slides AL ALineares

(1)

Cap´ıtulo 4

(2)

Defini¸

c˜

ao de Aplica¸

c˜

ao Linear

Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F. Uma aplica¸c˜}ao f : E → E0 diz-se linear se:

(i) ∀ −→x ,−→_{y ∈ E} f (−→x + −→y ) = f (−→x ) + f (−→y ) (ii) _{∀ α ∈ F, ∀} −→_{x ∈ E} f (α−→x ) = αf (−→x ).

Exemplos

1 _{— Se E e E}0 s˜ao espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, a}

aplica¸cão _{f : E → E}0 definida por f (−→x ) = −→0 _E0 é linear (a aplica¸cão linear nula), uma vez que:

(i) f (−→x + −→y ) = −→0 _E0 = − → 0 _E0 + − → 0 _E0 = f (−→x ) + f (−→y ) e (ii) f (α−→x ) = −→0 _E0 = α − → 0 _E0 = αf (−→x ).

(3)

2 _{— Se E ´}e um espa¸_{co vectorial sobre F, a aplica¸c˜}ao _{f : E → E} definida por f (−→x ) = −→x ´e linear (a aplica¸c˜ao linear identidade, frequentemente denotada por 1_E):

(i) f (−→x + −→y ) = −→x + −→y = f (−→x ) + f (−→y ) (ii) f (α−→x ) = α−→x = αf (−→x ).

3 — A aplica¸c˜ao _{f : R}3 _{→ R}2 tal que f (x, y, z) = (x + y + z, 2x − y) ´e linear, uma vez que:

(i) f ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = = ((x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2)) = = ((x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2), (2x1 − y1) + (2x2 − y2)) = = (x1 + y1 + z1, 2x1 − y1) + (x2 + y2 + z2, 2x2 − y2) =

= f (x₁, y₁, z₁) + f (x₂, y₂, z₂)

(ii) f (α(x, y, z)) = f (αx, αy, αz) = (αx + αy + αz, 2αx − αy) = = (α(x + y + z), α(2x − y)) = α(x + y + z, 2x − y) = αf (x, y, z).

(4)

4 — Já as fun¸cões que se seguem não são lineares: (a) _{f : R}2 _{→ R}2 definida por f (x, y) = (xy, x + y)

(b) _{f : R}2 _{→ R}3 definida por f (x, y) = (2x + y, 1, x − y) (c) _{f : R}3×1 _{→ R}2 definida por f (     a b c     ) = (a2, b + c − 2) Com efeito, (a) f (2, 3) = (2 × 3, 2 + 3) = (6, 5), f ((−1)(2, 3)) = f (−2, −3) = (6, −5) e (−1)f (2, 3) = (−6, −5) 6= (6, −5) = f ((−1)(2, 3)).

(5)

(b) f (1, 1) = (2 + 1, 1, 1 − 1) = (3, 1, 0), f (−1, −1) = (−2 − 1, 1, −1 + 1) = (−3, 1, 0), f ((1, 1) + (−1, −1)) = f (0, 0) = (0, 1, 0) 6= (0, 2, 0) = f (1, 1) + f (−1, −1). (c) f (     1 0 2     ) = (12, 0 + 2 − 2) = (1, 0) e f (2     1 0 2     ) = f (     2 0 4     ) = (22, 0 + 4 − 2) = (4, 2) 6= 2f (     1 0 2     ) = 2(1, 0) = (2, 0).

(6)

• Se _{f : E → E}0 é uma aplica¸cão linear então:

(a) f (−→0 _E) = −→0 _E0

(b) f (−−→x ) = −f (−→x )

(c) f (−→x − −→y ) = f (−→x ) − f (−→y ).

• Se E e E0 são espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, uma} aplica¸cão _{f : E → E}0 é linear se e só se

(7)

• Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F,} _{E com} dimens˜ao finita, B = (−→e 1, −→e 2, . . . , −→e n) uma base de E e

− →_u

1,−→u 2, . . . , −→u n vectores arbitrários de E0. Então existe uma e uma só

aplica¸c˜_{ao linear f : E → E}0 tal que

∀i ∈ {1, 2, . . . , n} f (−→e i) = −→u i.

