MULTIOBJETIVO NO ESPAÇO DE ESTADOS
GINALBERL. O. SERRA, RAFAELJ. M. SANTOS
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Departamento de Eletroeletrônica
Av. Getúlio Vargas, 04 - Campus Monte Castelo 65030-005 - São Luís (MA)- Brazil ginalber@ifma.edu.br,rafael82ms@yahoo.com.br
RESUMO. Neste artigo é proposta uma metodologia de controle fuzzy Takagi-Sugeno multiobjetivo a qual combina as
técnicas convencionais de alocação de pólos no espaço de estados e do regulador linear quadrático (LQR). A metodolo-gia é apresentada para controle servo, onde é feito um estudo de caso de modelagem e controle de um sistema térmico e a sua implementação em uma plataforma de controle virtual/eletrônica baseada no software LabVIEW e na controla-doraCompactRIO 9073. Tal plataforma permite a proximidade entre a metodologia de controle fuzzy multiobjetivo proposta e a sua aplicação no contexto industrial.
PALAVRAS-CHAVE: Controle Multiobjetivo, Alocação de Pólos, Espaço de Estados, Regulador Linear Quadrático,
Tecnologia em Sistemas.
ABSTRACT. In this paper a multiobjective Takagi-Sugeno fuzzy control methodology which combines the
conven-tional techniques state space pole placement and linear quadratic regulator (LQR), is proposed. The methodology is presented for servo control system, for which it is made a case study of modeling and control of a thermal system and its implementation in a virtual/electronic control platform based on LabVIEW software andCompactRIO 9073 Controller. This platform allows the proximity between the multiobjective fuzzy control methodology proposal and its application in the industrial context.
KEYWORDS: Multiobjective Control, Pole Placement, State Space, Linear Quadratic Regulator, Technology Systems.
1 INTRODUÇÃO
No contexto da engenharia de controle, estabele-cer um sistema de controle para determinado pro-cesso (ou “planta”) significa estabelecer uma in-terconexão de componentes formando uma confi-guração cuja função principal é a “realização de uma ou mais ações que são observadas ao longo do tempo e cuja modificação decorre da aplica-ção de sinais de entrada”, ou seja, garantir que a planta produza uma resposta desejada - é in-fluenciar o comportamento de sistemas dinâmicos (AGUIRRE, 2007a, p. 394)(DORF; BISHOP, 2009; IOANNOU; PITSILLIDES, 2010).
É evidente a existência do desafio de mode-lar e contromode-lar processos modernos, multivariá-veis, não lineares, complexos, com atraso puro de Submetido em 10/06/2014, Revisado em 23/08/2014. Ar-tigo aceito sob recomendação do Editor Associado prof. Dr. Carlos Cesar T. Ferreira.
tempo, inter-relacionados entre outras características que se mostram um obstáculo ao projeto de con-trole. Sistemas reais são, em sua maioria, multi-variáveis e não lineares (BUTT; SHAFIQ; KHAN, 2005; IOANNOU; PITSILLIDES, 2010) - para es-tes é muito difícil a obtenção de modelos precisos o que inviabiliza o projeto do controlador baseado neste modelo (AGUIRRE, 2007a). Paralelamente a este aumento crescente da complexidade desses sis-temas/plantas, cresce o interesse no desenvolvimento de metodologias e técnicas que garantam a imple-mentação de sistemas de controle de desempenho ótimo nos quais sejam assegurados os requisitos de estabilidade nas malhas de controle bem como do rastreamento da referência estabelecida. Nesse âm-bito, a teoria de Inteligência Computacional (IC), en-tendida como o estudo de mecanismos adaptativos para permitir ou facilitar um comportamento inteli-gente em ambientes complexos e em mudança, têm
se mostrado eficaz na solução de problemas de mo-delagem e controle. Entre as técnicas de IC es-tão as redes neurais artificiais, computação evolu-tiva, os sistemas imunológicos artificiais, algoritmos genéticos e sistemas fuzzy (ENGELBRECHT, 2007; ABRAHAM et al., 2009; PEDRYCZ, 1997). Essas técnicas podem, por sua vez, ser combinadas entre si1 (hibridização) - como nos sistemas neuro-fuzzy, bem como pode ser feita a sua fusão com técnicas de con-trole convencionais (ENGELBRECHT, 2007). Esta fusão visa superar as deficiências das técnicas de con-trole em face às complexidades já citadas e impreci-são de informação. A lógica fuzzy, quando analisada em conjunto com outras técnicas de IC, também é en-globada na chamada computação flexível - um termo cunhado por Lotfi Zadeh, que consiste de um agru-pamento diferente de paradigmas, que geralmente se refere ao conjunto coletivo de paradigmas da IC e mé-todos probabilísticos (ENGELBRECHT, 2007).
Assim, este artigo propõe uma metodologia para controle de sistemas dinâmicos não lineares no domí-nio do tempo contínuo, a qual combina, em um texto fuzzy, duas metodologias convencionais de con-trole: a alocação de pólos e o regulador linear
qua-drático (LQR), ambas no contexto de espaço de
esta-dos. Tal combinação tem o objetivo de unir aspectos como a clareza de projeto da técnica de alocação de pólos, na qual o projetista pode inferir características de resposta temporal da saída, bem como os critérios de otimalidade do LQR, resultando em uma metodo-logia de projeto de controle multiobjetiva aplicável a sistemas não lineares.
