34.1 Tensores M´ etricos Riemannianos e Semi-Riemannianos

Cap´ıtulo 34

No¸c˜ oes Geom´ etricas em Variedades

Conte´ udo

34.1 Tensores M´etricos Riemannianos e Semi-Riemannianos . . . 1670

34.1.1 Transposi¸c˜ao em Rela¸c˜ao a Tensores M´etricos . . . 1679

34.2 Conex˜oes Afins . . . 1683

34.2.1 Conex˜oes Afins em Campos Vetoriais . . . 1683

34.2.1.1 Conex˜oes Afins em Campos Tensoriais . . . 1689

34.2.2 O Tensor de Tor¸c˜ao . . . 1692

34.2.3 Tipos Especiais de Conex˜oes Afins . . . 1693

34.2.3.1 Conex˜oes Sim´etricas (ou Livres de Tor¸c˜ao) . . . 1693

34.2.3.2 Conex˜oes M´etricas (ou Riemannianas) . . . 1695

34.2.3.3 Conex˜oes de Levi-Civita . . . 1701

34.2.3.4 Conex˜oes de Weyl e a Origem das Transforma¸c˜oes de Calibre . . . 1701

34.2.4 Gradiente, Divergente e Laplaciano . . . 1704

34.3 O Tensor de Curvatura . . . 1707

34.3.1 As Identidades de Bianchi e Outras Propriedades . . . 1710

34.3.2 O Tensor de Curvatura em Coordenadas Locais . . . 1712

34.3.3 A Curvatura Seccional . . . 1714

34.3.4 O Tensor de Ricci e a Curvatura Escalar . . . 1717

34.3.5 Coment´ario Sobre a Segunda Identidade de Bianchi e as Equa¸c˜oes de Einstein . . . 1720

34.4 Geod´esicas . . . 1723

34.4.1 O Lema de Gauss . . . 1728

34.4.2 Pontos Conjugados e a Equa¸c˜ao de Jacobi . . . 1731

34.4.2.1 A Equa¸c˜ao de Jacobi . . . 1732

34.4.2.2 Pontos Conjugados . . . 1734

34.5 Campos de Killing . . . 1735

34.6 A Estrutura Causal de Variedades Lorentzianas . . . 1740

34.6.1 A Identidade de Raychaudhuri . . . 1742

AP ˆENDICES . . . 1752

34.A Demonstra¸c˜ao de Algumas Propriedades do Tensor de Curvatura . . . 1752

34.A.1 Prova da Proposi¸c˜ao 34.6 . . . 1752

34.A.2 Prova da Primeira Identidade de Bianchi, Proposi¸c˜ao 34.8 . . . 1753

34.A.3 Prova da Segunda Identidade de Bianchi, Proposi¸c˜ao 34.9 . . . 1754

34.A.4 Prova da Proposi¸c˜ao 34.10 . . . 1756

34.A.5 Prova da Proposi¸c˜ao 34.11 . . . 1757

N

^estecap´ıtulo daremos continuidade ao Cap´ıtulo 33, p´agina 1604, introduzindo agora no¸c˜oes de natureza geom´etrica no estudo de variedades diferenci´aveis, no¸c˜oes tais como a de tensor m´etrico, a de tensor m´etrico Riemanniano, a de tensor m´etrico semi-Riemanniano, a de tensor m´etrico Lorentziano, a de conex˜ao afim, a de tensor de tor¸c˜ao, a de deriva¸c˜ao covariante, a de transporte paralelo, a de curva geod´esica, a de conex˜ao de Levi-Civita, a de tensor de curvatura etc. Todos esses temas fazem parte da ´area da Matem´atica denominadaGeometria Diferenciale encontram aplica¸c˜oes importantes em F´ısica naTeoria da Relatividade Geral. Uma lista de referˆencias bibliogr´aficas para os assuntos aqui discutidos encontra-se na introdu¸c˜ao ao Cap´ıtulo 33, p´agina 1604.

