Algoritmo para determinação de extremos

Algoritmo para determina¸c˜ ao de extremos

RIOS, J, V, V.

Sobral Matem´ atica vianeymatematico@gmail.com

pr´ e-prints da Sobral Matem´ atica no. 2011.04

18 de agosto de 2011

Resumo

Uma malha selecionada sobre uma regi˜ ao, gera um levantamento de dados amostrais de um determinado fenˆ omeno, que denominarei de modelo E. A partir destes dados, ser˜ ao obtidas curvas de n´ıvel que revelar˜ ao o relevo dinˆ amico do fenˆ omeno estudado, possibilitando realizar previs˜ oes a cerca do mesmo. Neste artigo, estou construindo um difeomorfismo entre curvas de n´ıvel do tipo c´ırculos concˆ entricos encontradas e uma fam´ılia de c´ırculos concˆ entricos.

Aplica¸ c˜ ao: constru¸ c˜ ao de um algoritmo para determinar extremos.

palavras chave: difeomorfismo, curvas de n´ıvel, extremos

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1 Introdu¸ c˜ ao

Neste trabalho vamos apresentar os pr´ e-requesitos necess´ arios para a constru¸c˜ ao de um novo algoritmo para determina¸c˜ ao de extremos de uma regi˜ ao quando tomados dados estat´ısticos de um determinado fenˆ omeno, possibilitando assim a modelagem do referido fenˆ omeno, onde irei nome´ a-lo de modelo E.

Se uma curva de n´ıvel for fechada, ent˜ ao no seu interior se encontra necessariamente um m´ aximo ou um m´ınimo. Apenas n˜ ao podemos saber, inicialmente, qual ´ e e nem se ´ e ´ unico.

Por´ em, como nos interessa encontrar extremos, que por exemplo caracterizam focos de uma endemia, ent˜ ao a existˆ encia de uma curva de n´ıvel fechada j´ a nos indica a existˆ encia de um ponto interessante.

Sendo este modelo representado por dados estat´ısticos - ele vai resultar nas verdadeiras curvas de n´ıvel, embora estas sejam obtidas aproximadamente (aproxima¸c˜ oes polinomiais).

Como ´ e uma modelagem feita a partir de dados amostrais, retratando a realidade recuperada por medi¸c˜ oes, n˜ ao h´ a express˜ oes alg´ ebricas que nos ap´ oiem numa aplica¸c˜ ao direta dos m´ etodos.

Por este motivo, vamos construir uma metodologia geom´ etrico-topol´ ogica que ir´ a atuar sobre o modelo E (modificar o modelo), uma sucess˜ ao de difeomorfismos deformando cada uma das curvas de n´ıvel para se chegar a um c´ırculo. Para cada um destes difeos, teremos uma express˜ ao formal correspondente, mas que ser˜ ao obtidas em trabalhos posteriores.

2 Objetivos

O m´ etodo do gradiente se baseia num simples fato geom´ etrico: o gradiente em cada ponto do dom´ınio de uma fun¸c˜ ao multivariada, produz um vetor perpendicular ` a variedade de n´ıvel, consequentemente ´ e um vetor que aponta na dire¸c˜ ao de maior varia¸c˜ ao do m´ aximo ou m´ınimo da variedade.

E possivel, com uma cole¸c˜ ´ ao muito fina de curvas de n´ıvel, construir um caminho aproxi- mado, uma poligonal, que encontre aproximadamente um extremo se existir e no caso de n˜ ao existir, mostrar a ausˆ encia de extremos na regi˜ ao.

Ao falar de regi˜ ao topologicamente equivalente a um retˆ angulo a referˆ encia ´ e feita a uma adapta¸c˜ ao para uma regi˜ ao geogr´ afica de fato existente (do mundo real) e trabalhar compu- tacionalmente numa regi˜ ao mais simples. As t´ ecnicas para fazer esta decodifica¸c˜ ao ´ e de uso relativamente f´ acil.

Um levantamento de dados discretos obtidos em uma regi˜ ao em momentos distintos e com

uma ligeira varia¸c˜ ao em torno dos pontos de colheita, nos permite o c´ alculo aproximado das derivadas parciais de primeira ordem nestes pontos e assim ´ e poss´ıvel a obten¸c˜ ao aproximada das variedades de n´ıvel (curvas de n´ıvel no caso de fun¸c˜ oes bivariadas) nesta regi˜ ao e com isto usar a t´ ecnica do gradiente para obter os extremos ou para analisar a existˆ encia ou n˜ ao de extremos na regi˜ ao.