2 SISTEMAS DE INFERÊNCIA FUZZY
TAKAGI-SUGENO
O modelo fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) foi proposto por Takagi e Sugeno (1985), no artigo intitulado “Fuzzy
Identification of Systems and Its Applications to Mo-deling and Control”. Trata-se de um modelo
ade-quado para aproximação de uma larga classe de siste-mas não lineares. No modelo fuzzy T-S, o antecedente da regra também é uma proposição fuzzy. O conse-1É comum, por exemplo, utilizar algoritmos genéticos para melhorar o resultado do uso de outras técnicas de IC.
quente, entretanto, é uma função matemática (crisp, não fuzzy) das variáveis do antecedente (BABUŠKA, 1998; BARROS; BASSANEZI, 2006). A estrutura
da i|[i=1,2,...,l]-ésima regra fuzzy SE-ENTÃO no
mo-delo T-S é dada por (TAKAGI; SUGENO, 1985; LENDEK et al., 2010):
Ri: Se f(˜x1 é Fj|˜ix1,· · · , ˜xp é F
i
j|˜xp)
Então y= Gi(˜x) (1)
onde o vetor ˜x∈ Rp tem p componentes (x˜
1 ax˜p) e
representa o vetor de variáveis linguísticas do antece-dente. Cada uma dessas variáveis possui seu próprio universo de discurso Xx˜1,· · · , X˜xp o qual é
particio-nado em regiões fuzzy pelos conjuntos fuzzy descritos pelas variáveis linguísticas Fj|˜ix1,· · · , Fi
j|˜xp. O termo y= Gi(˜x) é o funcional das variáveis do antecedente
da regra. A relação de cada variável linguística do antecedente com determinado conjunto fuzzy Fj|˜ix
m
é dada pela função de pertinência µim:R → [0, 1].
Considerando, por exemplo, a utilização do opera-dor de conjunção E para a composição da proposição
fuzzy do antecedente, o grau de ativação para a regra Ri, indicado por h i, é dado por: hi(˜x) = µiFj|˜x∗ 1 ∧ µiFj|˜x∗ 2 ∧ ... ∧ µiFj|˜x∗ p (2)
onde ∧ é um operador de conjunção norma-t
(KLIR; YUAN, 1995). Considerando que existem várias classes de operadores norma-t disponíveis, o modelo fuzzy T-S utiliza o produto algébrico para ob-tenção do grau de ativação da regra Ri:
hi(˜x) = p
Y
m=1
µim(˜xm) (3)
e o grau de ativação normalizado para a i-ésima regra é dado por λi(˜x) = hi(˜x) l X r=1 hr(˜x) (4)
supondo
l
X
r=1
hr(˜x) 6= 0, onde l é o número de regras.
Assim, esta normalização implica em
l
X
i=1
λi(˜x) = 1 (5)
A saída do modelo fuzzy T-S é uma soma ponderadas dos funcionais do consequente, Gi, dada por
y=
l
X
i=1
λi(˜x)Gi(˜x) (6)
Observa-se que y em (6) é uma combinação convexa das funções locais (dos submodelos) Gi, o que
faci-lita a análise dos modelos fuzzy T-S tanto para identi-ficação, projeto de controladores e análise de estabili-dade (SERRA, 2005). A eficácia de um modelo fuzzy T-S depende de características como o número de conjuntos fuzzy na partição, da complexidade das fun-ções no consequente e da complexidade das funfun-ções de pertinência (BERGSTEN, 2001). Em comparativo ao sistema Mamdani, o sistema de inferência fuzzy T-S apresenta maior precisão nas implementações com-putacionais bem como tem mais flexibilidade para in-corporar em sua estrutura formulações matemáticas complexas (BERGSTEN, 2001; SERRA, 2012). 3 FORMULAÇÃO DO CONTROLE NÃO
LI-NEAR QUADRÁTICO MULTIOBJETIVO Nesta seção é apresentada a proposta de controle
fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) multiobjetivo para
plan-tas não lineares. A Figura 1 ilustra a metodologia: partindo-se da planta não linear, tem-se basicamente duas abordagens para a obtenção do modelo fuzzy T-S - modelagem baseada em dados experimentais de en-trada e saída ou baseada nas leis físicas que regem o comportamento dinâmico da planta. Esta última prossegue com o processo de linearização para ob-tenção dos submodelos lineares nos pontos de opera-ção. Uma vez obtido o modelo fuzzy T-S, este serve de base para o projeto do controlador fuzzy multiob-jetivo, que combina as técnicas do LQR e da alocação de pólos. O controlador projetado é então aplicado ao controle da planta não linear.
Considerando ser mais comum a obtenção de sub-modelos sem integrador, nesta monografia o pro-blema de controle linear quadrático fuzzy no espaço de estados apresenta a seguinte configuração:
˙x(t) = Aix(t) + Biu(t) (7) y(t) = Cix(t) (8) u(t) = −Kix(t) + kIiψ(t) (9) ˙ ψ(t) = r(t) − y(t) = r(t) − Cix(t) (10) onde ψ(t) - saída do integrador r(t) - sinal de referência
Dada a entrada de referência r(t) aplicada em t = 0, para t > 0, as equações (7) a (10) podem
ser combinadas e descritas sob a forma de uma única equação matricial: ˙x(t) ˙ ψ(t) = Ai 0 −Ci 0 x(t) ψ(t) + Bi 0 u(t) + 0 1 r(t) (11)
Para determinado instante tf considerado, pode-se
escrever: ˙x(tf) ˙ ψ(tf) = Ai 0 −Ci 0 x(tf) ψ(tf) + Bi 0 u(tf) + 0 1 r(tf) (12)
Considerando que a entrada r(t) é suficientemente
lenta para t > 0, subtraindo-se a equação (12) da
(11), obtêm-se: ˙x(tf)− ˙x(t) ˙ ψ(tf)− ˙ψ(t) = Ai 0 −Ci 0 x(tf)−x(t) ψ(tf)−ψ(t) + Bi 0 (u(tf)−u(t)) (13) Seja
Regulador Linear Quadrático Alocação de Pólos Contexto Fuzzy T-S Sistema Linear Sistema Linear Metodologia Proposta
Projeto do Regulador Fuzzy T-S
Planta Não Linear
Modelagem Física Não Linear Identificação usando
dados de entrada e saída Modelagem Fuzzy
Takagi-Sugeno no Espaço de Estados
Linearização baseada em Modelagem Física
Figura 1: Diagrama em blocos representando a metodologia proposta para projeto de reguladores fuzzy multiobjetivos.