1669

34.1 Tensores M´ etricos Riemannianos e Semi-Riemannianos

Em tudo o que segue denotaremos porC^∞(M) o conjunto das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis com valores emRde- finidas em uma variedade diferenci´avelMe porX(M) o conjunto dos campos vetoriais reais infinitamente diferenci´aveis tamb´em definidos emM.

•Tensores M´etricos semi-Riemannianos

SejaMuma variedade diferenci´avel de dimens˜aom. Sejagum campo tensorial de tipo (0,2), ou seja, uma aplica¸c˜ao g:X(M)×X(M)→Rtal que para cadap∈Ma aplica¸c˜aoX(M)×X(M)∋(A, B)7→g(A, B)pseja bilinear, ou seja, valha

g(A, B+C)p = g(A, B)p+g(A, C)p, g(A+B, C)p = g(A, C)p+g(B, C)p,

g(aA, B)p = apg(A, B)p, g(A, bB)p = bpg(A, B)p,

para todop∈M, para todosA, B, C∈X(M) e todosa, b∈C^∞(M). Um campo tensorialgde tipo (2,0) ´e dito ser umatensor m´etrico semi-Riemanniano¹, ou umapseudom´etrica Riemannianase for sim´etrico e n˜ao-degenerado, ou seja, se

g(A, B)p = g(B, A)p

para todop∈M e para todosA, B∈X(M) (simetria) e se valer para todop∈Mque a condi¸c˜aog(A, B)p= 0 ´e v´alida para todoA∈X(M) se e somente seBfor identicamente nulo emp(n˜ao-degenerescˆencia). Suporemos tamb´em que para cada (A, B)∈X(M)×X(M) a aplica¸c˜aop7→g(A, B)pseja suficientemente diferenci´avel, eventualmente, infinitamente diferenci´avel.

Na literatura f´ısica, um tensor m´etrico ´e muito frequentemente denominadom´etrica. Essa nomenclatura n˜ao ´e muito adequada (e evitamos us´a-la sempre que poss´ıvel) por confundir-se indevidamente com a no¸c˜ao topol´ogica de m´etrica (assunto do Cap´ıtulo 24, p´agina 1245).

•Tensores m´etricos Riemannianos

Um tensor m´etrico semi-Riemannianog´e dita ser umatensor m´etrico Riemannianose for n˜ao-negativo:

g(A, A)p ≥ 0,

para todop∈M e para todoA∈X(M). Tensores m´etricos Riemannianos ocorrem naturalmente na Geometria de Superf´ıcies, da´ı sua relevˆancia.

Para n´os, tensores m´etricos Riemannianos s˜ao um caso especial de tensores m´etricos semi-Riemannianos, de modo que ao fazermos afirma¸c˜oes gerais sobre os segundos, estas valer˜ao tamb´em para as primeiros como caso particular.

Afirmamos que seg´e um tensor m´etrico Riemanniano, ent˜ao vale g(A, B)p

2

≤ g(A, A)pg(B, B)p (34.1)

para todop∈Me para todosA, B∈X(M), propriedade essa conhecida comodesigualdade de Cauchy-Schwarz. De fato, seg´e um tensor m´etrico Riemanniano, ent˜ao para todosA, B∈X(M) e todoλ∈Rvale

0 ≤ g A+λB, A+λB

p = λ²g(B, B)p+ 2λg(A, B)p+g(A, A)p. (34.2) Casog(B, B)p= 0 a express˜ao (34.2) s´o pode ser verdadeira para todoλ∈Rseg(A, B)p= 0, em cujo caso (34.1) ´e trivialmente satisfeita (ambos os lados se anulam). Casog(B, B)p>0 a express˜ao (34.2) fica

0 ≤ g(B, B)p

λ+g(A, B)p

g(B, B)p

2

+ g(A, A)p− g(A, B)p2

g(B, B)p

! ,

1Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866).

o que s´o pode ser verdadeiro para todoλ∈Rseg(A, A)p−^{(g(A, B)}g(B, B)^pp⁾²≥0, provando (34.1).

