Suponha que você esteja em Minas Gerais e queira ir ao alto de uma serra, que são fa-cilmente encontradas neste estado. Do ponto de vista geológico, as formações rochosas ali presentes são bastante antigas, de modo que é possível encontrar elevações em Minas Gerais com muita suavidade, sem pontas ou cristas. Uma aventura como esta não é exatamente simples, embora possa ser muito gratificante e, provavelmente, a vista do alto compensará o trabalho a ser realizado. Para que ela seja mais prazerosa você convida um amigo para ir junto. Coincidentemente este seu amigo é matemático, e vê matemática em tudo.
Vocês chegam ao pé da serra, a qual suporemos não ter uma extensão tão grande. Seu amigo comenta é possível traçar um sistema de eixos de tal forma que o eixo z corresponda à altura e o plano (x,y) corresponde à superfície da terra, o qual pode-se supor, a nível local, que é plana. Ele ainda aproveita e diz que vocês podem interpretar a superfície desta serra como o gráfico z = f (x,y) de uma certa função f e, devido à sua suavidade, a função que a modela é descrita por uma função diferenciável ao menos duas e que suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas. Talvez a serra que vocês tenham ido se assemelhe àquela figura mostrada na Figura 2.1.
Figura 2.1: Representação de uma serra.
Ao pé da serra seu amigo comenta que ali pode ser interpretado como sendo o mínimo da altura dela, que corresponde exatamente a
z = 0. Ele ainda menciona que o plano
tan-gente à superfície naquele ponto é z = 0 e que o plano tangente neste ponto é justamente o plano (x,y), o qual chamaremos de ⇡.
Vocês começam a subida. Após algum mo-mento o cansaço surge e você pergunta se já estão no topo da serra. Seu amigo diz não e você duvida. Ele então explica que no ponto em que vocês estão ainda é possível notar que o chão se eleva, ou seja, se você considerar uma pequena bola centrada nos seus pés, você encontrará ao menos um ponto dentro dessa bola e na superfície da serra tal que sua altura seja maior que a altura em que seus pés estão. Se denotarmos a localização do seus pés por
(x0, y0, z0) e a do outro ponto, com altura maior, por (x,y,z), isso significa que z > z0. Como estes pontos estão na superfície da serra, então temos que z0= f (x0, y0) e z = f (x,y), ou seja, temos f (x,y) > f (x0, y0).
Depois dessa explicação vocês retomam a caminhada e, após algum tempo, seu amigo lhe diz que vocês estão num topo da montanha, veja Figura 2.2. Você o desafia a explicar em termos matemáticos essa afirmação, e ele o faz.
Figura 2.2: Um dos máximos da serra.
Ele começa chamando o ponto que você está pisando de (xm, ym, zm). A esta altura você
já o antecipa e diz que zm = f (xm, ym), o que seu amigo confirma. Então ele pede para você imaginar uma bola de um certo raio r > 0, não muito grande, com centro neste ponto, e pede para que você escolha um ponto qualquer da superfície da serra, mas dentro desta bola. Você escolhe, e já diz que este ponto é (x,y,z), em que z = f (x,y). Seu amigo pergunta, então, quem é maior: f (x,y) ou f (xm, ym), e você responde que é f (xm, ym). Se amigo confirma, e
pergunta se você pode encontrar algum outro ponto na superfície da serra, e dentro da bola, de modo que a altura deste ponto fosse maior que a altura do ponto em que você está pi-sando. Você afirma que não, que aquele ponto é o de maior altura ali. Ao mesmo tempo, seu amigo pergunta se você pode descrever o plano tangente a este ponto, e você diz que é muito fácil: ele é dado pela condição z = zm, e ainda complementa que ele é paralelo ao plano ⇡,
diferindo dele apenas quanto à altura. Seu amigo confirma que absolutamente tudo o que você disse é verdade, e diz que o ponto em que vocês estão é ummáximo local da função f
que descreve a superfície da serra.
Figura 2.3: Os dois máximos da serra.
Você fica contente, olha um pouco mais ao hori-zonte, e vê uma outra parte da serra à mesma altura, mas um pouco mais distante, e você diz que ali há uma outra elevação, na mesma serra, com igual al-tura, e que, portanto, o ponto que vocês estão não é um máximo.
