Marcos dos Santos Ferreira

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ

DEPARTAMENTO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E TECNOL ´ OGICAS-DCET

COLEGIADO DE MATEM ´ ATICA

Marcos dos Santos Ferreira

O Teorema do Ponto Fixo de

Banach e Aplicac ¸ ˜ oes

Ilh´ eus - BA

2008

Marcos dos Santos Ferreira

O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Aplicac ¸ ˜ oes

Monografia submetida ao Colegiado do Curso de Matem´ atica da Universidade Estadual de Santa Cruz como requisito parcial para obten¸c˜ ao do grau de Bacharel em Matem´ atica.

Orientador: Prof. Ms C´ıcero Alfredo da Silva

Filho

Ilh´ eus-Bahia

2008

Marcos dos Santos Ferreira

O Teorema do Ponto Fixo de

Banach e Aplicac ¸ ˜ oes

Profa. Ms Aline Gobbi Dutra

Profa. Ms Fernanda Gon¸calves de Paula

Prof. Ms C´ıcero Alfredo da Silva Filho

Orientador

A minha m˜ ` ae, esposa e filho.

Agradecimentos

Agrade¸co ` a Deus, por ter permitido que eu chegasse onde cheguei. Por ter me proporcionado todos os momentos que vivi durante esses quatro anos.

Por n˜ ao ter me deixado desistir. Enfim, por tudo.

Agrade¸co ` a minha fam´ılia. Esta, sem d´ uvida, teve um papel fundamental para que eu chegasse at´ e o final de minha gradua¸c˜ ao e, consequentemente, para que eu terminasse este trabalho. Especificamente, aos meus pais, pela boa educa¸c˜ ao, pelo incentivo aos estudos, pela compreens˜ ao em minhas es- colhas e decis˜ oes, pelo apoio financeiro, moral e emocional. Muitos s˜ ao os motivos pelos agradecimentos. Aos meus irm˜ aos e sobrinhos que, apesar de n˜ ao entenderem os meus problemas, se preocupavam comigo e tentavam, de alguma forma, compensar minhas tristezas. Em suma, tudo que tentei e conseguir fazer, foi visando dar orgulho e, de certa forma, um futuro mais confort´ avel para as pessoas que eu amo, especialmente a Thelma, Ludimila e N´ıcolas.

A todos os professores que tive oportunidade de conhecer. Pessoas que, ` de forma direta ou indireta, contribu´ıram para a minha forma¸c˜ ao acadˆ emica.

Em especial, ` a Marcos Rog´ erio, Erinalva Calasans, Alejandro Dimarco e C´ıcero Alfredo. Este ´ ultimo, principalmente, pelo incentivo e apoio dados, para que eu pudesse fazer uma gradua¸c˜ ao de qualidade.

Aos meus colegas e amigos. Pessoas que convivi, durante esses anos. Boas

pessoas, que juntos compartilhamos bons e maus momentos de nossas vidas.

Resumo

Neste trabalho estudamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach e algumas de suas aplica¸c˜ oes. Este teorema garante existˆ encia e unicidade de solu¸c˜ ao para variados tipos de equa¸c˜ oes e nos fornece um m´ etodo iterativo para en- contrar a solu¸c˜ ao num´ erica. Particularmente, aplicamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach em Equa¸c˜ oes Num´ ericas, Equa¸c˜ oes Lineares, Equa¸c˜ oes Dife- renciais Ordin´ arias (Teorema de Picard) e em Equa¸c˜ oes Integrais (Equa¸c˜ oes de Fredholm e Volterra).

Palavras-chave: Ponto Fixo, Contra¸c˜ ao, Teorema do Ponto Fixo de Banach.

Abstract

In this work we studied the Banach Fixed Point Theorem and some of its applications. This theorem guarantees existence and unicity of solution to many kinds of equations and give us an iterative method to find such numeric solution. Particularly, we’ll apply the Banach Fixed Point Theorem in Numerical Equations, Linear Equations, Ordinary Differential Equations (Picard’s Theorem) in Integral Equations (Fredholm and Volterra Equati- ons).

Keywords: Fixed Point, Contraction, Banach Fixed Point Theorem.

Sum´ ario

Introdu¸ c˜ ao 13

1 Preliminares 15

1.1 Espa¸cos M´ etricos . . . . 15

1.2 Convergˆ encia em Espa¸cos M´ etricos . . . . 21

1.3 Sequˆ encias de Cauchy e Espa¸cos M´ etricos Completos . . . . . 24

1.4 Exemplos de Espa¸cos M´ etricos Completos . . . . 29

2 O Teorema do Ponto Fixo de Banach 34 2.1 Ponto Fixo e Contra¸c˜ ao . . . . 34

2.2 O Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . 36

2.3 Duas Vers˜ oes Fracas do Teorema do Ponto Fixo de Banach . . 40

3 Aplica¸ c˜ oes do Teorema do Ponto Fixo de Banach 46 3.1 Aplica¸c˜ oes em Equa¸c˜ oes Num´ ericas . . . . 46

3.2 Aplica¸c˜ oes em Equa¸c˜ oes Lineares . . . . 49

3.3 Aplica¸c˜ oes em Equa¸c˜ oes Diferenciais . . . . 51

3.4 Aplica¸c˜ oes em Equa¸c˜ oes Integrais . . . . 54

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 59

Resultados Utilizados 60

Introdu¸ c˜ ao

A An´ alise Funcional ´ e um ramo da An´ alise Matem´ atica que trata do estudo de espa¸co de fun¸c˜ oes. Tem suas ra´ızes hist´ oricas no estudo de trans- forma¸c˜ oes tais como Transforma¸c˜ oes de Fourier e Equa¸c˜ oes Integrais. Um grande impulso para o avan¸co da An´ alise Funcional durante o s´ eculo XX foi a modelagem, devida a John Von Neumann (1903-1957), da mecˆ anica quˆ antica em espa¸cos de Hilbert. A An´ alise Funcional faz uso de muitos conceitos de Algebra Linear e pode ser considerada como o estudo de Espa¸cos Vetoriais ´ Normados (Espa¸co de Banach) de dimens˜ ao infinita. Dentre os persona- gens centrais da An´ alise Funcional, destacam-se Stefan Banach (1892-1945) e Hugo Dyonizy Steinhaus (1887-1972).

Entre os v´ arios trabalhos de Stefan Banach, destacam-se a sua contri-

bui¸c˜ ao para a teoria das s´ eries ortogonais e inova¸c˜ oes na teoria de me-

dida e integra¸c˜ ao. Dos trabalhos publicados por Banach, o Th´ eorie des

op´ erations lin´ eaires (1932) ´ e o mais importante. Outro trabalho considerado

de grande importˆ ancia na ´ epoca, o Th´ eorie de Sept Reverse (1934) acabou

sendo considerado incompleto na d´ ecada seguinte. Na tentativa de genera-

lizar equa¸c˜ oes integrais Banach introduziu o conceito de Espa¸cos Vetoriais

Normados, al´ em de provar v´ arios teoremas dessa ´ area. Dentre os teore-

mas que recebem o nome de Banach, os mais conhecidos s˜ ao: Teorema de

Hahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus, Teorema de Banach-Alaoglu,

Teorema de Banach-Schauder e Teorema do Ponto Fixo de Banach.

O Teorema do Ponto Fixo de Banach (T.P.F.B), v´ alido em espa¸cos m´ etricos completos, garante a existˆ encia e unicidade de ponto fixo para determinados tipos de equa¸c˜ oes. Suas aplica¸c˜ oes se estendem aos dom´ınios das equa¸c˜ oes in- tegrais, equa¸c˜ oes diferenciais, equa¸c˜ oes num´ ericas em C, da an´ alise num´ erica e de outros ramos da matem´ atica pura e aplicada.

Neste trabalho, demonstramos o (T.P.F.B) e duas vers˜ oes fracas, tal como o Teorema (2.3.1). Este teorema tem sua importˆ ancia, pois garante os mes- mos resultados, apesar de ter a hip´ otese de contratividade enfraquecida.

Para entendermos a demonstra¸c˜ ao do (T.P.F.B), bem como suas aplica¸c˜ oes, fizemos um estudo acerca de espa¸cos m´ etricos, convergˆ encia em espa¸cos m´ etricos, espa¸cos m´ etricos completos, ponto fixo e contra¸c˜ ao.

Por fim, aplicamos o (T.P.F.B) na solu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes Num´ ericas, Line- ares (Sistemas Lineares), Diferenciais (Teorema de Picard’s) e Integrais de Fredholm e Volterra.

Na se¸c˜ ao Resultados Utilizados, apresentamos alguns resultados que uti-

lizamos em nosso trabalho, dos quais n˜ ao fizemos suas demonstra¸c˜ oes.

Cap´ıtulo 1 Preliminares

Neste cap´ıtulo iremos abordar alguns conceitos acerca de espa¸cos m´ etricos, sequˆ encias em espa¸cos m´ etricos, sequˆ encias de Cauchy, espa¸cos m´ etricos completos, ponto fixo e contra¸c˜ ao. Tais conceitos s˜ ao imprescind´ıveis para o entendimento da demontra¸c˜ ao do (T.P.F.B.), bem como de suas vers˜ oes e aplica¸c˜ oes que trataremos nos pr´ oximos cap´ıtulos.

1.1 Espa¸ cos M´ etricos

Defini¸ c˜ ao 1.1.1 (Espa¸ co M´ etrico) Um espa¸ co m´ etrico ´ e um par (X, d), onde X ´ e um conjunto n˜ ao vazio e:

d : X × X → R (x, y) 7−→ d(x, y)

´

e uma fun¸ c˜ ao que satisfaz, ∀x, y, z ∈ X:

(M1) d(x, x) = 0.

(M2) Se x 6= y, ent˜ ao d(x, y) > 0.

(M3) d(x, y) = d(y, x).

(M4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Nessas condi¸ c˜ oes, dizemos que d ´ e uma m´ etrica sobre X.

Exemplo 1.1.1 (M´ etrica Usual da Reta) Sejam X = R e d : R × R → R tal que d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R. Desta forma, d ´ e uma m´ etrica sobre R.

Demonstrac ¸˜ ao:

Sejam x, y, z ∈ R.

(M1) d(x, x) = |x − x| = |0| = 0.

(M2) Se x 6= y, ent˜ ao d(x, y) > 0. De fato,

x 6= y ⇒ x − y 6= 0 ⇒ |x − y| > 0 Logo, d(x, y) = |x − y| > 0.

(M3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ R. Com efeito,

d(x, y) = |x − y| = |−(x − y)| = |y − x| = d(y, x).

Assim, d(x,y)=d(y,x).

(M4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) ⇔ |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| . De fato,

|x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z|

⇒ |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| .

Exemplo 1.1.2 (M´ etricas em R

) Consideremos R

= {x; x = (x

, · · · , x

), com x

∈ R}

e d, d

e d

: R

× R

→ R definidas abaixo:

• d(x, y) :=

(x

− y

)

+ · · · + (x

− y

)

. (m´ etrica euclidiana)

• d

(x, y) := |x

− y

| + · · · |x

− y

|. (m´ etrica da soma)

• d

(x, y) := max {|x

− y

| , · · · , |x

− y

|}. (m´ etrica do m´ aximo) Nestas condi¸c˜ oes, d, d

e d

s˜ ao m´ etricas em R

.

Demonstrac ¸˜ ao:

Sejam x, y, z ∈ R

.

(M1) d(x, x) =

(x

− x

)

+ · · · + (x

− x

)

= √

0

+ · · · + 0

= √ 0 = 0.

(M2) Se x 6= y, ent˜ ao d(x, y) > 0. De fato,

x 6= y ⇒ x

6= y

, para algum i ∈ {1, 2, · · · , n}.

Assim, x

− y

6= 0, o que resulta em (x

− y

)

> 0.

Portanto, d(x, y) =

(x

− y

)

+ · · · + (x

− y

)

≥

(x

− y

)

> 0. Logo, d(x, y) > 0.

(M3) d(x, y) = d(y, x). Sabemos que (x

−y

)

= (y

− x

)

, ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}.

Assim,

(x

− y

)

+ · · · + (x

− y

)

= (y

− x

)

+ · · · + (y

− y

)

⇒

(x

− y

)

+ · · · + (x

− y

)

=

(y

− x

)

+ · · · + (y

− y

)

⇒ d(x, y) = d(y, x)

(M4) d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, x). Usaremos a desigualdade de Cauchy-Schwarz em R

, a saber, ∀a, b ∈ R

,

|a

b

+ a

b

+ · · · + a

b

| ≤

a

+ · · · + a

q

b

+ · · · + b

.

Temos que [d(x, z)]

=

n

X

i=1

(x

− z

)

=

n

X

i=1

[(x

− y

) + (y

− z

)]

=

n

X

i=1

[(x

− y

)

+ 2(x

− y

)(y

− z

) + (y

− z

)

]

=

n

X

i=1

(x

− y

)

+ 2

n

X

i=1

(x

− y

)(y

− z

) +

n

X

i=1

(y

− z

)

= [d(x, y)]

+ 2

n

X

i=1

(x

− y

)(y

− z

) + [d(y, z)]

≤ [d(x, y)]

+ 2

v u u t

n

X

i=1

(x

− y

)

v u u t

n

X

i=1

(y

− z

)

+ [d(y, z)]

= [d(x, y)]

+ 2[d(x, y)][d(y, z)] + [d(y, z)]

= [d(x, y) + d(y, z)]

. Desta forma, d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y, z).

Exemplo 1.1.3 (M´ etrica no Espa¸ co de Fun¸ c˜ oes) Definimos a m´ etrica no espa¸ co de fun¸ c˜ oes C[a, b] = {x : [a, b] → R; x e cont´ı ´ nua} por:

d(x, y) = max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| . Demonstrac ¸˜ ao:

Primeiramente, temos, pelo Teorema de Weierstrass (ver Resultados Utiliza- dos), que d est´ a bem definida.

(M1) d(x, x) = 0, ∀x ∈ C[a, b]. De fato,

d(x, x) = max

t∈[a,b]

|x(t) − x(t)| = max {0} = 0 (M2) x 6= y ⇒ d(x, y) > 0, ∀x, y ∈ C[a, b].

x 6= y ⇒ ∃ t

; x(t

) 6= y(t

).

Assim,

0 < |x(t

) − y(t

)| ≤ max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| = d(x, y) Desta forma, d(x, y) > 0.

(M3) d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈ C[a, b].

Sabemos que, |x(t) − y(t)| = |y(t) − x(t)| , ∀ t ∈ [a, b]. Logo, d(x, y) = max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| = max

t∈[a,b]

|y(t) − x(t)| = d(y, x)

(M4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀ x, y, z ∈ C[a, b]. Ou seja, devemos ter:

t∈[a,b]

max |x(t) − z(t)| ≤ max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| + max

t∈[a,b]

|y(t) − z(t)|.

Desta forma, basta mostrarmos que:

|x(t) − z(t)| ≤ max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| + max

t∈[a,b]

|y(t) − z(t)| , ∀t ∈ [a, b].

Temos que,

|x(t) − y(t)| ≤ max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| , ∀t ∈ [a, b]

|y(t) − z(t)| ≤ max

t∈[a,b]

|y(t) − z(t)| , ∀t ∈ [a, b].

Somando estas duas desigualdades, obtemos,

|x(t) − z(t)| = |(x(t) − y(t)) + (y(t) − z(t))|

≤ |x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)|

≤ max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| + max

t∈[a,b]

|y(t) − z(t)|.

Ou seja,

|x(t) − z(t)| ≤ max

t∈[a,b]

|x(t) − y(t)| + max

t∈[a,b]

|y(t) − z(t)| ∀t ∈ [a, b].

Defini¸ c˜ ao 1.1.2 (M´ etricas Equivalentes) Duas m´ etricas d

e d

em um espa¸ co m´ etrico X s˜ ao equivalentes

quando, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que:

αd

(x, y) ≤ d

(x, y) ≤ βd

d(x, y), ∀ x, y ∈ M.

Defini¸ c˜ ao 1.1.3 (Bolas e Esferas) Sejam (X,d) um espa¸ co m´ etrico, x

∈ X e r > 0. Definimos:

• B(x

, r) = {x ∈ X; d(x, x

) < r} (Bola aberta de centro x

e raio r)

• B[x

, r] = {x ∈ X; d(x, x

) ≤ r} (Bola fechada de centro x

e raio r)

• S(x

, r) = {x ∈ X; d(x, x

) = r} (Esfera)

Exemplo 1.1.4 (Bolas na Reta) Consideremos X = R e d(x, y) = |x − y|.

Para a ∈ R e r > 0, temos:

B (a, r) = {x ∈ R; d(x, a) = |x − a| < r}

|x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r ⇔ x ∈ (a − r, a + r) Da´ı,

B(a, r) = {x ∈ R; a − r < x < a + r} = (a − r, a + r)

⇒ B(a, r) = (a − r, a + r) Analogamente, vemos que,

B [a, r] = [a − r, a + r].

S(a, r) = {a − r, a + r} .

1As m´etricas euclidiana, da soma e do m´aximo s˜ao equivalentes em Rⁿ. Veja LIMA, Elon Lages. Espa¸cos M´etricos. IMPA, 2007, pg 3.

1.2 Convergˆ encia em Espa¸ cos M´ etricos

Defini¸ c˜ ao 1.2.1 (Convergˆ encia de Sequˆ encias) Uma sequˆ encia (x

) em um espa¸ co X = (X, d) ´ e dita convergente se existir x ∈ X tal que:

n→∞

lim d(x

, x) = 0.

Neste caso, x ´ e chamado o limite de (x

), e escrevemos:

n→∞

lim x

= x ou x

→ x.

Quando necess´ ario, usaremos a nota¸ c˜ ao x

→

x para indicar que a con- vergˆ encia ´ e com rela¸ c˜ ao ` a m´ etrica d.

Em outras palavras, x

→ x se,

∀ > 0, ∃n

, tal que ∀ n > n

, tem − se d(x

, x) < .

Observa¸ c˜ ao 1.2.1 (Convergˆ encia) Tratando-se de bolas, x

→ x se, para toda bola de centro x e raio , existir n

suficientemente grande, de modo que:

x

∈ B(x, ), ∀n > n

.

Exemplo 1.2.1 (Convergˆ encia de Sequˆ encia de N´ umeros Reais) Consideremos R dotado da m´ etrica usual. A sequˆ encia x

=

converge para o ponto 1.

Demonstrac ¸˜ ao:

De fato, dado > 0, tomemos n

de modo que

0+1

< . Desta maneira,

∀ n ≥ n

, temos:

d(x

, 1) =

− 1

=

=

≤

0+1

< ,

e assim, x

→ 1.

Exemplo 1.2.2 (Convergˆ encia de Sequˆ encias de Fun¸ c˜ oes) Considere o espa¸ co C[0,1] com a m´ etrica:

d(f, g) = max

x∈[0,1]

|f (x) − g(x)|,

onde (f

) ⊂ C[0, 1] ´ e tal que f

(x) =

e f(x) = 0, ∀x ∈ [0, 1]. Nessas condi¸ c˜ oes, temos que f

→ f.

Demonstrac ¸˜ ao:

De fato,

d(f

, f ) = max

x∈[0,1]

|f

(x) − f(x)|

= max

x∈[0,1]

x n − 0

= max

x∈[0,1]

x n

=

, isto ´ e, d(f

, f ) =

.

Assim, ∀ > 0, tomando n

> 1/ e n > n

, temos:

d(f

, f) = 1/n < .

⇒ d(f

, f) < , ∀ n > n

. Logo, f

→ f.

Lema 1.2.1 (Convergˆ encia) Seja (X, d) um espa¸ co m´ etrico. Ent˜ ao:

1. Uma sequˆ encia convergente em X ´ e limitada e seu limite ´ e ´ unico.

2. Se x

→ x e y

→ y em X, ent˜ ao d(x

, y

) → d(x, y).

Demonstrac ¸˜ ao:

(1) Suponha que x

→ x. Ent˜ ao, para = 1, podemos encontrar um n

, tal que:

d(x

, x) < 1, para todo n > n

. Em consequˆ encia da desigualdade triangular,

∀n temos: d(x

, x) < 1 + a, onde:

a = max {d(x

, x), · · · , d(x

, x)} . Isso mostra que (x

) ´ e limitada.

Assumimos agora que x

→ x e x

→ z, da´ı pela desigualdade triangular, temos:

0 ≤ d(x, z) ≤ d(x, x

) + d(x

, z) → 0 + 0 = 0, quando n → ∞

⇒ 0 ≤ d(x, z) → 0 ⇒ x = z.

Logo, o limite ´ e ´ unico.

(2) Pela desigualdade triangular, temos:

d(x

, y

) ≤ d(x

, x) + d(x, y) + d(y, y

) Assim,

d(x

, y

) − d(x, y) ≤ d(x

, x) + d(y

, y ) (1.1) Por outro lado,

d(x, y) ≤ d(x, x

) + d(x

, y

) + d(y

, y) Ou seja,

−(d(x, x

) + d(y

, y)) ≤ d(x

, y

) − d(x, y) (1.2) Por (1.1) e (1.2), temos:

2Este resultado junto com o Teorema 1.3.7 nos possibilitar´a concluir que a m´etrica ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.

|d(x

, y

) − d(x, y)| ≤ d(x

, x) + d(y

, y) → 0 + 0 = 0, quando n → ∞

⇒ |d(x

, y

) − d(x, y)| → 0

⇒ d(x

, y

) → d(x, y), quando n → ∞.

1.3 Sequˆ encias de Cauchy e Espa¸ cos M´ etricos Completos

Defini¸ c˜ ao 1.3.1 (Sequˆ encia de Cauchy) Uma sequˆ encia (x

) em um espa¸ co m´ etrico (X, d) ´ e dita ser de Cauchy se, ∀ > 0, ∃ n

tal que:

d(x

, x

) < , ∀m, n > n

.

Defini¸ c˜ ao 1.3.2 (Espa¸ co M´ etrico Completo) Um espa¸ co (X,d) ´ e dito ser completo se toda sequˆ encia de Cauchy convergir em X (isto ´ e, tem um limite o qual ´ e um elemento de X).

Teorema 1.3.1 (Sequˆ encia de Cauchy) Toda sequˆ encia de Cauchy em (X,d) ´ e limitada.

Demonstrac ¸˜ ao:

Seja (x

) uma sequˆ encia de Cauchy em (X,d). Assim, para = 1, deve existir n

∈ N , tal que:

d(x

, x

) < 1, ∀m, n > n

.

Em particular, essa desigualdade vale para m = n

+ 1 > n

. Sendo n > n

, temos

d(x

, x

) < 1.

Mas, ∀n > n

, d(x

, 0) − d(x

, 0) ≤ d(x

, x

) < 1. Ou seja, ∀n > n

, d(x

, 0) < d(x

, 0) + 1.

Seja, k = max {d(x

, 0), d(x

, 0), · · · , d(x

, 0), d(x

, 0) + 1}.

Assim, ∀n ∈ N, d(x

, 0) ≤ k. O que resulta em (x

) ser limitada.

Teorema 1.3.2 (Subsequˆ encia de Sequˆ encia de Cauchy) Seja (x

) uma sequˆ encia de Cauchy em (X,d) e (x

) uma subsequˆ encia de (x

). Se (x

) ´ e convergente, ent˜ ao (x

) tamb´ em ´ e.

Demonstrac ¸˜ ao:

Seja (x

) uma subsequˆ encia de (x

), tal que (x

) → r, com r ∈ X.

Seja > 0 arbitr´ ario.

Como (x

) ´ e de Cauchy, para

, deve existir n

∈ N , tal que:

d(x

, x

) <

2 ∀ m, n > n

. (1.3)

Como (x

) → r, deve existir n

∈ N , tal que:

∀n

> n

⇒ d(x

, r) <

2 . (1.4)

Consideremos n

= max {n

, n

}.

Assim, por (1.3) e (1.4), ∀n > n

temos,

d(x

, r) ≤ d(x

, x

) + d(x

, r)

≤

+

= .

Desta forma, x

→ r.

Teorema 1.3.3 (Completeza de R) A reta ´ e um espa¸ co m´ etrico completo.

Ou seja, toda sequˆ encia de Cauchy de n´ umeros reais ´ e convergente em R.

Demonstrac ¸˜ ao:

Toda sequˆ encia de Cauchy ´ e limitada (Teorema 1.3.1). Assim, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass

, toda sequˆ encia limitada de n´ umeros reais, possui subsequˆ encia convergente. Desta forma, pelo Teorema 1.3.2, toda sequˆ encia de Cauchy que possui subsequˆ encia convergente tamb´ em ´ e convergente.

Teorema 1.3.4 (Sequˆ encia Convergente) Toda sequˆ encia convergente em um espa¸ co m´ etrico ´ e de Cauchy.

Demonstrac ¸˜ ao:

Se x

→ x, ent˜ ao ∀ > 0, ∃ n

, tal que:

d(x

, x) <

, ∀n > n

.

Da´ı, pela desigualdade triangular, para m, n > n

, obtemos:

d(x

, x

) ≤ d(x

, x) + d(x, x

) <

+

= .

⇒ d(x

, x

) <

Isto mostra que (x

) ´ e de Cauchy.

Teorema 1.3.5 (Conjunto Fechado) Seja M um subconjunto de um espa¸ co m´ etrico X e M o seu fecho. Ent˜ ao:

1. x ∈ M se, e s´ o se, existe uma sequˆ encia (x

) em M, tal que x

→ x.

3Veja Resultados Utilizados, Teorema 3.4.6.

2. M ´ e fechado se, e s´ o se, para toda (x

) ⊂ M convergente, tivermos

n→∞

lim x

∈ M . Demonstrac ¸˜ ao:

(1) (⇒) Seja x ∈ M . Se x ∈ M , considere a sequˆ encia (x

) = (x, x, · · ·), constante. ´ E claro que x

→ x ∈ M . Por outro lado, se x / ∈ M , sabemos que x ´ e um ponto de acumula¸c˜ ao de M. Da´ı, ∀ n ∈ N, ∃ x

∈ B(x, 1/n) ∩ M ⇒ x

∈ M e d(x

, x) < 1/n, ∀ n ∈ N ⇒ x

→ x, quando n → ∞ e (x

) ⊂ M

(⇐) Se (x

) ⊂ M e x

→ x, ent˜ ao:

∀ > 0, ∃ n

∈ N, tal que ∀ n > n

⇒ d(x

, x) < .

⇒ ∀ > 0, (B(x, ) ∩ M ) 6= ∅ ⇒ x ∈ M .

(2) (⇒) Sabemos que um conjunto M ´ e fechado se, e s´ o se, M = M . Seja (x

) ⊂ M uma sequˆ encia convergente. Por (1), x = lim

n→∞

x

∈ M = M . Da´ı, x ∈ M .

(⇐) Seja x ∈ M . Por (1), existe (x

) ⊂ M , com x

→ x. Logo, por hip´ otese, x ∈ M . Desta forma, M ⊂ M . Mas como, M ⊂ M , ∀ M , tem-se M = M

Exemplo 1.3.1 (Conjuntos Fechados) Abaixo, vejamos alguns exemplos de conjuntos fechados e abertos.

1. A reta ´ e um conjunto fechado. Segue do fato de R ser completo e do Teorema 1.3.4.

2. [0, 1] ´ e fechado.

3. (0,1] n˜ ao ´ e fechado. De fato. Basta considerar x

=

∈ (0, 1], ∀n ∈ N.

Temos, ent˜ ao que, lim

n→∞

1/n = 0 6∈ (0, 1].

4. Q n˜ ao ´ e fechado. De fato, considere x

= (1 +

)

∈ Q, ∀ n ∈ N . Temos que,

n→∞

lim x

= lim

n→∞

(1 + 1

n )

= e 6∈ Q.

Teorema 1.3.6 (Subespa¸ co Completo) Um subespa¸ co M de um espa¸ co m´ etrico completo X ´ e completo (pr´ oprio) se, e s´ o se, M ´ e fechado em X.

Demonstrac ¸˜ ao:

(⇒) Seja M completo. Pelo teorema anterior, ∀ x ∈ M , ∃ (x

) ∈ M, a qual x

→ x. Pelo Teorema 1.3.4 (x

) ´ e de Cauchy, e pelo fato de M ser completo, temos que (x

) converge em M. Consequentemente, x ∈ M . Isto prova que M ´ e fechado.

(⇐) Seja M fechado e (x

) de Cauchy em M. Ent˜ ao x

→ x ∈ X, o que implica, pelo teorema anterior, em x ∈ M e x ∈ M , visto que M = M , por hip´ otese. Assim, a sequˆ encia de Cauchy (x

), arbitr´ aria, converge em M, o que prova a sua completeza.

Teorema 1.3.7 (Fun¸ c˜ ao Cont´ınua) Uma fun¸ c˜ ao T : X → Y de um espa¸ co (X, d) em (Y, d)

´ e cont´ınua em um ponto x

∈ X se, e s´ o se:

∀(x

) ⊂ X, com x

→

x

⇒ T x

→

T x

. Demonstrac ¸˜ ao:

(⇒) Seja T cont´ınua em x

. Ent˜ ao, ∀ > 0, ∃ δ > 0, tal que:

∀ x ∈ X, com d(x, x

) < δ ⇒ d(T x, T x ˜

) < . Seja x

→

x

. Ent˜ ao existe n

tal que para todo n > n

, temos:

d(x

, x

) < δ.

Consequentemente, ∀ n > n

,

d(T x ˜

, T x

) < (continuidade de T).

Por defini¸c˜ ao, isto significa que T x

→

T x

.

(⇐) Assumimos, agora, que:

x

→

x

⇒ T x

→

T x

. Provemos ent˜ ao que T ´ e cont´ınua em x

.

Suponha, por absurdo, que isto seja falso. Ent˜ ao, ∃

> 0, tal que, ∀δ > 0, existe um x 6= x

, satisfazendo:

d(x, x

) < δ, mas ˜ d(T x, T x

) ≥

.

Em particular, para cada n ∈ N , tomando δ =

, existe x

satisfazendo:

d(x

, x

) <

, mas ˜ d(T x

, T x

) ≥

.

Assim, constru´ımos x

→

x

, por´ em (T x

) n˜ ao converge para T x

. Isto contradiz o fato de T x

→

T x

.

1.4 Exemplos de Espa¸ cos M´ etricos Comple- tos

Exemplo 1.4.1 (Completeza de R

) O espa¸ co euclidiano R

´ e completo.

Demonstrac ¸˜ ao:

Lembremos que a m´ etrica euclidiana sobre R

´ e definida por:

d(x, y) =





n

X

j=1

(ξ

− η

)





1 2

=

q

(ξ

− η

)

+ · · · + (ξ

− η

)

, onde x = (ξ

) = (ξ

, · · · , ξ

) e y = (η

) = (η

, · · · , η

).

Consideremos uma sequˆ encia de Cauchy arbitr´ aria (x

) em R

, e escrevemos x

= (ξ

, · · · , ξ

). Visto que (x

) ´ e de Cauchy, temos ∀ > 0, ∃ n

, tal que:

d(x

, x

) =





n

X

j=1

ξ

− ξ





1 2

< . (m, r > n

) (1.5) Elevando a desigualdade anterior ao quadrado, obtemos ∀ m, r > n

, e j = 1, 2, · · · , n,

n

X

i=1

ξ

− ξ

<

⇒

ξ

− ξ

< .

Pois ´ e soma de termos positivos que ´ e menor que

, logo cada termo ´ e menor que

. Desta forma, para cada j fixo, temos que a sequˆ encia (ξ

, ξ

, · · ·)

´

e uma sequˆ encia de Cauchy de n´ umeros reais. Ela converge pelo Teorema 1.3.3, digamos, ξ

→ ξ

, conforme m → ∞.

Usando este limite n vezes, definimos x = (ξ

, · · · , ξ

). Ou seja, garantimos a existˆ encia dessas n coordenadas e, consequentemente, temos que x ∈ R

. De (1.5), com r → ∞, obtemos:

≥ lim

r→∞

d(x

, x

) = lim

r→∞





n

X

j=1

ξ

− ξ





1 2

=





n

X

j=1

r→∞

lim ξ

− lim

r→∞

ξ

2



1 2

=





n

X

j=1

ξ

− ξ





1 2

= d(x

, x) (m > n

).

Isto mostra que x ´ e o limite de (x

) e prova a completeza de R

, visto que (x

) ´ e uma sequˆ encia de Cauchy arbitr´ aria.

Observa¸ c˜ ao 1.4.1 (Completeza de R

) Pela equivalˆ encia das m´ etricas, R

tamb´ em ´ e completo com as m´ etricas da soma e do m´ aximo.

Exemplo 1.4.2 (Completeza do Espa¸ co de Fun¸ c˜ oes Cont´ınuas) O espa¸ co de fun¸ c˜ oes C[a,b] ´ e completo.

Demonstrac ¸˜ ao:

Seja (x

) qualquer sequˆ encia de Cauchy em C[a,b]. Ent˜ ao, dado > 0, ∃ n

, tal que ∀ m, n > n

, temos:

d(x

, x

) = max

t∈J

|x

(t) − x

(t)| < (1.6) onde J=[a,b]. Consequentemente, para todo t = t

∈ J fixo,

|x

(t

) − x

(t

)| < (m, n > n

)

Assim, temos que (x

(t

), x

(t

), · · ·) ´ e uma sequˆ encia de Cauchy de n´ umeros reais. Visto que R ´ e completo, a sequˆ encia converge, digamos, x

(t

) → x(t

), conforme m → ∞. Deste modo, pela unicidade de limite, podemos associar para cada t ∈ J um ´ unico n´ umero real x(t). Isto define uma fun¸c˜ ao x em J. Mostremos que x ∈ C[a, b] e x

→ x.

De (1.6), quando n → ∞, obtemos:

≥ lim

n→∞

d(x

, x

) = lim

n→∞

max

t∈J

|x

(t) − x

(t)|

= max

t∈J

lim

n→∞

x

(t) − lim

n→∞

x

(t)

= max

t∈J

|x

(t) − x(t)|

= d(x

, x) (m > n

).

Consequentemente, para todo t ∈ J,

|x

(t) − x(t)| ≤ , (m > n

).

Mostramos assim que (x

(t)) converge uniformemente

em J. Visto que as x

’s s˜ ao cont´ınuas em J e a convergˆ encia ´ e uniforme, temos que a fun¸c˜ ao limite x ´ e cont´ınua em J. Desta forma, x ∈ C[a,b]. Al´ em disso, x

→ x. Isto prova a completeza de C[a,b].

Exemplo 1.4.3 (Fun¸ c˜ oes Cont´ınuas) Sejam X o conjunto de todas fun¸ c˜ oes reais cont´ınuas em J=[0,1], x, y ∈ X e seja:

d(x, y) =

Z 1 0

|x(t) − y(t)| . Afirma¸ c˜ ao: Este espa¸ co n˜ ao ´ e completo.

Demonstrac ¸˜ ao:

As fun¸c˜ oes x

na figura (1.1) formam uma sequˆ encia de Cauchy, pois d(x

, x

)

´

e a ´ area do triˆ angulo na figura (1.2). De fato, para todo > 0 e ∀m, n > 1/2, com n > m, temos:

d(x

, x

) =

1

m

−

· 1 2 <

1 m

2 = 1 2m < 2

2 = . Mostremos que x

n˜ ao converge em X.

Temos que,

x

(t) =







0, se t ∈ [0,

] 1, se t ∈ [a

, 1]

,

onde a

=

+

.

4Veja Defini¸c˜ao 3.4.2 em Resultados Utilizados.

[width=]nova

Figura 1.1: Sequˆ encia x

[width=]agora

Figura 1.2: Sequˆ encias x

e x

Desta forma, para todo x ∈ X, d(x

, x) =

Z 1 0

|x

(t) − x(t)| dt

=

Z ¹

2

0

|x(t)| dt +

Z am 1 2

|x

(t) − x(t)| dt +

Z 1 am

|1 − x(t)| dt.

Visto que os integrandos de cada integral ` a direita s˜ ao n˜ ao negativos, d(x

, x) → 0, implicaria que cada integral aproximaria de zero e, pelo fato de x ser cont´ınua, ter´ıamos:

x(t) =







0, se t ∈ [0,

) 1, se t ∈ (

, 1].

Mas isto ´ e imposs´ıvel para uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Desta forma (x

) n˜ ao converge em X, isto ´ e, n˜ ao tem um limite em X.

Exemplo 1.4.4 Pelo Exemplo 1.3.1 e Teorema 1.3.6, considerando a m´ etrica

usual da reta, temos que [0,1] ´ e completo, enquanto que (0,1] e Q n˜ ao s˜ ao

completos.

Cap´ıtulo 2

O Teorema do Ponto Fixo de Banach

Neste cap´ıtulo iremos enunciar e demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, bem como algumas de suas vers˜ oes. Um dos motivos de sua importˆ ancia est´ a no fato de fornecer um m´ etodo iterativo eficiente para encontrar pontos fixos. Ressaltamos tamb´ em a importˆ ancia do Teorema (2.3.1). Nesse, a hip´ otese de contratividade ´ e enfraquecida.

Isto reflete nas aplica¸c˜ oes, pois, teoricamente, garante os mesmos resultados para um n´ umero maior de problemas.

2.1 Ponto Fixo e Contra¸ c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 2.1.1 (Ponto Fixo) Um ponto fixo de uma fun¸ c˜ ao T : X → X

´

e um x ∈ X o qual ´ e levado em si mesmo (x ´ e mantido fixo) por T, ou seja, Tx=x.

Exemplo 2.1.1 (Ponto Fixo) Consideremos as fun¸ c˜ oes T : R → R, defi-

nidas abaixo:

1. T x = x

. T tem -1, 0 e 1 como pontos fixos.

2. T x = x. T possui infinitos pontos fixos.

3. T x =

−

. T n˜ ao possui pontos fixos. De fato, do contr´ ario ter´ıamos:

T x =

−

= x

x²−2 2x

=

⇒ x

= −2, 6 ∃x ∈ R.

Defini¸ c˜ ao 2.1.2 (Contra¸ c˜ ao) Seja (X, d) um espa¸ co m´ etrico. Uma fun¸ c˜ ao T : X → X ´ e chamada uma contra¸ c˜ ao sobre X se existe um n´ umero real po- sitivo α < 1, tal que para todo x, y ∈ X, ocorrer:

d(T x, T y) ≤ αd(x, y). (2.1)

Lema 2.1.1 (Unicidade de Ponto Fixo) Num epa¸ co m´ etrico (X, d), se T : X → X ´ e uma contra¸ c˜ ao e T possui um ponto fixo, ent˜ ao esse ponto fixo

´

e ´ unico.

Demonstrac ¸˜ ao:

De fato, suponhamos que x e x

sejam pontos fixos de T. Assim, ter´ıamos, d(x, x

) = d(T x, T x

)

≤ αd(x, x

) (α < 1)

⇒ (1 − α)d(x, x

) ≤ 0

⇒ d(x, x

) = 0

⇒ x = x

.

Lema 2.1.2 (Contra¸ c˜ ao) Se T ´ e uma contra¸ c˜ ao, ent˜ ao T

(n ∈ N) tamb´ em

´

e uma contra¸ c˜ ao.

Demonstrac ¸˜ ao:

Usemos a indu¸c˜ ao sobre n. Se n=1, n˜ ao h´ a o que mostrar.

Suponhamos que a afirma¸c˜ ao seja verdadeira para r, ou seja, d(T

x, T

y) ≤ αd(x, y), com 0 < α < 1. Provemos, ent˜ ao que d(T

x, T

y) ≤ kd(x, y) para 0 < k < 1.

De fato,

d(T

x, T

y) = d(T

(T x), T

(T y))

≤ αd(T x, T y)

≤ k

αd(x, y), onde 0 < k

< 1 Assim, d(T

x, T

y) ≤ kd(x, y), onde 0 < k < 1 e k = k

α.

2.2 O Teorema do Ponto Fixo de Banach

Teorema 2.2.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Considere um espa¸ co (X, d), onde X 6= ∅. Suponha que X ´ e completo e seja T : X → X uma con- tra¸ c˜ ao sobre X. Ent˜ ao, T tem precisamente um ponto fixo.

Demonstrac ¸˜ ao:

Construiremos uma sequˆ encia (x

) e mostraremos que ela ´ e de Cauchy, assim ela convergir´ a no espa¸co completo X. Em seguida, mostraremos que seu limite x ´ e um ponto fixo de T, logo T n˜ ao possuir´ a mais pontos fixos. Esta ´ e a id´ eia da demonstra¸c˜ ao.

Escolhemos qualquer x

∈ X e definimos a sequˆ encia iterativa x

por:

x

, x

= T x

, x

= T x

= T

x

, · · · , x

= T x

= T

x

, · · · . (2.2)

Mostraremos que x

´ e de Cauchy. Por (2.1) e (2.2), temos:

d(x

, x

) = d(T x

, T x

)

≤ αd(x

, x

)

= αd(T x

, T x

)

≤ α

d(x

, x

)

· · · ≤ α

d(x

, x

)

(2.3)

Desta forma, pela desigualdade triangular e usando a f´ ormula para a soma de uma progress˜ ao geom´ etrica, obtemos para n > m,

d(x

, x

) ≤ d(x

, x

) + d(x

, x

)

≤ d(x

, x

) + d(x

, x

) + d(x

, x

)

≤ d(x

, x

) + d(x

, x

) + · · · + d(x

, x

)

≤ α

d(x

, x

) + α

d(x

, x

) + · · · + α

d(x

, x

)

= (α

+ α

+ · · · α

)d(x

, x

)

= α

d(x

, x

).

(2.4)

Por 0 < α < 1, temos 1 − α

< 1. Consequentemente, d(x

, x

) ≤ α

1 − α d(x

, x

) (n > m). (2.5) A direita , 0 ` < α < 1 e d(x

, x

) ´ e fixo, assim podemos fazer o lado direito t˜ ao pequeno quanto desejarmos, tomando m suficientemente grande e n > m.

Ou seja,

0 ≤ d(x

, x

) < α

1 − α d(x

, x

) → 0 (m, n → ∞)

⇒ d(x

, x

) → 0 (m, n → ∞).

Isto prova que (x

) ´ e de Cauchy. Como X ´ e completo, ∃ x ∈ X, tal que

x

→ x. Mostremos que este limite x ´ e um ponto fixo de T.

Pela desigualdade triangular e por (2.1), temos:

d(x, T x) ≤ d(x, x

) + d(x

, T x)

= d(x, x

) + d(T x

, T x)

≤ d(x, x

) + αd(x

, x).