Mais ainda,

se −→x = a1−→e 1 + a2−→e 2 + · · · + an−→e n ent˜ao

(8)

Exemplos

1 — Consideremos a aplica¸c˜ao _{linear ϕ : R}2 _{→ R}3 tal que

ϕ(1, 1) = (1, 0, −1) e ϕ(1, 0) = (0, 2, 1).

Determinamos a express˜ao geral de ϕ.

(x, y) = y(1, 1) + (x − y)(1, 0) ⇒

⇒ ϕ(x, y) = ϕ(y(1, 1) + (x − y)(1, 0)) =

= yϕ(1, 1) + (x − y)ϕ(1, 0) = y(1, 0, −1) + (x − y)(0, 2, 1) = = (y, 0, −y) + (0, 2x − 2y, x − y) = (y, 2x − 2y, x − 2y).

(9)

2 — Determinamos uma aplica¸c˜ao _{linear g : R}3 _{→ R}3 tal que

g(1, 2, 3) = (0, 0, 0) e (1, 2, 3) ∈ _g(R3).

Os vectores (1, 2, 3), (0, 1, 0), (0, 0, 1) _{constituem uma base de R}3. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao linear _{g : R}3 _{→ R}3 tal que

g(1, 2, 3) = (0, 0, 0), g(0, 1, 0) = (1, 2, 3), g(0, 0, 1) = (0, 0, 1), satisfaz as duas condi¸c˜oes requeridas.

3 — A aplica¸c˜ao _{linear f : R}2 _{→ R}2 tal que f(1, 0) = (0, 1),

f(0, 1) = (1, 0) é a simetria do plano em rela¸cão à recta y = x. Com efeito, ∀(x, y) _{∈ R}2,

f(x, y) = f(x(1, 0) + y(0, 1)) = xf(1, 0) + yf(0, 1) = = x(0, 1) + y(1, 0) = (y, x).

(10)

N´

ucleo e Imagem. Classifica¸

c˜

ao de um Morfismo

Seja _{f : E → E}0 uma aplica¸c˜ao linear. Chama-se:

(a) N´ucleo de f, e denota-se por N uc(f ) ou por Ker(f ), ao subconjunto de E formado por todos os vectores cuja imagem por f ´e o vector nulo de E0, ou seja,

N uc(f ) = {−→_{x ∈ E : f (}−→x ) = −→0 _E0}.

(b) Imagem de f, e denota-se por Im(f ), ao contradom´ınio de f, isto ´e,

Im(f ) = {f (−→x ) : −→_{x ∈ E} = f (E)}.

• Nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao anterior, tem-se que: (a) _{N uc(f ) ≤ E}

(11)

• Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita,

B = (−→e 1, −→e 2, . . . , −→e n) uma base de E e f : E → E0 uma aplica¸c˜ao

linear. Ent˜ao

Im(f ) =< f(−→e 1), f(→−e 2), . . . , f(−→e n)>.

Observa¸c˜ao

Se _E é um espa¸co vectorial de dimensão finita e _{f : E → E}0 é uma aplica¸cão linear, Im(f ) também tem dimensão finita. Mais ainda,

dim(Im(f )) ≤ dim(E).

Por outro lado, como _{N uc(f ) ≤ E}, tamb´em N uc(f ) tem dimens˜ao finita e _{dim(N uc(f )) ≤ dim(E)}.

Veremos a seguir como se relacionam as dimens˜oes de N uc(f ), Im(f ) e E.

(12)

Se E é um espa¸co vectorial de dimensão finita e _{f : E → E}0 é uma aplica¸cão linear, à dimensão de N uc(f ) chama-se nulidade de f,

denotando-se por nf e `a dimens˜ao de Im(f ) chama-se caracter´ıstica de f, e denota-se por cf.

• Teorema da Dimens˜ao

Sejam _E um espa¸co vectorial de dimensão finita e _{f : E → E}0 uma aplica¸cão linear. Então,

dim(E) = dim(N uc(f )) + dim(Im(f ))

ou, abreviadamente,

(13)

Uma aplica¸c˜ao _{linear f : E → E}0 diz-se um: (i) monomorfismo se ´e injectiva;

(ii) epimorfismo se ´e sobrejectiva; (iii) isomorfismo se ´e bijectiva; (iv) endomorfismo se _E0 _{= E};

(v) automorfismo se ´e um endomorfismo bijectivo.

• Uma aplica¸cão _{linear f : E → E}0 é um monomorfismo se e só se N uc(f ) = {−→0 _E}.

