CAPÍTULO III – CARACTERIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DOS

CAPÍTULO III – CARACTERIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DOS

MATERIAIS

3. Caracterização do Comportamento dos Materiais

3.1. Comportamento geral do concreto

É largamente conhecido que, após atingir a resistência última, a capacidade do concreto de suportar carregamento sob um estado de tensões de compressão é reduzida progressivamente com deformações crescentes. Essa observação é demonstrada experimentalmente por ensaios realizados usando técnicas que produzam no corpo de prova um estado de tensões de compressão sob “acréscimos de deformações controlados”.

Figura 3.1 – Diagramas tensão-deformação típicos de concretos, obtidos de corpos de prova cilíndricos em ensaios sob deformação controlada.

Em equipamentos que trabalham sob tensões controladas não se consegue observar o ramo descendente da curva. Em ensaios com deformações controladas se obtém relações tensão-deformação do tipo mostrado na figura 3.1. Essa relação consiste em uma curva com um ramo ascendente e outro gradualmente descendente. Esse último ramo é usualmente referido como representante de um amolecimento do corpo de prova e indica um certo grau de ductilidade do material.

(M.D. Kotsovos & M.N. Pavlovic, 1995)

3.2. Resistências de cálculo a compressão e a tração do concreto

A resistência de cálculo a compressão do concreto é definida pelo Eurocode:2004 – item 3.1.6 como sendo

Deformações (mm/m) Tensões

(N/mm²) 40

30

20

10

2 4 6 8

fc = 40 fc = 32

fc = 25

c ck cc cd

f f

α .γ

= (3.1)

onde :

?c = coeficiente de minoração da resistência a compressão do concreto;

fck = resistência característica do concreto (resistência cilíndrica);

acc = coeficiente que leva em conta os efeitos das cargas de longa duração na resistência a compressão do concreto.

Para o valor de acc, o Eurocode:2004 diz que deve estar entre 0,8 e 1,0 e que as normas de cada país devem fornecer o valor a ser empregado. De modo geral o Eurocode recomenda o valor 1,0.

A norma brasileira NBR-6118:2004 define a resistência de cálculo a compressão do concreto por

c ck cd

f f

= γ (3.2)

e considera a tensão ac.fcd = 0,85.fcd como ordenada do patamar horizontal do diagrama “parábola – retângulo”, como se indicará no item 3.4 a seguir. Portanto a NBR 6118:2004 considera o coeficiente acc do Eurocode igual a 0,85.

A resistência de cálculo a tração do concreto neste trabalho será considerada nula, ou seja, se desconsiderará a resistência à tração do concreto na determinação da capacidade resistente de cada seção.

3.3. Relação “tensão – deformação” do concreto para cálculo dos esforços internos resistentes no Estado Limite Último.

3.3.1. Diagrama do Eurocode:2004

O Eurocode:2004 no seu item 3.1.7, fornece para a relação “tensão – deformação”, para o cálculo dos esforços internos resistentes das seções transversais, a indicada abaixo (tensões e deformações de compressão consideradas positivas):

















−

−

=

n

c c cd

c f

2

1 1

. ε

σ ε para 0 = ec = ec2 (3.3)

sc = fcd para ec2 = ec = ecu2 (3.4) onde:

n = 2 para concretos com fck = 50 MPa, e

n = 1,4 + 23,4.[(90-fck)/100]⁴ para 50 MPa = fck = 90 MPa (3.5) ec2 = deformação do início do patamar horizontal do diagrama convencional

tensão-deformação da figura 3.2 ;

ec2 = 2,0 ‰ para fck = 50 MPa (3.6) ec2 (‰) = 2,0 + 0,085.(fck - 50)^0,53 para 50 MPa = fck = 90 MPa (3.7) ecu2 = deformação última.

ecu2 = 3,5 ‰ para fck = 50 MPa (3.8) ecu2 (‰) = 2,6 + 35.[(90 - fck)/100]⁴ para 50 MPa = fck = 90 MPa (3.9)

Figura 3.2 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto sob compressão, segundo o Eurocode:2004 – item 3.1.7, onde fcd = αcc.fck / γc. 3.3.2. Diagrama da NRB 6118:2004

ec

sc

ecu2

ec2

fcd

O

 





 





 

 

−

−

=

2

2

1 1 .