Seu amigo, então, explica que tanto o ponto que vocês estão, quanto o ponto que você mencionou, são máximos, veja Figura 2.3. Máximos lo-cais e, por isso, ele tomou o cuidado de ser preciso e dizerlocal anteriormente. Ele pergunta
diz que esses são os dois pontos de máximo da serra, onde a altura dela é máxima. Você ainda insiste, querendo colocar seu amigo em maus lençóis, e diz que se você tomasse um raio igual a duas vezes a distância entre os dois pontos que seu amigo chama de máximos locais, então ambos estariam dentro da mesma bola, e ambos seriam máximos. Seu amigo concorda que ambos são máximos, e aproveita para explicar a diferença entre local e global: um ponto é máximo local se ele é máximo dentro de alguma bola, não para toda bola. Se
houvesse algum ponto daquela serra cuja altura fosse maior que qualquer outro ponto e, portanto, seria o ponto com maior altura dentro detoda bola, aquele seria, então, um ponto
demáximo global.
Seu amigo aproveita para lhe perguntar se você entende a razão pela qual o plano tan-gente à superfície da serra, nestes pontos, serem caracterizados pela equação z = zm. Você, mostrando ter entendido o conceito de plano tangente, afirma que tanto ao pé da serra, quanto nos dois pontos de máximo locais, o gradiente de f é nulo.
(a) Por este ângulo o ponto é de máximo
(b) Por este outro é de mínimo quando desce-mos pelos morros, mas pode ser interpretado como de máximo ao subirmos pelo centro.
Figura 2.4: Ponto de sela da serra.
Vocês decidem voltar para o pé da serra por um caminho diferente e, em algum mo-mento, você estão numa espécie de vale. Você comenta com seu amigo que o plano tangente em determinado ponto (x0, y0, z0) dali é para-lelo a ⇡, mas que imaginando uma bola cen-trada neste ponto você encontra pontos com altura maior e menor do que z0, não obstante o gradiente de f se anular ali. Seu amigo res-ponde que este tipo de ponto é chamado de
ponto de sela, e que na região de um ponto de
sela a altura tanto cresce quanto diminui. Você continua a descida da serra comen-tando consigo mesmo que nunca pensara uma simples caminhada por uma serra en-volver tanta matemática.
Deixando de lado a história, podemos agora introduzir os conceitos matemáticos úteis para sistematizarmos o que foi descrito acima. Nosso enfoque será sobre funções de duas variáveis, mas elas são aplicadas para funções mais gerais.
Sejam f : D ⇢ R2! R uma função e (x
0, y0) 2 D.
(a) Dizemos que (x0, y0) é ummáximo local se f se f (x0, y0) f (x,y) para todo (x,y) numa vizinhança suficientemente pequena de (x0, y0). Se f (x0, y0) f (x,y) para todo (x,y) 2 D, então (x0, y0) é ummáximo global de f .
(b) Dizemos que (x0, y0) é ummínimo local se f se f (x0, y0) f (x,y) para todo (x,y) numa vizinhança suficientemente pequena de (x0, y0). Se f (x0, y0) f (x,y) para todo (x,y) 2 D, então (x0, y0) é ummínimo global de f .
Um ponto (x0, y0) 2 D que seja máximo (local ou global) ou mínimo (local ou global) de uma função f é chamado extremo.
Observe que, do ponto de vista geométrico, uma função pode atingir um máximo num determinado ponto, mas não necessariamente o plano tangente a este ponto é paralelo ao plano (x,y). No entanto, um conceito bastante próximo ao de máximo ou mínimo é o se-guinte.
Ponto crítico
Dada uma função f : D ⇢ R2 ! R, um ponto (x
0, y0) 2 D é dito ser um ponto crítico de f se rf (x0, y0) = (0,0), ou se uma das derivadas parciais em (x0, y0) não existir.
Temos o seguinte resultado, relacionando pontos críticos com extremos de uma dada função.
Teorema 2.1. Se f : D ⇢ R2! R tem um extremo local em (x
0, y0) 2 D e as derivadas parciais de
f existem no ponto (x0, y0), então (x0, y0)é um ponto crítico de f .
Suponhamos que f seja uma função e (x0, y0) seja um seu ponto crítico. Se tomarmos
v = (v1, v2) um vetor bastante pequeno, a expressão (1.3) pode ser reescrita como
f (x0+ v1, y0+ v2) ⇡ f (x0, y0) +12 ⇣ v1 v2 ⌘ 0 BBBB BBBB B@ fxx(x0) fxy(x0) fyx(x0) fyy(x0) 1 CCCC CCCC CA 0 BBBB @vv1 2 1 CCCC A | {z } Termos quadráticos . (2.1)
Se kvk é muito pequena, vemos que f (x0+ v1, y0+ v2) será maior, ou menor, que f (x0, y0) dependendo do valor dos termos quadráticos, o que mostra que a matriz Hessiana de f possui grande relevância nesta situação.
Antes de apresentarmos uma classificação de pontos críticos, é preciso enfatizar que um ponto se sela nada mais é que um ponto crítico no qual há regiões de crescimento e decres-cimento da função em qualquer bola centrada nele.
