F´ısica III-A - 2020/1
Lista 1: Carga El´etrica e Campo El´etrico
1. (F) Duas part´ıculas de cargas positivas q e 3q s˜ao fixadas nas extremidades de um bast˜ao isolante de comprimento d. Uma terceira part´ıcula carregada pode se mover livremente ao longo do comprimento do bast˜ao.
(a) Em que posi¸c˜ao ao longo do bast˜ao a terceira part´ıcula estar´a em equil´ıbrio?
(b) Discuta a estabilidade do equil´ıbrio dessa part´ıcula em fun¸c˜ao do sinal de sua carga. (Dica: considere pequenos deslocamentos a partir da posi¸c˜ao de equil´ıbrio)
2. (F) Duas esferas idˆenticas, cada uma com massa m, s˜ao suspensas por fios ideais e isolantes de comprimento l, como indicado na figura abaixo. Elas possuem cargas de mesmo m´odulo e sinais opostos ±q e est˜ao sob a a¸c˜ao de um campo el´etrico uniforme ~E, de dire¸c˜ao horizontal e intensidade desconhecida, e do campo gravitacional ~g. Quando o sistema est´a em equil´ıbrio, o ˆangulo que os fios fazem com a vertical vale θ. Nessas condi¸c˜oes, determine:
(a) A tens˜ao no fio
(b) A intensidade do campo el´etrico.
3. (F) Duas part´ıculas idˆenticas de carga q > 0 s˜ao fixadas sobre o eixo Y de um sistema de coordendas, como mostrado na figura abaixo. Cada uma encontra-se a uma distˆancia d/2 da origem. Uma terceira part´ıcula de carga −Q (Q > 0) encontra-se sobre o eixo X, a uma distˆancia x da origem, e pode se mover livremente sobre este eixo.
(a) Determine o vetor for¸ca resultante sobre a part´ıcula de carga −Q.
(b) Suponha que a part´ıcula de carga −Q ´e abandonada do repouso em um ponto x = a. Descreva qualitati-vamente o movimento dessa part´ıcula. O que acontece quando ela ultrapassa a origem?
4. (F) Trˆes cargas puntiformes −q, −q e +q (q > 0) s˜ao posicionadas sobre os v´ertices de um triˆangulo equil´atero de lado a, como indicado na figura abaixo.
(a) Determine o vetor campo el´etrico no ponto P indicado na figura. (b) Determine o vetor campo el´etrico no centro do triˆangulo.
(c) Determine o vetor for¸ca el´etrica resultante sobre uma das cargas −q.
5. (M) Em um modelo cl´assico para o ´atomo de Hidrogˆenio, um el´etron de carga −e e massa m descreve um movimento circular uniforme de raio a0 em torno de um pr´oton de carga +e, fixo na origem. Considerando a
for¸ca de atra¸c˜ao gravitacional entre o pr´oton e o el´etron desprez´ıvel em confronto com a for¸ca el´etrica, determine: (a) A acelera¸c˜ao do el´etron (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido).
(b) A velocidade escalar do el´etron. (c) O per´ıodo de revolu¸c˜ao.
(d) Por que podemos desprezar a for¸ca gravitacional nessa situa¸c˜ao?
6. (M) Uma part´ıcula de massa m e carga q penetra na regi˜ao entre as placas met´alicas de um capacitor, como indicado na figura abaixo. As placas est˜ao separadas por uma distˆancia d e produzem um campo el´etrico uniforme
~
E em seu interior. Ao entrar nessa regi˜ao, a part´ıcula possui uma velocidade inicial ~v0paralela `as placas e est´a a
uma mesma distˆancia delas. Considere ainda que os efeitos da for¸ca gravitacional s˜ao desprez´ıveis em confronto com os da for¸ca el´etrica. Utilizando o sistema de coordenadas indicado na figura, determine:
(a) O vetor acelera¸c˜ao da part´ıcula.
(b) O vetor velocidade da part´ıcula como fun¸c˜ao do tempo t. (c) O vetor posi¸c˜ao da part´ıcula como fun¸c˜ao do tempo t.
(d) A equa¸c˜ao da trajet´oria, isto ´e, y como fun¸c˜ao de x. Que curva corresponde a essa equa¸c˜ao?
(e) O vetor velocidade da part´ıcula ao sair da regi˜ao das placas, supondo que elas possuem um comprimento L. Qual ser´a a sua deflex˜ao, isto ´e, o ˆangulo que este vetor faz com a horizontal?