c c cd

c

f

ε σ ε

fck

A NBR-6118:2004, que trata apenas de estruturas de concretos com resistência característica fck = 50 MPa, diz que a relação tensão-deformação, para o cálculo dos esforços resistentes das seções transversais, deve ser a dada pelas expressões (tensões e deformações de compressão consideradas positivas):

















−

−

=

2

2

1 1 . . 85 , 0

c c cd

c f

ε

σ ε para 0 = ec = ec2 (3.10)

sc = 0,85.fcd para ec2 = ec = ecu2 (3.11) onde:

ec2 = deformação do início do patamar horizontal do diagrama tensão- deformação da figura 3.3;

ec2 = 2 ‰ (3.12)

ecu2 = deformação última.

ecu2 = 3,5 ‰ (3.13)

fcd = fck/?c (3.14)

Figura 3.3 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto sob com- pressão, segundo a NBR-6118/2004, onde fcd = fck / γc

A diferença entre os diagramas indicados pelo Eurocode e pela NBR-6118 está na consideração do coeficiente acc. (ver expressão 3.1). O Eurocode diz que esse coeficiente deve ser indicado em cada país, mas recomenda o valor 1,0. A NBR-

ec

sc

ecu2

ec2

0,85.fcd

O

 





 





 

 

−

−

=

2

2

1 1 . . 85 , 0

c c cd

c

f

ε σ ε

fck

6118 indica o valor 0,85. O Eurocode define a resistência de cálculo do concreto já afetada pelo coeficiente acc (fcd = acc.fck / γc) enquanto que a NBR 6118:2004 define a resistência de cálculo do concreto como sendo fcd = fck / γc e aplica o coeficiente redutor ac = 0,85 sobre fcd. Mera formalidade, já que os dois procedimentos são equivalentes.

3.3.3. Diagrama tensão-deformação adotado neste trabalho

Neste trabalho se utilizará para o cálculo dos esforços resistentes de cálculo a relação “tensão – deformação” representada pelo diagrama “parábola – retângulo”, indicado pela NBR-6118:2004 (figura 3.3) e será aqui referido como “diagrama σc x εc da NBR 6118”.

3.4. Relação tensão-deformação do concreto para análise estrutural não- linear

3.4.1. Diagrama do Eurocode:2004

Para o cálculo das deformações na análise não-linear (efeitos de segunda ordem), o Eurocode:2004 no seu item 3.1.5 recomenda para o estudo dos efeitos de segunda ordem o diagrama característico mostrado aqui, na figura 3.5. Esse diagrama será referido neste trabalho como “diagrama tensão-deformação do Eurocode”. A relação analítica entre tensão e deformação para carregamento uniaxial, com 0 = |ec| = |ecu1|, é descrita pela expressão:

η η σ η

).

2 ( 1

. ²

− +

= − k k f_cm

c (3.15)

onde:

sc = tensão, função da deformação ec;

fcm = resistência média do concreto. Ordenada do pico do diagrama;

ec1 = deformação correspondente ao pico do diagrama tensão-deformação;

ecu1 = deformação última nominal;

Ecm = módulo de elasticidade longitudinal;

1 c cε

η =ε (3.16)

fcm = fck + 8 MPa (3.17)

3 , 0

. 10 22 



= ^cm

cm

E f com fcm em MPa resultando Ecm em GPa (3.18)

cm c cm f E k 1,05. .ε ¹

= (3.19)

ec1(‰) = 0,7.(fcm)^0,31 ≤ 2,8‰ com fcm em MPa (3.20)

Figura 3.5 – Diagrama tensão-deformação do concreto para análise estrutural não linear, segundo o CEB (o uso de 0,4.fcm para a definição de Ecm é aproximado).

Para concretos com resistência característica não superior a 50 MPa, o Eurocode fornece:

ecu1 = 3,5‰ (3.21)

enquanto que para concretos com resistência característica 50 MPa = fck = 90 MPa, a recomendação é considerar:

ecu1(‰) = 2,8 + 27.[(98 – fcm)/100]⁴ com fc m em MPa (3.22) sc

ec

fcm

0,4.fcm

a

tg a = Ecm

ec1 ecu1

Deve-se destacar aqui o fato das deformações ec1 e ecu1 (neste último caso para 50 MPa = fck = 90 MPa) serem recomendadas como funções da resistência média fcm do concreto e implicitamente da resistência característica fck.

