Física. Geradores não ideais Potência e rendimentos. Teoria. Potência do Gerador

Geradores não ideais – Potência e rendimentos

Objetivo

Entender como calcular potência e rendimento de baterias não ideais.

Se liga

Para compreendermos todo esse assunto tão importante na eletricidade, que tal assistir a esta aula de Geradores? Ou, caso não seja direcionado, procure na biblioteca pela aula “Geradores não-ideais”.

Teoria

Potência do Gerador

Após todo o estudo na aula anterior, podemos fazer o balanço das energias envolvidas em um receptor facilmente. Já se sabe que a energia que um receptor deve consumir de um circuito externo (denominada energia total) corresponde a toda energia consumida pelo dispositivo de f.c.e.m. (denominada energia útil, pois ela é aquela efetivamente utilizada ao usar-se um receptor) acrescida da parcela de energia perdida na resistência interna (denominada energia dissipada).

𝐞𝐧𝐞𝐫𝐠𝐢𝐚 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝐞𝐧𝐞𝐫𝐠𝐢𝐚 ú𝐭𝐢𝐥 + 𝐞𝐧𝐞𝐫𝐠𝐢𝐚 𝐝𝐢𝐬𝐬𝐢𝐩𝐚𝐝𝐚

Em circuitos elétricos, o mais comum é trabalho com potência, e não com energia; logo, podemos escrever:

𝒑𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒑𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 ú𝒕𝒊𝒍 + 𝒑𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒔𝒊𝒑𝒂𝒅𝒂

Abreviando:

Para cada uma das grandezas representadas, temos:

Dessa forma,

Desse modo, 𝑃𝑇 resulta em uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de termo quadrático é negativo.

Para determinarmos as raízes dessa equação de segundo grau, ou seja, os pontos onde essa parábola encontra o eixo das abscissas, fazemos:

𝑃_𝑈= 0 ⇒ 𝜀 ∙ 𝑖 − 𝑟 ∙ 𝑖²= 0 ⇒ 𝑖(𝜀 − 𝑟𝑖)_{= 0}

Assim, a 1ª raiz é:

𝑖 = 0 Já a 2ª raiz é dada por:

𝜀 − 𝑟𝑖 = 0

Com essas informações podemos dizer que:

• A 1ª raiz (𝑖 = 0) é, fisicamente, a situação em que o gerador está em circuito aberto; não fornece potência elétrica a qualquer elemento externo.

• A 2ª raiz (𝑖 = 𝑖_𝑐𝑐= 𝜀 𝑟⁄ ) corresponde à situação na qual o gerador está em curto circuito.

𝑃_𝑇 = 𝑃_𝑈+ 𝑃_𝐷 ou 𝑃_𝑈 = 𝑃_𝑇− 𝑃_𝐷

Potência total: 𝑃_𝑇 = 𝜀 ∙ 𝑖 Potência útil: 𝑃_𝑈= 𝑈 ∙ 𝑖 Potência dissipada: 𝑃_𝐷 = 𝑟 ∙ 𝑖²

𝑃_𝑈 = 𝜀 ∙ 𝑖 − 𝑟 ∙ 𝑖² ou

𝑈 ∙ 𝑖 = 𝜀 ∙ 𝑖 − 𝑟 ∙ 𝑖²

𝑖 = 𝑖_𝑐𝑐=𝜀 𝑟

Com esses valores das raízes, podemos construir o gráfico da potência útil (𝑃_𝑈) em função da intensidade elétrica (𝑖).

Quando 𝑖 = 0 ou quando 𝑖 = 𝑖_𝑐𝑐, a tensão elétrica nos terminais do gerador é nula e consequentemente a potência fornecida também. Da simetria do gráfico, pode-se concluir que a potência elétrica transferida atinge seu valor máximo quando a intensidade de corrente elétrica é a metade da corrente de curto-circuito:

𝑃_{𝑈𝑚𝑎𝑥}⇒ 𝑖_𝑚𝑎𝑥=𝑖_𝑐𝑐 2 =

𝜀 𝑟 2 = 𝜀

2𝑟

Portanto, verificamos a seguinte relação entre a potência máxima fornecida ao circuito e a corrente elétrica de curto-circuito:

Um gerador elétrico transfere máxima potência ao circuito externo quando percorrido por metade da corrente elétrica de curto-circuito.