x(t) − x(tf) = xe(t) (14)
ψ(t) − ψ(tf) = ψe(t) (15)
u(t) − u(tf) = ue(t) (16)
Assim, a equação (13) pode ser escrita da forma:
˙xe(t) ˙ ψe(t) = Ai 0 −Ci 0 xe(t) ψe(t) +Bi 0 ue(t) (17) onde ue(t) = −Kixe(t) + kIiψe(t) (18)
Definindo-se o vetor de erro e(t): e(t) = xe(t)
ψe(t)
(19) as equações (17) e (18) resultam, respectivamente, em: ˙e(t) = ˆAie(t) + ˆBiue(t) (20) ue(t) = − ˆKie(t) (21) onde ˆ Ai= Ai 0 −Ci 0 , Bˆi= Bi 0 , Kˆi=[Ki|−ki I] (22)
Subtituindo-se a equação (21) na (20), a equação de estado do erro pode ser obtida:
˙e(t) = ˆAi− ˆBiKˆj
e(t) (23)
Analisando-se a equação (23), observa-se que uma vez especificados os autovalores desejados da matriz
ˆ
Ai− ˆBiKˆj, a matriz ˆKi e consequentemente Kie kiI
podem ser determinados pela técnica de alocação de pólos. A técnica LQR, por outro lado, também per-mite a determinação da matriz ˆKi. A combinação das
duas técnicas no contexto fuzzy, como será mostrado, permite a alocação ótima dos pólos, caracterizando o aspecto multiojetivo da abordagem proposta. Seja, então, o problema de controle quadrático ótimo, que possibilita minimizar o índice de desempenho dado por
J =
Z ∞
0
inerente ao sistema descrito pelas equações (20) e (21). Na equação (24), Q e R são matrizes de pon-deração sobre o estado do erro e(t) e a entrada ue(t),
respectivamente. A matriz Q é uma matriz hermi-tiana definida ou semidefinida positiva ou ainda real simétrica, e a matriz R é hermitiana definida posi-tiva ou real simétrica. Considerando que a matriz
ˆ
Ai − ˆBiKˆj é estável (autovalores com parte real
ne-gativa), é possível obter a matriz de ganho de con-trole por realimentação de estado ˆKi, uma vez que
se solucione, para a matriz P, a equação algébrica de Riccati:
ˆ
ATi P+ P ˆAi− P ˆBiR−1BˆTi P+ Q = 0 (25)
Uma vez obtida a matriz P, da solução da equação (25), a matriz de ganho ˆKi é calculada por:
ˆ
Ki = R−1BˆTi P (26)
Considere o seguinte estrutura de submodelo no espaço de estados na forma canônica de controle:
˙
x(t) = Aix(t) + Biu(t)
y(t) = Cix(t)
(27) Considerando que será utilizado um modelo de segunda ordem para representar o submodelo local e também segunda ordem para a aproximação de
Padè2, estabelecemos as seguintes matrizes da equa-ção (27): Ai = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 −ai12 1τd2 − 6(2ai 2+τd) ai 1τd2 − 12ai 1+6ai2τd+τd2 ai 1τd2 0 0 1 −ai2τd+6ai1 ai 1τd (28)
2método utilizado para representar um atraso puro de tempo, o qual corresponde à uma exponencial no domínio frequência, por meio de funções de transferência (AGUIRRE, 2007b)
Bi = 0 0 0 1 , (29) Ci = h 12bi 1 ai 1τd2 − 6bi 1 ai 1τd bi 1 ai 1 0 i (30) As matrizes Q e R são definidas como
Q= µ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (31) R= β (32)
onde µ ≥ 0 e β > 0. Os parâmetros µ e β estão
diretamente relacionados à alocação ótima dos pólos uma vez que seja possível sua determinação.