Observa¸c˜ao

Se _{f : E → E}0 é linear e _E tem dimensão finita então: (i) f é um monomorfismo sse nf = 0;

(ii) f ´e um epimorfismo (_{Im(f ) = E}0) sse cf = dim(E0);

(14)

• Sejam _E e _E0 espa¸cos vectoriais com a mesma dimens˜ao (finita) e

f : E → E0 uma aplica¸cão linear. Então, f é um monomorfismo se e só se ´

e um epimorfismo. Observa¸c˜ao

1 — Para que uma aplica¸c˜ao linear entre espa¸cos vectoriais com a mesma dimens˜ao seja bijectiva, basta que seja injectiva ou sobrejectiva.

2 — Só podem existir isomorfismos entre espa¸cos vectoriais com a mesma dimensão. Com efeito, de acordo com o Teorema da Dimensão se:

(a) _{dim(E) < dim(E}0), f nunca ´e sobrejectiva

(cf = dim(E) − nf ≤ dim(E) < dim(E0)); (b) _{dim(E) > dim(E}0), f nunca ´e injectiva

(15)

• Seja _{f : E → E}0 uma aplica¸c˜ao linear. Ent˜ao f transforma vectores

linearmente independentes em vectores linearmente independentes se e s´o se f ´e um monomorfismo.

Observa¸c˜ao

Se _E ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita, B = (−→e 1, −→e 2, . . . , −→e n)

uma _{base de E} e _{f : E → E}0 um monomorfismo, ent˜ao

(16)

Soma, Multiplica¸

c˜

ao por Escalar, Composta e Inversa de

Aplica¸

c˜

oes Lineares

• Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F,} _{λ ∈ F}, f : E → E0 e _{g : E → E}0 aplica¸cões lineares. Então as aplica¸cões,

(a) _{(f + g) : E → E}0 definida por (f + g)(−→x ) = f (−→x ) + g(−→x ), ∀−→_{x ∈ E} (b) _{(λf ) : E → E}0 definida por (λf )(−→x ) = λf (−→x ), ∀−→_{x ∈ E}

s˜ao lineares.

• Sejam E, E0 e E00 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F,} g : E → E0 e _{f : E}0 _{→ E}00 aplica¸c˜oes lineares. Ent˜ao

(f ◦ g) : E → E00 definida por (f ◦ g)(−→x ) = f (g(−→x )), ∀−→_{x ∈ E} ´

(17)

• Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F e} _{f : E → E}0 um isomorfismo. Ent˜ao f−1 _{: E}0 _{→ E} ainda ´e um isomorfismo.

Observa¸c˜ao

De acordo com os dois resultados anteriores, podemos afirmar que a

composta de duas aplica¸cões lineares ainda é linear e que a inversa de um isomorfismo é um isomorfismo.

(18)

Matriz de uma Aplica¸

c˜

ao Linear

No que se segue, todos os espa¸cos vectoriais mencionados tˆem dimens˜ao finita.

Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, de dimens˜}oes n e p respectivamente,

B₁ = (−→e ₁, −→e ₂, . . . , −→e _n) uma _{base (ordenada) de E},

B₂ = (−→e0 1, − → e0 2, . . . , − →

e0 p) uma base (ordenada) de E0 e f : E → E0 uma

aplica¸cão linear. Então, a matriz de f em rela¸cão às bases B₁ e B₂, M(f; B₁,B₂) , é

(19)

M(f; B₁,B₂) =         a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . .. ... ap1 ap2 . . . apn         , onde,                f(−→e 1) = a11 − → e0 1 + a21 − → e0 2 + · · · + ap1 − → e0 p f(−→e 2) = a12 − → e0 1 + a22 − → e0 2 + · · · + ap2 − → e0 p .. . f(−→e n) = a1n − → e0 1 + a2n − → e0 2 + · · · + apn − → e0 p . Ou, matricialmente: h f(−→e ₁) f(−→e ₂) . . . f(−→e _n) i = h −→e0 ₁ −→e0 ₂ . . . −→e0 _p i A,

(20)

Observa¸c˜ao

• Se f é uma aplica¸cão linear e A é a matriz de f em rela¸cão a certas bases, dim(Im(f )) = cf = c(A).