Rendimento de um receptor

Já estudamos anteriormente sobre rendimento, o que torna mais simples a compreensão.

Temos que:

𝐫𝐞𝐧𝐝𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 (𝛈) = (𝐩𝐨𝐭ê𝐧𝐜𝐢𝐚 ú𝐭𝐢𝐥)/(𝐩𝐨𝐭ê𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥) Em linguagem matemática:

Podemos reescrevê-la da seguinte maneira:

𝜂 =𝑃_𝑈 𝑃_𝑇 =𝑈 ∙ 𝑖

𝜀 ∙ 𝑖 𝑖_𝑚𝑎𝑥= 𝜀

2𝑟

𝜂 =𝑃_𝑈 𝑃_𝑇

𝜂 =𝑈 𝜀

Curva característica do Gerador

Note ainda que:

tan 𝜃 = 𝜀 𝑖_𝑐𝑐= 𝑟

Exercícios de fixação

1.

Da potência recebida pelo receptor, 𝑃𝑟 , uma parcela corresponde à potência útil, 𝑃_𝑢, e a restante é dissipada na resistência interna, 𝑃_𝑑 , na forma de calor:

a) Qual o símbolo utilizado para se representar um receptor elétrico dentro de um circuito elétrico?

b) Determine uma relação para as potências elétricas (útil, recebida e dissipada) em um receptor elétrico.

2.

Um gerador funcionará em regime de potência útil máxima, quando sua resistência interna for igual:

a) à resistência equivalente do circuito que ele alimenta;

b) à metade da resistência equivalente do circuito que ele alimenta;

c) ao dobro da resistência equivalente do circuito que ele alimenta;

d) ao quádruplo da resistência equivalente do circuito que ele alimenta;

e) à quarta parte da resistência equivalente do circuito que ele alimenta.

3.

Um motor, atravessado por corrente 𝑖 = 10𝐴, transforma a potência elétrica 𝑃 = 80𝑊 em potência mecânica. A força contra-eletromotriz do motor:

a) depende da resistência interna do motor;

b) é 8,0 V;

c) depende do rendimento do motor;

d) depende da rotação do motor;

e) n.d.a.

4.

O gráfico a seguir, representa a curva característica de um gerador. Analisando as informações do gráfico, determine:

a) a resistência interna do gerador

b) a f.e.m. e a intensidade da corrente do curto-circuito do gerador.

5.

No circuito abaixo, um gerador de f.e.m. 8V, com resistência interna de 1Ω, está ligado a um resistor de 3 Ω. Determine:

a) a ddp entre os terminais A e B do gerador.

b) o rendimento do gerador.

Exercícios de vestibulares

Texto para as questões 1 e 2

Um gerador, de fem E e resistência interna 𝑟, fornece uma potência de 120 W para uma lâmpada incandescente. A potência dissipada internamente no gerador é 24 W e a corrente no circuito é 2 A.

1.

(Uepg 2016 – Adaptada) A potência total do gerador é de:

a) 112 W b) 124 W c) 144 W d) 156 W e) 164 W

2.

O rendimento do gerador vale, aproximadamente, a) 22 %

b) 36 % c) 44 % d) 68 % e) 83 %

3.

Uma bateria real está fornecendo máxima potência a um circuito externo. O rendimento da bateria, nessas condições, é:

a) 50 % b) 25 % c) 66 % d) 100 %

4.

(Ufu 2019) Um circuito, utilizando um conjunto de gerador de células fotovoltaicas e um resistor, é montado conforme mostra a Figura A. O gráfico da Figura B indica as curvas de Diferença De Potencial (DDP) em função da corrente elétrica do conjunto gerador de células fotovoltaicas e do resistor indicados na figura A.

Qual a potência que o conjunto gerador de células fotovoltaicas fornece ao resistor nas condições do circuito da Figura A?

a) 1,60 W b) 0,21 W c) 0,30 W d) 1,40 W

5.

O gráfico a seguir representa a curva de uma bateria de certa marca de automóvel.

Quando o motorista liga o carro tem-se a corrente máxima ou corrente de curto-circuito. Neste caso, a potência máxima útil desta bateria vale:

a) 210 W b) 215 W c) 220 W d) 225 W e) 230 W

6.