Com base na equação (22) e nas equações (28), (29) e (30) as matrizes ˆAie ˆBi são obtidas. A matriz
P a ser obtida, consiste numa matriz real simétrica:
P= p11 p12 p13 p14 p15 p12 p22 p23 p24 p25 p13 p23 p33 p34 p35 p14 p24 p34 p44 p45 p15 p25 p35 p45 p55 (33)
Substituindo-se as matrizes ˆAi e ˆBi obtidas e as
equações (31) a (33) na equação (25), obtém-se o se-guinte sistema de equações:
µ− p14 2 β − 24p14 ai 1τd2 − 24b i 1p15 ai 1τd2 = 0 (34) p11− p14p24 β − 12p24 ai 1τd2 + 6b i 1p15 ai 1τd − 12b i 1p25 ai 1τd2 − 6p14(2ai2+ τd) ai 1τd2 = 0 (35) p12− p14 12 τd2 +6a i 2+ τd ai 1τd − p14p34 β − 12p34 ai 1τd2 − b i 1p15 ai 1 −12b i 1p35 ai 1τd2 = 0 (36)
p13− p14 ai 2 ai 1 + 6 τd −p14p44 β − 12p44 ai 1τd2 − 12bi 1p45 ai 1τd2 = 0 (37) −p14p45 β − 12p45 ai 1τd2 −12b i 1p55 ai 1τd2 = 0 (38) 2p12− p242 β + 12bi 1p25 ai 1τd − 12p24(2ai2 + τd) ai 1τd2 + 1 = 0 (39) p13+ p22− p24 12 τd2 + 6ai 2+τd ai 1τd − p24p34 β − bi 1p25 ai 1 + 6bi 1p35 ai 1τd − 6p34(2ai2+τd) ai 1τd2 = 0 (40) p14+ p23− p24 ai 2 ai 1 + 6 τd − p24p44 β + 6bi 1p45 ai 1τd −6p44(2a i 2+ τd) ai 1τd2 = 0 (41) p15− p24p45 β + 6bi 1p55 ai 1τd −6p45(2a i 2+ τd) ai 1τd2 = 0 (42) 2p23− 2p34 12 τd2 +6a i 2+ τd ai 1τd −p34 2 β − 2bi 1p35 ai 1 + 1 = 0 (43) p24+ p33− p34 ai 2 ai 1 + 6 τd − p44 12 τd2 +6a i 2+ τd ai 1τd − p34p44 β − bi 1p45 ai 1 = 0 (44) p25− p45 12 τd2 + 6a i 2+ τd ai 1τd − p34p45 β − bi 1p55 ai 1 = 0 (45) 2p34− 2p44 ai 2 ai 1 + 6 τd −p44 2 β + 1 = 0 (46) p35− p45 ai 2 ai 1 + 6 τd −p44p45 β = 0 (47) 1 −p45 2 β = 0 (48)
Após a solução numérica do sistema descrito pelas equações de (34) a (48), para a matriz P, matriz ˆKié
calculada a partir de (26) ˆ Ki = R−1BˆTi P = p14 β p24 β p34 β p44 β p45 β (49) A equação característica do sistema de controle, por sua vez, é dada por:
|sI5− ˆAi+ ˆBiKˆi| = s5+ai1p44τd2+6ai1βτd+ai2βτd 2 ai 1βτd2 s4+ 12ai 1β+βτd2+ai1p34τd2+6ai2βτd ai 1βτd2 s3+ 12ai 2β+6βτd+ai1p24τd2−bi1p45τd2 ai 1βτd2 s2+ ai 1p14τd2+6bi1p45τd+12β ai 1βτd2 s− 12bi1p45 ai 1βτd2 = 0
Após a obtenção do modelo da planta a ser contro-lada são obtidos todos os parâmetros dos submodelos lineares locais. Daí procede-se com a verradura de valores factíveis de µ e β para solução da equação al-gébrica de Riccati, para a matriz P e a consequente determinação das matrizes de ganho de controle por realimentação de estado para cada um dos submode-los e a base de dados de pósubmode-los factíveis.
4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Nesta seção, apresenta-se as etapas da modela-gem fuzzy Takagi-Sugeno, do projeto de controle
fuzzy multiobjetivo e a sua implementação na
plata-forma virtual/eletrônica baseada no LabVIEW e no
CompactRIO 9073 para controle de uma planta térmica.
4.1 Plataforma de Controle Virtual/Eletrônica A Figura 2 mostra a estrutura da plataforma desen-volvida, detalhando as conexões e a lógica da malha de controle. Como se pode observar na Figura 2, o sensor de temperatura é posicionado internamente na planta térmica (torradeira, ao centro), sendo a alimen-tação por uma tensão de 5 volts vinda do primeiro
canal do NI9263 e definida no LabVIEW. A saída do sensor é capturada pelo primeiro canal do módulo
NI9219; o segundo canal doNI9263 é responsá-vel por fornecer a tensão de controle que chega ao pino 11 do TCA 785. A tensão de rede é fornecida à planta térmica bem como ao circuito atuador. A outra conexão da planta térmica é o terminalMT2 do
TIC 226D. O sinal de entrada da planta térmica é fornecido ao primário de um transformador de tensão de relação de transformação 220 : 6, que é
equiva-lente a uma divisão por36, 67. Com a realização de
testes no transformador, foi obtida uma relação mais aproximada que equivale a uma divisão por35. O
se-cundário do transformador é conectado ao primeiro canal do módulo NI9215. A utilização do trans-formador se justifica pelo fato do módulo NI9215
possuir uma faixa de entrada de apenas ±10 volts,
impossibilitando a aquisição direta da tensão de en-trada da planta térmica, que pode chegar até220 volts
de valor eficaz. A Figura ainda mostra a conexão do computador com a controlador por meio de um cabo padrão Ethernet, possibilitando a comunicação entre a plataforma virtual e a plataforma eletrônica. A plataforma virtual, que contêm a Interface Homem-Máquina, possui controles e indicadores das variáveis de controle como referência de temperatura, número máximo de iterações do processo, tensão de controle do TCA 785, etc. A Figura 3 mostra a parte ini-cial da interface, desenvolvida no painel frontal do LabVIEW. Além dos itens já mencionados, a inter-face possibilita escolher o modo de malha - se malha aberta, adequado para experimentos controlados pelo operador, o qual irá estabelecer o sinal de entrada da planta. Este modo é utilizado para aquisição de dados de entrada e saída para identificação/validação. Ou malha fechada, para aplicações de técnicas (leis) de controle projetadas para a planta térmica. Este modo
foi selecionado para a aplicação do controlador fuzzy multiobjetivo proposto. A IHM também dispõe de um botão para parar o processo e diversos indicado-res numéricos e gráficos das principais variáveis do sistema de controle: saída da planta (temperatura), entrada da planta (tensão eficaz), gráficos das funções de pertinência, etc.
4.2 Modelagem Fuzzy Takagi-Sugeno do Sistema Térmico
Esta etapa de modelagem fuzzy T-S está baseada em dados experimentais de entrada e saída (identifica-ção) da planta térmica obtidos através de experimen-tos em malha aberta realizados com a plataforma de controle virtual/eletrônica. A seguir serão apresenta-dos cada um apresenta-dos passos do processo de identificação, aplicados na modelagem da planta térmica.
