MATEMÁTICA APLICADA MARCELO CARRION

MATEMÁTICA APLICADA

APRESENTAÇÃO

MARCELO CARRION ENGENHEIRO

MATEMÁTICO

ESPECIALISTA MATEMÁTICA – UNICAMP MESTRANDO EM MATEMÁTICA - UNESP

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Conceitos Básicos de Aritmética e Álgebra

2. Geometria Plana 3. Geometria Espacial

4.Função do Primeiro Grau 5. Função do Segundo Grau 6. Função Exponencial

7. Função Logarítmica

AVALIAÇÃO

P1 - PROVA VALOR 7,0

L - LISTAS DE EXERCÍCIOS VALOR 1,0 P2 - PROVA VALOR 2,0 M – MÉDIA E – EXAME MF – MÉDIA FINAL M=P1+L+P2 SE M≥7,0 – ALUNO APROVADO SE M<3,0 – ALUNO REPROVADO SE 3,0≤M <7,0 – EXAME (5,0) 2 M E MF  

OBJETIVOS DO CURSO

PROMOVER NIVELAMENTO PRÉ-REQUISITOS

CONCEITOS BÁSICOS DE

ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

NÚMEROS NATURAIS (N)

N={0,1,2,3,4,5,...}

 Antecessor/sucessor  Divisor

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

Z*=Z-{0}

Neutro Positivos Negativos

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

{ ,a , *}

Q a Z b Z

b

  

São números racionais: Números naturais:

Números inteiros:

Números decimais exatos:

Números decimais periódicos: 0,333; 2,5151... 3 3 1  8 4 2    25 2, 5 10 

FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA

PERIÓDICA

Método Prático: 3 1 0, 333... 9 3 76 0, 7676... 99 341 0, 341341... 999 1, 2525... 1 0, 2525... 25 99 25 124 1 99 99 99 99             Regra Geral: 1, 252525...(1) 10 12, 52525...(2) 100 125, 2525...(3) (3) (1) 100 125, 2525... 1, 2525.... 124 99 124 99 x x x x x x x             

NÚMEROS IRRACIONAIS (I)

Números irracionais são números decimais não periódicos

NÚMEROS REAIS

R

 

Q

I

INTERVALOS REAIS

        a b a a a b b b ]a,b[ ou {xR/a<x<b} [a,b] ou {xR/a≤x≤b} [a,b[ ou {xR/a≤x<b} ]a,b] ou {xR/a<x≤b}  a ]a,+) ou {xR/x>a}  b (−,b] ou {xR/x≤b}

ADIÇÃO EM Z

NÚMEROS POSITIVOS: CRÉDITO NÚMEROS NEGATIVOS: DÉBITO

SALDO CREDOR (+): CRÉDITO > DÉBITO SALDO DEVEDOR(−): CRÉDITO < DÉBITO EXEMPLOS:

−20+(+17)= −3 +52+(−2)=+50 −35+(−5)= −40 +27+(+8)=+35

SUBTRAÇÃO EM Z

ESTORNO: REPARAR LANÇAMENTO INDEVIDO

TIRAR CRÉDITO: SALDO ↓, LOGO TIRAR CRÉDITO=DÉBITO TIRAR DÉBITO: SALDO ↑, LOGO TIRAR DÉBITO=CRÉDITO EXEMPLOS:

+50−(+20)=+50 −20=+30 +23−(−7)=+23+7=+30 −48−(+30)=−48−30=−78 −36−(−6)= −36+6=−30

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Z

+ + = + + − = − − + = − − − = + EXEMPLOS: (+5).(+8)=+40 (+18):(+2)=+9 (+3).(−6)= −18 (+21):(−3)= −7 (−2).(+7)= − 14 (−10):(+5)= −2 (−9).(−8)=+72 (−25):(−5)=+5

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q

DENOMINADORES IGUAIS: MANTER DENOMINADOR E OPERAR COM NUMERADORES

DENOMINADORES DIFERENTES: REDUZIR AS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR EXEMPLOS: 2 1 3 7  7 7 2 1 8 3 5 3  4 12 12  12 3 5 3 8 1 5 5 5 5    

