MATEMÁTICA FINANCEIRA

(1)

Unidade I

MATEMÁTICA FINANCEIRA

(2)

Matemática financeira

 A Matemática Financeira estuda o comportamento do

dinheiro ao longo do tempo.

 Capital é o valor principal de uma operação, ou seja,

(3)

Juros

 Juros são a correção monetária em espécie ou o valor

acrescido pela taxa de juros.

(4)

Abreviaturas

(5)

Taxa de juros

 A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0 11)

(exemplo: 0,11).

Taxa

Percentual Transformação Taxa unitária

Percentual ç 40% a.m. 40 100 0,40 a.m. 100 4% a.a. 4 100 0,04 a.a. 24,5% a.d. 24,5 100 0,245 a.d.

(6)

Taxas de juros: exercícios

Passe para a forma unitária os seguintes valores:

 0,5% a.a.  0,005 a.a.  2% a.s.  0,02 a.s.

 17,5% a.d.  0,175 a.d.

Passe para a forma percentual os seguintes valores:

 0,003 a.b.  0,3% a.b.  0,04 a.m.  4% a.m.  0,18 a.d.  18% a.d.

(7)

Taxas de juros: exercícios

Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$ 5 250 00

devolver R$ 5.250,00. a) Qual o juro?

Montante = Capital + Juro ou M = C + J Montante Capital Juro ou M C J 5250 = 5000 + J  5250 – 5000 = J

J = 250

b) Qual a taxa unitária de juro? i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias C 5000

C 5000

c) Qual a taxa percentual de juro? i = 0 05 x 100 = 5% em 50 dias i 0,05 x 100 5% em 50 dias

(8)

Taxas de juros: exercícios

Um bolo é vendido por R$ 35,00. Se seu preço fosse acrescido de 15%, quanto o bolo passaria a custar?

Calculando 15% de R$ 35,00; temos: 15 . 35 = 0,15 . 35 = 5,25

100

Somando R$ 5,25 ao preço original do bolo, temos: Novo preço: R$ 35,00 + R$ 5,25 = R$ 40,25

(9)

Juros simples

 Os juros de cada período incidem sobre o capital inicial

aplicado: juros não rendem juros.

 Crescimento linear ou em progressão aritmética.  Poucas são as operações financeiras e comerciais.

(10)

Juros simples

 Para um entendimento do sistema de capitalização simples,

vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos com taxa de juros no valor de 10% ao ano cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.

(11)

Juros simples: taxas equivalentes

 Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos

diferentes.

 Exemplos:

 Transformar 2% a.m. em taxa semestral  2 x 6 = 12% a.s.  Transformar 10% a.s. em taxa trimestral  10 / 2 = 5% a.t.  Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros

devem estar expressos necessariamente na mesma devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo.

(12)

Juros simples: exercícios de taxas equivalentes

 Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre?

Resposta: 8/2 = 4% ao mês

 Qual a taxa anual equivalente a 3% ao semestre?

Resposta: 3 * 2 = 6% ao ano

 Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano?  Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano?

(13)

Interatividade

Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano.

b) 0,5% ao ano. c) 6% ao ano. d) 12% ao ano. e) 24% ao ano.

(14)

Juros simples: fórmulas

 J = C . i . n  Em que:  J = juros  C = capital  i = taxa de juros  n = período  M = C + J ou M = C.(1 + i.n)  Em que:  M = montante

(15)

Juros simples: exemplo

 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante

5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim dessa aplicação?

fim dessa aplicação? Resolução incorreta C = 3000 i = 2% a m n = 5 meses J = ? M = ? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ? J = C.i.n M = C + J J = 3000 2 5 M = 3000 + 30000 J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000 J = 30000 M = 33000 J = R$ 30 000 00 M = R$ 33 000 00 J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00

(16)

Juros simples: exemplo

 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante

5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim dessa aplicação?

fim dessa aplicação? Resolução correta C = 3000 i = 2% a m n = 5 meses J = ? M = ? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ? J = C.i.n M = C + J J = 3000 0 02 5 M = 3000 + 300 J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300 J = 300 M = 3300 J = R$ 300 00 M = R$ 3 300 00 J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00