Exemplo

Sejam _{f : R}2 _{→ R}3 a aplica¸c˜ao linear definida por f (x, y) = (2x, x − y, 3y),

B₁ = ((1, 0), (0, 1)),B₂ = ((1, 1), (−1, 2)_{) bases de R}2 e

B0₁ = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)),

(21)

(a) M(f; B₁, B0₁) f(1, 0) = (2, 1, 0) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1) f(0, 1) = (0, −1, 3) = 0(1, 0, 0) + (−1)(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1), logo, M(f; B₁, B0₁) =     2 0 1 −1 0 3     . (b) M(f; B₂, B0₂) f(1, 1) = (2, 0, 3) = 3(1, 1, 1) + (−3)(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0) f(−1, 2) = (−2, −3, 6) = 6(1, 1, 1) + (−9)(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0), logo, M(f; B₂,B0₂) =     3 6 −3 −9 2 1     .

(22)

• Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F,}

B1 = (−→e 1, −→e 2, . . . , −→e n) uma base (ordenada) de E, B₂ = (−→e0 1, − → e0 2, . . . , − →

e0 p) uma base (ordenada) de E0, f : E → E0 uma

aplica¸c˜ao linear e A = M(f; B₁,B₂). Se X ´e a coluna de coordenadas de −

→

x _{∈ E relativamente à base} B₁ então AX é a coluna de coordenadas de f(−→x _{) ∈ E}0 relativamente à base B₂.

Exemplo

Seja _{f : R}2 _{→ R}3 a aplica¸cão linear cuja matriz em rela¸cão às bases

B₁ = ((1, 1), (−1, 2)) _{de R}2 e B₂ = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) _{de R}3 ´e A =     3 6 −3 −9 2 1    

(23)

(1, 0) = 2₃(1, 1) + (−1₃)(−1, 2), e A   2 3 −1₃   =     3 6 −3 −9 2 1       2 3 −1₃   =     0 1 1     , logo, f(1, 0) = 0(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0) = (2, 1, 0). Analogamente,

(24)

(x, y) = y+2x₃ (1, 1) + y−x₃ (−1, 2), e A   y+2x 3 y−x 3   =     3 6 −3 −9 2 1       y+2x 3 y−x 3   =     3y x − 4y x + y     , logo, f(1, 0) = 3y(1, 1, 1)+(x − 4y)(1, 1, 0)+(x + y)(1, 0, 0) = (2x, x − y, 3y).

(25)

• Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, λ ∈ F,}

f : E → E0 e _{g : E → E}0 aplica¸c˜oes lineares, B₁ _{uma base de E,} B₂ uma base de E0.

Se A = M(f;B₁, B₂) e B = M(g; B₁, B₂) ent˜ao

A + B = M(f + g; B₁, B₂)

e

(26)

• Sejam E, E0 e E00 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F,}

f : E → E0 e _{g : E}0 _{→ E}00 aplica¸c˜oes lineares, B₁ _{uma base de E,} B₂ uma base de E0, B₃ _{uma base de E}00 .

Se A = M(f;B₁, B₂) e B = M(g; B₂, B₃) ent˜ao BA = M(g ◦ f; B1, B3).

• Sejam E e E0 espa¸_{cos vectoriais sobre um mesmo corpo F,}

f : E → E0 um isomorfismo, B₁ _{uma base de E,} B₂ _{uma base de E}0. Se A = M(f;B1, B2) ent˜ao

(27)

Exemplo

Sejam f1 : R2 → R3, f2 : R2 → R3, g : R3 → R3 as aplica¸c˜oes lineares

definidas por f1(x, y) = (2x, x − y, 3y),

f2(x, y) = (x + 2y, −y, 0), g(x, y, z) = (x + y, y − z, x − z),

B₁ = ((1, 0), (0, 1)) a base can´_{onica de R}2 e

B₂ = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) a base can´_{onica de R}3. f₁(1, 0) = (2, 1, 0), f₁(0, 1) = (0, −1, 3) ⇒ ⇒ A₁ = M(f1; B1, B2) =     2 0 1 −1 0 3     , f2(1, 0) = (1, 0, 0), f2(0, 1) = (2, −1, 0) ⇒ ⇒ A₂ = M(f2; B1, B2) =     1 2 0 −1 0 0     ,

(28)

g(1, 0, 0) = (1, 0, 1), g(0, 1, 0) = (1, 1, 0), g(0, 0, 1) = (0, −1, −1) ⇒ ⇒ B = M(g; B₂, B2) =     1 1 0 0 1 −1 1 0 −1     . Ent˜ao: M(f₁ + f2; B1, B2) = A1 + A2 =     3 2 1 −2 0 3     , e (A1 + A2)   x y   =     3x + 2y x − 2y 3y     ⇒

(29)

M(5f1; B1, B2) = 5A1 =     10 0 5 −5 0 15     , e (5A1)   x y   =     10x 5x − 5y 15y     ⇒ ⇒ (5f1)(x, y) = (10x, 5x − 5y, 15y).