Na prática de projetos estruturais deve-se utilizar o diagrama σc x εc de cálculo, que segundo o item 5.8.6 do Eurocode:2004 é obtido substituindo-se no diagrama mostrado na figura 3.5 deste trabalho, fcm por fcd = αcc.fck/γc e Ecm por Ecd = Ecm / γcE

com γcE = 1,2 .

Portanto, o diagrama a ser considerado para a determinação dos deslocamentos transversais do eixo do pilar é o mostrado na figura 3.6

Figura 3.6 – Diagrama tensão-deformação de cálculo para o concreto para análise estrutural não linear, segundo o Eurocode (o uso de 0,4.fcd para a definição de Ecd é aproximado).

3.4.2. Diagrama tensão-deformação da NBR 6118:2004

A NBR 6118:2004 não faz referência a um segundo diagrama tensão-deformação para o concreto, portanto, mesmo que de forma implícita, recomenda para a análise dos efeitos de 2ª ordem o mesmo diagrama utilizado para a determinação da capacidade resistente, mostrado aqui na figura 3.3.

Segundo a norma de ações e segurança nas estruturas da Associação Brasileira de Normas Técnicas - NBR 8681:1984 item 4.2.3.1 : “quando se consideram estados limites últimos, os coeficientes γf de ponderação das ações podem ser considerados como o produto de dois outros, γf1 e γf3 (o coeficiente de combinação ψo faz o papel

sc

ec

fcd

0,4.fcd

a

tg a = Ecd

ec1 ecu1

do terceiro coeficiente, que seria indicado por γf2). O coeficiente parcial γf1 leva em conta a variabilidade das ações e γf3 considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado”. Ainda, no seu item 5.2.3.1 – Resistência de cálculo, lê-se:

“A resistência de cálculo fd é dada por:

m k d

f f

= γ (3.23)

Onde fk é a resistência característica inferior e γm o coeficiente de ponderação das resistências, sendo

γm = γm1 . γm2 . γm3 (3.24)

Onde γm1 leva em conta a variabilidade da resistência efetiva, transformando a resistência característica num valor extremo de menor probabilidade de ocorrência, γm2 considera as diferenças entre a resistência efetiva do material da estrutura e a resistência medida convencionalmente em corpos-de-prova padronizados e γm3

considera as incertezas existentes na determinação das solicitações resistentes, seja em decorrência dos métodos construtivos seja em virtude do método de cálculo empregado”.

O dimensionamento no estado limite último considera a resistência de cálculo do concreto minorada pelo coeficiente de ponderação γc = γm, que leva em consideração um possível enfraquecimento da seção sendo dimensionada.

Entretanto, para a determinação dos efeitos de segunda ordem em uma estrutura, considera-se que a utilização do coeficiente de ponderação integral recomendado na ABNT - NRB 1618:2004 (γc = γm = 1,4) é muito pessimista. É baixa a probabilidade de se ter um enfraquecimento generalizado do concreto na peça toda. De modo que, para a determinação da rigidez das seções transversais e cálculo dos deslocamentos do eixo da peça (efeito de 2ª ordem), o professor França em sua tese de doutorado, recomenda utilizar a tensão: fc = 0,85.1,3.fcd = 1,1.fcd. Essa consideração já está contida no texto da NBR 6118:2004. A figura 3.6 ilustra essa consideração. Assim, a tensão de pico do diagrama tensão-deformação será considerada fc = 1,1.fck/γc.

Figura 3.6 – Ilustração da consideração da resistência fc = 1,1.fcd

3.4.3. Diagrama tensão-deformação considerado neste trabalho para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem

O diagrama a ser utilizado neste trabalho para o cálculo dos deslocamentos e efeitos de segunda ordem será o da NBR 6118:2004, indicado na figura 3.7, onde se substituiu 0,85.fcd por 1,1.fcd. A equação do trecho curvo é aquela indicada na figura.

Na figura 3.8 ilustra-se o diagrama do Eurocode onde também se substituiu fcd por 1,1.fcd.

Figura 3.7 – Diagrama parábola-retângulo do concreto sob compressão, a ser utilizado neste trabalho, para o cálculo dos efeitos de segunda ordem.