(17)

Juros simples: exemplo

 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo

período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período?

o valor dos juros para o período? Resolução incorreta C = 1500 n = 2 meses i = 10% a b J = ? C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. J = ? J = C.i.n J = 1500 0 1 2 J = 1500 . 0,1 . 2 J = 300 J = R$ 300 00 J = R$ 300,00

(18)

Juros simples: exemplo

 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo

período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período?

o valor dos juros para o período? Resolução correta C = 1500 n = 2 meses C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b.  10 / 2 = 5% a.m. J = ? J = ? J = C.i.n J = 1500 0 05 2 J = 1500 . 0,05 . 2 J = 150 J = R$ 150 00 J = R$ 150,00

(19)

Juros simples: exemplo

 Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a

juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juros em 4 meses. C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n 6000 = C . 0,06 . 4 6000 = C . 0,24 6000 = C 0,24 C = 25000 C = R$ 25.000,00

(20)

Juros simples: exemplo

 Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestado para pagar

dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5 5% a m Calcule o valor futuro dessa operação

5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. C = 3500 n = 7 meses i = 5,5% a.m. M = ? M = C (1+ i n) M = C (1+ i.n) M = 3500 (1 + 0,055 . 7) M = 3500 (1 + 0 385) M = 3500 (1 + 0,385) M = 3500 (1,385) M = 4847 50 M = 4847,50 M = R$ 4.847,50

(21)

Juro exato e juro comercial

 Juro exato: utiliza o calendário do ano civil com 365 dias.  Juro comercial: admite o mês com 30 dias e o ano com

360 dias.

Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros simples a taxa diária de:

simples, a taxa diária de:

a) Juro exato: 30% = 0,082191% ao dia 365 dias

365 dias

b) Juro comercial: 30% = 0,083333% ao dia 360 dias

(22)

Fluxo de caixa

 Linha horizontal é a escala do tempo.

 Demais pontos representam outros períodos de tempo

(datas). R$ 700,00 R$ 300,00 Entradas de Caixa ( + ) tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 tempo R$ 500,00 R$ 600,00 Saídas de Caixa ( - )

(23)

Interatividade

Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias.

a) R$ 150,00

b) R$ 23.400,00 c) R$ 702,00 d) R$ 70.200,00 e) R$ 234,00

(24)

Desconto simples racional ou “por dentro”

Desconto simples racional ou por dentro

 Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples.  D_r é o valor do desconto racional.

 V_r é o valor descontado racional (ou valor atual).

 N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante).

D_r = N – V_r

(25)

Desconto simples racional ou “por dentro”

Desconto simples racional ou por dentro

 Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano,

que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a a a taxa nominal de juros corrente pede se

Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado.

D_r (valor do desconto) V_r (valor descontado) D_r (valor do desconto) V_r (valor descontado) i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal = 3500

N = V_r.(1 + i.n) D_r = N – V_r N V_r.(1 i.n) D_r N V_r 3500 = V_r.(1 + 0,04.2) D_r = 3500 – 3240,74 3500 = V_r.(1 + 0,08) D_r = 259,26 3500 V_r.(1 0,08) D_r 259,26 3500 = V_r.(1,08) V_r= 3500 / 1,08 = 3240,74 V_r 3500 / 1,08 3240,74

(26)

Desconto bancário ou comercial ou “por fora”

Desconto bancário ou comercial ou por fora

 A modalidade de “desconto por fora” é amplamente adotada

pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo

em curto prazo.

 D_Fé o valor do desconto

 V é o valor descontado “por fora”  V_F é o valor descontado “por fora”

 N é o valor nominal

 d é a taxa de desconto “por fora”  d é a taxa de desconto “por fora”  n é o prazo definido

D = N d n D_F= N . d . n V_F = N.(1 – d.n)

(27)

Desconto bancário ou comercial ou “por fora”

Desconto bancário ou comercial ou por fora

 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de

R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0 2% a d ? desconto de 0,2% a.d.? d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 D_F= ? D = N d n D_F= N . d . n D_F = 100 . 0,002 . 60 D = 12 D_F = 12 D_F = R$ 12,00

(28)

Juros compostos

 Juros de cada período incidem sobre o capital do início do

período (saldo): juros rendem juros.