Teorema 2.2 (Teste da segunda derivada). Sejam f : D ⇢ R2 ! R uma função de classe C2
(isto é, possui todas as derivadas parciais de segunda ordem e elas são contínuas), (x0, y0) 2 D um
ponto crítico de f e Hf(x0, y0)a matriz Hessiana de f no (x0, y0). Se
H = det⇣Hf(x0, y0) ⌘
= fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) (fxy(x0, y0))2.
Então:
(a) (x0, y0)será um ponto de mínimo local de f se fxx(x0, y0) > 0 e H > 0.
(b) (x0, y0)será um ponto de máximo local de f se fxx(x0, y0) < 0 e H > 0.
(c) (x0, y0)será ponto de sela se H < 0.
No caso em que H = 0 nada se pode afirmar e qualquer um dos comportamentos descritos anteri-ormente pode ocorrer.
O determinante da matriz Hessiana é chamado hessiano. Do Teorema 2.2 vemos a
ex-trema importância do hessiano para a determinação de pontos críticos. Cabe ainda ressaltar o seguinte: o caso H = 0 não implica necessariamente em indeterminação do tipo de ponto que temos. Ele simplesmente indica que o estudo de um ponto satisfazendo esta condição requer mais cuidados e atenção.
Exercício Resolvido 2.1. Mostre que na origem a função f (x,y) = x3y3possui um ponto de sela. Resolução. Calculando o gradiente de f e sua matriz Hessiana, temos
rf (x,y) =⇣3x2y3, 3x3y2⌘ e 0 BBBB @6xy 3 9x2y2 9x2y2 6x3y2 1 CCCC A .
Como o hessiano de f num ponto (x,y) qualquer é H = 45x4y4, segue que no ponto x = y = 0, temos rf (0,0) = (0,0) e H = 0. Assim, o Teorema 2.2 nos dá um resultado inconclusivo para este ponto. Consideremos, no entanto, a curva parametrizada x(t) = t e y(t) = t. Nesta curva, temos f (x(t),y(t)) = f (t,t) = t6e, então, f (t,t) > 0 se t , 0. Por outro lado, se tomarmos a curva parametrizada x(t) = t e y(t) = t, temos f (t, t) = t6 < 0 se t, 0. Dessa forma, em qualquer bola aberta contendo a origem encontramos valores positivos e negativos de f , ou seja, temos um ponto de sela aí. ⌅
Aplicação 2.1. A aplicação aqui descrita é chamada método dos quadrados mínimos, ou
mí-nimos quadrados.
Muitas vezes temos um conjunto de dados coletados (x1, y1),··· ,(xn, yn)em pesquisas, experi-mentos, etc e, à partir destes dados nos interessa encontrar a reta y = mx + b que melhor se ajusta a eles. Uma forma de encontrá-la é utilizarmos os conceitos de máximos e mínimos introduzidos neste capítulo.
Primeiro deve ficar claro que o que se deseja encontrar são o coeficiente angular m e o coeficiente linear da reta b. Se todos os pontos coletados fossem precisos, e o modelo analisado fosse de fato linear, teríamos y(xi) = yi e, então, yi = mxi+ b, 1 i n. No entanto, um pouco de experiência
em laboratório mostra que isso não é o que acontece. Construamos a função S(m, b) = n X j=1 ⇣ y(xj) yj ⌘2 = n X j=1 ⇣ mxj+ b yj ⌘2 (2.2)
Note que S(m,b) = 0 se, e somente se, y(xj) = yj, o que é equivalente a se dizer que yj= mxj+b,
1 j n. Se essa situação ideal não ocorre, queremos, então, encontrar o mínimo da função
S(m, b), dada em (2.2). O gradiente de S(m,b) é rS(m,b) = @S @m, @S @b ! = 2 0 BBBB BB@ n X j=1 xj(mxj+ b yj), n X j=1 (mxj+ b yj) 1 CCCC CCA.
Os pontos críticos da função S são encontrados quando rS(m,b) = (0,0), ou seja, m e b satis-fazem o sistema de equações lineares
m n X j=1 x2j + b n X j=1 xj = n X j=1 xjyj, m n X j=1 xj+ nb = n X j=1 yj. (2.3)
Notemos que o sistema (2.3) possui solução única para m e b desde que ao menos um dos pares de pontos seja diferente da origem. Os pontos m e b que satisfazem (2.3) são os pontos de mínimo da função. A prova formal disso é deixada como exercício e, essencialmente, consiste em
se calcular a matriz Hessiana de S e aplicar o Teorema 2.2. Apresentaremos, no entanto, um argumento geométrico para justificar este fato: note que a função S é não negativa, diferenciável e crescente. Logo, se existe um ponto crítico, e ele existe por causa de (2.3), então este ponto necessariamente é de mínimo.
Suponhamos que nossas medidas fossem: (1,0), (2,1.099), (3,3.401), (4,5.481), (5,6.759),
(6,8) e (7,8.811). Reta teórica 1 2 3 4 5 6 7 x -2 2 4 6 8 10 y
Figura 2.5: Gráfico da reta y(x) = 1.557x 1.435 (em vermelho) e os pontos (1,0), (2,1.099), (3,3.401), (4,5.481), (5,6.759), (6,8) e (7,8.811) (em azul).
Neste caso, temos n = 7, 7 X j=1 x2j = 140, 7 X j=1 xj = 28, 7 X j=1 xjyj= 177.797, 7 X j=1 yj= 33.551.
Com isso o sistema (2.3) se torna
140m + 28b = 177.797, 28m + 7b = 33.551,
cuja solução aproximada é m = 1.557 e b = 1.435. Compare a reta obtida juntamente com os dados na Figura 2.5.
Exercício Resolvido 2.2. De acordo com a Secretaria de Saúde do Estado de São Paulo, o primeiro
registro de pessoas infectadas pelo novo coronavírus naquele estado ocorreu em 26/02. A Tabela 2.1 reproduz alguns números extraídos do site sobre coronavírus da referida secretaria.
Utilize o método de quadrados mínimos para encontrar a curva exponencial que descreve o número de contaminados pelo coronavírus.
Resolução: Nosso problema consistem em encontrar uma função do tipo N = ↵e t, em
que ↵ e são constantes a serem determinadas, N denota o número de contaminados pelo coronavírus na semana t. O método de quadrados mínimos em princípio é aplicável a uma função deste tipo. A questão é que precisaríamos refazer completamente os passos da Apli-cação 2.1 com a função exponencial no lugar da reta. Uma alternativa mais inteligente é observar que lnN = ln↵ + t e, então, se chamarmos y = lnN, b = ln↵ e m = , voltamos às mesmas condições do exercício anterior, como mostrado na Tabela 2.1
Tabela 2.1: Número de contaminados pelo coronavírus no Estado de São Paulo. Fonte: Se-cretaria de Estado da Saúde de São Paulo. Consulta em 12/04/2020.
Data Semana Número de infectados N lnN
26/02 1 1 0 04/03 2 3 1,099 11/03 3 30 3.401 18/03 4 240 5.481 25/03 5 862 6.759 01/04 6 2981 8 08/04 7 6708 8.811
Observemos que os dados da Tabela 2.1 nada mais são que os dados utilizados na Apli-cação 2.1 para ilustrarmos o método dos quadrados mínimos. Assim, y = 0.623t + 0.986 ,
N (t) = 2.68e0.986t, cujo gráfico é representado pela Figura 2.6.
Curva teórica 1 2 3 4 5 6 7 t 2000 4000 6000 8000 Nt
Figura 2.6: Simulação do número de contaminados pelo coronavírus no Estado de São Paulo, mostrando o número de contaminados N(t) ao longo do tempo (medido em semanas).
Exercícios
1. Determine o pontos críticos das funções abaixo e classifique-os usando o teste da deri-vada segunda.
(a) f (x,y) = 5x2 3xy + y2 15x y + 2. (b) f (x,y) = 2x2+ xy + 3y2+ 10x 9y + 11. (c) f (x,y) = xy(2x + 4y + 1).
2. Encontre as dimensões de uma caixa retangular com a parte superior aberta, com vo-lume fixo de 4m3 e com a menor área de superfície possível.
3. Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice P = (x,y,z) no primeiro octante sobre o plano ax + by + cz = 1. Encontre o volume da maior caixa com essas características.
4. Sejam x, y e z números quaisquer tais que a soma deles resulte em 12. Quais devem ser estes número se impusermos que o produto de x, y2 e z3 seja máximo?
5. Sejam ↵, e ângulos de um triângulo. Determine ↵, e tais que a soma sin↵ + sin + sin seja máxima.
6. Com base na tabela abaixo, construa um modelo exponencial para descrever a infecção da covid-19 no Estado de São Paulo e compare com o modelo encontrado no Exercício Resolvido 2.2.
Tabela 2.2: Número de contaminados pelo coronavírus no Estado de São Paulo até o dia 21/04. Fonte: Secretaria de Estado da Saúde de São Paulo. Consulta em 21/04/2020.
Data Semana Número de infectados N
26/02 1 1 04/03 2 3 11/03 3 30 18/03 4 240 25/03 5 862 01/04 6 2981 08/04 7 6708 15/04 8 11043