Um corol´ario evidente de (34.1) ´e queg´e um tensor m´etrico Riemanniano se e somente se valerem as seguintes condi¸c˜oes para todop∈M:

1.g´e sim´etrico:g(A, B)p=g(B, A)p,∀A, B∈X(M), 2.g´e n˜ao-negativo:g(A, A)p≥0,∀A∈X(M), 3.g(A, A)p= 0 se e somente seAp= 0.

De fato, seg´e Riemanniano 1 e 2 s˜ao satisfeitos e seg(A, A)p= 0, teremos por (34.1) queg(A, B)p= 0 para todoBp, o que implicaAp= 0 pela n˜ao-degenerescˆencia deg. Por outro lado, se valerem as condi¸c˜oes 1, 2 e 3 eg(A, B)p= 0 para todoBp, tem-se, em particular, queg(A, A)p= 0, o que implicaAp= 0 pela condi¸c˜ao 3, acima.

•Tensores m´etricos semi-Riemannianos e formas bilineares

Seg´e um tensor m´etrico semi-Riemanniano, ent˜ao para cadap∈M temos definida uma forma bilinear sim´etrica e n˜ao-degenerada emTpMporTpM×TpM∋(A, B)7→g(A, B)p∈RReciprocamente, uma forma bilinear sim´etrica e n˜ao-degenerada definida em cadaTpM(e que seja tamb´em diferenci´avel) define um tensor m´etrico semi-Riemanniano.

No caso degser um tensor m´etrico Riemanniano a forma bilinear sim´etrica e n˜ao-degeneradag(A, B)p´e tamb´em positiva e, portanto, define um produto escalar (ou produto interno) emTpM. Um tensor m´etrico Riemanniano emM, portanto, coincide com um produto escalar definido em cada espa¸co tangenteTpM(e que seja tamb´em diferenci´avel).

•Representa¸c˜ao em coordenadas locais

Em uma carta local de coordenadas (que denotamos por (x¹, . . . , x^m)) podemos escrever um vetorA∈TpMcomo (omitiremos a dependˆencia com o pontoppara n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao)Ap =A^{i ∂}_∂xi. Assim, seg´e um tensor m´etrico semi-Riemanniana, teremos

g(A, B) = g

Aⁱ ∂

∂xⁱ, B^j ∂

∂x^j

= g ∂

∂xⁱ, ∂

∂x^j

AⁱB^j = gijAⁱB^j, onde

gij := g ∂

∂xⁱ, ∂

∂x^j

s˜ao as componentes (covariantes) do tensor m´etrico semi-Riemannianogna base _∂

∂x¹, . . . ,_∂x^∂m deTpMdefinida pelas coordenadas locais em quest˜ao. A condi¸c˜ao de simetria implica quegij=gjipara todos os ´ındicesi, j∈ {1, . . . , m}.

Assim, o tensor m´etrico semi-Riemannianogpossuim(m+ 1)/2 componentes independentes.

Alternativamente, podemos escrever

g = gijdxⁱ⊗dx^j, com o que teremos tamb´em opareamento²

g, A⊗B

=

gijdxⁱ⊗dx^j,

A^k ∂

∂x^k

⊗

B^l ∂

∂x^l

= gijA^kB^l

dxⁱ⊗dx^j, ∂

∂x^k⊗ ∂

∂x^l

= gijA^kB^l

dxⁱ, ∂

∂x^k

| {z }

=δⁱ_k

dx^j, ∂

∂x^l

| {z }

=δ^j_l

= gijAⁱB^j = g(A, B),

como esperado.

2Sobre a nomenclatura. SejaVum espa¸co vetorial e sejaV^′seu dual. Sejav^′∈V^′. A fun¸c˜aoV∋v7→v^′(v) ´e muitas vezes denotada por hv^′, vi. Parav∈Vev^′∈V^′a express˜aohv^′, vi´e denominadapareamentoev^′ev, em uma tradu¸c˜ao do inglˆespairing.