Seção de

dimensionamento fc = 0,85.fcd

Efeitos de segunda ordem fc = 1,1.fcd

ec

sc

ecu2

ec2

1,1.fcd

O

 





 





 

 

−

−

=

2

2

1 1 . . 1 , 1

c c cd

c

f

ε

σ ε

Figura 3.8 – Diagrama tensão-deformação do Eurocode:2004 do concreto para o cálculo dos efeitos de segunda ordem.

A figura 3.9 mostra uma comparação entre o diagrama do Eurocode:2004 e o diagrama parábola-retângulo para concretos com fck = 20 MPa e fck = 50 MPa, considerando para tensão do pico do diagrama, fc=1,3.0,85.fck/γc = 1,1.fck/γc

Diagrama para fck = 20 MPa

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Deformações EpsonC(%o )

Tensões SigmaC (kN/cm2)

Diagrama do Eurocode 2 Diagrama parábola-retângulo

Diagrama para fck = 30 MPa

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Deformações EpsonC(%o)

Tensões SigmaC (kN/cm2)

Diagrama do Eurocode 2 Diagrama parábola-retângulo

Figura 3.9 – Comparação entre os diagramas do Eurocode e da NBR 6118, para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem para concretos C20, C30, C40 e C50.

sc

ec

1,1fcd

0,4.1,1.fcd

a

tg a = Ecm

ec1 ecu1

Diagrama para fck = 40 MPa

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Deformações EpsonC(%o)

Tensões SigmaC (kN/cm2)

Diagrama do Eurocode 2 Diagrama parábola-retângulo

Diagrama para fck = 50 MPa

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Deformações EpsonC(%o )

Tensões SigmaC (kN/cm2)

Diagrama do Eurocode 2 Diagrama parábola-retângulo

Figura 3.9 (continuação) – Comparação entre os diagramas do Eurocode e da NBR 6118, para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem para concretos C20, C30, C40 e C50.

O exemplo mostrado no item 3.7 mostra que a diferença entre se utilizar o diagrama σc - εc do Eurocode ou o da NBR 6118 para análise de pilares não é muito significativa. Desta forma, perseguiremos nosso objetivo utilizando sempre o diagrama parábola - retângulo da NBR 6118:2004.

Para o caso da determinação da capacidade resistente de uma seção transversal o patamar horizontal será considerado com ordenada σc = 0,85.fck/γc = 0,85.fcd.

Para o caso da determinação dos deslocamentos para obtenção dos efeitos de 2ª ordem ao longo da altura do pilar será utilizado também o diagrama parábola – retângulo, porém, com o patamar horizontal na cota σc = 0,85.1,3.fck/γc = 1,1.fcd.

3.4.4. Consideração da Fluência do Concreto

O efeito da fluência deve ser considerado em análises de 2ª ordem levando em conta duas considerações: a determinação do coeficiente de fluência e a duração do carregamento.

A NBR 6118:2004 no seu item 8.2.11 fornece uma tabela de valores do coeficiente de fluência [ϕ(t∞,to)] que podem ser usados “nos casos onde não é necessária grande precisão”. O valor de ϕ(t∞,to) é função das variáveis: umidade relativa do meio ambiente (U), espessura fictícia da estrutura (ho) e maturidade (idade) do concreto quando do primeiro carregamento.

A espessura fictícia é dada por ho=2.Ac / u, onde Ac é a área da seção transversal da peça e u o perímetro da seção em contato com a atmosfera.

A NRB 6118:2004 ainda fornece, no seu anexo A, valores mais precisos para ϕ(t∞,to).

A NBR 6118:2004 manda considerar obrigatoriamente a fluência quando λ > 90 e permite que sua consideração seja efetuada de maneira aproximada, considerando uma excentricidade adicional dada no seu item 15.8.4.

O Eurocode 2:2004 no seu item 3.1.4 também fornece meios de se determinar o coeficiente de fluência em função das mesmas variáveis consideradas na NBR 6118 e citadas acima.

A fluência do concreto a rigor ocorre devido a cargas de longa duração.

Como parte do carregamento do pilar é devido às cargas permanentes (longa duração) e parte às cargas acidentais (curta duração), o que se costuma fazer é considerar um valor equivalente para o coeficiente de fluência chamado “coeficiente efetivo de fluência” (ϕef) que aplicado à carga total produz os mesmos resultados que se obteria considerando o coeficiente ϕ(t∞,to) para a carga permanente mais a parcela de carga acidental quase permanente e o restante da carga sem a consideração da fluência por ser de curta duração.