O gráfico a seguir representa a curva característica de um gerador, isto é, a ddp nos seus terminais em função da corrente elétrica que o percorre.

A potência máxima que esse gerador pode fornecer ao circuito externo, em watts, vale a) 400

b) 300 c) 200 d) 100 e) 50

7.

Nem toda energia transformada em energia elétrica por um gerador é fornecida ao circuito externo.

Parte da potência elétrica gerada é dissipada devido à resistência interna do gerador. Considere um gerador de f.e.m. ε e resistência interna r. A intensidade de corrente elétrica para que a potência fornecida seja máxima e o valor dessa potência máxima, são, respectivamente,

a) ε/r 2 ε²/r b) ε/2r 2 ε²/4r c) ε/r e ε²/4r d) ε²/2r 2 ε/4r e) ε²/r 2 ε/r

8.

(Ebmsp 2017) Unidades hospitalares utilizam geradores elétricos para se prevenir de interrupções no fornecimento de energia elétrica. Considerando-se um gerador elétrico de força eletromotriz 120,0 V e resistência interna 4,0 Ω que gera potência elétrica de 1.200,0 W, quando ligado a um circuito externo, é correto afirmar, com base nessas informações e nos conhecimentos de eletricidade, que

a) o gerador elétrico transforma energia elétrica em outras formas de energia.

b) a diferença de potencial elétrico entre os terminais do gerador é igual a 110,0 V.

c) a intensidade da corrente elétrica que circula através do gerador é igual a 8,0 A.

d) a potência dissipada em outras formas de energia no interior do gerador é igual a 512,0 W.

e) a potência elétrica que o gerador lança no circuito externo para alimentar as instalações é igual a 800,0 W.

9.

(Ufrrj 2007) Um estudante deseja medir a resistência interna de um gerador, cuja fem pode ser ajustada para diferentes valores. Para tanto, ele constrói um circuito com o próprio gerador – um amperímetro A e um resistor R = 18 Ω - e obtém o gráfico a seguir, relacionando a fem do gerador a corrente medida pelo amperímetro.

Com base no gráfico, a resistência interna do gerador e a potência dissipada pela resistência interna para uma fem igual a 12 V são, respectivamente:

a) 2 Ω e 0,72 W b) 2 Ω e 72 W c) 20 Ω e 72 W d) 200 Ω e 7,2 W e) 2 Ω e 720 W

10.

(Ufpr 2015 – Adaptada) A função principal de geradores elétricos é transformar em energia elétrica algum outro tipo de energia. No caso de geradores elementares de corrente contínua, cujo circuito equivalente está mostrado abaixo, onde r é a resistência interna do gerador e ε sua força eletromotriz, o comportamento característico é descrito pela conhecida equação do gerador, que fornece a diferença de potencial V em seus terminais A e B em função da corrente i fornecida por ele. Um dado gerador tem a curva característica mostrado no gráfico abaixo.

A partir do circuito e do gráfico apresentados, assinale, a alternativa correta para a potência dissipada internamente na fonte quando esta fornece uma corrente de 2,0 mA.

a) 5 µW b) 8 µW c) 10 µW d) 20 µW e) 80 µW

Sua específica é exatas e quer continuar treinando esse conteúdo?

Gabaritos

Exercícios de fixação 1. Resolvendo:

a)

b) 𝑃_𝑟= 𝑃_𝑢+ 𝑃_𝑑

2. A

Um gerador que funcione em regime de potência útil máxima possuirá uma resistência interna igual à resistência equivalente do circuito alimentado pelo gerador.

3. B

A diferença de potencial utilizável pelo receptor é a força contraeletromotriz (𝜀). Se ele consegue transformar 80 W de potência elétrica mecânica, então essa é a potência útil, que pode ser calculada pela equação:

𝑃 = 𝜀 ∙ 𝑖

De acordo com os dados fornecidos pelo exercício, ficamos com:

80 = 𝜀 ∙ 10 𝜀 = 8 𝑉 4. Resolvendo

a) A f.e.m. e a intensidade da corrente de curto-circuito do gerador:

𝜀 = 80 𝑉 e 𝑖_𝑐𝑐= 10 𝐴

b) Do gráfico temos: 𝜀 = 80 𝑉; 𝑖𝑐𝑐= 10 𝐴 Dessa forma,

𝑖_𝑐𝑐=𝜀

𝑟⇒ 10 =80

𝑟 ⇒ 𝑟 = 8 Ω 5. Resolvendo:

a) 𝑖 = 𝜀 ∑ 𝑅⁄ ⇒ 𝑖 = 8 1 + 3⁄ = 2 𝐴 b) Utilizando a equação do Gerador:

𝑈 = 𝜀 − 𝑟 ∙ 𝑖 𝑈 = 8 − 1 ∙ 2 𝑈 = 6 𝑉

Exercícios de vestibulares

1. C

Verdadeiro. A potência total é dada por:

P_t = P_u + P_d = 120 + 24

∴ P = 144 W

2. E

O rendimento é dado por:

𝛈 =

^𝐏𝐮

𝐏_𝐭

=

^𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟒𝟒

= 0,833

∴

𝛈 = 83%

3. A

Na situação de potência útil máxima, temos que:

P = ε/2r.

Então,

η = 1 – r.ε/ε.2r = 1 – ½ = ½ = 0,5 = 50 %

4. D

Do gráfico retira-se a diferença de potencial ddp (U) e a corrente de operação para o resistor ôhmico:

U = 10 V → i = 0,14 A Logo, a potência será:

P = U.i

P = 10 V . 0,14 A ∴ P = 1,40 W 5. D

Primeiro:

icc = ε/r → r = 15/60 = 0,25 Ω Segundo:

U = ε – r.i → U = 15 – (0,25).30 → U = 7,5 V Por fim:

P = iU = 30.7,5 = 225 W 6. D

No gráfico da equação do gerador, a potência máxima ocorre quando a corrente é igual à metade da corrente de curto-circuito (icc = ε/r), ou a resistência externa é igual à interna (R = r), ou a tensão nos terminais do gerador é a metade da fem do gerador (U = ε/2).

i = 10/2 = 5 A → U = 40/2 = 20 V → Pmáx. = iU = 5.20 = 100 W

7. B

A equação de um gerador de força eletromotriz 𝛆 e resistência interna r é:

U =

𝛆 –

ri

O gráfico é o segmento de reta mostrado a seguir.

A potência útil fornecida ao circuito é 𝐏_𝐔 = Ui → 𝐏_𝐔 = (

𝛆 –

ri) i → 𝐏_𝐔 =

𝛆

i - r𝐢^𝟐 As raízes dessa função são:

i = 0 e i =

𝛆/

r

O gráfico é o arco de parábola mostrado a seguir.

Do gráfico, notamos que a potência útil é máxima quando:

–

a corrente é a metade da corrente de curto-circuito: i =

𝛆

/2r;

–

a ddp (U) nos terminais do gerador é a metade da força eletromotriz: 𝐏_{𝐔𝐦á𝐱}= (

𝛆

/2) (

𝛆

/2r) → 𝐏_{𝐔𝐦á𝐱}= 𝛆^𝟐 /4r

8. E 𝐏_𝐭 =

𝛆

i 1200 = 120i i = 10 A 𝐏_𝐝 = 𝐫. 𝐢^𝟐 𝐏_𝐝 = 4 .𝟏𝟎^𝟐 𝐏_𝐝 = 400 W 𝐏_𝐮 = 𝐏_𝐭 - 𝐏_𝐝 𝐏_𝐮 = 1200 – 400 𝐏_𝐮 = 800 W 9. A

A curva característica do gráfico nos permite extrair o valor da resistência equivalente do circuito todo:

Req = U/i = 12/0,6 = 16/0,8 = 20/1,0 = 20 Ω

Como o resistor R = 18 Ω do circuito externo está em série com o resistor interno, sua resistência terá de ser 2 Ω.

Assim, a potência dissipada pelo resistor interno será de:

P = i²r = (0,6)².2 = 0,72 W

Obs.: A corrente de 0,6 A foi usada, pois o enunciado pede o valor de corrente quando U = 12 V. (gráfico).

10. A

Pelo gráfico, podemos encontrar a resistência interna do gerador (r) através da tangente do ângulo formado pela reta e pelo eixo x do gráfico.

r = tg (θ) = ¹⁰

8

r = ⁵

4Ω

Assim, quando a fonte fornecer uma corrente de 2 mA, a potência dissipada internamente será:

P = r. i² P = ⁵

4

.

(2.10⁻³)² P = 5μW