•Transforma¸c˜ao das componentes de um tensor m´etrico por mudan¸cas de sistemas de coordenadas Em um sistema de coordenadas (x^′1, . . . , x^′m), para o qual teremos a base no espa¸co tangenteTpM dada por ∂

∂x′1, . . . , _∂x^∂′m com_∂x^∂′a=_∂x^∂x′a^b

∂

∂x^b (vide (33.16)), as componentes degser˜ao g^′ij := g

∂

∂x^′i, ∂

∂x^′j

= g ∂x^k

∂x^′i

∂

∂x^k, ∂x^l

∂x^′j

∂

∂x^l

= ∂x^k

∂x^′i

∂x^l

∂x^′j g ∂

∂x^k, ∂

∂x^l

= ∂x^k

∂x^′i

∂x^l

∂x^′jgkl. Assim,

g = gijdxⁱ⊗dx^j = gij^′dx^′i⊗dx^′j, com

g^′ij = ∂x^k

∂x^′i

∂x^l

∂x^′jgkl. (34.3)

A express˜ao (34.3) mostra como obter as componentes degno sistema de coordenadas (x^′1, . . . , x^′m) a partir das componentes degno sistema de coordenadas (x¹, . . . , x^m).

•Tensores m´etricos Riemannianas. O exemplo de superf´ıcies regulares

Vamos discutir um exemplo importante (tamb´em historicamente) de tensores m´etricos Riemannianos, a saber, aquelas definidas sobre superf´ıcies regulares deRⁿ. Por conveniˆencia, absteremo-nos na discuss˜ao deste exemplo de usar a conven¸c˜ao de soma de Einstein.

SejaSuma superf´ıcie regular de dimens˜aomemRⁿ(comm≤n) e sejap∈S. Na vizinhan¸ca depa superf´ıcie S´e descrita pornfun¸c˜oes diferenci´aveisy¹x¹, . . . , x^m

, . . . , yⁿ x¹, . . . , x^m

definidas em algum abertoOdeR^m. Denotaremos por x¹p, . . . , x^mp

as coordenadas emOcorrespondentes ao pontop. A aplica¸c˜ao diferencial











∂y¹

∂x¹ · · · ∂x^∂ym1

... . .. ...

∂yⁿ

∂x¹ · · · ∂x^∂ynm











(34.4)

´e injetora em todoO. Sef:Rⁿ→R´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel em uma vizinhan¸ca suficientemente pequena dep, sua res- tri¸c˜ao aSpode ser expressa como uma fun¸c˜ao das coordenadasx¹, . . . , x^m:f

y¹ x¹, . . . , x^m

, . . . , yⁿx¹, . . . , x^m . Se considerarmos uma curva diferenci´avelx¹(t), . . . , x^m(t) emOque passe porpemt= 0 teremos para a fun¸c˜aof a express˜aoF(t)≡f

y¹ x¹(t), . . . , x^m(t)

, . . . , yⁿx¹(t), . . . , x^m(t)

quando restrita `a imagem dessa curva emS. Assim, pela regra da cadeia,

dF dt(0) =

Xn a=1

Xm b=1

∂f

∂y^a

∂y^a

∂x^bx˙^b(0) ,

sendo as derivadas parciais calculadas emp. Considerando-se curvas como x¹p, . . . , x^jp+t, . . . , xⁿp

vemos que

∂

∂x^j _p =

Xn a=1

∂y^a

∂x^j

∂

∂y^a.

Os vetores_∂y^∂a,a= 1, . . . , ncomp˜oem uma base de coordenadas Cartesianas doespa¸co ambienteRⁿ. Assim, a ´ultima express˜ao mostra-nos como os vetores _∂x^∂j

_p,j= 1, . . . , m, do espa¸co tangente s˜ao expressos em termos dos vetores da base Cartesiana deR^m. L´a vemos que as componentes de_∂x^∂j

_pnessa base s˜ao dadas por^∂y_∂x^aj,a= 1, . . . , n.

No espa¸co ambiente existe um produto escalar natural definido entre os vetores: o produto escalar Euclidiano usual, dado por

*_n X

a=1

A^a ∂

∂y^a, Xn b=1

B^b ∂

∂y^b +

Rn

= Xn a=1

A^aB^a.