4.2.1 Realização do experimento sobre a planta e filtra-gem dos dados
Na Figura 4 é mostrado o sinal de entrada (tensão eficaz, em volts) aplicado à entrada da planta térmica e a respectiva saída (temperatura, em graus Celsius) obtida.
Este conjunto de dados, constituído de29942
pon-tos a um tempo de amostragem de 17 ms, é o
con-juntos a ser utilizado para identificação da planta tér-mica. Os dados mostrados no gráfico já estão filtra-dos. A filtragem foi feita através do Simulink do Ma-tlab, por meio de blocos de funções de transferência representando filtros passa-baixas, como mostra a Fi-gura 5.
4.2.2 Definição da estrutura e ordem do modelo
A estrutura de submodelo escolhida para ser utilizada na identificação do modelo fuzzy T-S da planta tér-mica é de função de transferência no tempo contínuo. Será considerada uma função de segunda ordem sem zeros. Assim, tem-se o seguinte i-ésimo submodelo:
Yi(s) Ui(s) = b(i) a1(i)s2+ a 2(i)s+ 1 (50)
Figura 2: Plataforma de controle virtual/eletrônica.
Figura 3: Interface da plataforma virtual de controle com
con-troles e indicadores das principais variáveis.
Esta estrutura de submodelo é utilizada para fins de conveniência do algoritmo de identificação. A es-trutura realmente utilizada para o projeto de controle é no espaço de estados e apresenta o acréscimo de or-dem referente ao atraso puro de tempo representado pela aproximação de Padè.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 50 100 150 Tempo (minutos)
Tensão eficaz (Volts)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 50 100 150 Tempo (minutos) Temperatura (ºC)
Figura 4: Teste dinâmico para identificação aplicado à planta
térmica. A tensão alternada, elucidada pelo seu valor eficaz, é aplicada à planta cuja resposta temporal é temperatura, em graus Celsius.
Transfer Fcn3 1 60s+1 To Workspace6 ddsaida_term To Workspace5 dsaida_term To Workspace4 saida_term To Workspace3 ddsaida_filtrada To Workspace2 dsaida_filtrada To Workspace1 saida_filtrada To Workspace entrada_filtrada Scope3 Scope2 Scope1 Scope From Workspace1 saida From Workspace entrada Derivative3 du/dt Derivative2 du/dt Derivative1 du/dt Derivative du/dt Constant 24.2951 Analog Filter Design1 butter Analog Filter Design butter
Figura 5: Diagrama em blocos no Simulink para filtragem dos
dados e também obtenção das derivadas do sinal de saída.
4.2.3 Estimação paramétrica e obtenção do modelo fuzzy T-S
O algoritmo de agrupamento fuzzy c-means junta-mente com o método dos mínimos quadrados ponde-rados para estimação dos parâmetros do consequente foi aplicado ao sinal de saída filtrado mostrado na Fi-gura 4. A matriz de regressores X apresenta a se-guinte estrutura em conformidade com a estrutura e ordem do submodelo escolhida:
X =
entrada −segunda derivada da saída
−primeira derivada da saída (51) Uma vez fornecidos os dados experimentais da
planta térmica ao algoritmo de agrupamento, o pró-ximo passo é a escolha da quantidade de tos (clusters). Para uma escolha de dois agrupamen-tos de dados, obtêm-se a representação na Figura 6.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Espaço de Saída Espaço de Saída ← Centro Cluster 1 Centro Cluster 2 →
Figura 6: Agrupamento e classificação de dados saída-saída
da planta térmica. O primeiro cluster (em verde), representa a região de baixa temperatura e média temperatura. O segundo
cluster (em amarelo) representa a região de altas temperaturas.
As funções de pertinência fornecidas pelo algo-ritmo a partir da escolha de dois agrupamentos são mostradas na Figura 7. Elas correspondem à ativação dos dois submodelos lineares a serem obtidos para representação da planta térmica. Um submodelo re-presenta as regiões de baixa e média temperatura e outro representa a região de altas temperaturas.
A próxima saída do algoritmo de identificação consiste dos parâmetros dos submodelos lineares. Os dois submodelos lineares fornecido pelo algoritmo são dados pelas funções:
Y1(s) U1(s) = 1.0432 318.3806 × 103s2+ 1.3701 × 103s+ 1 (52) Y2(s) U2(s) = 1.2290 154.9031 × 103s2+ 1.2580 × 103s+ 1 (53) O submodelo em sua representação completa, con-tudo é na forma de espaço de estados e incorpora
20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Temperatura (graus Celsius)
Grau de Pertinência
Figura 7: Funções de pertinência do modelo fuzzy T-S da planta
térmica. A função de pertinência da esquerda corresponde ao submodelo da região de baixa e média temperatura enquanto que a da direita representa a região de altas temperaturas.
o atraso puro de tempo obtido através de correlação cruzada entre os dados de entrada e saída da planta térmica, como mostra a Figura 8. O valor do atraso de tempo é determinado a partir do atraso correspon-dente ao ponto de máximo do gráfico (966),
conside-rando o tempo de amostragem de17 ms, fornecendo
um atraso τd = 1.6422 s. A aproximação de Padè
de segunda ordem para esse valor de atraso puro de tempo, é dada por:
R2(s) = τd 2s2− 6τ ds+ 12 τd2s2+ 6τds+ 12 = 2.6968s2− 9.8532s + 12 2.6968s2+ 9.8532s + 12 (54)
Atribuindo esta aproximação do atraso às fun-ções de pertinência dos submodelos obtidos (equa-ções (52) e (53)) e em seguida convertendo para a re-presentação no espaço de estados, obtemos a base de regras do modelo fuzzy Takagi-Sugeno para a planta térmica, conforme ilustrada na Tabela 1.
As regiões F1 e F2 podem ser representadas por
−3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 X= 966 Y= 0.77451 Atraso Correlação Cruzada
Figura 8: Função de correlação cruzada aplicada aos sinais de
entrada e saída da planta térmica. O ponto de máximo permite determinar o valor do atraso puro de tempo.
funções de pertinência dadas por:
F1(T emp., a, b)|(a=120;b=132.5) = 1, T emp.≤ a 1 − 2 T emp.−ab−a 2 , a≤ T emp. ≤ a+b 2 2 T emp.−ab−a 2 , a+b2 ≤ T emp. ≤ b 0, T emp.≥ b (55)
com F2 = 1 − F1. Esta representação corresponde
às funções mostradas na Figura 7. A equação 55 cor-responde às funções com “forma Z” (Z-shaped). A função de pertinência para F2 é obtida pelo
comple-mento de F1. A equação 55 é útil para atribuição das
funções de pertinência na plataforma de controle, uti-lizando o bloco formula node.
4.2.4 Validação e ajuste fino do modelo fuzzy T-S obtido
Os dados de validação utilizados (diferentes dos da-dos de identificação) são mostrada-dos nos gráficos da Figura 9
O gráfico da Figura 10 mostra o comparativo da curva de saída dos dados de validação com a curva de saída do modelo identificado.
O fato de haver presença de ruído nos sinais de entrada e saída da planta térmica e considerando a formulação no tempo contínuo na qual aparecem ter-mos derivativos do sinal de saída na matriz de
regres-Base de Regras - Modelo Fuzzy T-S R1: SE Temp. é F 1ENTÃO ˙ x(t) = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −13.97599 × 10−6 −19.16026 × 10−3 −4.46541 −3.65794 x(t) + 0 0 0 1 u1 y(t) = 14.58032 × 10−6 −11.97190 × 10−6 3.27671 × 10−6 0 x(t) R2: SE Temp. é F2ENTÃO ˙ x(t) = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −28.72559 × 10−6 −36.16109 × 10−3 −4.47936 −3.66176 x(t) + 0 0 0 1 u2 y(t) = 35.30396 × 10−6 −28.98808 × 10−6 7.93404 × 10−6 0 x(t)
Tabela 1: Base de regras do modelo fuzzy Takagi-Sugeno para a planta térmica. ‘Temp.’ indica temperatura. F1representa a região de baixa e média temperatura e F2representa a região de altas temperaturas.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 104 0 50 100 150 Tempo (minutos)
Tensão eficaz (Volts)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 104 0 50 100 150 200 Tempo (minutos) Temperatura (°C)
Figura 9: Teste dinâmico para obtenção de dados de validação
aplicado à planta térmica. A tensão alternada, elucidada pelo seu valor eficaz, é aplicada à planta cuja resposta temporal é temperatura, em graus Celsius.
sores, os quais amplificam o ruído, o algoritmo dos mínimos quadrados tem um desempenho insatisfató-rio na estimação dos parâmetros do consequente, não permitindo a validação do modelo obtido, conforme visto na Figura 10. Deste modo, o modelo fuzzy T-S identificado foi submetido a um processo de otimiza-ção por algoritmo genético (AG). O gráfico da Figura 10 subtende que ajustes são necessários apenas nos ganhos dos submodelos e nas funções de pertinência. Assim, o cromossomo é composto pelos elementos de ganho dos submodelos e pelos intensificadores (mi)
0 2 4 6 8 10 12 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tempo (minutos)
Temperatura (graus Celsius)
Figura 10: Comparativo entre a resposta do modelo fuzzy
iden-tificado e a saída real da planta térmica.
das funções de pertinência:
cromossomo= b(1) b(2) m1 m2
(56) A Tabela 2 mostra os parâmetros do algoritmo genético utilizado para otimização do modelo fuzzy Takagi-Sugeno obtido para a planta térmica:
As funções de pertinência fornecidas para inici-alização do AG não foram com os valores forneci-dos pelo algoritmo de identificação, representadas na equação 55, mas sim funções da mesma forma com parâmetros a = 50 e b = 170, considerando que o
Parâmetro Valor
Tamanho do cromossomo 4
Tamanho da população 50
Número de gerações 300
Probabilidade de crossover aritmético 85%
Probabilidade de seleção natural 50%
Probabilidade de mutação 85%
Tabela 2: Especificações dos parâmetros do algoritmo genético
para otimização do modelo fuzzy identificado.
forneceu um melhor resultado do modelo. A fun-ção de custo do AG (fitness) é baseada na norma da diferença entre os vetores de dados da saída real (yreal) e da saída do modelo (ymodelo). Na Figura 11
é mostrada a otimização do modelo T-S por meio do AG. A norma do modelo fuzzy T-S identificado é de
3653.706. A norma do modelo fuzzy T-S otimizado,
por sua vez, é de1108.212.
Com a otimização, os ganhos dos submodelos lineares 1 e 2 passaram a ser, respectivamente, 919.874482693833 × 10−3 e1.14203009259494. Os
intensificadores m1 e m2 das funções de pertinência,
que realizam as operações (F1)m
1
e (F2)m
2
, ficaram com os valores m1 = 991.157707944464 × 10−3 e
m2 = 1.00127740549514. Lembrando que dado um
intensificador mi, se mi > 1, ele realiza a
opera-ção de contraopera-ção sobre a funopera-ção de pertinência. Caso
0 < mi <1, a operação é de dilatação.
A base de regras do modelo fuzzy T-S otimizado, isto é, o modelo obtido após a aplicação do algoritmo genético para melhoria de seus parâmetros, é mos-trado na Tabela 3. A verificação da matriz de saída de cada um dos submodelos lineares no espaço de es-tados permite ver claramente a diminuição do ganho necessária para que o modelo de fato obtivesse um desempenho próximo da saída real, de acordo com a Figura 10, consolidando a sua validação.
O algoritmo genético desenvolvido utiliza diagra-mação em blocos do Simulink para geração da saída do modelo a cada geração e consequentemente auxi-liar na determinação do custo. Este diagrama em blo-cos representa o modelo fuzzy T-S da planta térmica com suas funções de pertinência e submodelos
linea-0 2 4 6 8 10 12 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Tempo (minutos) Temperatura (ºC)
Figura 11: Otimização via algoritmo genético do modelo fuzzy
T-S da planta térmica. A linha sólida indica a saída da planta tér-mica, a linha tracejada indica a saída do modelo T-S identificado e a linha traço e ponto indica a saída do modelo T-S otimizado.
res bem como as estruturas adicionais para garantir a representação de modelo e captura das variáveis ne-cessárias para a continuidade do AG, como saída do modelo fuzzy, erro absoluto, etc. O diagrama em blo-cos é mostrado na Figura 12
O bloco com a função de transferência na reali-mentação do modelo fuzzy T-S é apenas para conver-gência numérica do Simulink.
4.3 Projeto de controle fuzzy T-S da planta tér-mica
Na Figura 13 são mostradas diferentes respostas tem-porais do sistema de controle fuzzy T-S baseado na metodologia proposta para diferentes alocações de pólos.
As curvas da Figura 13 são resultados experimen-tais obtidos do controle fuzzy em malha fechada da planta térmica utilizando a plataforma de controle vir-tual/eletrônica proposta. Os ganhos do controlador
fuzzy (segundo a metodologia proposta) obtidos para
cada grupo de pólos escolhidos bem como as fun-ções de pertinência determinadas durante a modela-gem são programados na diagramação em blocos no LabVIEW. Os valores de referência e de número de
Base de Regras - Modelo Fuzzy T-S otimizado R1: SE Temp. é F 1ENTÃO ˙ x(t) = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −13.97599 × 10−6 −19.16026 × 10−3 −4.46541 −3.65794 x(t) + 0 0 0 1 u1 y(t) = 12.85615 × 10−6 −10.55619 × 10−6 2.88923 × 10−6 0 x(t) R2: SE Temp. é F2ENTÃO ˙ x(t) = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −28.72559 × 10−6 −36.16109 × 10−3 −4.47936 −3.66176 x(t) + 0 0 0 1 u2 y(t) = 32.80549 × 10−6 −26.93659 × 10−6 7.37254 × 10−6 0 x(t)
Tabela 3: Base de regras do modelo fuzzy Takagi-Sugeno (otimizado) para processo térmico. ‘Temp.’ indica temperatura. F1 representa a região de baixa e média temperatura e F2representa a região de altas temperaturas.
Saída Global do modelo T−S Transfer Fcn 1 0.1s+1 To Workspace1 errofz To Workspace saidafz
Temperatura (graus Celsius)
Submodelos Lineares
In1 In2 In3 Out1 Out2 Sinal de Entrada entradavalid Saída da Planta Térmica saidavalid Funções de Pertinência In1 Out1 Out2
Figura 12: Diagrama em blocos do modelo fuzzy T-S para
auxí-lio no cálculo do custo pelo algoritmo genético a cada geração.
0 2 4 6 8 10 12 14 20 40 60 80 100 120 140 160 Tempo (minutos) Temperatura (ºC)
Figura 13: Repostas temporais do sistema de controle fuzzy.
Os pólos correspondentes à resposta transitória na região in-termediária das três curvas são: −96.715, −845.47 × 10−3± 554.3361× 10−3j,−319.964 × 10−3e−2.03 × 10−6.
iterações bem como o acompanhamento de todas as variáveis do sistema de controle é feita no painel fron-tal, onde é estabelecida a interface da plataforma.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 5.1 Conclusões
Neste artigo foi apresentada uma metodologia de controle, a qual combina, em um contexto fuzzy, as técnicas de alocação de pólos no espaço de estado e do regulador linear quadrático (LQR), permitindo que estas, comumente aplicadas em controle de plan-tas lineares, possam ter sua aplicação estendida para plantas não lineares, através da estrutura funcional do
sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno. Como visto, tal metodologia contempla tanto o projeto de sistemas de controle regulador quanto de sistemas de controle servo. Para este, considerou-se na formula-ção o atraso puro de tempo da planta a ser contro-lada, garantindo uma melhor representação dos as-pectos de plantas reais, nesse sentido. Para o caso do sistema de controle regulador, os resultados de simu-lação, mostrados no exemplo computacional na Se-ção ??, evidenciaram que o controlador proposto per-mitiu uma resposta temporal satisfatória para o ma-nipulador robótico (uma planta não-linear) de acordo com a alocação dos pólos desejados, garantindo a oti-malidade de desempenho. A região factível obtida, em virtude do caráter multiobjetivo da metodologia, mostra que é impossível alocar quaisquer pólos no se-miplano esquerdo do plano complexo, considerando, desta forma, a imposição dos critérios de otimalidade estabelecidos sobre o processo de alocação dos pólos desejados de malha fechada. No caso do sistema de controle servo, os resultados que evidenciam a apli-cação e eficácia da metodologia são vistos em uma aplicação prática de controle sobre um sistema tér-mico, implementada em uma plataforma de controle virtual/eletrônica baseada nos softwares LabVIEW e na controladora CompactRIO 9073. Uma vanta-gem da abordavanta-gem proposta, é a possibilidade de aná-lise da estabilidade e robustez, o que é uma difícil ta-refa em controle fuzzy baseado em conhecimento.