O Eurocode 2:2004 no item 5.8.4 apresenta, para o coeficiente efetivo, a expressão:

ϕef = ϕ(t∞,to).MoEqp / MoEd

onde: ϕ(t∞,to) = coeficiente de fluência final

MoEqp = momento de 1ª ordem devido à combinação quase permanente de cargas (E.L.S.)

MoEd = momento de 1ª ordem de cálculo (E.L.U.)

Se MoEdqp/MoEd varia ao longo da peça, deve ser considerada a relação correspondente à seção de máximos momentos, ou, um valor médio representativo.

No parágrafo (4) do item 5.8.6 o Eurocode:2004 afirma: ”Na ausência de modelo mais refinado, a fluência pode ser considerada multiplicando-se todos os valores das deformações do diagrama σc x εc pelo fator (1 + ϕef), onde ϕef é o coeficiente de fluência efetivo”. A figura 3.5 ilustra essa consideração.

Figura 3.10 – Diagrama parábola-retângulo do concreto sob compressão, considerada a fluência.

O Eurocode 2:2004 diz que a fluência pode ser ignorada se satisfeitas as três seguintes condições:

ϕ(t∞,to) ≤ 2,0 λ ≤ 75

MoEd / Ned ≥ h

Onde MoEd é o momento de cálculo de 1ª ordem, NEd é a força normal axial de cálculo e h a altura da seção transversal na direção do momento.

Neste trabalho, para o objetivo a que se destina, será considerado o coeficiente efetivo de fluência com valor ϕef = 1,5. A sua aplicação será feita conforme a recomendação do Eurocode e ilustrada na figura 3.5.

3.5. Relação “tensão – deformação” do aço

3.5.1. De acordo com o CEB:2004

O CEB:2004 - item 3.2.7 recomenda para os aços para concreto armado o diagrama

“tensão – deformação” indicado na figura 3.11. Para projetos usuais, qualquer uma das seguintes hipóteses pode ser feita:

a) Diagrama bi – linear com um ramo superior inclinado com uma deformação limite εud e uma tensão máxima de k.fyk/γs para εuk, onde k = ftk/fyk,

ec

sc

ecu2

ec2

1,1.fcd

O

(1 + ϕef)ec2 (1 + ϕef)ecu2

] ). ) 1 1 ( ( 1 .[

. 1 ,

1 ²

2 c ef

c cd

c f

ε ϕ σ ε

− +

−

=

b) Diagrama bi – linear com um ramo superior horizontal sem a necessidade de verificar a deformação limite,

onde:

εud deve ser encontrado nas normas específicas de cada pais. O valor recomendado pelo CEB é εud = 0,9.εuk;

ftk resistência à tração;

fyk (= f0,2k) tensão de escoamento;

k = ftk/fyk (≥ 1,05 para aço tipo A; ≥ 1,08 para aço tipo B e ≥ 1,05 e ≤ 1,35 para aço tipo C)

Figura 3.11 – Diagrama “tensão – deformação” idealizado e de projeto para os aços para concreto armado – CEB:2004.

O valor de projeto do módulo de elasticidade, Es , pode ser considerado igual a 200 GPa.

3.5.2. De acordo com a NBR 6118:2004

A NBR 6118/2004 permite utilizar o diagrama “tensão – deformação” simplificado mostrado na figura 3.12, para os aços com ou sem patamar de escoamento.

Diagrama válido para temperaturas entre -20°C e 150°C e pode ser aplicado para tração e compressão.

k.fy k

σ

fyk

fy d = fyk/γs

k.fy k

k.fy k/γs

fyk/Es εud εuk ε

A

B

k = ftk / fy k

A

B

Idealizado

de projeto

O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 0,2%^o.

A deformação limite de projeto, εud, é estabelecida na “Figura 17.1 - Domínios de deformação de estados limites últimos de uma seção transversal” no item 17.2.2 da NBR 6118:2004 pela “reta a” correspondente à tração uniforme. O valor estabelecido é

εud = 10%o.

Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do aço pode ser admitido igual a 210 GPa (item 8.3.5 da NBR 6118:2004).

