Cálculo I. Lista de Exercícios Aulão P1

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Cálculo I

Lista de Exercícios

Aulão P1

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1

Lista Resolvida no Aulão

Parte I: Revisão de Matemática

1. P1 2018.1 – Exercício 1 Diurno (2,0)

Resolva, dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real da seguinte desigualdade:

|𝑥| − |𝑥 − 1| < 𝑥

2. P1 2018.1 – Exercício 1 Vespertino (2,0)

|𝑥 − 1| ≤ |𝑥 + 1|

3. P1 2017.1 – Exercício 1 Diurno (2,0)

Encontre todos os números reais 𝑥 que satisfazem a desigualdade: (4 ⋅ 𝑥 − 1

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2

Parte II: Limites

4. P1 2018.1 – Exercício 2 Noturno (3,0)

Calcule os limites abaixo sem usar a regra de L’Hospital. Justifique a sua resposta. a. lim 1→345 6⋅178 193 : b. lim 1→;𝑥 < _{⋅ cos 5} 8 1@: c. lim 1→< √17B93 19< d. lim 1→7C 1@9176 <⋅1@_96⋅178;

5. P1 2018.1 – Exercício 2 Diurno (3,0)

Calcule os seguintes limites, sem utilizar L’Hospital:

a. lim 1→84(𝑥 − 1) 6 _{⋅ 𝑒}_H4GG b. lim 1→; √87198 1 c. lim 1→< 1I9<⋅1 1I93⋅19<

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3

6. P1 2018.1 – Exercício 2 Vespertino (2,0)

Calcule os seguintes limites, sem utilizar L’Hospital:

a. lim 1→9C𝑒 1 _{⋅ sin 5}8 1: b. lim 1→CK 86⋅1@9B⋅176 87<⋅1I₇₁@ c. lim 1→;5 8 1 − 8 1I₇₁:

7. P1 2017.1 – Exercício 2 Diurno (2,5)

Calcule os seguintes limites, sem utilizar L’Hospital, ou prove que não existe: a. lim 1→; 6⋅1 √6⋅1I_96⋅17<96 b. lim 1→7C LMNI1 OH78 c. lim

1→6PQ[𝑥]T + [[3 − 𝑥]]U, onde Q[𝑦]T = max {𝑛 𝜖 ℤ: 𝑛 ≤ 𝑦} é a função maior inteiro.

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4

8. P1 2017.1 – Exercício 2 Vespertino (2,5)

Calcule os seguintes limites, sem utilizar L’Hospital, ou prove que não existe: a. lim 1→` 6⋅√19a 19` b. lim 1→;𝑥 a _{⋅ cos 5}3 1@: c. lim 1→7C(ln 𝑥 − ln(𝑥 + 1))

9. P1 2017.1 – Exercício 2 Noturno (2,5)

Calcule os seguintes limites, sem utilizar L’Hospital, ou prove que não existe: a. lim 1→B √19896 19B b. lim 1→8 1⋅(1I98) |1I_98| c. lim 1→7C 89OH 876⋅OH,

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5

10. P1 2015.2 – Exercício 2b (0,8)

Calcule o limite, sem utilizar L’Hospital, ou prove que não existe:

lim 1→8

b(𝑥 − 1)6 𝑥 − 1

11. P1 2015.1 – Exercício 2b Noturno (0,8)

Calcule o limite, sem utilizar L’Hospital, ou prove que não existe: lim

1→;𝑥

6 _{⋅ 𝑔(𝑥)}

Onde 𝑔(𝑥) = d_{−1, 𝑠𝑒 𝑥 ∉ ℚ}1, 𝑠𝑒 𝑥 𝜖 ℚ

Parte III: Conceitos Adicionais de Limites

12. P1 2017.1 – Exercício 3 Diurno (2,0)

Determine o valor 𝑎 e defina 𝑓(1) de modo que a função

𝑓(𝑥) = d 𝑎 ⋅ 𝑥 + 2, 𝑥 > 1 𝑥6 − 4 ⋅ 𝑥 + 1, 𝑥 < 1

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6

13. P1 2017.1 – Exercício 3 Noturno (2,0)

Determine se a seguinte função é contínua em 𝑥 = 2:

𝑓(𝑥) = l 2 ⋅ 𝑥 − 1, 𝑥 > 2 3, 𝑥 = 2 𝑥6 _{− 𝑥 − 2} 𝑥 − 2 , 𝑥 < 2

14. P1 2017.1 – Exercício 3 Vespertino (2,0)

Considere a função 𝑓(𝑥) = [[sin 𝑥]], onde Q[𝑦]T = max{𝑛 𝜖 ℤ: 𝑛 ≤ 𝑦} é a função maior inteiro. Determine se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 𝜋.

15. P1 2018.1 – Exercício 4 Noturno (1,5)

Utilizando o teorema do valor intermediário (TVI), mostre que a equação abaixo tem uma solução no intervalo 50,o₆::

sin 𝑥 = 2 ⋅ 𝑥 − 1

16. P1 2018.1 – Exercício 4 Vespertino (1,5)

Mostre que

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7

Tem uma solução no intervalo 50,o_<:.

17. P1 2017.1 – Exercício 4 Noturno (1,5)

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação abaixo tem pelo menos uma raiz real.

ln 𝑥 = 3 − 2 ⋅ 𝑥

18. P1 2018.1 – Exercício 4 Diurno (1,5)

Um alpinista tem como meta escalar a Montanha dos Desejos e fazer um pedido assim que chegar ao topo. Sabe-se que, em uma manhã de sábado, o atleta parte de sua casa às 5 horas rumo ao cume do monte e termina sua escalada às 21h. Sendo muito tarde, ele resolve acampar lá em cima para descer na manhã seguinte. Sabemos, também, que no dia seguinte, ele saiu às 5 da manhã e que, para descer, ele fez exatamente o mesmo caminho da subida, chegando no conforto de sua casa às 21h, horário de sua novela preferida. Sendo assim, prove que houve algum ponto no caminho do alpinista que foi cruzado exatamente na mesma hora do dia tanto no sábado quanto no domingo.

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8

19. P1 2017.1 – Exercício 5 Diurno (2,0)

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função:

𝑓(𝑥) = 2 ⋅ 𝑥 6 _{+ 5 ⋅ 𝑥 − 3} 𝑥6 _{+ 2 ⋅ 𝑥 − 3}

20. P1 2017.1 – Exercício 5 Noturno (2,5)

Seja: 𝑔(𝑥) = t𝑥6 + 9 𝑥6 _{− 9}

a. Determine o domínio da função 𝑔.

b. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função 𝑔. Calcule

todos os limites necessários.

21. P1 2018.1 – Exercício 3 Diurno (3,5)

Qual o valor de 𝑐 para que a função 𝑓: ℝ → ℝ definida abaixo seja contínua?

𝑓(𝑥) = x

𝑒1 ⋅ (𝑥 + 𝑐), 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 1

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Para os valores de 𝑐 achados:

a. 𝑓 possui assíntotas horizontais quando 𝑥 → +∞? b. 𝑓 possui assíntota verticais?

22. P1 2018.1 – Exercício 3 Vespertino (3,5)

Seja 𝑓: z−8B₆ , ∞: \{−3} → ℝ definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + √2 ⋅ 𝑥 + 15 𝑥 + 3

a. Podemos definir uma função 𝑓|: z−8B₆ , ∞: → ℝ tal que 𝑓|(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ≠ −3 e tal que 𝑓| seja contínua? Se sim, determine 𝑓|.

b. 𝑓 possui assíntotas horizontais? c. 𝑓 possui assíntotas verticais?

