sistema será um sólido de singletos (VBS) e não apresentará ordem magnética de longo alcance, ou seja, será um paramagneto quântico. Nessa fase não há quebra espontânea de simetria, pois a simetria de rota¸cão de spin do hamiltoniano é preservada pelo estado fundamental. Isto quer dizer que o valor esperado do operador de spin ~Si é nulo. Esta é uma indica¸cão de que não há uma dire¸cão de orienta¸cão preferencial

dos spins como acontece nas fases ordenadas (veja Fig. 2.2).

(a) (b)

Figura 3.3: Representa¸cão esquemática da a) dimeriza¸cão alternada , b) dimeriza¸cão colunar em uma rede cristalina quadrada. As linhas finas e grossas correspondem, respectivamente, aos acoplamentos J e J0. Os pontos cinza escuro e azuis indicam os spins 1 e 2 das sub-redes adjacentes definidas pelos d´ımeros.

(39)

A fase VBS possui propriedades bem diferentes da fase de Néel, de modo que deve existir um valor cr´ıtico da razão J0/J onde a fase de Néel é destru´ıda e há uma tran-si¸cão de fase quântica para a fase VBS. A figura 3.4 mostra este comportamento que é qualitativamente igual àquele observado para o T lCuCl3 discutido na se¸cão 3.1 [2].

Outros tipos de dimeriza¸cões, que não serão abordadas neste trabalho, também podem ocorrer [14, 16]. Isso acontece pois os d´ımeros podem se organizar de diversas formas que dependem exclusivamente das caracter´ısticas da estrutura cristalina do material [34].

Cada uma das dimeriza¸cões poss´ıveis pode apresentar propriedades f´ısicas diferentes. Wenzel e colaboradores mostraram através de simula¸cões de Monte Carlo quântico [14] do modelo Heisenberg (3.1) com duas intera¸cões J e J0 para sistemas com milhares de s´ıtios que a dimeriza¸cão alternada apresenta um comportamento cr´ıtico distinto das demais. Eles realizaram o cálculo para várias razões do acoplamento α = J0/J e detectaram a transi¸cão de fase quântica VBS-Néel para o valor αc= 1.9096 para a dimeriza¸cão colunar

e αc = 2.956 para a dimeriza¸c˜ao alternada. Perto dos respectivos valores cr´ıtico de α,

foram obtidos os expoentes cr´ıticos ν. Para a dimeriza¸cão alternada, foi encontrado que νa = 0.689(5), ao passo que para a dimeriza¸cão do tipo escada, que é equivalente à

dimeriza¸cão colunar, e para a dimeriza¸cão dupla camada o resultado foi de ν = 0.709(6). Esses resultados indicam uma diferen¸ca da classe de universalidade (veja apêndice A) entre estas duas dimeriza¸cões. Com base nessa diferen¸ca, decidimos nesse trabalho analisar as dimeriza¸cões alternada e colunar.

Figura 3.4: Representa¸cão esquemática do diagrama de fases do modelo de Heisenberg (3.3) com dimeriza¸cão colunar, onde se observa a transi¸cão entre o estado de Néel e o sólido de singletos (VBS). Variando-se um certo parâmetro de controle g = J0/J do sistema, a intera¸cão J0 entre os pares de spins, representada pelas linhas cont´ınuas pretas, aumenta. A partir de um valor cr´ıtico gc, as intera¸cões ficam tão fortes que há a transi¸cão para o estado VBS, onde o

(40)

3.3 O modelo de Heisenberg para a fase VBS

O hamiltoniano de Heisenberg que modela o antiferromagneto dimerizado na fase VBS, na regi˜ao J0 > J , tem a seguinte forma:

H = J0X i∈D ~ S_iα· ~S_iβ + JX i∈D X τ ~ S_iα· ~S_i+τβ . (3.3)