 Crescimento exponencial ou em progressão geométrica.  É o mais comum no sistema financeiro.

(29)

Juros compostos

 Para um entendimento do sistema de capitalização composto,

vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos com taxa de juros no valor de 10% ao ano

(30)

Juros compostos: fórmula

M = C.(1 + i)n Em que:  M = montante  C = capital  i = taxa de juros  n = número de períodos

(31)

Juros compostos: exemplo

 Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos

durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados?

total de juros efetuados?

C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C (1 + i)n M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000 (1 02)3 _{= 6000 1 0612 = 6367 20} M = 6000.(1,02)3 _{= 6000.1,0612 = 6367,20} M = C + J 6367 20 = 6000 + J 6367,20 = 6000 + J J = 6367,20 – 6000 = 367,20

 O montante foi de R$ 6 367 20 e o juros de R$ 367 20  O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20

(32)

Juros compostos: exemplo

 Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5%

a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i)n 3500 = C.(1+0,025)12 3500 = C.(1,025)12 3500 = C.1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449  O capital foi de R$ 2.602,42

(33)

Interatividade

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.140,00

b) R$ 5.065,90 c) R$ 16.240,00 d) R$ 4.245,45 e) R$ 5.040,65

(34)

Juros compostos: taxas equivalentes

 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem

estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo

tempo.

  i_q = (1 + i)q _{– 1}

  i = (1 + i)1/q ₁

  i_q = (1 + i)1/q _{– 1}

q = número de períodos de capitalização

(35)

Juros compostos: exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2,3% a.m.?

 Mês  Anual i_q = (1 + i)q _{– 1}  1 mês  12 meses i_q = (1 + 0,023)12 _{– 1} i_q = (1,023)12 _{– 1} i_q = 1,3137 – 1 i_q = 0,3137

Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual i_q = 0,3137 . 100

(36)

Juros compostos: exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% a.d. ?  Dia  Dias i_q = (1 + i)q _{– 1}  1 dia  23 dias i_q = (1 + 0,0014)23 _{– 1} i_q = (1,0014)23 _{– 1} i_q = 1,0327 – 1 i_q = 0,0327

(37)

Juros compostos: exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.?

 Trimestre  Anual i_q = (1 + i)q _{– 1}  1 trimestre  4 trimestres i_q = (1 + 0,0745)4 _{– 1} i_q = (1,0745)4 _{– 1} i_q = 1,3329 – 1 i_q = 0,3329

(38)

Juros compostos: exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 34% a.a.?

 Mês  Anual i_q = (1 + i)1/q _{– 1}  12 meses  1 ano i_q = (1 + 0,34) 1/12 _{– 1} i_q = (1,34) 1/12 _{– 1} i_q = 1,0247 – 1 i_q = 0,0247

(39)

Juros compostos: exercícios

Taxas equivalentes

Cálculo de (1,34) 1/12 _{= 1,0247}

Na HP:

Vamos trabalhar com 4 casas decimais: f 4 1,34 ENTER 12 1/x yx  1,0247

Na calculadora do computador: Chamar a calculadora

Clicar em exibir e selecionar científica Dividir 1 por 12, resultado: 0,08333

1,34 xy _{0,08333 =} 1,0247

Em calculadoras científicas com símbolo ^ Utilizar o símbolo ^

(40)

Juros compostos: exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa diária equivalente a 9,5% a.a.?

 Dia  Ano i_q = (1 + i)1/q _{– 1}  360 dias  1 ano i_q = (1 + 0,095) 1/360 _{– 1} i_q = (1,095) 1/360 _{– 1} i_q = 1,000252 – 1 i_q = 0,000252

(41)

Interatividade

Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? a) 10,39% a.m.

b) 5,50% a.m. c) 7% a.m. d) 4,43% a.m e) 15% a.m.

(42)