Segundo esse produto escalar, temos

* ∂

∂xⁱ _p, ∂

∂x^j _p

+

Rn

= Xn a=1

∂y^a

∂xⁱ

∂y^a

∂x^j ,

para todosi, j∈ {1, . . . , m}. Trata-se de um produto escalar restrito ao espa¸co tangenteTpS, o plano tangente aSem p. Portanto, esse produto escalar define um tensor m´etrico Riemanniano com componentes

gij ≡ g ∂

∂xⁱ _p, ∂

∂x^j _p

! :=

* ∂

∂xⁱ _p, ∂

∂x^j _p

+

Rn

, sendoi, j∈ {1, . . . , m}, ou seja,

gij = Xn a=1

∂y^a

∂xⁱ

∂y^a

∂x^j .

Quegdefine um produto escalar (forma bilinear, sim´etrica, positiva e n˜ao-degenerada) emTpS, segue das propriedades correspondentes do produto escalar do Euclidiano no espa¸co ambiente e da injetividade de (34.4).

Esse tensor m´etrico ´e denominadotensor m´etrico naturaldefinido na superf´ıcie regularS. Trata-se do tensor m´etrico induzido emSpelo produto escalar Euclidiano usual do espa¸co ambienteRⁿondeSest´a mergulhada.

•Signatura de tensores m´etricos semi-Riemannianos Retornemos agora `a discuss˜ao geral.

Considerando as matrizesGeG^′, com elementos de matriz (G)ij = gij e (G^′)ij =gij^′, respectivamente, (34.3) indica-nos que, por transforma¸c˜oes de coordenadas,GeG^′relacionam-se por

G^′ = P^TGP , (34.5)

ondeP´e a matriz com elementos de matrizPab=^∂x_∂x′b^a. Assim,G´e levada emG^′por um transforma¸c˜ao de congruˆencia (para a defini¸c˜ao, vide p´agina 516).

A condi¸c˜ao de simetria sobre um tensor m´etrico semi-Riemannianoggarante tamb´em que a matrizGpossui auto- valores reais e garante a possibilidade de diagonaliz´a-la em um pontoq∈M, ou seja, paraq∈Mexiste uma base em TqMtal que a matrizGqassume uma forma diagonal³. Comog´e n˜ao-degenerada,Gn˜ao pode conter 0 como autovalor (justifique!).

Pela Lei da In´ercia de Sylvester, Teorema 10.18, p´agina 517, transforma¸c˜oes de congruˆencia, ainda que possam alterar os autovalores deG, preservam o n´umero de autovalores positivos, o n´umero de autovalores negativos e o n´umero de autovalores nulos (sempre contando a degenerescˆencia dos autovalores). Assim, como n˜ao ocorre o autovalor nulo, o n´umero de autovalores positivos e o n´umero de autovalores negativos s˜ao uma caracter´ıstica de g, ou seja, n˜ao s˜ao alterados por mudan¸cas de coordenadas.

O par (p, n), ondep´e o n´umero de autovalores positivos degen´e o n´umero de autovalores negativos deg(sempre contando a degenerescˆencia dos autovalores) ´e denominadosignaturado tensor m´etricoge ´e, portanto, um invariante por mudan¸cas de sistemas de coordenadas.

Da imposi¸c˜ao queg´e n˜ao-degenerada em toda a variedadeMobt´em-se tamb´em que a signatura deg´e constante em todaMpois, se assim n˜ao fosse, um dos autovalores teria de trocar de sinal, anulando-se, portanto, em algum ponto, devido `a continuidade deg, o que violaria a condi¸c˜ao de n˜ao-degenerescˆencia.

O estudante h´a de perceber tamb´em que se trocarmos uma tensor m´etrico semi-Riemannianogpor−ga signatura muda de (p, n) para (n, p).

Muitas vezes a signatura (p, n) de um tensor m´etrico semi-Riemannianog´e denotada por umam-upla depsinais

“+” ensinais “−”:

+, . . . ,+

| {z }

pvezes

,−, . . . ,−

| {z }

nvezes

.