Na equa¸cão (3.3), D representa o conjunto de todos os d´ımeros e τ representa cada um dos primeiros vizinhos do d´ımero i. Neste caso, o ´ındice i indica o s´ıtio da rede subjacente definida pelos d´ımeros, que apresenta dois spins por célula unitária. Vamos utilizar os superescritos α e β para diferenciar esses spins, onde esses superescritos poderão assumir os valores 1 e 2 referentes às duas sub-redes do antiferromagneto. As Figs. 3.5 e 3.6 mostram as redes subjacentes respectivamente para as dimeriza¸cões colunar e alternada e os correspondentes vetores τ em termos do parâmetro de rede da rede quadrada ori-ginal. Podemos identificar na figura as coordenadas dos d´ımeros primeiros vizinhos na dimeriza¸cão colunar, que são

~

τx = 2aˆx,

~

τy = aˆy. (3.4)

Figura 3.5: Rede (retangular) subjacente associada à dimeriza¸cão colunar. As liga¸cões mar-cadas com um ponto vermelho representam as intera¸cões J e J0 que devem ser calculadas para cada d´ımero. Os c´ırculos pretos e cinzas correspondem, respectivamente, aos spins ~S1 e ~S2

(41)

Figura 3.6: Rede (retangular) subjacente associada à dimeriza¸cão alternada. As liga¸cões marcadas com um ponto vermelho representam as intera¸cões J e J0 que devem ser calculadas para cada d´ımero. Os c´ırculos pretos e cinzas correspondem, respectivamente, aos spins ~S1 e ~

S2.

Por outro lado, para a dimeriza¸c˜ao alternada temos ~

τ1 = a(−ˆx + ˆy),

~

τ2 = a(ˆx + ˆy). (3.5)

Definindo ni como um n´umero inteiro positivo, um vetor arbitr´ario ~R que descreve a

posi¸c˜ao de um d´ımero nas redes subjacentes pode ser escrito como ~

Ri = n1~τx+ n2~τy = n1~τ1+ n2~τ2. (3.6)

Os vetores primitivos da rede rec´ıproca podem ser obtidos utilizando as f´ormulas [20]

~g1 = 2π ~τ2× ~τ3 ~ τ1· (~τ2 × ~τ2) , ~g2 = 2π ~τ3× ~τ1 ~ τ1· (~τ2× ~τ3) . (3.7)

Precisaremos de um vetor ~τ3 que ´e ortogonal a ~τ1 e ~τ2. Podemos definir ~τ3 = b ˆz, por´em

como nosso sistema é bidimensional, após realizarmos os cálculos devemos fazer b = 0. A tabela 3.1 mostra o resultado desse cálculo. A partir destes vetores primitivos, mostrados na tabela 3.1, podemos obter a primeira zona de Brillouin, que está mostrada na figura 3.7. Sua área será útil em nossos cálculos e principalmente nos cálculos numéricos discutidos abaixo. Para a dimeriza¸cão colunar, a primeira zona de Brillouin é retangular e sua área é igual a 2π2. Por outro lado, para a dimeriza¸cão alternada, a primeira zona de Brillouin é um quadrado de lado l =√2π e, assim, sua área também é igual a 2π2.

(42)

Figura 3.7: A primeira zona de Brillouin das dimeriza¸cões, que é retangular para a dimeriza¸cão colunar (a), limitada pelas retas ky = ±π e kx= ±π₂, e tem forma quadrada para a dimeriza¸cão

alternada (b), que possui os valores extremos ky = ±π e kx = ±π. A partir destes extremos

podemos calcular os pontos Γ, Y , M , X respectivos `as redes.

Tabela 3.1: Vetores primitivos do espa¸co rec´ıproco, que tamb´em d˜ao origem a uma rede retangular para o caso colunar e uma rede quadrada para o caso alternado.

Colunar Alternada

~g1 = π_axˆ ~g1 = π_a (−ˆx + ˆy)

~g2 = 2π_ayˆ ~g2 = π_a (ˆx + ˆy)

3.4 Descri¸

c˜

ao atrav´

es dos operadores de liga¸

c˜

ao

De modo análogo à teoria de Holstein-Primakoff (veja apêndice B), onde os operadores de spin ~S são mapeados em operadores bosônicos de cria¸cão e aniquila¸cão, podemos definir operadores bosônicos que atuam sobre um vácuo fict´ıcio e criam excita¸cões do tipo singleto e tripleto, estes novos operadores são chamados de operadores de liga¸cão [15]. Na sequência, apresentaremos uma breve descri¸cão desse formalismo.

Para os singletos, que possuem momento angular total S = 0, escrevemos

|si = s†|0i, (3.8)

e para os tripletos que possuem momento angular total S = 1

|αi = t†_α|0i , α = {x, y, z}, (3.9) onde |s i = √1 2(| ↑↓i − | ↓↑i) , (3.10) |txi = − 1 √ 2(| ↑↑i − | ↓↓i) , (3.11)

(43)

|tyi = i √ 2(| ↑↑i + | ↓↓i) , (3.12) |tzi = 1 √ 2(| ↑↓i + | ↓↑i) . (3.13)

Calculando os valores esperados do operadores ~Sj com rela¸c˜ao aos estados de singleto

e tripleto apresentados acima, ´e poss´ıvel verificar que

S_jα1,2= ±(s†_jtjα+ sjt†jα∓ i αβγt†_jβtjγ). (3.14)

Aqui, os ´ındices α, β e γ podem representar cada uma das trˆes componentes do operador ~

Sj, αβγ representa o tensor de Levi-Civitta e i representa a unidade imagin´aria. O ´ındice

j representa o j-ésimo d´ımero. Ao fazermos o mapeamento para os operadores de liga¸cão transformamos um sistema de spins 1/2 em um sistema bosônico, onde podemos ter um número arbitrariamente grande de part´ıculas no mesmo estado. Para resolver essa contradi¸cão, impomos o v´ınculo que representa a situa¸cão f´ısica onde em cada s´ıtio exista apenas um tripleto ou um singleto, o que se traduz em

s†_isi+

X

α

t†_iαtiα = 1. (3.15)

Com base nas conex˜oes entre os primeiros vizinhos dos d´ımeros indicados na Fig. 3.5, podemos escrever o Hamiltoniano (3.3) explicitamente para a dimeriza¸c˜ao colunar como

H = J0X i ~ S_i1· ~S_i2+ JX i ~_S1 i · ~Si+τ1 y+ ~S 2 i · ~Si+τ2 y+ ~S 2 i · ~Si+τ1 x , (3.16)

onde somamos sobre todos os i-ésimos s´ıtios da rede subjacente. Portanto, substituindo (3.14) no hamiltoniano (3.16) e coletando os termos em fun¸cão do número de operadores de tripleto, obtemos H = H0+ H2+ H3 + H4, (3.17) onde H0 = − 3 4J 0X i s†_isi, (3.18) H2 = J0 4 X i t†_iαtiα+ J 4 X i X τ g2(τ ) n

s†_i s†_i+τ tiα ti+τ α+ sis † i+τ t † iαti+τ α+ h.c. o , (3.19) H3 = I 4 J αβγ X i n t†_i+τ xβti+τxγ(s † i tiα+ t † iα si) − (i ↔ i + τx) o , (3.20) H4 = − J 4αβγ αβ0γ0 X i X τ g4(τ ) n t†_iβ tiγt † i+τ β0 t_{i+τ γ}0 o . (3.21)

(44)

Para simplificarmos os c´alculos, introduzimos as fun¸c˜oes

g2(τ ) = 2δτ,τy − δτ,τx, (3.22)

g4(τ ) = 2δτ,τy + δτ,τx, (3.23)

e denotamos a unidade imagin´aria como I.