(30)

M(g ◦ f1; B1, B2) = BA1 =     3 −1 1 −4 2 −3     , e (BA1)   x y   =     3x − y x − 4y 2x − 3y     ⇒ ⇒ (g ◦ f1)(x, y) = (3x − y, x − 4y, 2x − 3y).

(31)

Tendo em conta que cg = c(B) e c(B) = 3 (confirmar), g ´e um

epimorfismo, logo, um _{automorfismo de R}3.

M(g−1; B2, B2) = B−1 = 1 2     1 −1 1 1 1 −1 1 −1 −1     , e B−1     x y z     = 1 2     x − y + z x + y − z x − y − z     ⇒ ⇒ g−1(x, y, z) = 1 2(x − y + z, x + y − z, x − y − z).

(32)

Rela¸c˜ao entre as diferentes Matrizes de uma Aplica¸c˜ao Linear

Sejam _{f : E → E}0 uma aplica¸c˜ao linear, B1, B2 bases de E, B01, B02 bases

de E0, A = M(f;B₁, B0₁) e B = M(f; B₂, B0₂). Vamos estabelecer a rela¸c˜ao entre as matrizes A e B. Fa¸camos um diagrama para melhor a entender.

(33)

E −→A f E 0 (B₁) (B0₁) Q ↑ 1_E 1_E0 ↓ P E f −→ B E 0 (B₂) (B0₂) Como, f = 1_E0 ◦ f ◦ 1 E, M(f; B₂, B02) = M(1_E0; B01, B02)M(f; B1, B01)M(1_E;B2, B1), logo, B = P AQ.

(34)

Observe-se que, como ∀−→_{e ∈ E} 1_E(−→e ) = −→e ,

M(1_E; B₂,B₁) = M(B₂, B₁).

Analogamente,

M(1_E0; B0₁, B0₂) = M(B0₁, B0₂).

Mais geralmente, em qualquer espa¸co vectorial de dimens˜_{ao finita V}, a matriz da aplica¸c˜ao linear 1_V em rela¸c˜ao a duas bases B e B0,

M(1_V; B, B0), ´e exactamente a matriz de mudan¸ca da base B para a base B0, M(B, B0).

(35)

Exemplo

Vimos num exemplo anterior que, dadas a aplica¸c˜_{ao linear f : R}2 _{→ R}3 definida por f (x, y) = (2x, x − y, 3y),

B₁ = ((1, 0), (0, 1)), B2 = ((1, 1), (−1, 2)) bases de R2 e B0₁ = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), B02 = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) bases de R3, A = M(f ; B1, B01) =     2 0 1 −1 0 3     , B = M(f ; B2, B02) =     3 6 −3 −9 2 1     .

Vamos obter B, a partir de A e de matrizes de mudan¸ca de base convenientes.

(36)

R2 −→A f R 3 (B1) (B01) Q ↑ 1_R2 1 R3 ↓ P R2 f −→ B R 3 (B2) (B02) Q = M(B2, B1) =   1 −1 1 2  , P = M(B01, B02) e, (1, 0, 0) = 0(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0) (0, 1, 0) = 0(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + (−1)(1, 0, 0) ,

(37)

logo, P =     0 0 1 0 1 −1 1 −1 0     . B = P AQ =     0 0 1 0 1 −1 1 −1 0         2 0 1 −1 0 3       1 −1 1 2   = =     0 3 1 −4 1 1       1 −1 1 2   =     3 6 −3 −9 2 1     .

(38)

Caso Particular

Sejam _{f : E → E} um endomorfismo _{de E,} B1, B2 duas bases de E,

A = M(f; B₁, B₁) e B = M(f;B₂, B₂). Ent˜ao

B = P −1AP