3Note-se que pode n˜ao ser poss´ıvel diagonalizar cadaGqsimultaneamente para todoq∈Mde modo cont´ınuo.

•Forma diagonal canˆonica

Sejagum tensor m´etrico semi-Riemanniano com signatura (p, n). Em um ponto espec´ıficoq´e sempre poss´ıvel encon- trar um sistema de coordenadas no qual a matrizGqassume a forma diagonal

+, . . . ,+

| {z }

pvezes

,−, . . . ,−

| {z }

nvezes

. De fato, como co- mentamos, podemos escolher uma base na qualGqassume a forma diagonalgp= diag d1, . . . , dp,−dp+1, . . . ,−dp+n , comdk>0 para todok. Reescalonando-se as coordenadasx^kna formax^k→√

dkx^k,Gqassume a forma desejada, que denominamosforma diagonal canˆonicado tensor m´etrico semi-Riemanniano no pontoq. Como antes lembramos que em geral s´o ´e poss´ıvel reduzir um tensor m´etrico `a sua forma canˆonica em um ponto isolado, nem sempre sendo poss´ıvel igualmente fazˆe-lo em uma vizinhan¸ca desse ponto.

•Tensores m´etricos Lorentzianas

E muito f´´ acil perceber que um tensor m´etrico ´e Riemanniano se e somente se possuir signatura (+, . . . ,+).

Al´em de tensores m´etricos com tal signatura, importantes nas Geometrias Riemannianas, h´a tamb´em um interesse especial por tensores m´etricos com signatura (+,−, . . . ,−) (ou (−,+, . . . ,+), dependendo da conven¸c˜ao), pois s˜ao tais tensores m´etricos que ocorrem na descri¸c˜ao do espa¸co-tempo na Teoria da Relatividade Geral. Tensores m´etricos com signatura (+,−, . . . ,−) (ou (−,+, . . . ,+)), s˜ao denominadastensores m´etricos Lorentzianos⁴.

Nestas notas adotaremos a conven¸c˜ao (dita “da maioria”) de considerar tensores m´etricos Lorentzianos sempre com signatura (+,−, . . . ,−). O leitor seja, por´em, advertido de que tal conven¸c˜ao n˜ao ´e universal em textos de F´ısica, onde por vezes adota-se a conven¸c˜ao (−, +, . . . , +). A conven¸c˜ao (+,−, . . . , −) ´e mais comum na F´ısica das Part´ıculas Elementares e na Teoria Quˆantica de Campos, enquanto que a conven¸c˜ao (−, +, . . . ,+) ´e mais comum na Teoria da Relatividade Geral.

•Variedades semi-Riemannianas, Riemannianas e Lorentzianas

Uma variedade diferenci´avelMdotada de um tensor m´etrico semi-Riemanniano (Riemanniano, Lorentziana)g´e dita ser umavariedade semi-Riemanniana(Riemanniana,Lorentziana, respectivamente).

Variedades semi-Riemannianas (tais como variedades Riemannianas ou Lorentzianas) ser˜ao frequentemente denotadas por um par (M, g), comMsendo a variedade egsendo o tensor m´etrico semi-Riemanniano considerada emM.

Uma quest˜ao matematicamente importante ´e saber se uma variedade diferenci´avelM dada admite algum tensor m´etrico semi-Riemanniano com uma dada signatura. Como veremos logo abaixo, toda variedade diferenci´avel admite um tensor m´etrico Riemanniano, mas para tensores m´etricos Lorentzianos a situa¸c˜ao ´e mais restritiva: para que uma variedade diferenci´avelMadmita um tensor m´etrico Lorentziano ´e necess´aria e suficiente ou queMseja n˜ao-compacta ou queM seja compacta, mas tenha caracter´ıstica de Euler nula (a esferaS², por exemplo, n˜ao admite nenhum tensor m´etrico Lorentziano, por ter caracter´ıstica de Euler igual a 2). Como veremos, toda variedade Lorentziana compacta possui curvas tipo-tempo fechadas. Como essa ´e uma caracter´ıstica indesejada de modelos f´ısicos do espa¸co-tempo (por ser o princ´ıpio de causalidade violado), variedades compactas s˜ao frequentemente desconsideradas.