No estado fundamental da fase paramagnética, os d´ımeros se encontram no estado de menor energia, ou seja, estão condensados no estado de singleto. Eventualmente, caso seja adicionada energia extra ao sistema, os singletos poderão ser excitados para um estado de tripleto. Existe um gap entre estes dois n´ıveis de energia, que depende diretamente da constante de acoplamento J0. As excita¸cões irão dar origem a triplons, que correspondem a estados de tripletos (spin S = 1) que se deslocam de d´ımero em d´ımero da rede similar ao que acontece com as ondas de spin na fase de Néel. Portanto, devemos impor para o nosso hamiltoniano que todos os pares de spin localizados na rede subjacente se condensem no estado de singleto. Dessa maneira, iremos fazer nossa primeira aproxima¸cão, onde os operadores de cria¸cão e aniquila¸cão de singletos se igualam a uma constante si = s

† i →

√

N0. Desse modo, obtemos um hamiltoniano efetivo para os triplons

H = H0+ H2+ H3 + H4, (3.24) onde H0 = − 3 4J 0_N 0 N 2, (3.25) H2 = J0 4 X i t†_iαtiα+ J 4N0 X i X τ g2(τ ) n tiα ti+τ α+ t † iαti+τ α+ h.c. o , (3.26) H3 = I 4 J p N0αβγ X i n t†_i+τ xβti+τxγ(tiα+ t † iα) − (i ↔ i + τx) o , (3.27) H4 = − J 4αβγ αβ0γ0 X i X τ g4(τ ) n t†_iβ tiγt † i+τ β0 t_{i+τ γ}0 o . (3.28)

Usando a transformada de Fourier sobre a primeira zona de Brillouin (BZ), com N0 =

N

2 e sendo ~Ri o vetor posi¸c˜ao do d´ımero i, escrevemos

t†_i = √1 N0 X ~ k ∈ BZ e−i~k· ~Ri _t† ~ kα. (3.29)

(45)

Substituindo (3.29) em (3.24), verifica-se que os termos Hi assumem a forma H0 = − 3 8J 0_N oN, (3.30) H2 = X ~ k A~_kt † ~_kαt~kα+ 1 2 X ~ k B~_k[t † ~_kαt † −~kα+ h.c.], (3.31) H3 = 1 2√N0αβγ X ~ p~k ξ~_k−~_p(t † ~_k−~_p,αt † ~ pβt~kγ + h.c.), (3.32) H4 = 1 2N0αβγαµν X ~ p~k~q γ~_kt†_~_p+~_k,βt_q−~_~† _k,µt~pγt~q,ν, (3.33)

onde os fatores A~_k, B~_k, ξ~_k e γ~_k dependem das propriedades geom´etricas da seguinte forma

Ak = J0 4 + B~k, (3.34) B~_k = J 2 N0 [2 cos(ky) − cos(2kx)], (3.35) ξ~_k = −J sin(2kx), (3.36) γ~_k = J 2[2 cos(ky) − cos(2kx)]. (3.37)

Para a dimeriza¸c˜ao alternada, podemos utilizar um procedimento similar. Entretanto, aqui, o equivalente do Hamiltoniano (3.16) ´e dado por

H = J0X i∈D ~ S_i1· ~S_i2+ JX i∈D ~_S1 i · ~S 2 i+τ1+ ~S 2 i · ~S 1 i+τ2 + ~S 2 i · ~S 1 i+τ2−τ1 . (3.38)

Novamente, impondo a condensa¸c˜ao local dos singletos e escrevendo o hamiltoniano no espa¸co de momentos, obtemos

Ak =

J0

4 + B~k, (3.39)

B~_k = −

J

2 N0[cos(2kx) + cos(kx+ ky) + cos(kx− ky))], (3.40) ξ~_k = −J [sin(2kx) + sin(kx+ ky) + sin(kx− ky))], (3.41)

γ~_k = B~_k. (3.42)