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Lista Pós-Aulão

23. P1 2018 – Exercício 1 Noturno (2,0)

|𝑥 − 1| + |𝑥 − 2| ≤ 3

24. P1 2017.1 – Exercício 1 Vespertino (2,0)

Encontre todos os números reais 𝑥 que satisfazem as desigualdades:

a. 5 ⋅ |𝑥 − 2| ≤ 7 b. |𝑥| < 𝑥3

25. P1 2017.1 – Exercício 1 Noturno (2,0)

Encontre todos os números reais 𝑥 que satisfazem a desigualdade: |𝑥| − |𝑥 − 2| < 𝑥

26. P1 2015.2 – Exercício 1 (2,5)

(12)

11

a. Determine o domínio da função, expresse 𝑓(𝑥) sem usar módulo e

esboce o seu gráfico.

b. Verifique se a função é par, ímpar ou injetora. Justifique sua resposta

provando ou dando um contra-exemplo.

c. Encontre todos os valores de 𝑥 𝜖 ℝ tais que 10 ≤ 𝑓(𝑥) < 12. d. Seja 𝑔(𝑥) = √𝑥. Encontre 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e seus domínios.

27. P1 2017.1 – Exercício 1 Noturno (2,0)

Encontre todos os valores de 𝑎 tais que

lim 1→€

𝑥 − 2 𝑥 + 5 > 0

28. P1 2017.1 – Exercício 2 Noturno (2,5)

Calcule os limites, sem utilizar L’Hospital, ou prove que não existe:

a. lim 1→• B9√<73⋅1 •91 b. lim 1→8(𝑥 − 1) 6 _{⋅ sin 5} 8 √198 @ : c. lim 1→9C √1@_76⋅198 @ √1I₇₁₇₈

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12

29. P1 2017.1 – Exercício 2b Vespertino (0,8)

lim 1→;𝑥

a _{⋅ cos ‚}3 𝑥3ƒ

30. P1 2017.1 – Exercício 2a Noturno (0,8)

lim 1→B

√𝑥 − 1 − 2 𝑥 − 5

31. P1 2016.2 – Exercício 1 (3,0)

a. lim 1→B √17<93 19B b. lim 1→;5 8 1 − 8 1I₇₁: c. lim 1→; „1I91„ 1 d. lim 1→7C𝑒 91 _{⋅ cos 𝑥}

32. P1 2015.2 – Exercício 2 (3,0)

(14)

13 a. lim 1→` `91 39√1 b. lim 1→;𝑥 a _{⋅ cos 5}8 1I:

33. P1 2015.1 – Exercício 1 Noturno

a. lim 1→•… 6⋅198 19• b. lim 1→93 17√6⋅178B 173 c. lim 1→;𝑥 < _{⋅ cos 5}8 1@:

34. P1 2015.1 – Exercício 1 Diurno (3,0)

a. lim †→; 69√<9† † b. lim 1→9C𝑒 1 _{⋅ sin 𝑥} c. lim 1→7C 6⋅1@9<⋅178 3⋅1@_96⋅17a d. lim 1→3 a⋅196 193

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14

35. P1 2015.1 – Exercício 2 Noturno (3,0)

a. lim 1→@_I |6⋅193| 6⋅193 b. lim 1→7C(𝑥 − √𝑥 6 _{+ 3 ⋅ 𝑥)} c. lim 1→6… 3⋅1I7< 196

36. P1 2015.1 – Exercício 1 Diurno (3,0)

a. lim 1→34 1I7B 193 b. lim 1→;𝑥 6 _{⋅ cos 5} 8 √1 @ : c. lim 1→7C 1‡73⋅1I91 6⋅1‡_9<⋅1@₇₈ d. lim 1→• √19√• √17•9√8<

37. P1 2014.1 – Exercício 2a Diurno (0,4)

(16)

15 lim 1→; 5 ⋅ 𝑥 ⋅ sin(2 ⋅ 𝑥) − (3 ⋅ 𝑥 + 4) ⋅ 𝑒1 2 ⋅ 𝑥6 _{− 2}

38. P1 2014.1 – Exercício 1d Noturno

Calcule o limite, sem utilizar L’Hospital, se existir:

lim 1→8…ˆ

𝑥 − 2 cos 5𝜋2 ⋅ 𝑥:‰

39. P1 2017.1 – Exercício 4 Diurno (1,5)

Seja 𝑓: [−1,1] → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 _{+ 2 − √𝑥}< _{+ 3. Mostre que 𝑓} assume o valor 8₆.