7. (D) Uma barra isolante e fina de comprimento 2a ´e posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades est˜ao em x = ±a. Ela possui uma carga total Q uniformemente distribu´ıda sobre seu comprimento.
(a) Determine o campo el´etrico (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X, localizado a uma distˆancia x > a da origem.
(b) Uma segunda barra, idˆentica `a primeira e com a mesma carga total Q uniformemente distribu´ıda sobre seu comprimento, ´e posicionada sobre o eixo X com suas extremidades em x = b ± a (b > 2a). Determine a for¸ca el´etrica (m´odulo, dire¸c˜ao e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugest˜ao: Divida a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a intera¸c˜ao entre estes elementos e a primeira barra.
8. (M) Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semic´ırculo de raio R, como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga ´e dada por λ(θ) = λ0sin θ, onde λ0´e uma constante positiva e θ ´e o ˆangulo polar
medido a partir do eixo X .
(a) Determine a carga total contida na linha.
(b) Determine o vetor campo el´etrico no centro do semic´ırculo.
(c) Repita os dois itens acima, mas supondo agora que λ(θ) = λ0cos θ.
9. (D) Um fio semicircular fino, de raio R, encontra-se no plano z = 0, com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e contido nos primeiro e segundo quadrantes, como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma densidade linear de carga el´etrica constante e positiva λ
(a) Qual(is) componente(s) do vetor campo el´etrico resultante em um ponto P = (0, 0, z) qualquer do eixo Z ´e(s˜ao) nula(s)? Justifique.
(i) Vista de perfil. (ii) Vista de cima (plano z = 0).
10. (D) Um disco circular isolante e fino, de raio R, tem uma densidade superficial de carga dada por σ(r) = σ0(R/r),
onde σ0´e uma constante positiva e r ´e a distˆancia ao centro do disco.
(a) Determine a carga total contida no disco.
(b) Determine o vetor campo el´etrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distˆancia z do mesmo.
Sugest˜ao: divida o disco em aneis infinitesimais concˆentricos e use o resultado obtido em aula para o campo el´etrico produzido por um anel uniformemente carregado (por que podemos fazer isto?).
(c) Considere agora que este ponto est´a muito longe do disco, de forma que z R. Determine uma express˜ao assint´otica para o resultado do item anterior neste limite e interprete o resultado.
Dado (verifique!):
Z dx (x2+ a2)3/2 =
x
a2√x2+ a2 + const
11. (D) Uma casca isolante cil´ındrica de raio R e altura h possui uma carga Q uniformemente distribu´ıda sobre sua ´
area.
(a) Determine a densidade superficial de carga do cilindro.
(b) Determine o vetor campo el´etrico a uma distˆancia d do lado direito do cilindro, como indicado na figura. Sugest˜ao: Divida o cilindro em aneis infinitesimais coaxiais como indicado na figura e use o resultado obtido em aula para o campo el´etrico produzido por um anel uniformemente carregado. A integral resultante pode ser resolvida por substitui¸c˜ao simples.
(c) Discuta o comportamento da express˜ao obtida no item anterior no limite d R, h. 12. (M) Considere o dipolo el´etrico mostrado na figura abaixo.
(a) Determine o vetor campo el´etrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo Y , localizado a uma distˆancia y > 0 da origem.
(b) Determine o vetor campo el´etrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo X, localizado a uma distˆancia x > a da origem.
(c) Obtenha express˜oes assint´oticas para os dois resultados acima nos limites y a e x a. Interprete os resultados.
Dado: Para |x| 1, (1 + x)n ≈ 1 + nx.
13. (M) Trˆes cargas puntiformes +q, +q e −2q s˜ao posicionadas ao longo do eixo X de um sistema de coordenadas, como indicado na figura abaixo. A separa¸c˜ao entre duas cargas adjacentes vale a.
(a) Determine o vetor campo el´etrico em um ponto P localizado sobre o eixo Y , a uma distˆancia y da origem, como indicado na figura.
(b) Obtenha uma express˜ao assint´otica para o resultado acima no limite y a, ou seja, quando P est´a muito distante das cargas. Compare o seu resultado com os casos de um monopolo e de um dipolo el´etrico e discuta as diferen¸cas.
(c) Utilizando o princ´ıpio da superposi¸c˜ao, discuta como essa distribui¸c˜ao de cargas pode ser entendida como uma composi¸c˜ao de dipolos el´etricos. Qual ´e a intensidade do momento de dipolo el´etrico total desta distribui¸c˜ao?
Dado: Para |x| 1, (1 + x)n ≈ 1 + nx.
