Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática
Programa de Mestrado em Matemática
Controlabilidades Nula e Aproximada da
Equação do Calor Semilinear com
Comportamento Explosivo
Yuri Thamsten Coelho
Dissertação de Mestrado
Niterói
2017
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática
Yuri Thamsten Coelho
Controlabilidades Nula e Aproximada da Equação do Calor
Semilinear com Comportamento Explosivo
Trabalho apresentado ao Programa de Programa de Mes-trado em Matemática do Instituto de Matemática da Uni-versidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Alberto Viana da Silva
Niterói
2017
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do Instituto de Matemática e Estatística da UFF
C672 Coelho, Yuri Thamsten
Controlabilidades nula e aproximada da equação de calor semilinear com comportamento explosivo / Yuri Thamsten Coelho. – Niterói, RJ: [s.n.], 2017.
60 f.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Alberto Viana da Silva
Dissertação ( Mestrado em Matemática) – Universidade Federal Fluminense, 2017.
1.Equações diferenciais parciais 2. Controlabilidade 3. Equação de calor I. Título.
Agradecimentos
• Agradeço, em primeiro lugar, a Deus, o Alfa e o Ômega, por haver-me concedido a vida, por estar ao meu lado em cada passo que dou, por garantir-me o pão de cada dia e por me outorgar forças para superar com êxito cada etapa da minha existência.
• Agradeço à minha avó, Neusa, e à minha mãe, Márcia, pela zelosa criação que recebi de suas partes, pelo apoio incondicional das mesmas, bem como pelos valores morais e bons costumes que elas me ensinaram.
• Agradeço aos meus padrinhos, André e Karla, pelo interesse no andamento dos meus projetos, sendo isto uma grande fonte de motivação para mim.
• Agradeço ao meu orientador, professor Luiz Viana, pelo acompanhamento cauteloso ao longo de praticamente toda minha vida acadêmica.
• Agradeço aos professores que participaram da minha formação até então e à coordenação do programa.
• Agradeço ao CNPq e à FAPERJ pelo apoio financeiro.
Resumo
Considera-se a equação do calor semilinear em um domínio limitado, com fronteira sufici-entemente regular, do espaço euclidiano d−dimensional, com um controle agindo em um seu subdomínio e com condições de fronteira de Dirichlet homogêneas.
Prova-se que o sistema é controlável a zero em qualquer tempo pré-fixado sempre que exis-tir uma trajetória globalmente definida e limitada e a não linearidade crescer estritamente mais devagar do que a função s 7→ |s| [log(1 + |s|)]3/2, quando |s| → ∞. Esta condição é satisfeita, por exemplo, pelas funções s 7→ |s| [log(1 + |s|)]p, com 1 < p < 3/2. No caso destas funções, quando há ausência de um controle, verificam-se “explosões”, ou seja, existem trajetórias que não estão globalmente definidas, dependendo da condição inicial.
Também é demonstrado que, se a não linearidade tem um comportamento semelhante ao de |s| [log(1 + |s|)]p, com p > 2, então a controlabilidade nula do sistema pode falhar, dependendo da condição inicial.
Resultados análogos são demonstrados no contexto da controlabilidade aproximada.
Palavras-chave: Controlabilidade Nula; Controlabilidade Aproximada; Equação do Calor Semilinear; Explosão; Blow-up.
Abstract
One considers the semilinear heat equation in a bounded domain with sufficiently regular boundary of the euclidean d−dimensional space, with a control acting in a subdomain and homogeneous Dirichlet boundary conditions.
It is proven that the system is null-controllable at any prespecified time provided that a globally defined and bounded trajectory exists and the nonlineary grows strictly slower than s7→ |s| [log(1 + |s|)]3/2, as |s| → ∞. This condition is fulfilled by, e.g., s 7→ |s| [log(1 + |s|)]p, with 1 < p < 3/2. Notice that, in this case, in the absence of control, blow-up phenomena occur.
It is also proved that, if the nonlinearity behaves like s 7→ |s| [log(1 + |s|)]pat infinity, then null controllability does not hold for general L2initial datum.
Results of the same kind are proved in the context of approximate controllability.
Keywords: Null Controllability; Approximate Controllability; Semilinear Heat Equation; Blow-up.
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Notações 1
1.2 Estrutura da Dissertação 5
2 Resultados Preliminares 9
2.1 Resultados Clássicos da Análise Funcional 9
2.2 Espaços Lp 10
2.3 Espaços de Sobolev Vetoriais 11
2.4 Resultados de Aproximação 12
2.5 Aspectos da Teoria de Semigrupos 13
2.6 Regularidade de Soluções de Problemas Parabólicos Lineares 14
2.7 Teoremas Diversos 17
3 Controlabilidade Nula 19
3.1 Considerações Iniciais 19
3.2 Uma Desigualdade de Carleman 19
3.3 Uma Desigualdade de Observabilidade 20
3.4 Uma Desigualdade de Observabilidade Refinada 24
3.5 Controlabilidade Nula da Equação do Calor com um Potencial Limitado 28
3.6 Controlabilidade Nula de (3.1) 34 3.7 Um Resultado Negativo 40 4 Controlabilidade Aproximada 45 4.1 Considerações Iniciais 45 4.2 Controlabilidade Aproximada de (3.1) 45 4.3 Um Resultado Negativo 46
A Demonstração da Desigualdade de Carleman 49
C
APÍTULO1
Introdução
1.1
Notações
Este espaço é reservado para o estabelecimento das notações que serão utilizadas ao longo desta dissertação.
Espaços euclidianos
O conjunto dos números reais é denotado por R1, sendo Rd, o produto cartesiano de d > 1 fatores iguais a R1, o espaço euclidiano d-dimensional.
Imersões
Se X e Y forem dois espaços de Banach, com X ⊆ Y, e tais que a inclusão de (X , k · kX) em
(Y, k · kY) é contínua, dir-se-á que X está continuamente imerso em Y, escrevendo X ,→ Y. Se
esta aplicação for compacta, então a imersão será dita compacta e escreve-se Xb Y.
Equivalência Assintótica Dadas duas funções reais escalares, f e g, escreve-se:
f(s) ∼ g(s), quando |s| → ∞, caso verifique-se f(s) g(s) |s|→∞ −−−→ 1.
Espaços de funções reais e contínuas Sejam d > 1, D ⊆ Rde U um subconjunto aberto de Rd.
O suporte de uma função real f , cujo domínio é D, é o conjunto spt( f ) := {x ∈ D : f (x) 6= 0}.
Denota-se por C(D) o conjunto das funções f : D → R1que são contínuas em D.
O espaço C0(U ) é formado pelas funções f ∈ C(U ) que são nulas quando restritas à
fron-teira de U.
O subespaço de C(U ) formado pelas f ∈ C(U ) que são infinitamente continuamente dife-renciáveis em U e cujas derivadas estendem-se continuamente a U é denotado por C∞(U ).
Designar-se-á por C∞
c (U ) o subespaço de C∞(U ) que consiste das f ∈ C∞(U ) tais que spt( f )
é um subconjunto compacto de U.
Uma função f ∈ C(D) é dita lipschitziana se
sup x6=y | f (x) − f (y)| |x − y| < ∞.
Dir-se-á que f ∈ C(D) é localmente lipschitziana se f for lipschitziana em cada subconjunto compacto de D.
Caso f seja localmente lipschitziana, uma constante C > 0 tal que | f (x) − f (y)| 6 C|x − y|,
quaisquer que sejam os pontos x e y pertencentes a um subconjunto S de D, é chamada de uma constante de Lipschitz de f em S.
Uma função f ∈ C(D) é dita hölderiana com expoente β , onde 0 < β < 1, se
[ f ]β := sup x6=y | f (x) − f (y)| |x − y|β < ∞.
O espaço formado por estas funções será denotado por Cβ(D). Munido da norma
k f kCβ(D):= sup
D
| f (x)| + [ f ]β ( f ∈ Cβ(D)),
Cβ(D) é um espaço de Banach.
Medidas
A menos que se mencione o contrário em um dado contexto, nesta dissertação considerar-se-á tacitamente a medida de Lebesgue como padrão. Portanto, o termo “mensurável” aplicado a uma função indica que a mesma o é a Lebesgue. Coerentemente, as integrais são tomadas com respeito à referida medida, caso não haja menção explícita do contrário. E assim por diante.
Ademais, identificam-se funções mensuráveis que coincidam em quase todos os pontos. Portanto, ao longo do presente texto, o termo “classe de funções” sempre diz respeito a uma classe de equivalência sob a relação “igualdade em quase todos os pontos com respeito à medida de Lebesgue”.
Caso em alguma classe haja um representante contínuo, o mesmo será fixado e esta passará a ser tratada como uma função definida em todos os pontos.
Abrevia-se por “q.t.p.” a expressão “quase todos os pontos”.
Para uma discussão mais profunda sobre medidas, em especial a de Lebesgue, refere-se a [Fol99], [EG15], [Fed69] e [Din67].
1.1 NOTAÇÕES 3
Limitantes
Sejam d> 1 e E um subconjunto mensurável de Rd. Dada uma função real e mensurável f com domínio contendo E, definem-se
sup ess E f := inf{C : f 6 C em q.t.p. de E}, inf ess E f := sup{C : f > C em q.t.p. de E} e osc
E u:= sup essE u− inf essE u.
Espaços Lpe de Sobolev Sejam d > 1, U um subconjunto aberto de Rd e 16 p < ∞.
O espaço Lp(U ) é aquele formado pelas classes de funções mensuráveis f : U → R1 tais que
Z
U
| f |pdx< ∞.
Este é também um espaço de Banach quando munido da norma
k f kLp(U ):= Z U | f |pdx 1/p .
O espaço L∞(U ) consiste das classes funções mensuráveis e essencialmente limitadas, i.e.,
as classes daquelas funções f : U → R1tais que, para alguma constante C > 0, tem-se | f |6 C em quase todos os pontos de U. Este é um espaço de Banach quando munido da norma
k f kL∞(U ):= sup ess
U
| f |.
O espaço de Sobolev Wk,p(U ), k > 1, 1 6 p 6 ∞, consiste das f ∈ Lp(U ) tais que todas as derivadas distribucionais de ordem no máximo k de f também o pertencem a Lp(U ). O espaço Wk,p(U ) dotado da norma kukWk,p(U ):= ∑|α|6kkDαukLpp(U ) 1/p , se p < ∞, ∑|α|6kkDαukL∞(U ), se p = ∞,
é de Banach, onde as somas acima são tomadas sobre todos os multi-índices α de ordem no máximo k.
Para k> 1 e p > 1, denota-se por W0k,p(U ) o subespaço de Wk,p(U ) formado pelas funções de traço nulo. Sabe-se que
W0m,p(U ) = C∞ c(U )
k·kW m,p(U )
. No caso em que k> 1 e p = 2, colocam-se
Hk(U ) := Wk,2(U ) e H0k(U ) := W0k,2(U ) e denota-se por H−k(U ) o dual topológico de H0k(U ).
Funções a valores vetoriais Sejam X um espaço de Banach e I um intervalo.
O espaço C(I; X ) é formado pelas funções contínuas u : I → X . Definem-se C∞(I; X ) e
C∞
c(I; X ) em analogia ao que fora feito previamente.
Seja 16 p < ∞. Os espaços Lp(I; X ) consistem das funções u : I → X que são fortemente mensuráveis e satisfazem
Z T
0
ku(t)kXpdt< ∞.
Este faz-se um espaço de Banach quando munido da norma
kukLp(I;X ):= Z T 0 kukXpdt 1/p .
O espaço L∞(I; X ) consiste das funções fortemente mensuráveis u : I → X tais que
sup ess
I
ku(t)kX < ∞.
Este é, por sua vez, um espaço de Banach ao ser munido da norma
kukL∞(I;X ):= sup ess
I
ku(t)kX.
Dir-se-á que u ∈ Llocp (I; X ) se u : I → X for fortemente mensurável e u ∈ Lp(J; X ), qualquer que seja o intervalo compacto J ⊂ ˚I.
Dada u ∈ L1loc(I; X ), dir-se-á que v ∈ L1loc(I; X ) é a derivada fraca de u : I → X se Z I φ0(t)u(t)dt = − Z I φ (t)v(t)dt,
qualquer que seja φ ∈ C∞
c I . Denota-se v ≡ u˚ 0≡ dudt.
O espaço de Sobolev W1,p(I; X ), 1 6 p 6 ∞, consiste das funções u ∈ Lp(I; X ) que possuem derivada fraca u0∈ Lp(I; X ). Este é um espaço de Banach quando munido da norma
kukW1,p(I;X ):= kukLpp(I;X )+ ku0k p Lp(I;X ) 1/p , se p < ∞, kukL∞(I;X )+ ku0kL∞(I;X ), se p = ∞.
Para definições mais rigorosas concernentes aos espaços de Bochner, cf. [Yos80].
Convenções
A partir daqui, fixa-se d> 1. A letra Ω será utilizada para denotar um subconjunto aberto, limitado e conexo de Rd, cuja fronteira ∂ Ω é de classe C2. Para T > 0, escreve-se
1.2 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 5
e
Σ := ]0, T [ × ∂ Ω.
Sejam U e V dois subconjuntos abertos de Rd. Escreve-se U b V se U ⊂ V.
Dadas duas funções reais definidas em Q, f e g, um número real A e ω b Ω, usa-se a notação
f ∈ A sgn(g)χω
quando forem válidas as seguintes propriedades: (a) spt( f ) ⊆ ]0, T [ × ω =: ωT;
(b) f (t, x) = Ag(t, x)/|g(t, x)|, se (t, x) ∈ ωT∩ {g 6= 0};
(c) | f (t, x)|6 A, se (t, x) ∈ ωT ∩ {g = 0}.
Essas notações serão utilizadas ao longo de toda parte subsequente desta dissertação.
Espaços hölderianos parabólicos
Seja 0 < α 6 1. O espaço de Hölder parabólico de expoente α, denotado por Cα /2,α(Q),
consiste das funções f ∈ C(Q) tais que
h f iα ,t+ h f iα ,x < ∞, onde h f iα ,t:= sup (t,x)6=(t0,x) | f (t, x) − f (t0, x)| |t − t0|α /2 e h f iα ,x := sup (t,x)6=(t,x0) | f (t, x) − f (t, x0)| |x − x0|α ,
sendo os supremos acima tomados sobre pontos (t, x), (t, x0) e (t0, x) pertencentes a Q. A norma com a qual considerar-se-á munido o espaço Cα /2,α(Q) é
k f kCα /2,α(Q):= sup
Q
| f (t, x)| + h f iα ,t+ h f iα ,x.
1.2
Estrutura da Dissertação
Esta é uma dissertação sobre os resultados demonstrados em [FCZ00a]. Nela, estudam-se aspectos concernentes à controlabilidade interna da equação do calor semilinear:
(1.1) yt− ∆y + f (y) = χωv, em Q, y= 0, sobre Σ, y(0) = y0, em Ω.
Considerar-se-ão os dados acima nos espaços: y0∈ L2(Ω) e v ∈ L∞(]0, T [ × ω). Suponha f :
R1→ R1localmente lipschitziana e satisfazendo
(1.2) | f0(s)| 6 C(1 + |s|p) ( em q.t.p. s). para algum p6 1 + 4/d. Se (1.3) f(s) |s| log(1 + |s|) |s|→∞ −−−→ 0
ou f tiver uma propriedade de “bom sinal”, i.e.,
(1.4) s f(s) > −C(1 + |s|2) (s real),
então (1.1) tem, para cada par de dados y0e v, uma trajetória globalmente definida em [0, T ] .
O interesse deste estudo é justamente investigar a controlabilidade de (1.1) na ausência de condições do tipo (1.3) ou (1.4), onde soluções (mesmo com v ≡ 0) podem deixar de existir em um tempo precoce, i.e., em um tempo estritamente menor do que T, ou, dito de maneira mais simples: trajetórias podem explodir.
Os aspectos concernentes à Teoria de Controle que serão abordados são as controlabilidades nula e aproximada de (1.1).
A controlabilidade nula de (1.1) fora demonstrada em [FC97] sob a hipótese (1.3). Em [Bar00] fora estabelecida tal controlabilidade sob a condição
(1.5) f(s)
|s| [log(1 + |s|)]3/2
|s|→∞
−−−→ 0
(condição que, sozinha, pode implicar em um comportamento explosivo) e, adicionalmente, condições de “bom-sinal” do tipo (1.4). Estas são classes onde não ocorre nenhum fenômeno explosivo, ou seja, as trajetórias de (1.1), com v ≡ 0, estão globalmente definidas em [0, T ].
O primeiro resultado que será demonstrado (cf. Teorema 3.13) consiste em admitir que f é locamente lipschitziana e verifica (1.2) e (1.5). Supõe-se que y∗ seja uma trajetória (o que nesta dissertação serve de sinônimo para “solução”) de (1.1) associada a dados y∗0 ∈ L2(Ω)
e v∗ ∈ L∞(]0, T [ × ω). Dado y
0 ∈ L2(Ω), mostra-se que é possível encontrar um controle
v∈ L∞(]0, T [ × ω) tal que (1.1) tem uma solução y (necessariamente única, via (1.2)),
cor-respondente a y0e a v, que esteja globalmente definida em [0, T ] e satisfaça
(1.6) y(T ) = y∗(T ) em q.t.p. de Ω.
Neste caso, dir-se-á que o sistema (1.1) é controlável a zero no tempo T. Em particular, isto implica que, qualquer que seja o dado inicial y0 ∈ L2(Ω), é possível encontrar um controle
v∈ L∞(]0, T [ × ω) de modo que a solução (a priori local) y de (1.1) esteja globalmente definida
em [0, T ] . Salienta-se também que este é um resultado de controlabilidade nula global, não havendo restrições quanto ao tamanho ou oscilação de y0.
Note que, se (1.6) for válida, pode-se estender v para t > T de modo que este coincida com v∗ nestes tempos, de sorte que se obterá uma solução y que concorda com y∗ para todos os
1.2 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 7
valores de tempo t> T nos quais y∗ estiver definida. Em particular, se y∗ for estacionária ou simplesmente estiver definida para todo tempo t > 0, então y encotrar-se-á definida para todo t> 0, coincidindo com y∗em tempos t> T.
Há uma extensa literatura tratando de problemas parabólicos e elítivos semilineares nos quais se analisa a existência de soluções globais ou estacionárias. Menciona-se o seguinte: suponha f(σ ) < 0, para algum σ > 0,
(1.7) Z ∞ σ ds f(s) > −∞ e que exista y0∈ L∞(Ω), y
0> 0, tal que (1.1) tenha uma solução clássica global
correspon-dendo a v≡ 0 e y0 (definida para todo t > 0). Então existe pelo menos uma solução fraca
estacionária de (1.1) correspondendo a v ≡ 0. Pode-se provar que a condição (1.7) garante que o fenômeno de explosão ocorre. A solução fraca dada pelo resultado acima será necessa-riamente limitada se, por exemplo, f tiver as propriedades que estão sendo admitidas sobre a mesma neste contexto.
A demonstração do primeiro resultado oferece estimativas no tamanho do controle necessá-rio para alcançar a controlabilidade nula. Inspecionando a prova, vê-se que esta ainda vale sob condições relaxadas, a saber, bastando admitir que, para cada y∗ supradescrito, haja `(y∗) > 0 para o qual lim sup |s|→∞ | f (s)| |s| [log(1 + |s|)]3/2 6 `(y ∗) < ∞.
Sem a hipótese (1.2) não se garante a unicidade de uma solução de (1.1). Neste caso, a demonstração feita serve ao propósito de deduzir a existência de um controle v ∈ L∞(]0, T [ × ω)
tal que (1.1) admite pelo menos uma solução y, definida globalmente em [0, T ] , que satisfaz (1.6). Consulte [Kha95] para uma discussão semelhante.
Sobre a técnica utilizada para demonstrar o resultado: lança-se mão de estimativas explí-citas do custo de controlabilidade (cf. [FCZ00b]) e do método de ponto fixo introduzido no contexto da equação da onda (cf. [Zua91]) e, posteriormente, aplicado à equação do calor se-milinear em [FPZ95], [FC97] e [Zua97] (veja também [FI96]). Além disto, nota-se que as referidas estimativas obtidas em [FCZ00b] são adaptações daquelas de [FI96].
Por outro lado, ao aplicar o método de ponto fixo, introduz-se um novo ingrediente para evitar as explosões. Com efeito, lineariza-se o sistema (1.1), mostrando a sua controlabilidade mediante o estudo de como o tamanho controle depende do potencial do sistema linearizado. Tipicamente, há uma uniformidade na escolha do tempo de controle para as linearizações. Em verdade, costuma-se escolher tal tempo como o próprio T (e.g. [Zua91]). Para lidar com os fenômenos de explosão, encurta-se o tempo em que se faz agir o controle. Este é tomado dependendo do tamanho do potencial, de modo que ele diminua quando o mesmo aumentar, tendendo para zero a medida que tal tamanho tenda para infinito. Isto mostra-se de acordo com o senso comum: na presença de explosões, faz-se agir o controle rapidamente, de modo que o efeito desta ação se dê antes que tal fenômeno ocorra.
A ideia de encurtar o tempo de atuação do controle já havia aparecido em [Kha95], onde fora estudada a equação do calor em uma dimensão espacial com não linearidades que se
com-portam de maneira sublinear no infinito, e em [Gla00], no contexto das equações de Euler em três dimensões espaciais.
O segundo resultado principal (cf. Teorema 3.14) apresentado é negativo. Constrói-se uma função f , localmente lipschitziana, com f (0) = 0, satisfazendo f (s) ∼ |s| [log(1 + |s|)]p, quando |s| → ∞, onde p > 2, para a qual (1.1) não é controlável a zero no tempo T . Veja [Hen78] para a demonstração da falta de controlabilidade aproximada para a equação do calor com termos de absorção, bem como [FI96] e [Ima93] para contra-exemplos consistindo de sistemas do tipo (1.1) que não são controláveis a zero quando as não linearidades são do tipo potência, i.e., estão na classe mais restritiva das funções que crescem no infinito na ordem de s7→ |s|p, sendo p > 1. As ideias utilizadas nestas referências estarão presentes na demonstração
do segundo resultado.
O terceiro resultado principal (cf. Teorema 4.2) diz respeito à controlabilidade aproximada. O sistema (1.1) é dito aproximadamente controlável no tempo T > 0 caso o conjunto dos es-tados atingíveis seja denso em L2(Ω) (para uma definição mais precisa, visite o Capítulo 4). Usa-se o Teorema 3.13 para se garantir que é possível obter tal comportamento, no tempo T, sob as mesmas hipóteses do referido resultado.
O quarto e último resultado principal discutido é negativo (cf. Teorema 4.3), nos mesmo moldes do segundo. Exibe-se uma f localmente lipschitziana satisfazendo
f(s) ∼ |s| [log(1 + |s|)]p,
quando |s| → ∞, para cada p > 2 pré-fixado, tal que (1.1) não é aproximadamente controlável no tempo T.
C
APÍTULO2
Resultados Preliminares
Neste capítulo, listam-se resultados que serão utilizados no decorrer deste trabalho.
2.1
Resultados Clássicos da Análise Funcional
Fixa-se um espaço de Banach X ≡ (X , k · kX) , usando a notação X0 para denotar seu dual
topológico. Recordam-se das seguintes definições.
Definição 2.1. (a) Denota-se por J a aplicação X → X00dada por hJ(u), ϕi := hϕ, ui,
se u∈ X e ϕ ∈ X0. Sabe-se que J é linear, contínuo e injetivo. Chama-se J de mergulho canônico de X em X00.
(b) Dir-se-á que X é reflexivo se J for sobrejetivo.
Definição 2.2. (a) A topologia fraca em X é a topologia inicial gerada pela família X0 de funcionais lineares e “fortemente” contínuos em X (ou seja, contínuos com respeito à topologia proveniente dek · kX);
(b) A topologia fraca-? em X0é aquela topologia inicial gerada pela família{J(u)}u∈X.
Há uma caracterização da convergência sequencial em espaços munidos das topologias fraca e fraca-? :
Teorema 2.3. (a) Uma sequência {un}∞n=1de elementos de X converge para u∈ X com respeito
à topologia fraca se, e somente se, para cada ϕ ∈ X0, valer hϕ, uni → hϕ, ui,
quando n→ ∞.
(b) Uma sequência{ϕn}∞n=1 de elementos de X0converge para ϕ ∈ X0com respeito à
topo-logia fraca-? se, e somente se, para cada u ∈ X , valer hϕn, ui → hϕ, ui,
quando n→ ∞.
Teorema 2.4 (Banach-Alaoglu). A bola B0:= {ϕ ∈ X0: kϕkX06 1} é um subespaço topológico
compacto de X0com respeito à topologia fraca-?.
Teorema 2.5 (Kakutani). As seguintes condições são equivalentes: (a) X é reflexivo;
(b) B:= {u ∈ X : kukX 6 1} é compacta com respeito à topologia fraca de X induzida neste.
As demonstrações destes dois teoremas acima constam em [Bre83] Para o próximo, também refere-se a [Bre83].
Teorema 2.6. (a) E é separável se, e somente se, B0:= {ϕ ∈ X0: kϕkX0 6 1} for metrizável
com respeito à topologia fraca−?;
(b) E0é separável se, e somente se, B:= {u ∈ X : kukX 6 1} for metrizável com respeito à
topologia fraca.
Como consequência do Teorema 2.6, tem-se:
Corolário 2.7. (a) Se {ϕn}∞n=1 for uma sequência limitada em X0, então existe uma sua
sub-sequência convergente com respeito à topologia fraca-?.
(b) Se X for reflexivo e{un}∞n=1for uma sequência limitada neste espaço, então existe uma
sua subsequência fracamente convergente;
2.2
Espaços L
pA demonstração do seguinte teorema pode ser encontrada em [Fol99].
Teorema 2.8 (Desigualdade de Young). Sejam 16 p, q, r 6 ∞, f ∈ Lp(Rd), g ∈ Lq(Rd), com 1 p+ 1 q= 1 + 1 r. Então k f ? gkLr(Rd)6 k f kLp(Rd)kgkLq(Rd).
O próximo resultado será usado algumas vezes ao longo desta dissertação. Teorema 2.9 (Lema de Du-Bois Raymond). Seja w ∈ L1loc(Ω) tal que
Z
Ω
wu dx= 0,
para toda u∈ C∞
c(Ω). Então w = 0 em q.t.p. de Ω.
Demonstração : Fixe x ∈ Ω e uma bola aberta B ⊆ Ω centrada em x de maneira arbitrária. Para cada inteiro k> 1, denote por Bka bola concêntrica a B cujo raio vale (1 − 1/k)r, onde r é o raio
de B. Tome uk∈ Cc∞(Ω) tal que 0 6 uk6 1, spt(uk) ⊂ B e
2.3 ESPAÇOS DE SOBOLEV VETORIAIS 11
Tem-se
Z
Ω
wuk dx= 0.
Pelo Teorema da Convergência Dominada (cf. [Fol99]), pode-se enviar k → ∞ para descobrir
Z
B
w dx= 0.
Dividindo pela medida de B e enviando o raio da mesma para zero, ter-se-á, mediante o Teorema da Diferenciação de Lebesgue (cf. [Fol99])
w(x) = 0, em q.t.p. x ∈ Ω. Isto finaliza a demonstração.
Esta seção é finalizada com dois teoremas de representação. A demonstração do primeiro destes pode ser encontrada em [Fol99] e a do segundo no décimo-terceiro capítulo de [Din67]. Teorema 2.10. Sejam 16 p < ∞ e p0:= p/(p − 1) (p0= ∞, se p = 1). Dado ϕ ∈ (Lp(Ω))0, existe g∈ Lp0(Ω) tal que kϕk
Lp(Ω)= kgk Lp0(Ω)e hϕ, f i = Z Ω f g dx ( f ∈ Lp(Ω)) ,
ou seja, o dual topológico de Lp(Ω) é isometricamente isomorfo a Lp0(Ω).
Teorema 2.11. Sejam I um intervalo, 16 p < ∞ e p0como no Teorema 2.10. Se X for reflexivo ou X0for separável, então o dual topológico de Lp(I; X ) é isometricamente isomorfo ao espaço
Lp0 I; X0 sob a dualidade hv, uiLp0(I;X0)×Lp(I;X )= Z I hv(t), u(t)idt.
2.3
Espaços de Sobolev Vetoriais
A demonstração do primeiro teorema desta seção consta em [CH98].
Teorema 2.12. Sejam 16 p 6 ∞, I um intervalo e f ∈ Lp(I; X ). As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) f ∈ W1,p(I; X );
(b) existe g∈ Lp(I; X ) tal que, para q.t.p. t
0e t pertencentes a I, verifica-se f (t) = f (t0) + Rt t0g(s) ds; (c) existem g∈ Lp(I; X ), t 0∈ I e u0∈ X tais que f (t) = u0+ Rt t0g(s) ds, para q.t.p. t ∈ I;
(d) f é absolutamente contínua, diferenciável em q.t.p. de I e f0∈ Lp(I; X );
Corolário 2.13. Com as notações do Teorema acima, tem-se W1,p(X ) ,→ C ([0, T ] ; X ).
O segundo e último teorema desta seção está demonstrado em [Lio69].
Teorema 2.14 (Aubins-Lions). Sejam T > 0, B0, B e B1três espaços de Banach, com B0e B1
reflexivos e B0b B ,→ B1. Se1 < p0< ∞ e 1 < p1< ∞, defina W := Lp0([0, T ] ; B 0) ∩W1,p1([0, T ] ; B1) . Munido da norma kukW := kukLp0([0,T ];B0)+ ku 0k Lp1([0,T ];B1), W é um espaço de Banach e W b Lp0([0, T ] ; B) . Corolário 2.15. Tem-se L2 [0, T ] ; H01(Ω) ∩ H1 [0, T ] ; H−1(Ω) b L2(Q).
2.4
Resultados de Aproximação
A demonstração do próximo teorema pode ser vista em [Die69]. Para seu enunciado, far-se-á a seguinte definição.
Definição 2.16. Sejam X e Y dois espaços métricos.
(a) Denotar-se-á por C(X ;Y ) o espaço das funções contínuas X → Y munido da topologia uniforme. Caso Y = R1, abrevia-se C(X ;Y ) = C(X ).
(b) Por uma subálgebra de C(X ) entende-se um seu subespaço vetorial A estável sob o produto pontual, ou seja, tal que f g∈A se f e g pertencerem a A .
(c) Uma subálgebraA de C(X) separa pontos se, dados dois pontos distintos x e y perten-centes a X, existir f ∈A satisfazendo f (x) 6= f (y).
Teorema 2.17 (Stone-Weierstrass). Seja X um espaço métrico compacto. Se uma subálgebra A de C(X) contiver as funções constantes e separar pontos de X, então A é densa em C(X).
Deste resultado, segue o
Corolário 2.18. Uma função real e contínua em um subconjunto compacto K de Rd é o limite uniforme de uma sequência de polinômios.
2.5 ASPECTOS DA TEORIA DE SEMIGRUPOS 13
Teorema 2.19 (Aproximação por funções hölderianas contínuas). Seja f ∈ C(Ω).
(a) Existe uma sequência de funções hölderianas que converge uniformemente para f. (b) Se f|∂ Ω≡ 0, então as funções hölderianas que a aproximam podem ser tomadas de suporte compacto.
Demonstração : (a) Sendo todo polinômio localmente lipschitziano e Ω limitado, este item é uma consequência imediata do corolário acima.
(b) Seja ε > 0. Existe uma vizinhança V de ∂ Ω em Ω tal que | f |6 ε/2 em V. Sejam U um aberto sujeito a Ω\V b U b Ω e θ ∈ C∞
c(U ) satisfazendo 0 6 θ 6 1 e θ |U ≡ 1. Se p for
uma função hölderiana tal que k f − pkC(Ω)6 ε/2, então, pondo q := θ p, tem-se q hölderiana e k f − qkC(Ω)6 ε. Segue imediatamente desta construção o resultado desejado.
Enuncia-se o teorema a seguir de acordo com [Die69].
Teorema 2.20 (Arzelá-Ascoli). Suponha X um espaço métrico compacto e Y um espaço de Banach. Para que um subconjuntoH de C(X;Y) seja relativamente compacto, é necessário e suficiente que ele seja equicontínuo e que, para cada x∈ X, a órbitaH (x) := { f (x) : f ∈ H } seja relativamente compacta em Y.
Teorema 2.21. Para 0 < β 6 1 e 0 < α 6 1, tem-se Cβ(Ω) b C(Ω) e Cα /2,α(Q) b C(Q).
2.5
Aspectos da Teoria de Semigrupos
Os resultados descritos nesta seção podem ser encontrados em [CH98]. Fixam-se um es-paço de Banach real X e um operador linear A : D(A) → X .
Definição 2.22. Dir-se-á que A é m−dissipativo se: (a) ku − λ Auk > kuk, se u ∈ D(A) e λ > 0;
(b) Para cada λ > 0 e f ∈ X , a equação u − λ Au = f tem uma solução u ∈ D(A). Definição 2.23. Suponha D(A) denso em X . Para λ > 0, defina
Jλ := (I − λ A)−1, Aλ := Jλ − I λ ≡ AJλ e Tλ(t) := etAλ, t > 0.
Teorema 2.24. Para u0∈ X, λ > 0 e t > 0, escreva uλ(t) := Tλ(t)u0. Então {uλ}λ converge
uniformemente em intervalos limitados[0, T ] a uma função u ∈ C([0, ∞[ ; X ), quando λ → 0+. Pondo T(t)u0:= u(t),t> 0, tem-se:
T(t) ∈L (X) e kT(t)kop 6 1, t > 0, T(0) = I, T(t + s) = T (t)T (s), s,t > 0.
Ademais, se u0∈ D(A), então t 7→ T (t)u0é a única solução do problema u ∈ C([0, ∞[ ; D(A)) ∩C1([0, ∞[ ; X ) , u0(t) = Au(t), t > 0, u(0) = u0.
Finalmente, vale T(t)A = AT (t) em D(A), se t > 0. Especializa-se o resultado anterior:
Teorema 2.25. Suponha que X seja um espaço de Hilbert real, que A seja auto-adjunto e A6 0. Se u0∈ X, ainda se usa a notação u(t) ≡ T (t)u0. Então u é a única solução de
u ∈ C([0, ∞[ ; X ) ∩C(]0, ∞[ ; D(A)) ∩C1(]0, ∞[ ; X ), u0(t) = Au(t), t > 0, u(0) = u0.
Em adição, tem-se as estimativas: (
kAu(t)k 6 t√1 2ku0k;
− (Au(t)|u(t))X 62t1ku0k2.
Caso se suponha u0∈ D(A), ter-se-á
kAu(t)k26 −1
2t(Au0|u0)X.
Corolário 2.26. Seja u0∈ L2(Ω) e denota-se por u(t) := S(t)u0a função dada pelo teorema
anterior com A≡ ∆ : H2(Ω) ∩ H01(Ω) → L2(Ω). Então u é a única solução de
u ∈ C([0, ∞[ ; L2(Ω)) ∩C1(]0, ∞[ ; L2(Ω)), ∆u ∈ C(]0, ∞[ ; L2(Ω)), u0(t) = ∆u(t), t > 0, u(0) = u0.
Além disto, tem-se:
u ∈ C(]0, ∞[ ; H01(Ω)), k∇u(t)kL2(Ω)6 √1 2tku0kL2(Ω), t > 0, k∆u(t)kL2(Ω)6 1 t√2ku0kL2(Ω), t > 0.
2.6
Regularidade de Soluções de Problemas Parabólicos Lineares
2.6 REGULARIDADE DE SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PARABÓLICOS LINEARES 15
Teorema 2.27 (Estimativas de energia básicas). Sejam a ∈ L∞(Q), u
0∈ L2(Ω) e f ∈ L2(Q). A única solução u de ut− ∆u + au = f , em Q, u= 0, sobre Σ, u(0) = u0, em Ω, satisfaz max 06t6Tku(t)k 2 L2(Ω)+ k∇uk2L2(Q)6 2 k f k2L2(Q)+ ku0k2L2(Ω) eT(1+2kakL∞(Q)).
O Teorema 2.28 foi extraído de [CH98].
Teorema 2.28 (Efeito (Lp− Lq)−regularizante da equação do calor). Para 1 6 q 6 p 6 ∞,
tem-se kS(t)u0kLp(Ω)6 (4πt) −d 2 1 p− 1 q ku0kLq(Ω), para t> 0, se u0∈ L2(Ω) ∩ Lq(Ω).
Teorema 2.29 (Estimativas L∞). Sejam u
0∈ L∞(Ω), a ∈ L∞(Q) e f ∈ L∞(Q) e suponha que u
seja a solução fraca de
∂ u ∂ t − ∆u + au = f , em Q, u= 0, sobre Σ, u(0) = u0, em Ω. Então
kukL∞(Q)6 eTkakL∞(Q)ku0kL∞(Ω)+ TeTkakL∞(Q)k f kL∞(Q).
Demonstração : Tem-se u = v + w, onde ∂ v ∂ t − ∆v + av = 0, em Q, v= 0, sobre Σ, v(0) = u0, em Ω e ∂ w ∂ t − ∆w + aw = f , em Q, w= 0, sobre Σ, w(0) = 0, em Ω.
Estima-se v. Para tanto, escreve-se v(t) := e−tkakL∞(Q)v(t), de sorte que ∂ v ∂ t − ∆v + (a + kakL∞(Q))v = 0, em Q, v= 0, sbore Σ, v(0) = u0, em Ω.
Multiplicando a EDP acima por (v − ku0kL∞(Ω))+e integrando em x ∈ Ω, vem 1 2 d dt Z {v>ku0kL∞(Ω)} |v − ku0kL∞(Ω)|2dx ! 61 2 d dt Z {v>ku0kL∞(Ω)} |v − ku0kL∞(Ω)|2dx ! + Z Ω |∇(v − ku0kL∞(Ω))+|2+ av(v − ku0kL∞(Ω))+ dx = 0.
Intregrando no tempo e utilizando a desigualdade de Gronwall, conclui-se que v16 ku0kL∞(Ω) em q.t.p. de Q e, portanto, que v6 eTkakL∞(Q)ku
0kL∞(Ω) em q.t.p. de Q. Repetindo o raciocínio para −v, que resolve um problema similar ao que v o faz, concluímos que
kvkL∞(Q)6 eTkakL∞(Q)ku0kL∞(Ω). Agora, estima-se w. Esta função representa-se da forma seguinte:
w(t) =
Z t 0
S(t − s){−aw + f }(s)ds. Daí, para quase todos 06 t 6 T, ter-se-á
kw(t)kL∞(Ω)6 kakL∞(Q)
Z t
0
kw(s)kL∞(Ω)ds+ T k f kL∞(Q).
Pela desigualdade de Gronwall, vale
kw(t)kL∞(Ω)6 TeTkakL∞(Q)k f kL∞(Q), para estes valores de t. Com isso, deduz-se
kwk 6 TeTkakL∞(Q)k f k
L∞(Q).
Juntando as estimativas que foram obtidas para v e w, segue o resultado.
No teorema a seguir, denota-se porPQ o bordo parabólico de Q, i.e., a reunião Σ ∪ ({0} × Ω)
e, para cada (s, y) ∈PQ e r > 0 fixados,
PQ[(s,y);r] := PQ ∩ Q((s,y);r), onde
Q(y; r) := {(t, x) ∈ Q : |x − y| < r, 0 < s − t < r2}. Este resultado foi adaptado do Teorema (6.33) de [Lie05].
Teorema 2.30 (Regularidade hölderiana). Considera-se o operador parabólico
Lu= ∂ u ∂ t − d
∑
i=1 ∂ ∂ xi ai, j ∂ u ∂ xj + biu − d∑
i=1 ci∂ u ∂ xi − c0u2.7 TEOREMAS DIVERSOS 17 sob as hipóteses: ∑di, j=1ai, jξiξj> λ |ξ |2, ξ ∈ Rd, |ai j| 6 Λλ , i, j = 1,..., d, 1 λ2 ∑ d i=1|bi− ci|2 + |c0| λ 6 Λ 2 1,
para algumas constantes positivas λ , Λ e Λ1. Se u for uma solução limitada do problema
Lu= g + ∑di=1Difi, com kukL∞(Q)|(b1, ..., bd)| + |( f1, ..., fd)| 6 k1, kukL∞(Q)|c0| + |g| 6 k2 e osc PQ[(s,y);r]u6 Kr β, ((s, y) ∈PQ, 0 < r < R),
para algum R= R(Ω) > 0, então existe uma constante α = α(d, λ , Λ) ∈ ]0, 1[ tal que u pertence ao espaço Cθ /2,θ(Q), para cada θ 6 min(α, β ), valendo a estimativa
kukCθ /2,θ(Q)6 C(kukL∞(Q)+ K + k1+ k2),
onde C= C(d, β , θ , λ , Λ, Λ1, diam Q) > 0.
Corolário 2.31. Suponha que u0∈ Cβ(Ω), u
0|∂ Ω ≡ 0, a ∈ L∞(Q) e f ∈ L∞(Q). Se u for a solução fraca de ∂ u ∂ t − ∆u + au = f , em Q, u= 0, em Σ, u(0) = u0, em Ω,
então, para cada λ > kakL∞(Q), existem duas constantes
α = α (d, β , λ ) ∈ ]0, 1[ e C = C(d, β , α , λ , diam Q) > 0 tais que u∈ Cα /2,α(Q) e kukCα /2,α(Q)6 C kukL∞(Q)(1 + kakL∞(Q)) + k f kL∞(Q)+ ku0kCβ(Ω) .
2.7
Teoremas Diversos
O primeiro resultado listado nesta seção diz respeito à existência local de soluções para uma equação do calor semilinear.
Teorema 2.32. Seja f : R1→ R1 uma função localmente lipschitziana. Dada w0∈ L∞(Ω),
existe δ > 0 tal que o problema wt− ∆w + f (w) = 0, ]0, δ [ × Ω, w= 0, ]0, δ [ × ∂ Ω, w(0) = w0, Ω,
admite uma solução limitada w, tendo esta a regularidade
Demonstração : Para cada R > 0, seja TR: R1→ R1o truncamento dado por
TR(s) :=
(
s, se |s| 6 R, sgn(s)R, se |s| > R.
A função f ◦ TR é globalmente lipschitziana. Associa-se a ela uma sua constante de Lipschitz
L(R) > 0. O problema wt− ∆w + f (TR(w)) = 0, em Q, w= 0, sobre Σ, w(0) = w0, em Ω,
admite uma única solução w com a regularidade enunciada (cf. [Eva10]). Ademais, w é essen-cialmente limitada e satisfaz
kwkL∞(Q)6 kw0kL∞(Ω)+ T (| f (0)| + RL(R)) .
Assim, se R > kw0kL∞(Ω), ter-se-á kwkL∞(Q)6 R e, portanto, TR(w) = w em q.t.p. de Q durante o tempo de existência
δ = δ (R) :=
R− kw0kL∞(Ω) | f (0)| + RL(R).
O próximo resultado desta seção, que é bem conhecido, pode ser encontrado em [Bre83]. Teorema 2.33 (Minimização de funcionais convexos). Seja X um espaço de Banach reflexivo e C um seu subconjunto não vazio, fechado e convexo. Seja ϕ : C → ]−∞, ∞] uma função convexa e semi-contínua inferiormente, ϕ 6≡ ∞, e, se C for ilimitado, suponha ademais que
lim
kxkX→∞
ϕ (x) = ∞.
Então existe x0∈ C tal que
ϕ (x0) = min x∈Cϕ (x).
A demonstração do último teorema listado nesta seção está contida em [AB06] (veja o resultado “Corollary 17.55”).
Teorema 2.34 (Teorema do ponto fixo de Kakutani). Sejam X um espaço de Banach, K um seu subconjunto, sendo K não vazio, compacto e convexo, e
Λ : z ∈ K 7→ Λ(z) ⊆ K uma aplicação com as seguintes propriedades:
(a) para cada z∈ K, Λ(z) é não vazio, fechado e convexo;
(b) Λ tem gráfico fechado, ou seja, dados uma sequência {zn}∞n=1 em K, convergindo a um
elemento z∈ K, e, para cada n > 1, um elemento pn∈ Λ(zn), de sorte que a sequência
{pn}∞n=1 convirja a um elemento p∈ K, tem-se p ∈ Λ(z).
C
APÍTULO3
Controlabilidade Nula
3.1
Considerações Iniciais
Neste capítulo, fixam-se T > 0 e ω b Ω. Considerar-se-á a controlabilidade nula do pro-blema (3.1) ∂ y ∂ t − ∆y + f (y) = χωv, em Q, y= 0, sobre Σ, y(0) = y0, em Ω.
Admitir-se-ão as condições: y0∈ L2(Ω), v ∈ L∞(]0, T [ × ω) e que f : R1→ R1seja localmente
lipschitiziana. Além disso, supor-se-á, por conveniência, a regularidade adicional
(3.2) | f0(s)| 6 C(1 + |s|p) (em quase todo s real),
para algum número real positivo p6 1 + 4/d.
Definição 3.1. Dir-se-á que (3.1) é controlável a zero no tempo T se, para cada y0∈ L2(Ω)
e cada trajetória y∗ globalmente definida em [0, T ] , correspondendo aos dados y∗0∈ L2(Ω) e
v∗∈ L∞(]0, T [ × ω) , existe um controle v ∈ L∞(]0, T [ × ω) para o qual a solução de (3.1) está
globalmente definida em[0, T ] e satisfaz em Ω a relação seguinte:
(3.3) y(T ) ≡ y∗(T ).
Caso (3.1) seja linear, vê-se facilmente que a Definição 3.1 recai na definição usual de controlabilidade nula.
3.2
Uma Desigualdade de Carleman
Nesta seção, enuncia-se uma desigualdade global de Carleman. Esta é a ferramenta es-sencial para que se demonstre a primeira desigualdade de observabilidade considerada para o sistema adjunto à linearização de (3.1). Sua demonstração é extremamente enfadonha e, por-tanto, será postergada para o apêndice.
Seja η0∈ C2(Ω) tal que
(3.4) η0> 0 em Ω, η0|∂ Ω≡ 0 e ∇η06= 0 em Ω\ω.
Refere-se a [FI96] para a demonstração da existência de uma tal função.
Antes do enunciado da proposição, algumas notações têm de ser fixadas. Tome K0 > 0
sujeito a K0> 5 m´ax Ω η0− 6 min Ω η0. Ponha β0:= η0+ K0, β := 5 4m´axΩ β0 e ρ1:= eλ β− eλ β 0 ,
onde λ > 0. Note que ρ1> 0 em Ω. Definem-se os pesos φ e ρ por
(3.5) φ (t, x) := ρ
1(x)
t(T − t) e
(3.6) ρ (t, x) := exp (φ (t, x)) ,
onde (t, x) ∈ Q. Por fim, considera-se o espaço
(3.7) Z:= {q ∈ C2(Q) : q|Σ≡ 0.}
Proposição 3.2 (Desigualdade de Carleman). Existem duas constantes positivas C∗ e s1 tais
que 1 s Z Q ρ−2st(T − t) |qt|2+ |∆q|2 d(t, x) + s Z Q ρ−2st−1(T − t)−1|∇q|2d(t, x) +s3 Z Q ρ−2st−3(T − t)−3|q|2d(t, x) 6 C∗ " Z Q ρ−2s|qt+ ∆q|2d(t, x) +s3 Z T 0 Z ω ρ−2st−3(T − t)−3|q|2d(t, x) # (3.8)
para cada q∈ Z e s > s1. Além disso, C∗ pode ser escolhida dependendo apenas de Ω e ω,
enquando que s1pode ser tomado na forma
(3.9) s1= σ1(Ω, ω)(T + T2),
onde σ1(Ω, ω) > 0 depende apenas de Ω e ω.
3.3
Uma Desigualdade de Observabilidade
As notações da seção anterior serão mantidas. Todas as constantes C,C1,C2 et ceteraque
3.3 UMA DESIGUALDADE DE OBSERVABILIDADE 21
Admite-se que a ∈ L∞(Q) e ϕT ∈ L2(Ω) são dados, denotando-se por ϕ a solução do
pro-blema adjunto à equação do calor linear com potencial a, descrito a seguir:
(3.10) −∂ ϕ ∂ t − ∆ϕ + a(t, x)ϕ = 0, em Q, ϕ = 0, sobre Σ, ϕ (T ) = ϕT, em Ω, Lema 3.3. Tem-se (3.11) ρ−2st−3(T − t)−3 L∞(Q)6 2 6T−6 exp −CsT−2 , para todo (3.12) s> 3T2 8 min Ω ρ1 −1 .
Demonstração : Note que
(3.13) ρ (t, x)−2st−3(T − t)−3= 1 fx(t)
, para cada (t, x) ∈ Q, sendo
fx(t) := t3(T − t)3exp 2sρ1(x) t(T − t) = τ3exp 2sρ 1(x) τ = gx(τ)
e τ = τ(t) = t(T − t) ∈0, T2/4 . Para cada x ∈ Ω, o mínimo de gxé assumido em
ˆ τ = 2sρ 1(x) 3 , valendo gx( ˆτ ) = 2sρ1(x) 3 3 e3. Por outro lado,
gx(τ) → ∞,
quando τ → 0+, gxé decrescente em ]0, ˆτ [ e crescente em ] ˆτ , ∞[ . Assim, min 06t6T fx(t) =06τ6Tmin2/4gx(τ) = gx( ˆτ ) = 2sρ1(x) 3 3 e3, se T2/4 > 2sρ1(x)/3, gx(T2/4) = 2−6T6exp(8sρ1(x)T−2), se T2/4 < 2sρ1(x)/3.
Portanto, mediante (3.12), infere-se
(3.14) min
06t6T fx(t) > 2
−6T6exp CsT−2 ,
Lema 3.4. Tem-se
(3.15) ρ−2st−1(T − t)−1> 16 3 T
−2
exp −CsT−2 ,
para todos t∈ [T /4, 3T /4] e x ∈ Ω, sempre que s estiver sujeito à condição
(3.16) s> T2 8 min Ω ρ1 −1 . Demonstração : Vale ρ (t, x)−2st−1(T − t)−1= 1 hx(t) , onde hx(t) := t(T − T ) exp 2sρ1(x) t(T − t) = τ exp 2sρ 1(x) τ = jx(τ)
e τ = τ(t) = t(T − t) ∈0, T2/4 . Caso T /4 6 t 6 3T /4, ter-se-á τ(t) ∈ 3T2/26, T2/4 .
Pro-cedendo como na demonstração do Lema 3.3, descobre-se max
T/46t63T /4hx(t) 6
3 16T
2exp(CsT−2)
sob a suposição (3.16). Com isso,
ρ−2st−1(T − t)−1>16 3 T
−2exp(−CsT−2)
em [T /4, 3T /4] × Ω, se s estiver restrito a (3.16). Chega-se ao resultado principal desta seção:
Proposição 3.5 (Desigualdade de Observabilidade). Existe uma constante C > 0, dependendo somente de Ω e ω, tal que
(3.17) kϕ(0)k2L2(Ω)6 exp C 1 + 1 T + T kakL∞(Q)+ kak 2/3 L∞(Q) Z T 0 Z ω |ϕ|2dx dt.
Demonstração : Aproximando ϕ por funções do espaço Z, resulta ser lícita a aplicação da desi-gualdade de Carleman (Proposição 3.2) à própria função ϕ em vez de q. Como ϕt+ ∆ϕ = aϕ,
tem-se s Z Q ρ−2st−1(T − t)−1|∇ϕ|2d(t, x) + s3Z Q ρ−2st−3(T − t)−3|ϕ|2d(t, x) 6 C∗ Z Q ρ−2s|aϕ|2d(t, x) + s3 Z T 0 Z ω ρ−2st−3(T − t)−3|ϕ|2dx dt , (3.18)
para s> s1. Trata-se do primeiro termo à direita de (3.18). Notando que
(3.19) Z Q ρ−2s|aϕ|2d(t, x) 6 2−6T6kak2L∞(Q) Z Q ρ−2st−3(T − t)−3|ϕ|2d(t, x),
3.3 UMA DESIGUALDADE DE OBSERVABILIDADE 23
e agrupando-o com o termo correspondente à esquerda, obter-se-á, via (3.18), (3.20) Z Q ρ−2st−1(T − t)−1|∇ϕ|2d(t, x) 6 C∗s2 Z T 0 Z ω ρ−2st−3(T − t)−3|ϕ|2dxdt, sempre que (3.21) s> s2:= max s1,CT2kak2/3L∞(Q) . Tendo em conta (3.9), (3.12) e (3.21), infere-se que a constante
s3:= max s2, 3T2 8 min Ω ρ1 −1! satisfaz (3.22) s36 C T+ (1 + kak2/3L∞(Q))T 2=: s 4.
Aplicando (3.11) com s> s4, resulta
(3.23) ρ−2st−3(T − t)−3 L∞(Q)6 2 6T−6exp −C1 1 +1 T + kak 2/3 L∞(Q) . Note que s4> 3T2 8 min Ω ρ1 −1 ;
assim, aplica-se o Lema 3.4 para s = s4, de sorte que, argumentando de forma análoga a que se
utilizara para a obtenção de (3.23), deduza-se (3.24) ρ−2st−1(T − t)−1>16 3 T −2exp −C2 1 + 1 T + kak 2/3 L∞(Q) em cada ponto (t, x) ∈ T 4, 3T 4 × Ω. Voltando a (3.20), usam-se (3.23) e (3.24) nesta relação:
(3.25) Z 3T 4 T 4 Z Ω |∇ϕ|2dxdt6 exp C 1 + 1 T + kak 2/3 L∞(Q) Z T 0 Z ω |ϕ|2dx dt.
Por outro lado, de ϕt− ∆ϕ + aϕ = 0, infere-se
(3.26) −1 2 d dt Z Ω |ϕ|2dx + Z Ω |∇ϕ|2dx+ Z Ω a|ϕ|2dx= 0, donde (3.27) −1 2 d dt Z Ω |ϕ|2dx 6 kakL∞(Q) Z Ω |ϕ|2dx,
ou seja, (3.28) d dt e2tkakL∞(Q) Z Ω |ϕ|2dx > 0. Integrando (3.28) em [T /4,t] , para T /46 t 6 3T /4, ter-se-á
Z Ω |ϕ(t)|2dx> exp 2 T 4 − t kakL∞(Q) Z Ω ϕ T 4 2 dx > exp −T kakL∞(Q) Z Ω ϕ T 4 2 dx, (3.29)
se T /46 t 6 3T /4. Denotando por λ1o primeiro autovalor do operador −∆ em H01(Ω),
combina-se (3.25) e (3.29) para descobrir λ1T 2 exp −T kakL∞(Q) Z Ω ϕ T 4 2 dx6 λ1 Z 3T 4 T 4 Z Ω |ϕ|2dx dt 6 exp C 1 +1 T + kak 2/3 L∞(Q) Z T 0 Z ω |ϕ|2dx dt. (3.30) Integrando (3.28) em [0, T /4] , vem (3.31) exp TkakL∞(Q) 2 Z Ω ϕ T 4 2 dx> Z Ω |ϕ(0)|2dx, donde (3.32) kϕ(0)k2 L2(Ω)6 2 λ1T exp C 1 + 1 T + kak 2/3 L∞(Q) +3T 2 kakL∞(Q) Z T 0 Z ω |ϕ|2dx dt.
É simples inferir que (3.17) decorre de (3.32). Dá-se por finalizada a demonstração da Proposi-ção 3.5.
3.4
Uma Desigualdade de Observabilidade Refinada
Na presente seção, refina-se a desigualdade (3.17). Para tanto, considere a ∈ L∞(Q) e o
sistema: (3.33) −∂ ϕ ∂ t − ∆ϕ + a(t, x)ϕ = 0, em Q, ϕ = 0, sobre Σ, ϕ (T ) = ϕT, em Ω,
onde ϕT ∈ L2(Ω). Refina-se a Proposição 3.5 trocando o quadrado da norma L2 figurando à
3.4 UMA DESIGUALDADE DE OBSERVABILIDADE REFINADA 25
Proposição 3.6 (Desigualdade de Observabilidade Refinada). Existe uma constante positiva C= C(Ω, ω) para a qual (3.34) kϕ(0)k2L2(Ω)6 Cob Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt 2 , onde (3.35) Cob:= exp C 1 + 1 T + T + (T 1/2+ T )kak L∞(Q)+ kak 2/3 L∞(Q) .
Demonstração : Seja ω0b ω. Aplicando a Proposição 3.5 com ]T /3, 2T /3[ no lugar de ]0, T [ e ω0 em vez de ω, resulta kϕ(T /3)kL2(Ω)6 exp C 1 +3 T + T 3kakL∞(Q)+ kak 2/3 L∞(Q) Z 2T /3 T/3 Z ω0 |ϕ|2dx dt. Integrando (3.28) em [0, T /3], descobrir-se-á kϕ(0)k2 L2(Ω)6 exp 2T kak L∞(Q) 3 kϕ(T /3)k2 L2(Ω). Juntando estas duas últimas estimativas, vem
(3.36) kϕ(0)k2L2(Ω)6 C1 Z 2T /3 T/3 Z ω0 |ϕ|2dx dt, onde exp C 1 + 3 T + T 3kakL∞(Q)+ kak 2/3 L∞(Q)
e a constante C possivelmente aumentou em relação àquela figurando em Cob, mas continua
dependendo somente de Ω e ω. Afirma-se que
(3.37) Z 2T 3 T 3 Z ω0 |ϕ|2dx dt6 CTα1 + T1/2(1 + kak L∞(Q)) βZ T 0 Z ω |ϕ|dx dt 2 .
Para que (3.37) seja demonstrada, far-se-á uso da seguinte
Afirmação Sejam ω0e ω1, dois abertos, δ0, δ1, r0e r1, quatro números reais, tais que
ω0⊆ ω0b ω1⊆ ω, 0 < δ1< δ0< T /2, 16 r1< r0< ∞ e (3.38) d 2+ 1 1 r1 − 1 r0 <1 2.
Então Z T−δ0 δ0 Z ω0 |ϕ|r0dx dt r01 6 CTγ1 + T12(1 + kak L∞(Q)) × × Z T−δ1 δ1 Z ω1 |ϕ|r1dx dt r11 , (3.39) sendo C= C(Ω, ω0, ω1, δ0, δ1, r0, r1, d) > 0 e γ = γ (r0, r1, d) > 0. Realmente, seja θ ∈ C∞ c (]δ1, T − δ1[ × ω1) tal que 0 6 θ 6 1 e θ ]δ0,T −δ0[×ω0 ≡ 1. Escreve-se ψ := θ ϕ. Tem-se, portanto,
ψt+ ∆ψ = aψ + [θt+ ∆θ ] ϕ + 2∇θ · ∇ϕ, em Q, ψ = 0, sobre Σ, ψ (T ) = 0, em Ω.
A fim de simplificar os cálculos, que se reverta o tempo: ϕ(t) := ϕ(T − t), θ (t) := θ (T − t), se 06 t 6 T, e ψ := θ ϕ. Deste modo, (3.40) ψt− ∆ψ = −aψ + θt− ∆θ ϕ − 2∇θ · ∇ϕ , em Q, ψ = 0, sobre Σ, ψ (0) = 0, em Ω. Denotar-se-á por {S(t)}t>0
o semigrupo gerado pela equação do calor com condições de bordo de Dirichlet. Assim, de (3.40), segue que ψ é obtida pela fórmula da variação dos parâmetros:
(3.41) ψ (t) = Z t 0 S(t − s)−aψ + θt− ∆θ ϕ − 2∇θ · ∇ϕ (s)ds.
Tomando a norma em Lr0(Ω) de ψ(t), segundo a expressão acima, e usando o efeito (Lp− Lq) − regularizante (cf. Teorema 2.28) da equação do calor, chega-se à estimativa
kψ(t)kLr0(Ω)6 C ( kakL∞(Q) Z t 0 (t − s)− d 2 1 r1− 1 r0 kψ(s)kLr1(Ω)ds + Z t δ1 (t − s)− d 2 1 r1− 1 r0 + (t − s)− d 2 1 r1− 1 r0 −1 2 kϕ(s)kLr1(ω1)ds ) ,
3.4 UMA DESIGUALDADE DE OBSERVABILIDADE REFINADA 27
onde a constante C > 0 depende do supremo essential das funções θt, ∇θ e ∆θ , sendo assim
determinada pelos objetos ω0, ω1, δ0e δ1, além de Ω, conforme se deseja. Para δ1< t < T − δ1,
a estimativa acima implica
kψ(t)kLr0(Ω)6 C h 1 + T1/2+ T1/2kakL∞(Q) i × × Z t δ1 (t − s)− d 2 1 r1− 1 r0 −1 2kϕ(s)k Lr1(ω1)ds.
Integrando no tempo, uma aplicação da desigualdade de Young (veja o Teorema (2.8)) implica na desigualdade (3.42) kψkLr0(]δ1,T −δ1[×Ω)6 CT α1 + T1/2(1 + kak L∞(Q)) kϕkLr1(]δ1,T −δ1[×ω1),
para algum α. Isto é possível graças à relação d 2 1 r1 − 1 r0 +1 2+ 1 r1 < 1 + 1 r0 ,
que é equivalente a (3.38), porquanto esta implica que o expoente r tal que r−1+ r−11 = 1 + r0−1 satisfaz 0 < r d 2 1 r1 − 1 r0 +1 2 < 1 6 d. A desigualdade (3.39) agora segue prontamente de (3.42).
A desigualdade (3.39) não pode ser aplicada para r1:= 1 e r0:= 2, já que estes expoentes
não verificam a relação (3.38). Assim, aplicar-se-á (3.39) recursivamente, da maneira descrita a seguir.
Ponha r0:= 2 e r1, r2, ... definem-se por
1 ri := i 2(d + 2)+ 1 2.
Para algum I> 0 apropriado, ter-se-á rI> 1 e rI+16 1. Redefina-se rI+1pondo rI+1:= 1. Tome
δ > 0 de sorte que T 3− δ I, 2T 3 + δ I ⊆ [0, T ] e uma família de abertos {ωi}I+1i=1 sujeitos a
ω0≡ ω0b ω1b · · · b ωIb ωI+1≡ ω.
Para cada i ∈ {0, ..., I}, aplica-se (3.39) para ωi, ωi+1, iδ , (i + 1)δ , rie ri+1em vez de ω0, ω1, δ0,
δ1, r0 e r1. Deste modo, deduz-se (3.37) com β = I e α sendo a soma dos expoentes γ gerados
em cada etapa da recursão.
Juntando (3.36) e (3.37), obter-se-á (3.43) kϕ(0)k2 L2(Ω)6 K Ω, ω, d, T, kakL∞(Q) Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt 2 ,
com K Ω, ω, d, T, kakL∞(Q) = exp C 1 +1 T + T kakL∞(Q)+ kak 2 3 L∞(Q) × ×Tα1 + T12(1 + kak L∞(Q)) β .
É fácil deduzir (3.34) a partir de (3.43); logo, a demonstração está finalizada.
3.5
Controlabilidade Nula da Equação do Calor com um Potencial
Limitado
Nesta seção, considera-se a equação do calor linear com um potencial a ∈ L∞(Q),
mantendo-se as demais notações previamente fixadas:
(3.44) ∂ y ∂ t− ∆y + ay = χωv, em Q, y= 0, sobre Σ, y(0) = y0, em Ω.
Para a demonstração da controlabilidade nula no tempo T de (3.44), introduz-se o funcional
(3.45) Jε(ϕT; a, y0) := 1 2 Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt 2 + εkϕTkL2(Ω)+ (ϕ(0)|y0)L2(Ω),
onde ε > 0, ϕT ∈ L2(Ω) e ϕ é a solução de (3.33) associada. Como a e y
0estarão fixados ao
longo desta seção, escrever-se-á
Jε ϕT ≡ Jε(ϕ T
; a, y0)
ao longo da mesma. Demonstram-se três lemas:
Lema 3.7. O funcional Jε é estritamente convexo, contínuo e coercivo, no sentido de que vale
a relação
(3.46) lim
kϕTk
L2(Ω)→∞
Jε(ϕT) = ∞.
Demonstração : Afirmação 1 Jε é estritamente convexo.
Sejam ϕT e ψT dois elementos de L2(Ω). Denotam-se por ϕ e ψ as soluções de (3.33) satisfazendo ϕ(T ) = ϕT e ψ(T ) = ψT. Seja 0 < t < 1. Abrevia-se
j1 θT := 1 2 Z T 0 Z ω |θ |dx dt 2 θT∈ L2(Ω) ,
3.5 CONTROLABILIDADE NULA DA EQUAÇÃO DO CALOR COM UM POTENCIAL LIMITADO 29
onde θ é, por sua vez, a solução de (3.44) que satisfaz θ (T ) = θT. Vale a estimativa
j1 tϕT+ (1 − t)ψT − t j1 ϕT − (1 − t) j1 ψT 6 −t(1 − t) 2 Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt − Z T 0 Z ω |ψ|dx dt 2 6 0, (3.47)
ocorrendo a igualdade na última desigualdade acima se, e somente se, (3.48) Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt = Z T 0 Z ω |ψ|dx dt. Por outro lado,
ktϕT+ (1 − t)ψTk2 L2(Ω)− tkϕTk L2(Ω)+ (1 − t)kψTkL2(Ω) 2 = 2t(1 − t) ϕT|ψTL2(Ω)− kϕ Tk L2(Ω)kψTkL2(Ω) 6 0, (3.49)
sendo verdadeira a igualdade precisamente no caso em que (3.50) kψTkL2(Ω)ϕT = kϕTkL2(Ω)ψT, ou seja,
(3.51) kψTkL2(Ω)ϕ = kϕTkL2(Ω)ψ . Pondo (3.47) e (3.49) juntas, conclui-se que
Jε(tϕ T+ (1 − t)ψT ) 6 tJε(ϕ T) + (1 − t)J ε(ψ T),
valendo a igualdade exatamente quando (3.48) e (3.51) forem válidas simultaneamente; neste caso, deduz-se que kϕTkL2(Ω) = kψTkL2(Ω). Com esta informação, infere-se mediante (3.50) que ϕT = ψT. Assim, Jε é estritamente convexo.
Afirmação 2 Jε é contínuo.
Esta afirmação é uma consequência imediata das estimativas de energia básicas (cf. 2.27). Afirmação 3 Jε é coercivo.
Pela desigualdade de observabilidade refinada, tem-se Jε(ϕT) > Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt 1 2 Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt −pCobky0kL2(Ω) + εkϕTkL2(Ω).
Disto segue imediatamente (3.46).
Como consequência do lema acima junto ao Teorema 2.33, conclui-se que Jε admite um
único mínimo ˆϕεT ∈ L2(Ω). Até o fim da presente seção, fixar-se-á esta notação para o mínimo, utilizando-a sem mais menções.
Lema 3.8. O mínimo ˆϕεT satisfaz a seguinte propriedade:
onde y1≡ y(T ) ∈ L2(Ω), sendo y a solução de (3.44) com v ≡ 0.
Demonstração : Pela dualidade entre (3.44) e (3.33), tem-se (ϕ(0)|y0)L2(Ω)= ϕT|y1
L2(Ω), qualquer que seja ϕT ∈ L2(Ω); logo, se ε > ky
1kL2(Ω), ter-se-á Jε(ϕT) > kϕTkL2(Ω) ε − ky1kL2(Ω) > 0 = Jε(0),
para todo ϕT ∈ L2(Ω). Portanto, neste caso fora possível concluir que é 0 o elemento de L2(Ω)
que minimiza Jε.
Reciprocamente, admite-se que ˆϕεT≡ 0. Assim, para s < 0 e ϕT ∈ L2(Ω), vale
06Jε(sϕ T) −s . Fazendo s → 0−, descobrir-se-á y1|ϕT L2(Ω)6 εkϕ Tk L2(Ω) ϕT ∈ L2(Ω) . Daí, segue que ε> ky1kL2(Ω).
Antes do enunciado do terceiro lema, deve-se recordar a seguinte
Definição 3.9. Sejam X um espaço de Banach e I : X → R1 um funcional convexo e contínuo em X.
(a) O subdiferencial de I em um ponto u∈ X, denotado por ∂ I(u), é o conjunto formado pelas formas lineares e contínuas λ ∈ X0tais que
hλ , wi 6 lim ε →0+ I(u + εw) − I(u) ε ,
qualquer que seja w∈ X.
(b) Dir-se-á que I é subderivável em u∈ X se ∂ I(u) não for vazio. Lema 3.10. Para cada ϕT ∈ L2(Ω), ϕT 6= 0, vale
∂ Jε(ϕT) = n ξ ∈ L2(Ω) : existe v ∈ sgn(ϕ)χω satisfazendo Z Ω ξ θTdx= Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt Z T 0 Z ω vθ dx dt + ε ϕ T|θT kϕTk L2(Ω) + (y0|θ (0))L2(Ω), para todo θT ∈ L2(Ω) o .
Salienta-se que acima ϕ e θ denotam as soluções do problema (3.33) satisfazendo ϕ(T ) = ϕT e θ (T ) = θT.
3.5 CONTROLABILIDADE NULA DA EQUAÇÃO DO CALOR COM UM POTENCIAL LIMITADO 31 Demonstração : Escreve-se j1(θT) :=1 2 Z T 0 Z ω |θ |dx dt 2 θT∈ L2(Ω) ,
onde θ denota a solução de (3.33) satisfazendo θ (T ) = θT, e j2:= Jε− j1. Sendo j2derivável
a Gateaux em cada membro θT6= 0 de L2(Ω) e j
1subderivável nestes elementos, tem-se
∂ Jε(ϕ T
) = ∂ j1 ϕT + ∂ j2 ϕT .
Além disto, identificando ∂ j2 ϕT com seu único elemento, é verdade que
∂ j2 ϕT |θT L2(Ω)= ε ϕT|θTL2(Ω) kϕTk L2(Ω) + (y0|θ (0))L2(Ω),
para todo θT ∈ L2(Ω). Em seguida, determina-se ∂ j
1 ϕT . Para tanto, tome ξ ∈ ∂ j1 ϕT . Por
um lado, isto significa que
(3.53) ξ |θTL2(Ω)6 lim
ε →0+
j1 ϕT+ εθT − j1 ϕT
ε ,
para todo θT ∈ L2(Ω); por outro, tem-se
lim ε →0+ j1 ϕT+ εθT − j1 ϕT ε = Z T 0 Z ω |ϕ|dx dt × × Z {ϕ6=0}∩ωT sgn(ϕ)θ d(t, x) + Z {ϕ=0}∩ωT |θ |d(t, x) , (3.54)
onde se abreviou ωT:= ]0, T [ × ω. A partir daqui, usa-se a letra L para denotar a aplicação que
a cada θT ∈ L2(Ω) associa a restrição a ω
T da solução θ de (3.33) satisfazendo θ (T ) = θT :
L(θT) ≡ θ χωT.
Juntando (3.53) e (3.54), deduz-se que o funcional linear Φ definido em L L2(Ω) , a imagem de L2(Ω) sob a ação de L, dado por
Φ, L θT := ξ |θTL2(Ω) θ
T∈ L2(Ω) está bem definido e satisfaz
hΦ, L(θT)i 6 Z T 0 Z ω |ϕ| dx dt Z {ϕ6=0}∩ωT sgn(ϕ)L(θT)d(t, x) + Z {ϕ=0}∩ωT |L(θT)|d(t, x) ! , (3.55)
Pelo teorema de Hahn-Banach em sua forma analítica (cf. [Bre83]), existe uma sua extensão a L1(ωT), ainda denotada por Φ, de sorte que
(3.56) hΦ, Θi 6 kϕkL1(ω T) Z {ϕ6=0}∩ωT sgn(ϕ)Θ d(t, x) + Z {ϕ=0}∩ωT |Θ|d(t, x) ,
para cada Θ ∈ L1(ωT). De (3.56) infere-se que Φ é contínuo, i.e., Φ ∈ L1(ωT)
0
= L∞(ω T) e
que, para qualquer Θ ∈ L1(ωT), tem-se
Z ωT ΦΘ d(t, x) − kϕ kL1(ω T) Z {ϕ6=0}∩ωT sgn(ϕ)Θd(t, x) 6 6 kϕkL1(ω T) Z {ϕ=0}∩ωT |Θ| d(t, x). (3.57)
Restringindo-se àquelas funções Θ que têm seus respectivos suportes contidos na interseção {ϕ 6= 0} ∩ ωT, concluir-se-á que Φ(t, x) ≡ kϕ kL1(ω T) ϕ (t, x) |ϕ(t, x)|
em quase todos os pontos (t, x) ∈ {ϕ 6= 0} ∩ ωT. Olhando apenas para as funções Θ cujos
su-portes são um subconjunto de
{ϕ = 0} ∩ ωT,
a informação que se obtém é a de que
|Φ(t, x)| 6 kϕkL1(ω T)
em quase todos os pontos (t, x) ∈ {ϕ = 0} ∩ ωT. Logo, Φ = kϕkL1(ω
T)v, com v ∈ sgn(ϕ)χω. Isto estabelece meio lema.
Reciprocamente, considere Φ ∈ kϕkL1(ω
T)sgn(ϕ)χω. Deste modo, o funcional linear θT∈ L2(Ω) 7→
Z
ωT
Φθ d(t, x) ∈ R1
é contínuo; assim, há um único ξ ∈ L2(Ω) tal que, para todo θT∈ L2(Ω), vale
ξ |θTL2(Ω)= hξ , θ Ti =Z ωT Φθ d(t, x). Com isso, hξ , θTi = Z {ϕ6=0}∩ωT kϕkL1(ω T)sgn(ϕ)θ d(t, x) + Z {ϕ=0}∩ωT Φθ d(t, x) 6 kϕkL1(ω T) Z {ϕ6=0}∩ωT sgn(ϕ)θ d(t, x) + Z {ϕ=0}∩ωT |θ |d(t, x) , donde ξ ∈ ∂ j1(ϕT). Isto completa a demonstração.
Teorema 3.11. Dado ε > 0, existe vε ∈ L∞(]0, T [ × ω) tal que a solução yε de (3.33) (com
v≡ vε) satisfaz
3.5 CONTROLABILIDADE NULA DA EQUAÇÃO DO CALOR COM UM POTENCIAL LIMITADO 33
Ademais, vε pode ser tomado de sorte que
(3.59) kvεkL∞(]0,T [×ω)6 C0(Ω, ω, T, kakL∞(Q))ky0kL2(Ω), onde C0:= exp C 1 + 1 T + T + T1/2+ TkakL∞(Q)+ kak 2/3 L∞(Q) .
Demonstração : Mantendo as notações do Lema 3.8, para ε> ky1kL2(Ω)basta que se tome vε ≡ 0. Admita-se, portanto, que ε < ky1kL2(Ω). Neste caso, segue do Lema 3.8 que ˆϕεT 6= 0. Como 0 ∈ ∂ Jε( ˆϕεT), segue do Lema 3.10 que há
vε∈ k ˆϕεkL1(ω T)sgn ( ˆϕε) χω tal que (3.60) 0 = Z T 0 Z ω vεϕ dx dt + ε ϕˆεT|ϕT kϕTk L2(Ω) + (ϕ(0)|y0)L2(Ω),
para toda ϕT ∈ L2(Ω). A partir daqui, denota-se por y
ε a solução de (3.44) com v ≡ vε. Pela
dinâmica adjunta, tem-se
Z T 0 Z ω vεϕ dx dt = ϕ T|y ε(T ) L2(Ω)− (ϕ(0)|y0)L2(Ω) o que junto a (3.60) implica em
(3.61) yε(T )|ϕ T = −ε ϕˆ T ε |ϕ T L2(Ω) k ˆϕεTkL2(Ω) 6 εkϕ Tk L2(Ω),
sendo (3.61) válida para toda ϕT∈ L2(Ω). Com isto, tem-se
kyε(T )kL2(Ω)6 ε. Por outro lado, de Jε ϕˆ
T ε < Jε(0) = 0, infere-se (3.62) kvεkL∞(]0,T [×ω)= Z T 0 Z ω | ˆϕε|dx dt 6 2 p Cobky0kL2(Ω)
Aumentando a constante C = C(Ω, ω) figurando na definição de Cob, se necessário, ter-se-á
(3.59) como uma consequência imediata de (3.62). Isto estabele o Teorema 3.11.
Teorema 3.12. Existe um controle v ∈ L∞(]0, T [ × ω), com
(3.63) kvkL∞(]0,T [×ω)6 C0(Ω, ω, T, kakL∞(Q))ky0kL2(Ω),
sendo C0a constante figurando em (3.59), tal que o estado y, i.e., a solução de (3.33) associada
a v, é tal que
Demonstração : Pelas estimativas de energia básicas (cf. (2.27)) juntas às estimativas (3.59), vê-se que, mediante o Corolário 2.7, é possível selecionar uma sequência εk→ tal que
(3.65) vεk ∗ * v em L∞(]0, T [ × ω), yεk* y em L 2([0, T ] ; H1 0(Ω)) e ∂ yεk ∂ t * ∂ y ∂ t em L 2([0, T ] ; H−1(Ω)).
É rotina verificar que (3.44) é válida para os v e y acima obtidos (cf. [Eva10]). Ademais, é verdade que
kvkL∞(]0,T [×ω)6 lim inf
k→∞ kvεkkL∞(]0,T [×ω),
de sorte que (3.63) é uma consequência imediata de (3.59). Finalmente, denotando por h·, ·i o par de dualidade H−1− H1 0, note: Z Ω y(T )u dx = hy(T ), ui = hy(T ) − yεk(T ), ui + hyεk(T ), ui = Z T 0 ∂ y ∂ t(τ) − ∂ yεk ∂ t (τ), u dτ + hyεk(T ), ui k→∞ −−−→ 0, se u ∈ C∞ c(Ω); logo, Z Ω y(T )u dx = 0 (u ∈ C∞ c(Ω)) .
Mediante o Lema de Du-Bois Raymond (cf. Teorema 2.9), (3.64) resulta deste fato. A demons-tração do Teorema 3.12 agora está completa.
3.6
Controlabilidade Nula de (3.1)
Teorema 3.13. Admita que (3.1) tenha pelo menos uma trajetória y∗ globalmente definida em [0, T ] e limitada em Q, correspondendo aos dados y∗0 ∈ L2(Ω) e v∗∈ L∞(]0, T [ × Ω). Se
f : R1→ R1for localmente lipschitziana, satisfizer a condição (3.2) e também
(3.66) f(s)
|s| [log(1 + |s|)]3/2 → 0,
quando|s| → ∞, então (3.1) é controlável a zero no tempo T.
Demonstração : Seja y∗ uma trajetória como a descrita no enunciado. Escrevendo p := y − y∗, tem-se que y é uma solução de (3.1) se, e somente se, p for uma solução de
(3.67) ∂ p ∂ t − ∆p + f (y ∗+ p) − f (y∗) = χ ωh, em Q, p= 0, sobre Σ, p(0) = p0, em Ω,
3.6 CONTROLABILIDADE NULA DE (3.1) 35
onde h ≡ v − v∗e p0≡ y0− y∗0. Assim, deve-se estabelecer a possibilidade de, para cada p0∈
L2(Ω), encontrar um controle h ∈ L∞(]0, T [ × ω) tal que o estado p de (3.67) associado a estes
dados satisfaça
(3.68) p(T ) ≡ 0, em Ω.
Para tanto, fixa-se k∗> 0 tal que
|y∗(t, x)| 6 k∗ ((t, x) ∈ Q) e escreve-se
M(k∗) := m´ax
|a|6k∗| f (a)|.
Este teorema será estabelecido em três partes, segundo a regularidade admitida sobre os dados. Inicia-se pela PARTE I Admite-se p0∈ Cβ(Ω), p0|∂ Ω≡ 0 e f ∈ C 1([−k∗ , k∗]) , onde β pode ser qualquer número real, desde que esteja entre 0 e 1.
Introduz-se a função contínua (3.69) g(a, s) :=
(f(a+s)− f (a)
s , se |a| 6 k
∗e s 6= 0,
f0(a), se |a| 6 k∗e s = 0.
Para futuras estimativas envolvendo esta função, far-se-á uso do seguinte resultado.
Afirmação Dado η > 0, existe uma constante Cη > 0, dependendo apenas de η, k∗ e f,
para a qual é válida a desigualdade
(3.70) |g(y∗(t, x), s)|2/36 Cη+ η log(1 + |s|),
quaisquer que sejam(t, x) ∈ Q e s, um número real. Demonstrar-se-á que
|g(y∗(t, x), s)| 6 Cη+ η [log(1 + k ∗
+ |s|)]3/2,
se (t, x) ∈ Q e s for qualquer número real. A Afirmação segue facilmente disto. Para tanto, considere η > 0 e seja s(η) um número real tal que s(η)> 1 + k∗e
(3.71) f(s) s 6 2η 3 [log(1 + |s|)] 3/2 ,
se |s|> s(η). Tal s(η) pode ser tomado devido à suposição (3.66). Se |s| 6 2s(η), então (3.72) |g(y∗(t, x), s)| 6 L(k∗+ 2s(η)),
para todo (t, x) ∈ Q, onde L(k∗+ 2s(η)) é uma constante de Lipschitz de f no intervalo [−k∗− 2s(η), k∗+ 2s(η)] .