Dica: use o Teorema do Valor Intermediário (TVI)

40. P1 2017.1 – Exercício 4 Vespertino (1,5)

Mostre que a função

𝑓(𝑥) = 7 − (16) 8 1 1 + (16)81

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16

Assume o valor 1 no intervalo (2,4). Dica: use o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

41. P1 2017.1 – Exercício 4 Noturno (1,5)

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação 𝑒1 _{= 2 ⋅ cos 𝑥}

Possui uma solução positiva.

42. P1 2016.2 – Exercício 4 (1,5)

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação 𝑥3 = 1

1 + 𝑥<

Tem pelo menos uma raiz real.

43. P1 2015.2 – Exercício 4 (1,5)

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação 𝑒1 = 2 − 𝑥

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17

Tem pelo menos uma raiz real.

44. P1 2015.1 – Exercício 3 Noturno (1,5)

Mostre que

tan 𝑥 + 1 = 16 ⋅ 𝑥6

Tem uma solução no intervalo 50,o_<:.

45. P1 2015.1 – Exercício 3 Diurno (1,5)

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑒91 + 3 ⋅ 𝑥6

Fica horizontal em algum ponto do intervalo (0,1). Ponto horizontal do gráfico significa que a reta tangente é horizontal naquele ponto.

46. P1 2015.1 – Exercício 3 Diurno (1,5)

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18

𝑥

2 = sin 𝑥 Possui uma solução não nula.

47. P1 2015.2 – Exercício 3 (1,5)

Encontre os valores de 𝑎 e 𝑏, se possível, tais que a função:

𝑓(𝑥) = x 𝑥

6 _{+ 𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 1} 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥6 _{− 2, 𝑠𝑒 𝑥 > 2}

Seja contínua para todo 𝑥. Justifique.

48. P1 2015.1 – Exercício 2 Noturno (1,5)

Considere a função: 𝑓(𝑥) = d𝑥 ⋅ 𝑒1 @ , 𝑥 ≥ 1 𝑎 ⋅ 𝑥6_{, 𝑥 < 1}

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19

49. P1 2017.1 – Exercício 3 Noturno (1,5)

Seja 𝑓: ℝ → ℝ, tal que:

𝑥6 ⋅ cos6𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥 ⋅ sin 𝑥

Para todo 𝑥 𝜖 5−o₆ ,o₆:. Mostre que 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

50. P1 2016.2 – Exercício 3a (3,0)

Considere a função:

𝑓(𝑥) = Œ𝐴 ⋅ cos(𝑥 − 2) + √2 − 𝑥, 𝑥 < 2 𝑥3 _{− 6 ⋅ 𝑥}6 _{+ 15 ⋅ 𝑥 − 4, 𝑥 ≥ 2}

Determine 𝐴 de modo que a função 𝑓 seja contínua em 𝑥 = 2.

51. P1 2017.1 – Exercício 5 Noturno (2,0)

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função:

𝑔(𝑥) = 2 ⋅ 𝑒 1 𝑒1 _{− 5}

(21)

20

52. P1 2017.1 – Exercício 5 Vespertino (2,0)

Determine as assíntotas verticais e horizontais da função:

𝑔(𝑥) = √𝑥6+ 2 𝑥 − 4

53. P1 2016.2 – Exercício 2 (1,5)

Determine as assíntotas horizontais da função:

ℎ(𝑥) = 𝑥 + √𝑥6 + 1 2 ⋅ 𝑥 − 1

54. P1 2015.2 – Exercício 5 (1,5)

Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função:

𝑓(𝑥) = 𝑥

6 _{− 16} 𝑥6 _{+ 𝑥 − 20}

55. P1 2015.1 – Exercício 3 Noturno

Encontra as assíntotas verticais e horizontais da função:

𝑓(𝑥) = 𝑥

6 _{− 5 ⋅ 𝑥} 𝑥6 _{− 6 ⋅ 𝑥 + 5}

(22)

21

Depois faça um esboço do gráfico de 𝑓.