5.2 Propostas para Trabalhos Futuros
Como propostas futuras, a pesquisa tem os seguintes aspectos de interesse:
• Extensão da metodologia para sistemas
multiva-riáveis;
• Abordagem da metodologia no domínio do
tempo discreto;
• Análise de estabilidade considerando o atraso
puro de tempo.
6 AGRADECIMENTOS
Agradecimentos à FAPEMA e ao CNPq pelo apoio financeiro, e ao Laboratório de Inteligência Compu-tacional Aplicada à Tecnologia (ICAT), do Departa-mento de Eletroeletrônica (DEE), do Instituto Fede-ral de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão (IFMA), pela infraestrutura adequada para o desen-volvimento de todas as etapas deste projeto de pes-quisa.
REFERÊNCIAS
ABRAHAM, A. et al. Foundations of Computational
Intelligence Volume 3: Global Optimization. [S.l.]:
U.S. Government Printing Office, 2009. (Studies in Computational Intelligence).
AGUIRRE, L. A. (Ed.). Enciclopédia de automática:
controle e automação. [S.l.]: Blucher, 2007.
AGUIRRE, L. A. Introdução à Identificação de
Sis-temas – Técnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sistemas Reais. 3. ed. [S.l.]: Editora UFMG, 2007.
BABUŠKA, R. Fuzzy Modeling for Control. [S.l.]: Kluwer Academic Publishers, 1998. (International Series in Intelligent Technologies).
BARROS, L. C. de; BASSANEZI, R. C. Tópicos
de Lógica Fuzzy e Biomatemática. [S.l.]:
Unicamp-Imecc, 2006. (Colecao IMECC. Textos Didáticos). BERGSTEN, P. Observer and Controllers for
Takagi-Sugeno Fuzzy Systems. 117 p. Tese (Doctoral
Disser-tation) — Örebro University, Örebro, 2001.
BUTT, N.; SHAFIQ, M.; KHAN, T. An adaptive root-solving controller for tracking of nonlinear dy-namic plants. In: Industrial Electronics and
Con-trol Applications, 2005. ICIECA 2005. International Conference on. [S.l.: s.n.], 2005. p. 6 pp.–6.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle
modernos. [S.l.]: LTC, 2009.
ENGELBRECHT, A. P. Computational Intelligence:
IOANNOU, P. A.; PITSILLIDES, A. Modeling and
Control of Complex Systems. [S.l.]: Taylor & Francis,
2010. (Automation and Control Engineering).
KLIR, G. J.; YUAN, B. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic:
Theory and Aplications. [S.l.]: Prentice Hall, 1995.
LENDEK, Z. et al. Stability Analysis and Nonlinear
Observer Design Using Takagi-Sugeno Fuzzy Mo-dels. [S.l.]: Springer, 2010. (Studies in Fuzziness and
Soft Computing).
PEDRYCZ, W. Computational Intelligence: An
In-troduction. [S.l.]: Taylor & Francis, 1997. (Computer
engineering, software programming).
SERRA, G. L. O. Propostas de Metodologias para
Identificação e Controle Inteligentes. 127 p. Tese
(Tese de Doutorado) — Unicamp / FEEC / DMSCI, Campinas, SP, 2005.
SERRA, G. L. O. (Ed.). Frontiers in Advanced
Con-trol Systems. [S.l.]: Intech, 2012.
TAKAGI, T.; SUGENO, M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control.
IEEE Transactions on Systems, Man and Cyberne-tics, SMC-15, n. 1, p. 116–132, Jan 1985. ISSN
0018-9472.
BIOGRAFIA DOS AUTORES
Dr. Ginalber L. O. Serra recebeu os graus de Bacharelado e Mestre em engenharia elétrica pela Univer-sidade Federal do Maranhão, Ma-ranhão, Brasil, em 1999 e 2001, respectivamente. Ele recebeu o grau de Doutor em Engenharia Elé-trica pela Universidade Estadual de Campinas (UNI-CAMP), Campinas-SP, Brasil, em Setembro de 2005. Ele terminou sua pesquisa de Pós-doutorado em con-trole adaptativo neuro-fuzzy multivariável de sistemas não lineares, no Departamento de Máquinas, Compo-nentes e Sistemas Inteligentes da Universidade Esta-dual de Campinas, Campinas, Brasil, em Setembro de 2006. Entre 2006 e 2007, foi pesquisador do Depar-tamento de Engenharia Elétrica da Universidade de
Santiago (USACH), Chile. Atualmente é professor e chefe do grupo de pesquisa em Inteligência Computa-cional Aplicada à Tecnologia, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFMA), São Luis-MA, Brasil; e professor permanente do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Eletricidade, da Universidade Federal do Maranhão (UFMA), São Luis-MA, Brasil. Dr. Serra é Editor do livro Fron-tiers in Advanced Control Systems (InTech, 2012), e atua como revisor de várias conferências e revistas de prestígio. Seu interesse de pesquisa inclui temas sobre sistemas fuzzy, redes neurais, computação evo-lutiva, instrumentação para controle de alto desem-penho, controle em tempo real, processamento de si-nais, aplicações em automação e controle industrial.
Rafael J. M. Santos Graduado em Engenharia Elé-trica Industrial, pelo Instituto Federal de Educa-ção, Ciência e Tecnologia do Maranhão, em 2014. Foi bolsista como pesquisador junto ao Grupo de Inteligência Computacional Aplicada à Tecnologia (IFMA/CNPq) de 2010 a 2013, desenvolvendo suas atividades nos seguintes temas: modelagem e con-trole de sistemas não-lineares utilizando lógica nebu-losa.