Da´ı,

d(x, T x) = lim

m→∞

d(x, T x)

≤ lim

m→∞

d(x, x

) + α lim

m→∞

d(x

, x)

= 0 + 0

= 0.

Desta forma, conclu´ımos que d(x, T x) = 0, o que resulta em T x = x. A unicidade de x ´ e garantida pelo Lema 2.1.1.

Corol´ ario 2.2.1 (Repeti¸ c˜ ao, Saltos de Erros) Sob as condi¸ coes do Teo- rema (2.2.1) a sequˆ encia iterativa (2.2) com x

∈ X arbitr´ ario converge para o ´ unico ponto fixo de T. Estimativas de Erro s˜ ao a Estimativa Inicial:

d(x

, x) ≤ α

1 − α d(x

, x

) (2.6) e a estimativa posterior:

d(x

, x) ≤ α

1 − α d(x

, x

) (2.7) Demonstrac ¸˜ ao:

De fato, vimos no Teorema (2.2.1) que a sequˆ encia iterativa converge para o

´

unico ponto fixo de T, isto ´ e, x

→ x, com x

∈ X qualquer. A desigualdade (2.6) segue de (2.5), fazendo n → ∞. Obteremos, agora, (2.7). Tomemos m=1 e troquemos x

por y

e x

por y

, assim de (2.6) temos:

d(y

, x) ≤

d(y

, y

).

Fazendo y

= x

, temos y

= T y

= T x

= x

e, assim, obtemos (2.7).

O erro anterior (2.6) pode ser usado no come¸co do c´ alculo para calcular o n´ umero de passos necess´ arios para obter uma determinada precis˜ ao. (2.7) pode ser usado em fase intermedi´ aria ou no fim do c´ alculo.

Do ponto de vista da matem´ atica aplicada, a situa¸c˜ ao n˜ ao ´ e completamente satisfat´ oria, uma vez que frequentemente acontece de uma fun¸c˜ ao n˜ ao ser uma contra¸c˜ ao em todo espa¸co X, mas o ser em um subconjunto Y de X.

Por´ em, se Y ´ e fechado, ele ´ e completo pelo Teorema (1.3.6), de forma que T tem um ponto fixo x em Y e x

→ x. Assim, imporemos uma restri¸c˜ ao satisfat´ oria na escolha de x

, de forma que x

’s permane¸cam em Y.

Teorema 2.2.2 (Contra¸ c˜ ao em uma bola) Seja T uma fun¸ c˜ ao num espa¸ co m´ etrico completo X=(X,d). Suponha que T ´ e uma contra¸ c˜ ao em uma bola fechada Y={x; d(x, x

) ≤ r}, isto ´ e, T satisfaz (2.1) para todo x, y ∈ Y . Al´ em disso, assuma que:

d(x

, T x

) < (1 − α)r. (2.8) Ent˜ ao, a sequˆ encia iterativa (2.2) converge para um x ∈ Y . Este x ´ e um ponto fixo de T e ´ e ´ unico.

Demonstrac ¸˜ ao:

Temos que mostrar que, todas sequˆ encias iterativas (x

s), bem como x est˜ ao

em Y. Pondo m=0 em (2.5), trocando n por m e usando (2.8) temos:

d(x

, x

) = d(x

, x

)

≤

=

<

= r

⇒ d(x

, x

) < r.

Desta forma, todas x

’s est˜ ao em Y. Al´ em disso, x ∈ Y , visto que x

→ x e Y ´ e fechado. Pelo Teorema (1.3.6), temos que Y ´ e completo, assim x ´ e o

´

unico ponto fixo de T.

2.3 Duas Vers˜ oes Fracas do Teorema do Ponto Fixo de Banach

Nesta se¸c˜ ao tratamos de duas vers˜ oes do (T.P.F.B), uma na qual a condi¸c˜ ao de contratividade ocorre com α = 1 e outra onde T n˜ ao ´ e uma contra¸c˜ ao, por´ em alguma potˆ encia de T o ´ e.

A condi¸c˜ ao α < 1 ´ e fundamental para a demontra¸c˜ ao do (T.P.F.B) e sem ela suas conclus˜ oes podem n˜ ao ser mais v´ alidas.

Exemplo 2.3.1 (Contra¸ c˜ ao Fraca) Seja M = [1, ∞) com a m´ etrica usual d(x, y) = |x − y| e seja T : M → M dada por T x = x + x

. Ent˜ ao para todo x, y ∈ M, x 6= y, vale:

d(T x, T y) < d(x, y).

Demonstrac ¸˜ ao:

De fato, para 1 ≤ y < x, pelo Teorema Fundamental do C´ alculo (T.F.C.)

(veja Resultados Utilizados), T x − T y =

Z x y

T

(t)dt =

Z x y

1 − 1 t

dt <

Z x y

dt = x − y, pois, 1 − t

< 1, para t > 1. Assim,

|T x − T y| < |x − y|.

No exemplo acima, observe que T n˜ ao possui nenhum ponto fixo. De fato, se T x = x, ter´ıamos x + x

= x, ou seja x

= 0, o que n˜ ao ´ e poss´ıvel.

Em espa¸cos m´ etricos compactos, por´ em, a condi¸c˜ ao α < 1 pode ser en- fraquecida preservando essencialmente os mesmos resultados do (T.P.F.B).

Vejamos o seguinte teorema.

Teorema 2.3.1 (Fun¸ c˜ oes em Compactos) Seja (M,d) um espa¸ co m´ etrico.

Considere A ⊂ M compacto (na topologia induzida em M pela m´ etrica d) e seja a fun¸ c˜ ao T : A → A. Suponhamos, ainda que:

d(T x, T y) < d(x, y), ∀x, y ∈ A com x 6= y. (2.9) Ent˜ ao, T possui um ´ unico ponto fixo.

Demonstrac ¸˜ ao:

Consideremos qualquer x

∈ A. Pelo fato de A ser compacto, a sequˆ encia iterativa x

= T

(x

) tem ao menos uma subsequˆ encia convergente a um elemento x

∈ A.

Provemos que esse x

´ e um ponto fixo de T, ou seja T x

= x

. Provaremos

por absurdo. Suponhamos que T x

6= x

e mostremos que isso nos leva a