MULTIPLICAÇÃO EM Q

a c ac x b d  bd EXEMPLOS: 2 3 2 3 6 3 5 4 5 4 20 10 x x x    4 7 4 7 4 28 7 5 1 5 1 5 5 x x x x   

DIVISÃO EM Q

a c a d ad x b  d b c  bc a a c _b ad c b d bc d    ou EXEMPLOS: 5 2 5 3 15 5 6  3 6 x 2  12  4 5 5 2 ₆ 5 3 15 5 2 6 3 6 2 12 4 3 x x     

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o estudante B.

a) Qual era o valor da Bolsa?

b) Quantos reais economizou cada um dos

.30

1

1

)

8

5

6

6

5

240

240

x

x

a

x

x

x











1

1

)

.240

48

5

5

1

1

.240

40

6

6

x

b

x













xy y x  5 2  x 2 1  y

2. Se A= , calcule o valor de A sabendo que e , 2 1 _{4 5 1} 10 1 5 2 _{10 10 10} 2 1 2 2 _{20 2} . 5 2 10 10 A  _              

3 1 5 2 1 3 1 4    3. Calcule M= 2 3 1 5 5 4 5 20 2 2 2 _{2 . ` .} 4 1 ₃ 5 _{3 10 3 30 3} 4 4 4 M            

1 1 1 2 14 3 9 3 Y  _  _  _  _     4. Calcule 6 1 1 3 14 3 3 9 9 7 2 14 3 9 7 1 2 . 3 14 9 7 2 42 9 1 2 6 9 3 4 7 18 18 18 Y  _  _   _  _           _{ }               

5. Sendo a = 0,555... + 0,111... e b = 0,2 + 0,04, determine na forma decimal

a

b

0, 2

0, 04

0, 24

0, 24

0, 24

5

1

6

2

0, 555... 0,111...

9

9

9

3

24

6

18

36

100

25

_{0, 36}

2

2

₅₀

₁₀₀

3

3

b

a















_











POTENCIAÇÃO

. . ...

n

a



a a a a

n fatores a a base n expoente EXEMPLOS: 5 4 3 2 2 2.2.2.2.2 32 ( 3) ( 3).( 3).( 3).( 3) 81 2 2 2 2 8 . . 5 5 5 5 125 7 (7.7) 49           _  _{ }  _  _  _{ }                       

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

 

. 1 . 2 3 ( . ) . 4 5 m n m n m n m n n n n n _n n n m m n P a a a P a a a P a b a b a a P b b P a a            _{ }     

POTÊNCIAS COM EXPOENTES

INTEIROS

OBSERVE A TABELA 24 ₂3 ₂2 ₂1 ₂0 ₂-1 ₂-2 ₂-3 ₂-4 1 16 1 8 1 4 1 2 16 8 4 2 1 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉₂ ꞉₂ ꞉2

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Modo de representação de números reais utilizando-se potências de base 10.

Consideramos um número representado em notação científica caso este obedeça o padrão y⋅10n_{, onde y}_{R/ 1≤ y < 10 e n} _Z.

Exemplos:

27000=2,7.104

ORDEM DE GRANDEZA

Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y⋅10n

Segundo passo:

- se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n

-se o valor de y for maior ou igual do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n+1

Exemplos:

A superfície do território brasileiro é aproximadamente: 8547403 Km2_=8,5.106_Km2 _{O.G. é 10}7

A massa de um átomo de hidrogênio é

RADICIAÇÃO

n n a  x x  a n a Raiz Radical a Radicando n Índice x Raiz      3 4 10 125 5 81 3 1024 2    ,pois , pois , pois 3 5 125 4 3  81 10 2 1024 EXEMPLOS:

SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

Utilizar as propriedades dos radicais para

representar uma raiz com o menor radicando possível. Exemplos: 5 2 2 2 2 3 3 3 3 32 2 2 .2 .2 2.2. 2 4 2 180 2 .3 .5 2.3. 5 6. 5 375 3.5 5. 3         

RACIONALIZAÇÃO DE

DENOMINADORES







 







. . . . . . . . . n n m n n m n m n m n n m a a b a b b b b b a a b a b b b b b a b c a b c a b c b c _{b c b c}              _{ }

EXEMPLOS



 





 



3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 1 1 2 2 . 2 2 2 2 2. 3 1 2. 3 1 2 2 3 1 . 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 2 . 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 . 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2. 16 2. 16 16 . 4 2 4 4 _{4 4}                                   

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

. _. . 1 . . 2 3 4 5 n n n n n n n p n m m p m n m _n n m n m P a b a b a a P b b P a a P a a P a a          

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   

 

3 4 2 3 7 3 4 7 6 12 7 11 2 2 1 10 9 1 5 2 3 . 3 .3 9 . 27 . 3 3 .3 .3 3 ) 3 9 1 _{3 . 3 3 .3 3} . 243 3 a          

 

   

 

6 3 3 2 6 3 18 6 12 4 3 7 6 14 8 2 7 6 2 5 . 5 125 . 25 5 .5 5 ) 5 625 5 .5 5 5 . 25 5 . 5 b      _      1. Simplifique

2 3 2 3 1 5 1 5      2. Simplifique 2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15 . 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15 4 4 A                         A B 2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15 . 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15 4 4 B                        

2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15 4 4 4 2. 15 15 1 4 2 A B                

3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 6 3 3 3 4 6 4 2 2 2 3 ₃ 2 ₂ 3 3 3 3 3 3 1 2 ₁ 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 1 3 9 3 12 9 3 3 3 4 3 9 . 3 . . . . 4 _{2 4 4 4 4 3} 2 2 2 2 9 4 ₄ 4 2 2 .3 3 ₃ .3 .3 .3 .3 2 .3 2 .3 2 6 3 2 3 1 2 . 3 M           _{       }  _  _  _  _  _  _  _{ }  _{ }                  _{ }   _{     }     _{ }  _{ }  _{ }                 1 2 1 1 2. 2 2. 6 8. 2. 2. 3 _{3 3} 3          4 6 2 3 2 2 3 444 0 1 3 . ... , ) ( m        _{ }  3. Calcule M

PRODUTOS NOTÁVEIS











 











2 _{2 2} 2 _{2 2} 2 2 3 _{3 2 2 3} 3 _{3 2 2 3} 2. . 2. . . 3. . 3. . 3. . 3. . A B A A B B A B A A B B A B A B A B A B A A B A B B A B A A B A B B                      

FATORAÇÃO

Fatorar significa transformar em fator, isto é, transformar em multiplicação.

2 2 2

2. .

(

)

A



A B



B



A



B

2 2

4.

x



12

x

 

9

(2

x



3)

A

B

2.x

3

2 2

(

).(

)

A



B



A



B

A



B

A

B

2

4

2

2

2

25

(5.

. ).(5.

. )

9

3

3

x



y



x



y

x



y

5.x

2

_.

3

y

DIFERENÇA DE QUADRADOS

3 3 2 2

(

).(

.

)

A



B



A



B

A



A B



B

A

B

3 2

27

(

3).(

3.

9)

y





y



y



y



y

₃

DIFERENÇA DE CUBOS

3 3 2 2

(

).(

.

)

A



B



A



B

A



A B



B

A

B

3 3 2 2

125

(

5 ).(

5. .

25

)

x



y



x



y

x



x y



y

x

5.y

SOMA DE CUBOS

3 5 2 7 2 5 2

6.

x y



15. .

x y



3. .

x y

.(2. . 5

x



y

)

FATOR COMUM

ax + bx + ay + by=x.(a+b)+y.(a+b)=(a+b).(x+y)

FATOR COMUM

FATOR COMUM FATOR COMUM

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

ALGÉBRICAS

1 25 6 ² 30 4   a b a

1. Determine o valor da expressão para a=−1 e b=4.

2 4 2 2 2 2 30 ² 6. 6.(5. ) 6 25 (5. ).(5. ) 5. a b a b a b a b a b a b        

Para a=−1 e b=4, temos:

2 2

6 6 6 6 2

5 4 9 3 5.a b  5.( 1) 4    

1 ² ³ 1 4     y y y y

2. Determine o valor da expressão para y=999.

4 2 2 2 2 2 1 ( 1).( 1) ( 1).( 1).( 1) 1 ³ ² 1 .( 1) ( 1) ( 1).( 1) y y y y y y y y y y y y y y y  _   _    _{ }        

Substituindo y por 999, temos:

1 999 1 1000 y    