Figura 3.12 – Diagrama “tensão – deformação” para os aços para concreto armado segundo a NBR 6118:2004

3.6. Relação “tensão – deformação” utilizada neste trabalho

Neste trabalho será utilizada a relação “tensão – deformação” da NBR 6118:2004, com o módulo de elasticidade admitido para o aço igual a 210 GPa.

σs

fyk

fy d = fyk/γs

fyk/Es εud εs

3.7. Exemplo:

O objetivo deste exemplo é comparar os momentos totais (1ª ordem mais de 2ª ordem) obtidos com a consideração do diagrama σc x εc do Eurocode (para efeitos de 2ª ordem – figura 3.8) e o da NBR 6118 (figura 3.7)

Pilar em balanço com seção transversal retangular com os dados:

hx = 38 cm, hy = 19 cm, aço CA 50 (fyk = 500 Mpa, γs = 1,15), d´= 4 cm, coeficiente de minoração da resistência do concreto γc = 1,4.

Concreto: fck = 20 MPa, 35 MPa e 50 MPa Índice de esbeltez: λy = 50, 90 e 130 →

12 . _y

y e

L h λ

=

Comprimento do pilar: L = 0,5.Le

Armadura: 4 φ 12,5 mm, ρ = 0,680, ω = 0,207 10 φ 16 mm, ρ = 2,785, ω = 0,848 12 φ 20 mm, ρ = 5,221, ω = 1,589 Força normal solicitante: NSd = 0,5.Nud, 0,6.Nud e 0,7.Nud

com Nud = 0,85.fcd.Ac + σs,2%^o.As

e para o aço CA 50: σs,2%^o = 42 kN/cm². Inclinação do eixo de solicitação: θ = 30° e 60°

Momentos solicitantes na base do pilar: MB1xd = 0,6.MBuxd e MB1yd = 0,6.MBuyd

com Muxd e Muyd = momentos últimos resistentes correspondentes à Nud e a θ.

Momentos solicitantes no topo do pilar: MTxd = 0,6. MB1xd e MTyd = 0,6. MB1yd

Forças horizontais aplicadas no topo: HTxd = (MB1xd - MTxd) / L Coeficiente de fluência: para λy = 50 e 90 adotou-se ϕ(t∞,to) = 0

para λy = 130 adotou-se ϕ(t∞,to) = 1,5.

Figura 3.13 – Esquema estrutural para o exemplo 3.7. Pilar em balanço com as solicitações no topo e sua seção transversal.

As tabelas 12.1.a; 12.1.b e 12.1.c se referem a λy = 50.

As tabelas 12.1.d; 12.1.e e 12.1.f se referem a λy = 90.

As tabelas 12.1.g; 12.1.h e 12.1.i se referem a λy = 130.

Resultados obtidos:

MB2xd e MB2yd = momentos de segunda ordem nas direções X e Y

MBxd e MByd = momentos totais (1ª ordem + 2ª ordem) nas direções X e Y MxdNBR – MydEurocode = diferença entre os momentos totais na base do pilar

obtidos com o diagrama σc x εc da NBR 6118 e com o diagrama σc x εc do Eurocode para efeitos de 2ª ordem Conclusão: A diferença que se obtém nos momentos totais, utilizando-se o

diagrama parábola retângulo da NBR 6118:2004 ou o diagrama do Eurocode destinado ao cálculo dos efeitos de 2ª ordem, não é significativa. Somente em alguns casos chega a 10%. Neste exemplo somente para taxas de armadura baixas (ρ = 0,68%) e índice de esbeltez alto (λ = 130) a diferença está entre 6,31% e 10,38%, nos outros casos, fica em torno de 2%.

L HTxd

NSd

MTxd

B T

L HTyd

NSd

MTyd

B T

X Y

hy

hx

d´

~

X Y

d´

~ nx = 3 ny = 1

Tabela 3.1.a – Momentos totais obtidos com λy = 50 e o diagrama σc x εc da NBR 6118:2004

hy = 19 cm hx = 38 cm Pilar: Balanco

1- Diagrama parabola-retangulo da NBR 6118/2003

fck LambdaY FI ny n x L ro w NSd ni TetaS MTxd HTxd MTyd HTyd MB1xd MB2xd MBxd MB1yd MB2yd MByd

kN/cm2 (mm) (m) (kN) (graus) (kN.m) (kN) (kN.m) (kN) (kN.m) (kN.m) (kN.m) (kN.m) (kN.m) (kN.m)

