CPIICSC III

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

1ª CERTIFICAÇÃO - TESTE DE MATEMÁTICA II – ANO 2014 1ª SÉRIE – TURMAS: 1107 / 2112 - PROF. WALTER TADEU __ de ________________ de 2014

CPII CSC III

Coord. MARIA HELENA M BACCAR TURMA: NOTA:

Nome: GABARITO NÚMERO: ______

1. Num triângulo retângulo  é um ângulo agudo e ^{tg   5} . Encontre sen e cos.

Solução. Utilizando as relações trigonométricas, temos:

 

26 26 5 26 .5 26 cos .5 sen )ii

26 cos 26 26 . 26 26 1 26 1 26 cos 1 26 cos 1 1 cos 26

1 cos cos

25 1 cos cos

.5 1

cos sen

cos .5 sen cos 5

5 sen )i tg

2 2

2 2

2 2 2

2

 







 



 























































 

 



















 

 





.

2. Num triângulo retângulo  é um ângulo agudo e

17

sen   5 . Encontre cos e tg.

Solução. Utilizando as relações trigonométricas, temos:

132 66 5 66 . 66 66 2

5 66 2

5 66 2 . 17 17

5 17

66 2

17 5 cos tg sen )ii

17 66 2 289 cos 264 289 cos 264

289 25 cos 289

289 1 25 cos 1 17 cos

5 1 cos sen

17 sen 5 )i

2

2 2

2 2

2 2









 

 

















 



















 



 



 



 















.

3. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C

mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Calcule essa distância, em km.

Solução. Como o ângulo A mede 45º e o ângulo C mede 75º, o ângulo B mede 180º – (75º + 45º) = 180º – 120º = 60º.

Utilizando a Lei dos Senos, temos:

km 6 2 4

6 8 2 . 2 2

3 8 2

3 d 8

2 . 3 2 8 . 2 d 2

2 8 2

3 d º 45 sen

8 º 60 sen

d























.

4. Considerando o triângulo da figura, calcule:

a) A medida do lado x;

Solução. O ângulo oposto ao lado de 10m vale 120º. Utilizando a Lei dos Cossenos, temos:

  ^{73 3 m}

x, Logo 2 0

73 2 x 6

3 2 73

73 2 x 6

2 292 6 )1(

2 )64 )(1(

4 36 x 6

0 64 x6 x x6 x 36 100

2 ).x 1 ).(6 .(2 x 36 100

º 120 cos ).x ).(6 .(2 x 6 10

2 2 2 2 2 2







 



 



 

 



 

 

 

 







 















 

 

 













.

b) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Solução. Utilizando o lado de 10m e o ângulo de 120º na relação com o diâmetro da circunferência, temos:

3 m 3 10 3 . 3 3 10 3 R 10 2 10

. 3 R 2 R 2 2

3 R 10 º 2 120 sen

10         

.

5. Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, calcule a altura do prédio, em metros.

Solução. O triângulo destacado é retângulo isósceles, pois os catetos medem 12m. Logo o ângulo de 75º é decomposto em 45º e 30º. A altura do edifício será a soma de 12m com o valor x oposto ao ângulo de 30º.

Utilizando a relação da tangente, temos:

 ^{12 4 3}  ^m

Altura ) ii

m 3 4 3 x

. 3 12 x º 30 12 tg

) x i







 







 



 



 .

6. Considerando o triângulo da figura, calcule o valor de x;

Solução. Utilizando a lei dos Cossenos duas vezes em relação ao ângulo â, temos:

 

 

 

 









 

































































 

 









 

 

















 





















1 x

0 1 0 x

1 x 0 ) 1 x ( 6 0 6 x 6

9 x 6 x 3 3 x 6 x 3 9 x 6 x x 4 3 x 6 x 3

9 x 6 x x 10 x 6 3 x 6 x 3 3

) 3 x ( x x 10 2 1 x 2 x

x 6

) 3 x ( x . 10 x 2 x 2 ) 1 x ( a cos ).

x ).(

x .(

2 x x ) 1 x ( ) ii

x 6

) 3 x ( x a 10 cos

a cos . x 6 x 10 ) 3 x ( a cos ).

x 3 ).(

x .(

2 x 3 x ) 3 x ( )i

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

. R: x = 1.

7. Em um triângulo ABC, retângulo em A, o cateto AB mede 5m e cosB = 0,4.

a) Calcule sua hipotenusa, em metros.

Solução. Utilizando a relação do cosseno, temos:

m 5 , 12 4 x

, 0 x 5 B x cos

5      . A hipotenusa mede 12,5m.

b) Calcule a área desse triângulo.

Solução. Calculando o seno de B, temos:

m

2

21 25 , 10 6 . 21 5 , 2 62

5 . 21 5 , 62 2

senB ).

5 , 12 ).(

5 Área ( 5

21 10

21 2 100

84 100

16 100 100

1 16

senB            

.