56. P1 2018.1 – Exercício 3 Noturno (3,5)

Seja 𝑓: ℝ → ℝ dada por:

𝑓(𝑥) = •

2 − 7 ⋅ 𝑥

𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 6 ⋅ 𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 1

a. A função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 1? Justifique.

b. Encontre a assíntota horizontal de 𝑓 quando 𝑥 → +∞. c. Existe assíntota vertical em algum ponto?

57. P1 2015.1 – Exercício 2 Noturno (2,5)

Seja 𝑓: ℝ → ℝ dada por:

𝑓(𝑥) = •−

6 ⋅ 𝑥 − 3

𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 4 ⋅ 𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 1

a. A função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 1? Justifique.

(23)

22

58. P1 2015.1 – Exercício 2 Diurno (2,5)

Considere a função: 𝑓(𝑥) = x 𝑒 178_{, 𝑥 ≤ −1} 𝑥6, −< 𝑥 < 1 1 + ln 𝑥 , 𝑥 ≥ 1

a. Determine os pontos de continuidade de 𝑓.

b. Determine todas as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de:

𝑔(𝑥) = 1 (𝑥 − 1)6

59. P1 2015.1 – Exercício 2 Diurno (2,5)

Considere a função 𝑓(𝑥) = „1₁I_I98„₉₈.

a. Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥).

b. Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que 𝑓 é descontínua. c. Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)?

(24)

23

Gabarito

b.

𝑓 não possui assíntotas verticais.

22. a.

𝑦 = 1 é uma assíntota horizontal.

b.

𝑓 não possui assíntotas verticais.

23. [0,3] é o intervalo solução. 24. a. z3_B,8• B ‘ b. (1, +∞) 25. {𝑥 𝜖 ℝ; −2 < 𝑥 𝑒 𝑥 ≠ 2}

(28)

27 26. a. 𝑓(𝑥) = •−2 ⋅ 𝑥, 𝑥 < −4 8, −4 ≤ 𝑥 < 4 2 ⋅ 𝑥, 𝑥 ≥ 4 b. A função é par. c. 𝑥 𝜖 (−6, −5] 𝑈 [5,6)

d. O domínio é todos os reais.

27. 𝑎 𝜖 (−∞, −5) 𝑈 (2, +∞) 28. a. _8;3 b. 0 c. −1 29. 0

(29)

28

30. 8_<

31. a. 8_a b. 1

c. O limite não existe d. 0 32. a. 6 b. 0 33. a. +∞ b.<₃ c. 0 34. a. 8_< b. 0 c. 6₃

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29

d. O limite não existe

35.

a. O limite não existe b. −3₆ c. +∞ 36. a. −∞ b. 0 c. 8₆ d. √2 37. 2 38. +∞

39. Prova pelo TVI

(31)

30

47. 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0

48. 𝑎 = 𝑒

49. Prova por continuidade

50. 𝐴 = 8

51. Assíntotas horizontais: 𝑦 = 2 e 𝑦 = 0

(32)

31 52. Assíntotas horizontais: 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1. Assíntotas verticais: 𝑥 = 4. 53. Assíntotas horizontais: 𝑦 = 0 e 𝑦 = 1. 54. Assíntotas horizontais: 𝑦 = 1. Assíntotas verticais: 𝑥 = −5. 55. Assíntotas horizontais: 𝑦 = 1. Assíntotas verticais: 𝑥 = 1. 56. a. A função é contínua em 𝑥 = 1. b. 𝑦 = −7 é assíntota horizontal. c. 𝑥 = 2 é assíntota vertical.

(33)

32 57. a. A função é contínua em 𝑥 = 1. b. 𝑦 = −6 é assíntota horizontal. 58. a. 𝑓 é contínua em 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1 b. Assíntota horizontal: 𝑦 = 0 Assíntota vertical: 𝑥 = 1 59. a. b. 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ −1