Controlabilidade Nula
3.6 CONTROLABILIDADE NULA DE (3.1)
onde h ≡ v − v∗e p0≡ y0− y∗0. Assim, deve-se estabelecer a possibilidade de, para cada p0∈
L2(Ω), encontrar um controle h ∈ L∞(]0, T [ × ω) tal que o estado p de (3.67) associado a estes
dados satisfaça
(3.68) p(T ) ≡ 0, em Ω.
Para tanto, fixa-se k∗> 0 tal que
|y∗(t, x)| 6 k∗ ((t, x) ∈ Q) e escreve-se
M(k∗) := m´ax
|a|6k∗| f (a)|.
Este teorema será estabelecido em três partes, segundo a regularidade admitida sobre os dados. Inicia-se pela PARTE I Admite-se p0∈ Cβ(Ω), p0|∂ Ω≡ 0 e f ∈ C 1([−k∗ , k∗]) , onde β pode ser qualquer número real, desde que esteja entre 0 e 1.
Introduz-se a função contínua (3.69) g(a, s) :=
(f(a+s)− f (a)
s , se |a| 6 k
∗e s 6= 0,
f0(a), se |a| 6 k∗e s = 0.
Para futuras estimativas envolvendo esta função, far-se-á uso do seguinte resultado.
Afirmação Dado η > 0, existe uma constante Cη > 0, dependendo apenas de η, k∗ e f,
para a qual é válida a desigualdade
(3.70) |g(y∗(t, x), s)|2/36 Cη+ η log(1 + |s|),
quaisquer que sejam(t, x) ∈ Q e s, um número real. Demonstrar-se-á que
|g(y∗(t, x), s)| 6 Cη+ η [log(1 + k ∗
+ |s|)]3/2,
se (t, x) ∈ Q e s for qualquer número real. A Afirmação segue facilmente disto. Para tanto, considere η > 0 e seja s(η) um número real tal que s(η)> 1 + k∗e
(3.71) f(s) s 6 2η 3 [log(1 + |s|)] 3/2 ,
se |s|> s(η). Tal s(η) pode ser tomado devido à suposição (3.66). Se |s| 6 2s(η), então (3.72) |g(y∗(t, x), s)| 6 L(k∗+ 2s(η)),
para todo (t, x) ∈ Q, onde L(k∗+ 2s(η)) é uma constante de Lipschitz de f no intervalo [−k∗− 2s(η), k∗+ 2s(η)] .
Por outro lado, para |s| > 2s(η), tem-se |g(y∗(t, x), s)| 6 f(y∗(t, x) + s) s + 1 2s(η)| f (y ∗(t, x))| 6 m´ax |s| 26σ 6|s|+k ∗ f(σ ) s + 1 2s(η)M(k ∗ ) 63 2 |s| m´ax 26σ 6|s|+k∗ f(σ ) σ ! + 1 2k∗M(k ∗ ). (3.73)
Na segunda desigualdade em (3.73), usou-se que
|y∗(t, x) + s| 6 k∗+ |s| e
|y∗(t, x) + s| > |s| − k∗> |s| − s(η) > |s| 2 ,
se (t, x) ∈ Q e |s| > 2s(η); já na terceira desigualdade, fora utilizada a relação |s| + k∗< |s| + s(η) <3|s|
2 ,
sob as mesmas condições. Assim, se (t, x) ∈ Q e |s| > 2s(η), resulta de (3.71) junta a (3.73) que |g(y∗(t, x), s)| 6 η [log(1 + k∗+ |s|)]3/2+ 1
2k∗M(k
∗).
Tendo em conta (3.72), conclui-se que a Afirmação está estabelecida.
Uma consequência da demonstração da Afirmação é que, se uma outra função f1, tendo a
propriedade (3.66), for tal que sua restrição ao conjunto R1\ ]−k∗− 1, k∗+ 1[ ,
bem como as quantidades M(k∗) e L(k∗+ 1) correspondentes a mesma, coincidirem com as de f, então a constante Cη obtida para f serve também para f1.
Agora, fixa-se uma constante R > 0 cujo valor específico será declarado a posteriori. Uma função que servirá de auxílio aos propósitos do presente argumento é o “truncamento” de ordem R, denotado por TR, definido por
TR(s) :=
(
s, se |s| 6 R, sgn(s)R, se |s| > R. Para cada z ∈ L∞(Q), denota-se por a
zo potencial az(t, x) := g(y∗(t, x), TR(z(t, x))) ((t, x) ∈ Q), considerando-se o sistema (3.74) ∂ p ∂ t − ∆p + az(t, x)p = χωh, em Q, p= 0, sobre Σ, p(0) = p0, em Ω.
3.6 CONTROLABILIDADE NULA DE (3.1) 37
Note que az∈ L∞(Q), de sorte que (3.74) se encaixa na forma (3.44) previamente estudada.
Além disto, tem-se
az(t, x)z(t, x) = f (y∗(t, x) + z(t, x)) − f (y∗(t, x)),
para (t, x) ∈ Q, desde que kzkL∞(Q)6 R. Isto já deixa clara a intenção de uma abordagem via um método de ponto fixo. O teorema que será aplicado é o de Kakutani. Escreve-se
(3.75) Tz∗:= min T, kazk−2/3L∞(Q), kazk −1/3 L∞(Q) , para z ∈ L∞(Q). Pelo Teorema 3.12, existem controles h = h
z∈ L∞(0, Tz∗ × ω) aos quais a
solução p de (3.74) em0, Tz∗ × Ω associada satisfaz
p(Tz∗) ≡ 0 em Ω e (3.76) khzkL∞(]0,T∗ z[×Ω) 6 C0(Ω, ω, T ∗ z , kazkL∞(Ω))kp0kL2(Ω), onde C0é a constante figurando em (3.63).
Denote por A(z) ⊆ L∞(]0, T [ × ω) o conjunto das extensões por zero a ]0, T [ × ω destes
controles supradescritos. Para cada hz∈ A(z), resulta de (3.75) e de 3.76 a estimativa
(3.77) khzkL∞(]0,T [×ω)6 exp h C 1 + kazk 2/3 L∞(Q) i kp0kL2(Ω), onde C = C(Ω, ω, T ) > 0.
Em seguida, define-se Λ(z) ⊆ L∞(Q) como o conjunto formado por todas as funções p ≡ p z
que sejam soluções de (3.74) associadas a algum controle h ≡ hz∈ A(z). Neste caso, para cada
Tz∗6 t 6 T, tem-se
pz(t) = 0 em q.t.p. de Ω
e, em particular,
(3.78) pz(T ) ≡ 0 em q.t.p. de Ω.
Desta maneira, fora introduzida uma aplicação
Λ : z ∈ L∞(Q) 7→ Λ(z) ⊆ L∞(Q). A aplicação Λ goza das seguintes propriedades:
(a) para cada z ∈ L∞(Q), o conjunto Λ(z) é fechado, convexo e não vazio;
(b) existe um subconjunto compacto K de L∞(Q) para o qual Λ(z) ⊆ K, qualquer que seja
z∈ L∞(Q).
(c) Λ tem o gráfico fechado, i.e., dadas duas funções z e p pertencentes a L∞(Q), uma sequên-
cia {zn}∞n=1 em L∞(Q), convergindo a z neste espaço, e, para cada n > 1, uma função
Justifica-se (a). Sejam z ∈ L∞(Q), {p
n}∞n=1 uma sequência em Λ(z) e p ∈ L∞(Q), com
pn→ p em L∞(Q). Associa-se a cada pn um elemento hn∈ A(z) de sorte que o par estado-
controle (p, h) = (pn, hn) solucione (3.74). Aplicando o item (a) do Corolário 2.7, pode-se
passar a uma subsequência nk→ ∞ tal que {hnk}
∞
k=1 convirja a h em L∞(]0, T [ × ω) no sentido
fraco-?. Pela reflexividade de
L2 [0, T ] ; H01(Ω) ∩ H1 [0, T ] ; H−1(Ω)
junta ao teorema de regularidade parabólica (cf. Teorema 2.27), pode-se refinar {nk}, de acordo
com o item (b) do Corolário 2.7, de modo que {pnk}
∞
k=1convirja fracamente a uma função q neste
espaço. Além disto, mediante o teorema de Aubins-Lions (cf. Teorema 2.14), este refinamento pode ser tal que esta última sequência convirja fortemente em L2(Q) e, a fortiori, em q.t.p. de Q para q. Assim, q soluciona (3.74) (com termo livre h). Se Tz∗6 t 6 T e u ∈ Cc∞(Ω), então
Z Ω q(t)u dx = Z t 0 hq0(τ) − p0nk(τ), uidx → 0,
quando k → ∞, onde h·, ·i denota o produto de dualidade H−1− H1
0. Logo, pelo Lema de Du-
Bois Raymond (cf. Teorema 2.9), tem-se q ∈ Λ(z). Como pn→ p em q.t.p. de Q, tem-se p = q
nestes pontos. Desta maneira, resulta a conclusão: p ∈ Λ(z). Isto completa a demonstração de que Λ(z) é fechado. Os fatos de que estes conjuntos são convexos e não vazios são realmente imediatos.
Para demonstrar (b), note que um subconjunto limitado B de L∞(Q) é mapeado sob Λ para
um subconjunto limitado em Cα /2,α(Q) (cf. Corolário 2.31, com atenção à estimativa apresen-
tada no mesmo) para algum 0 < α < 1. Este espaço hölderiano está compactamente imerso (cf. Corolário 2.21) em C(Ω). Com isto, infere-se que
C:= [
z∈L∞(Q) Λ(z)
é pré-compacto em L∞(Q). Coloca-se K := Ck·kL∞(Q) .
Finalmente, argumenta-se em favor de corroborar que Λ tem gráfico fechado. Sejam z ∈ L∞(Q), {z
n}∞n=1 uma sequência em L∞(Q) convergindo fortemente a z neste espaço, pn∈ Λ(zn)
e p ∈ L∞(Q) tal que p
n→ p em L∞(Q). Associa-se hn∈ Λ(zn) a pnde modo análogo ao parágrafo
no qual se discutiu o item (a). Das limitações de {hn}∞n=1em L∞(]0, T [) e de {pn}∞n=1no espaço
H= L2 [0, T ] ; H01(Ω) ∩ H1 [0, T ] ; H−1(Ω) ,
passa-se a nk→ ∞ de modo que {hnk}
∞
k=1convirja a uma h em L∞(]0, T [ × ω) no sentido fraco-?
e {pnk}
∞
k=1convirja a p fracamente em H, fortemente em L2(Q) e em q.t.p. de Q. Como azn→ az em q.t.p. de Q e kazn− azkL∞(Q)é uniformente limitado em n, descobre-se que p é a solução de (3.74). Concluir-se-á que p ∈ Λ(z) quando estiver demonstrado que p(t) = 0 em q.t.p de Ω, para Tz∗6 t 6 T. Fixe um tal t. Se t > Tz∗, ter-se-á Tz∗nk < t, para k suficientemente grande; logo,
´verdade que pnk(t) = 0, em q.t.p. de Ω, para estes índices k. Se t = T, então esta conclusão é válida para todo k. Assim, vale:
Z Ω p(t)u dx = Z t 0 hp0(τ) − p0nk(τ), uidx → 0,
3.6 CONTROLABILIDADE NULA DE (3.1) 39
quando k → ∞, se u ∈ C∞
c(Ω). Logo, pelo Lema de Du-Bois Raymond (cf. Teorema 2.9), p(t) =
0 em q.t.p. de Ω. Segue daí a relação desejada para p, finalizando a demonstração do que se afirmara em (c).
Isto nos permite concluir, via o Teorema do Ponto Fixo de Kakutani (cf. Teorema 2.34) apli- cado à restrição de Λ a K, que há um p ∈ K ⊂ L∞(Q) tal que p ∈ Λ(p). Para que a demonstração
da primeira parte esteja completa, basta verificar-se que é possível escolher R > 0 de maneira que se tenha kpkL∞(Q)6 R, tendo em vista as considereções prévias.
Seja hp∈ A(p) um controle associado a p. Pelas estimativas L∞sobre soluções de (3.74),
tem-se kpkL∞(Q)6 eT ∗ pkapkL∞(Q)kp 0kL∞(Ω)+ Tp∗eT ∗ pkapkL∞(Q)kh pkL∞(]0,T [×ω). Pela definição de Tp∗(cf. 3.75) junta a Afirmação e (3.76), obter-se-á
kpkL∞(Q)6 e C 1+kapk2/3L∞(Q) kp0kL∞(Ω)+ khpkL∞(]0,T [×ω) 6 eC 1+Cη+η log(1+kTR(p)kL∞(R1)) kp0kL∞(Ω) = eC(1+Cη)kp 0kL∞(Ω) 1 + kTR(p)kL∞(R1) ηC 6 eC(1+Cη)kp 0kL∞(Ω)(1 + R)ηC, (3.79)
onde C = C(Ω, ω, T ) > 0. Fixando η0de sorte que η0C= 2−1, ter-se-á kp0kL∞(Q)6 R, para R:= m´ax 1, 2e2C(1+Cη0)kp0k2 L∞(Ω) . Com isto, a parte primeira do Teorema 3.13 está demonstrada.
Ademais, pela escolha da constante R acima, nota-se que esta constante depende apenas de Ω, ω , T, k p0kL∞(Ω), da restrição de f a R1\ ]−k∗, k∗[ e das quantidades M(k∗) e L(1 + k∗) asso- ciadas a mesma; logo, o problema de controlabilidade nula no tempo T fora resolvido, sob as condições da primeira parte, com p e h limitadas em L∞(Q) e em L∞(]0, T [ × ω), respectiva-
mente, por constantes dependendo apenas destes dados. Passa-se agora a parte segunda.
PARTE II
Suponha que p0∈ C0(Ω) e que f seja localmente lipschitziana, além de ter as propriedades
(3.2) e (3.66).
A função f é o limite uniforme de uma sequência { fn}∞n=1consistindo de funções localmente
lipschitzianas que são C1em [−k∗, k∗] , coincidem com f fora de ]−k∗− 1, k∗+ 1[ , de maneira
que se possa fixar uma mesma constante de Lipschitz L que sirva para todas estas e para f no intervalo [−k∗− 1, k∗+ 1] . Seleciona-se também uma sequência de funções hölderianas com suporte compacto {p0,n}∞n=1 que converge uniformemente a p0 em Ω (cf. Teorema 2.19, item
(b)).
Para cada n> 1, pode-se aplicar o resultado com fne p0,n: existem controles hnpertencentes
ao espaço L∞(]0, T [ × ω) tais que o estado p
n, solução de (3.80) ∂ pn ∂ t − ∆pn+ fn(y ∗+ p n) − fn(y∗) = χωhn, em Q, pn= 0, sobre Σ, pn(0) = p0,n, em Ω,
satisfaz
pn(T ) ≡ 0 em q.t.p. de Ω.
Pelas estimativas feitas anteriormente, as quantidades
khnkL∞(]0,T [×ω)e kpnkH∩L∞(Q)
são uniformemente limitadas em n. Assim, passando a uma subsequência nk→ ∞, ter-se-á os
controles hnkconvergindo no sentido fraco−? para um h no espaço L∞(]0, T [ × ω),
bem como os estados {pnk}
∞
k=1 convergindo fracamente em H e no sentido fraco-? em L∞(Q)
ao estado associado
p∈ C([0, T ] ; L2(Ω)) ∩ L∞(Q),
com p necessariamente satisfazendo (3.3). Este último fato pode ser justificado pela técnica que fora utilizada no fim da demonstração dos itens (a) e (c) acima. Isto finaliza a demonstração parte segunda.
PARTE III
Suponha p0∈ L2(Ω) e que f tenha tão somente as propriedades admitidas na parte segunda
(que são justamente as descritas no enunciado do presente teorema). Fixa-se δ > 0 suficiente- mente pequeno, para que
(3.81) ∂ p ∂ t − ∆p + f (y ∗+ p) − f (y∗) = 0, em ]0, δ [ × Ω, p= 0, sobre ]0, δ [ × ∂ Ω, p(0) = p0, em Ω
tenha uma solução limitada p na classe C [0, δ ] ; L2(Ω) (cf. Teorema 2.32). Em particular, esta
encontra-se globalmente definida em [0, δ ] . Ponha h ≡ 0 em ]0, δ [ × Ω. O efeito regularizante dos sistemas parabólicos implica em p(δ ) ∈ C(Ω) (aqui se pode aplicar, e.g., o Teorema 2.30). Esta regularidade implica que o traço de p(δ ) é p(δ )|∂ Ω, ou seja, sua restrição a ∂ Ω. Por outro lado, p(t) tem traço nulo, para cada tempo t. Portanto, p(δ ) ∈ C0(Ω). Isto justifica que é lícito
aplicar o caso anterior; fazendo isto, completa-se a definição de h em [δ , T [ × Ω de sorte que p(δ ) seja levado para zero no tempo T.
Fica estabelecida a parte terceira, o que finaliza a demonstração do Teorema 3.13.