2 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,207 541,44 0,525 30 928,35 10,16 405,77 4,44 2320,87 72,21 2393,08 1014,43 26,16 1040,59

2 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,207 649,73 0,630 30 840,36 9,19 367,92 4,02 2100,90 82,96 2183,86 919,80 30,10 949,90

2 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,207 758,02 0,735 30 713,12 7,80 309,55 3,39 1782,80 87,35 1870,15 773,88 31,43 805,31

2 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,207 541,44 0,525 60 1461,37 15,99 97,89 1,07 3653,42 105,26 3758,68 244,72 5,94 250,67

2 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,207 649,73 0,630 60 1281,78 14,02 95,17 1,04 3204,44 117,10 3321,54 237,93 7,33 245,26

2 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,207 758,02 0,735 60 1039,64 11,37 92,70 1,01 2599,09 118,02 2717,11 231,75 8,87 240,62

2 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,848 860,59 0,834 30 1241,62 13,58 697,53 7,63 3104,04 142,84 3246,88 1743,83 65,81 1809,63

2 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,848 1032,70 1,001 30 1096,34 11,99 616,33 6,74 2740,86 161,19 2902,05 1540,82 74,31 1615,12

2 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,848 1204,82 1,168 30 913,35 9,99 516,20 5,65 2283,38 168,47 2451,85 1290,51 78,05 1368,56

2 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,848 860,59 0,834 60 1987,26 21,74 203,46 2,23 4968,15 202,60 5170,75 508,64 17,48 526,12

2 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,848 1032,70 1,001 60 1730,22 18,93 182,41 2,00 4325,54 225,39 4550,93 456,03 20,02 476,05

2 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,848 1204,82 1,168 60 1410,80 15,43 161,59 1,77 3527,01 230,35 3757,36 403,96 22,22 426,19

2 50 2 1 3 137,12 5,221 1,589 1230,04 1,193 30 2042,06 22,34 895,52 9,80 5105,14 237,66 5342,79 2238,80 86,37 2325,17

2 50 2 1 3 137,12 5,221 1,589 1476,05 1,431 30 1802,32 19,72 786,97 8,61 4505,81 265,04 4770,85 1967,43 95,92 2063,35

2 50 2 1 3 137,12 5,221 1,589 1722,05 1,670 30 1483,25 16,23 655,08 7,17 3708,11 270,22 3978,33 1637,70 98,88 1736,58

2 50 2 1 3 137,12 5,221 1,589 1230,04 1,193 60 3120,98 34,14 265,85 2,91 7802,44 336,08 8138,52 664,63 24,13 688,76

2 50 2 1 3 137,12 5,221 1,589 1476,05 1,431 60 2666,38 29,17 233,28 2,55 6665,95 362,84 7028,79 583,20 26,75 609,95

2 50 2 1 3 137,12 5,221 1,589 1722,05 1,670 60 2155,49 23,58 200,36 2,19 5388,73 362,66 5751,38 500,91 28,41 529,32

3,5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,118 870,21 0,482 30 1386,68 15,17 648,46 7,09 3466,70 107,09 3573,79 1621,16 41,41 1662,57

3,5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,118 1044,25 0,579 30 1274,53 13,94 596,45 6,52 3186,32 125,04 3311,36 1491,12 48,38 1539,50

3,5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,118 1218,29 0,675 30 1091,86 11,94 507,68 5,55 2729,66 133,06 2862,72 1269,20 51,17 1320,36

3,5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,118 870,21 0,482 60 2185,20 23,90 156,95 1,72 5463,00 154,53 5617,53 392,37 9,36 401,73

3,5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,118 1044,25 0,579 60 1954,66 21,38 153,84 1,68 4886,66 175,61 5062,27 384,61 11,65 396,26

3,5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,118 1218,29 0,675 60 1605,06 17,56 151,41 1,66 4012,64 179,40 4192,04 378,54 14,26 392,80

3,5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,484 1189,36 0,659 30 1711,63 18,72 948,39 10,37 4279,08 174,61 4453,69 2370,98 79,39 2450,38

3,5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,484 1427,23 0,791 30 1533,56 16,78 847,99 9,28 3833,89 199,98 4033,87 2119,98 90,75 2210,74

3,5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,484 1665,10 0,922 30 1287,92 14,09 713,66 7,81 3219,81 210,74 3430,55 1784,15 95,83 1879,98