O Estado do Cear´ a tem uma rede de dados sobre diversas endemias que foram obtidas com uma base geogr´ afica, portanto associados a uma regi˜ ao e h´ a uma coleta bastante dinˆ amica que pode produzir as derivadas parciais que formam o gradiente. ´ E um dos objetivos do trabalho a sua aplica¸c˜ ao na an´ alise destes dados para, posteriormente, repass´ a-los ao ´ org˜ ao que ofereceu os dados.

O trabalho est´ a voltado para uma base de dados j´ a existente com o objetivo de facilitar o seu desenvolvimento e testes uma vez que no Estado do Cear´ a vem havendo ˆ exito relativamente grande no combate, por exemplo, ` a dengue, portanto aqui h´ a um fenˆ omeno j´ a estudado para servir de teste ao algoritmo que ser´ a desenvolvido. A metodologia se presta para analisar a dinˆ amica de qualquer fenˆ omeno para o qual se tenha uma s´ erie estat´ıstica adequada, portanto pode ser facilmente utilizado em bases de dados relativamente recentes para obter an´ alises da evolu¸c˜ ao do fenˆ omeno que elas descrevem.

3 Metodologia

Estudei, ver [2], a possibilidade matem´ atica da dedu¸c˜ ao de extremos, pelo m´ etodo do gradi- ente a partir de dados discretos. Ficaram, entretanto, algumas quest˜ oes para serem resolvidas de modo que se possa afirmar que temos um algoritmo. Entre estas quest˜ oes se podem citar:

1. Terminar a discuss˜ ao te´ orica entre uma regi˜ ao retangular, que foi a base do trabalho [2], e uma regi˜ ao f´ısica (geogr´ afica) associada a um fenˆ omeno. Embora se trate de um assunto bem conhecido, ´ e preciso dominar a t´ ecnica frente ao mundo real.

2. Constru¸c˜ ao computacional do algoritmo.

3. Uso de dados de endemias do Estado do Cear´ a, em particular da dengue, para os quais existem resultados emp´ıricos apontando para o crescimento ou decrescimento do problema com o duplo objetivo:

(a) testar o modelo;

(b) prestar um servi¸co ao Estado do Cear´ a oferecendo-lhe uma an´ alise da evolu¸c˜ ao da dengue.

4. Corrigir o algoritmo usando a an´ alise j´ a existente dentro das bases de dados do Estado do Cear´ a.

O trabalho vai ser realizado atrav´ es da produ¸c˜ ao de pequenos textos voltados para resolver as etapas do trabalho descritas acima que ser˜ ao inicialmente publicados como pr´ e-prints da Sobral Matem´ atica, [5]. O conjunto destes pr´ e-prints v˜ ao representar um processo de semin´ ario eletrˆ onico.

Mais tarde, em trabalhos posteriores, partiremos para a parte computacional.

4 Resultados e discuss˜ ao

A op¸c˜ ao por tratar de um assunto ligado ` a determina¸c˜ ao de extremos de fun¸c˜ oes, ´ e ligada diretamente ao estudo de fenˆ omenos naturais, como o caso da dengue. Os ´ org˜ aos p´ ublicos sempre recorrem ` a matem´ atica para elaborar um modelo que mostre alguma regularidade do fenˆ omeno em estudo, possibilitando realizar previs˜ oes a cerca do mesmo. Para tanto, ´ e preciso de uma ferramenta de qualidade para se trabalhar os dados obtidos do levantamento feito, digamos, pela Secretaria de Sa´ ude. A busca por resultados satisfat´ orios depende muito de uma ferramenta que cause o menor erro poss´ıvel nas previs˜ oes, para que se tenha verdadeira no¸c˜ ao da evolu¸c˜ ao do fenˆ omeno.

O ponto crucial do trabalho, que ser´ a produzido em etapas, ´ e a constru¸c˜ ao de um algoritmo para determinar extremos ou sugerir a ausˆ encia deles quando as curvas obtidas forem abertas de uma regi˜ ao a partir de dados colhidos para o estudo de um determinado fenˆ omeno, quando feita uma modelagem das curvas de n´ıvel adquiridas com estes dados. Conseguimos uma delas, ver [3], que foi definir uma metodologia para a constru¸c˜ ao de uma sucess˜ ao de difeomorfismos, cada um deles deformando uma curva de n´ıvel para obter um c´ırculo. Em trabalho posterior devemos obter as express˜ oes formais de cada um dos difeomorfismos desta sequˆ encia.

5 Considera¸ c˜ oes finais

A matem´ atica, por mais abstrata que seja em muitas de suas aplica¸c˜ oes e m´ etodos, sempre foi uma ferramenta de suma importˆ ancia na resolu¸c˜ ao de diversos problemas do cotidiano.

Tudo ` a nossa volta tem matem´ atica em sua essˆ encia, como exemplo, desde a prolifera¸c˜ ao de

coelhos (Sequˆ encia de Fibonnacci) ` a constru¸c˜ ao imobili´ aria, a matem´ atica sempre ´ e utilizada.

Tanto na compreens˜ ao dos segredos naturais, como para ajudar nos inventos da engenharia, s˜ ao vertentes que se utilizam desta magn´ıfica ciˆ encia.

A servi¸co da comunidade em geral, a classe dos matem´ ´ aticos sempre ser´ a uma aliada. Um grande exemplo, ´ e o tratamento de endemias como a dengue. A a¸c˜ ao da Secretaria de Sa´ ude, por meio dos seus agentes, ´ e a principal forma de combate ` a prolifera¸c˜ ao do mosquito causador levantando dados da endemia, mas n˜ ao necessariamente a ´ unica. No quesito identifica¸c˜ ao dos principais focos, a matem´ atica aparece como a ferramenta que estudar´ a o fenˆ omeno, identifi- cando os extremos (ou sugerindo a ausˆ encia deles) da a¸c˜ ao do mosquito e fazendo proje¸c˜ oes que ir˜ ao nortear o combate dos agentes de sa´ ude. A matem´ atica indica os pontos cr´ıticos, repassando estes dados ` a Secretaria de Sa´ ude para que sejam tomadas as providˆ encias cab´ıveis.

J´ a ´ e um resultado positivo do trabalho a metodologia descrita em [3] para constru¸c˜ ao apro-

ximada de curvas de n´ıvel, apenas isto j´ a permite mostrar que em uma determinada regi˜ ao,

encerrada numa curva de n´ıvel, existe um extremo do fenˆ omeno estudado, como foi observado

na introdu¸c˜ ao deste trabalho. Ou seja, ´ e poss´ıvel montar um m´ etodo que deforme as curvas

encontradas a partir de dados coletados, transformando-as em c´ırculos e fazendo as aplica¸c˜ oes

necess´ arias. A continua¸c˜ ao do trabalho dever´ a nos levar a um algoritmo para mostrar com

precis˜ ao onde se encontra este extremo. Desta forma, apesar de ser uma das etapas no que

culminar´ a na constru¸c˜ ao de um algoritmo para determinar extremos, este trabalho se apre-

senta como uma forte ferramenta dentre tantas outras que ajudam a comunidade, facilitando

os caminhos e encurtando as dificuldades da sociedade em que vivemos.

Referˆ encias

[1] Praciano-Pereira, T.

C´ alculo Num´ erico Computacional

http://www.sobralmatematica.org/editora/ananu00 2p.pdf [2] RIOS, J, V, V.

Equa¸ c˜ oes diferenciais exatas e determina¸ c˜ ao de extremos Monografias da Sobral Matem´ atica - n

2009.03

http://www.sobralmatematica.org/monografias/vianey.pdf [3] Praciano-Pereira, T

Curvas de n´ıvel homot´ opicas a um ponto Pr´ eprints da Sobral Matem´ atica - n

2011.03

http://www.sobralmatematica.org/preprints/homotopicas.pdf [4] Davis, Tom.

Inversion in a Circle

http://www.geometer.org/mathcircles - March 23, 2011

[5] Um projeto de extens˜ ao da Univ. Estadual Vale do Acara´ u - sub projeto Pr´ e-prints da Sobral Matem´ atica e F´ısica

http://www.sobralmatematica.org/preprints/

[6] Wikipedia, the free enciclopedia in the Internet.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismo - August 2, 2011 [7] Professor Global, plataforma de educa¸ c˜ ao em massa pela web

http://professorglobal.cbpf.br/mediawiki/index.php/Difeomorfismo - August 2, 2011 [8] La web de F´ısica

http://forum.lawebdefisica.com/threads/3001-Difeomorfismos - August 5, 2011