3,5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,484 1189,36 0,659 60 2719,98 29,75 264,83 2,90 6799,94 246,48 7046,42 662,07 20,22 682,29

3,5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,484 1427,23 0,791 60 2401,91 26,28 243,89 2,67 6004,78 278,42 6283,20 609,73 23,82 633,56

3,5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,484 1665,10 0,922 60 1967,94 21,53 222,49 2,43 4919,85 286,27 5206,12 556,23 27,26 583,50

3,5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,908 1558,81 0,864 30 2524,59 27,62 1147,89 12,56 6311,48 268,00 6579,49 2869,73 100,86 2970,59

3,5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,908 1870,57 1,036 30 2247,02 24,58 1017,40 11,13 5617,55 303,46 5921,01 2543,50 113,74 2657,24

3,5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,908 2182,33 1,209 30 1863,70 20,39 849,19 9,29 4659,25 314,23 4973,48 2122,97 118,49 2241,46

3,5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,908 1558,81 0,864 60 3884,78 42,50 330,59 3,62 9711,95 379,81 10091,76 826,46 27,24 853,70

3,5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,908 1870,57 1,036 60 3350,85 36,66 296,60 3,24 8377,13 416,86 8793,99 741,51 31,10 772,61

3,5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,908 2182,33 1,209 60 2713,90 29,69 263,11 2,88 6784,76 421,05 7205,80 657,77 34,40 692,17

5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,083 1198,98 0,465 30 1840,63 20,14 889,85 9,73 4601,58 141,79 4743,36 2224,62 56,60 2281,22

5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,083 1438,77 0,558 30 1706,03 18,66 824,39 9,02 4265,08 166,97 4432,04 2060,97 66,62 2127,59

5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,083 1678,57 0,651 30 1469,10 16,07 705,70 7,72 3672,75 178,67 3851,42 1764,25 70,89 1835,13

5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,083 1198,98 0,465 60 2898,86 31,71 215,77 2,36 7247,16 203,28 7450,44 539,44 12,76 552,19

5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,083 1438,77 0,558 60 2622,11 28,68 212,35 2,32 6555,28 233,71 6788,99 530,88 15,95 546,83

5 50 1,25 0 0 137,12 0,680 0,083 1678,57 0,651 60 2167,53 23,71 209,84 2,30 5418,83 240,47 5659,30 524,61 19,62 544,22

5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,339 1518,12 0,589 30 2174,75 23,79 1195,61 13,08 5436,88 207,77 5644,65 2989,02 93,78 3082,80

5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,339 1821,75 0,706 30 1968,20 21,53 1078,29 11,80 4920,50 240,13 5160,63 2695,74 108,02 2803,76

5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,339 2125,37 0,824 30 1663,67 18,20 911,60 9,97 4159,17 254,37 4413,54 2279,01 114,45 2393,46

5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,339 1518,12 0,589 60 3444,12 37,68 325,25 3,56 8610,31 292,64 8902,94 813,12 23,29 836,41

5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,339 1821,75 0,706 60 3070,72 33,59 304,16 3,33 7676,81 333,58 8010,39 760,41 27,84 788,25

5 50 1,6 0 3 137,12 2,785 0,339 2125,37 0,824 60 2526,67 27,64 282,31 3,09 6316,67 344,18 6660,84 705,78 32,40 738,18

5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,636 1887,57 0,732 30 2999,06 32,81 1397,54 15,29 7497,65 299,66 7797,31 3493,86 115,47 3609,33

5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,636 2265,09 0,878 30 2686,40 29,39 1247,38 13,65 6715,99 342,15 7058,15 3118,44 131,39 3249,84

5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,636 2642,60 1,025 30 2243,81 24,55 1045,14 11,43 5609,53 357,46 5966,98 2612,85 137,68 2750,53

5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,636 1887,57 0,732 60 4631,54 50,67 392,05 4,29 11578,85 424,56 12003,41 980,12 30,29 1010,41

5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,636 2265,09 0,878 60 4030,46 44,09 358,40 3,92 10076,14 471,10 10547,24 896,00 35,31 931,31

5 50 2 1 3 137,12 5,221 0,636 2642,60 1,025 60 3274,11 35,82 324,57 3,55 8185,26 478,47 8663,73 811,42 39,97 851,39