•Existˆencia de tensores m´etricos Riemannianos

Proposi¸c˜ao 34.1Toda variedade diferenci´avelMadmite ao menos um tensor m´etrico Riemanniano. 2

Prova. Sejama dimens˜ao de M eA = {(Aλ, hλ), λ∈ Λ} um atlas infinitamente diferenci´avel emM. Sejam (x¹_λ, . . . , x^m_λ) as coordenadas com que s˜ao descritos os pontos do aberto Aλ ⊂ M, de modo que para cadap ∈ Aλtenhamos emTpM uma base

∂

∂x¹_λ

_p, . . . , _∂x^∂m λ

_p

. ParaA=Aⁱ_∂x^∂i λ

_peB=Bⁱ_∂x^∂i λ

_pdefinamos nessa base g^λp(A, B) :=δijAⁱB^j, ou seja, (g^λp)ij=δij. ´E bastante claro queg^λ´e infinitamente diferenci´avel e define um tensor m´etrico Riemanniano emAλ. Com isso, temos um tensor m´etrico Riemanniano definida em cada carta localAλdo atlas Ae, com isso, podemos evocar a Proposi¸c˜ao 33.5, p´agina 1618, e definir um tensor m´etricogem todaMpor

g(A, B)p = X

a∈N

Pa(p)gp^λa(A, B), (34.6)

4Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928).

onde as fun¸c˜oesPacomp˜oem uma parti¸c˜ao da unidade infinitamente diferenci´avel emMsubordinada ao recobrimento A. ´E elementar constatar queg´e tamb´em um tensor m´etrico Riemanniano, por ser diferenci´avel e por valerg(A, A)≥0, sendog(A, A) = 0 se e somente seA= 0.

•Condi¸c˜oes para a existˆencia de tensores m´etricos Lorentzianos

A Proposi¸c˜ao 34.1 n˜ao pode ser estendida de modo a incluir tensores m´etricos semi-Riemannianos ou Lorentzianos.

Ainda que seja sempre poss´ıvel definir tensores m´etricos Lorentzianos em cartas locais (adotando-se, por exemplo, (gp^λ)ij= ηij, comηsendo o tensor m´etrico de Minkowski), a extens˜ao (34.6) n˜ao fornece necessariamente um tensor m´etrico Lorentziano (n˜ao ´e garantido que se obtenha uma forma n˜ao-degenerada nem que se obtenha a signatura desejada). A proposi¸c˜ao que segue fornece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que uma variedade admita um tensor m´etrico Lorentziano.

Proposi¸c˜ao 34.2SejaMuma variedade diferenci´avel. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para queM admita um tensor m´etrico Lorentziano ´e que exista um campo vetorialV∈X(M)com a propriedade de nunca se anular emM, ou seja,Vp6= 0para todop∈M.

Assim, uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para queM admita um tensor m´etrico Lorentziano ´e que ouM seja

n˜ao-compacta ou seja compacta mas possua caracter´ıstica de Euler nula. 2

Prova. Sejagalgum tensor m´etrico Riemanniano emM(que ao menos uma exista ´e garantido pela Proposi¸c˜ao 34.1).

Vamos supor que exista um campo vetorialV ∈X(M) que nunca se anula emM. Pela hip´oteseg(V, V)p6= 0 para todop∈M. Defina-se

h(A, B) := 2g(A, V)g(B, V)−g(A, B)g(V, V)

g(V, V)2 . (34.7)

Vamos provar queh´e um tensor m´etrico Lorentziano emM. Em primeiro lugar,h´e evidentemente sim´etrica. Em segundo lugar,h´e diferenci´avel, poisg(V, V)p6= 0 para todop∈Me pois todos os demais ingredientes em (34.7) o s˜ao.

Em terceiro lugar,h´e n˜ao-degenerada, o que se prova pelo seguinte racioc´ınio: seAfor tal queh(A, B) = 0 para todo B, teremos paraB=V queg(A, V) = 2g(A, V), o que implicag(A, V) = 0. Assim,h(A, B) =−g(A, B)/g(V, V) para todoBe, portanto, seh(A, B) = 0 para todoB, teremosg(A, B) = 0 para todoB. Como o tensor m´etrico Riemannianog´e n˜ao-degenerado, isso implica queA= 0, provando queh´e n˜ao-degenerado.

E f´´ acil constatar agora queh(V, V) = 1. Ao mesmo tempo, seW ´e tal queg(W, V)p= 0 comg(W, W)p>0, teremosh(W, V)p= 0 eh(W, W)p=−g(W, W)p/g(V, V)p<0. Disso conclui-se facilmente (exerc´ıcio!) quehtem a signatura de um tensor m´etrico Lorentziana.

A demonstra¸c˜ao da rec´ıproca ´e mais complexa e pode ser encontrada em e.g. [298].

Vimos que uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para queMadmita uma tensor m´etrico Lorentziano ´e queMadmita um campo vetorial que n˜ao se anule em parte alguma emM. Por teoremas bem-conhecidos da Topologia Alg´ebrica, isso ocorrer´a se e somente seMfor n˜ao-compacta ou se for compacta, mas possuir caracter´ıstica de Euler nula.

•Alguns coment´arios sobre nota¸c˜ao e nomenclatura

Fa¸camos alguns coment´arios e advertˆencias gerais antes de prosseguirmos. Em primeiro lugar, o estudante principiante n˜ao deve confundir a no¸c˜ao de tensor m´etrico, introduzida acima com a de m´etrica no sentido usado em Topologia (uma no¸c˜ao de distˆancia entre elementos de um conjunto, vide Cap´ıtulo 24, p´agina 1245). Com um tensor m´etrico Riemanniano

´e poss´ıvel definir-se uma no¸c˜ao de comprimento de curvas e, com isso, uma m´etrica no sentido topol´ogico, mas as duas no¸c˜oes n˜ao podem ser confundidas.

Comentamos tamb´em que alguns textos usam uma nota¸c˜ao do tipo produto escalar A, Bg

para designarg(A, B).

Observe-se o sup-´ındicegem A, Bg

. N˜ao empregaremos essa nota¸c˜ao para evitar confus˜oes com o pareamento V^′, V

, ondeV ´e um elemento de um espa¸co vetorial eV^′de seu dual.

Alertamos o estudante para o seguinte ponto de nomenclatura. Tensores m´etricos Lorentzianos foram no passado denominadasm´etricas pseudo-Riemannianas(especialmente em livros de Relatividade Geral). Hoje em dia, em textos matem´aticos, a express˜ao “m´etrica pseudo-Riemanniana” ´e sinˆonimo de “m´etrica semi-Riemanniana” no sentido que

usamos `a p´agina 1670. Em verdade, a express˜ao “m´etrica pseudo-Riemanniana”, em qualquer sentido, tende lentamente ao desuso (talvez devido a um efeito psicol´ogico nocivo no prefixo “pseudo”). As express˜oes “m´etrica Riemanniana” e

“m´etrica Lorentziana”, como n˜ao ´e raro de acontecer nas Ciˆencias, n˜ao fazem justi¸ca aos seus verdadeiros introdutores:

Gauss⁵e Minkowski⁶, respectivamente.

•Tensores m´etricos semi-Riemannianos e medida de integra¸c˜ao invariante em variedades

Vamos aproveitar o ensejo para introduzir uma medida de integra¸c˜ao invariante (por difeomorfismos que preservam orienta¸c˜ao) em variedades. Essa breve exposi¸c˜ao ´e um tanto informal e pode ser apresentada de forma muito mais geral e elegante quando discutirmos propriedades de formas diferenciais.

Sejagum tensor m´etrico Riemanniano e sejamGeG^′(com (G)ij=gije (G^′)ij=g^′ij) as representa¸c˜oes matriciais de suas componentes dois sistemas local de coordenadas (x¹, . . . , x^m) e (x^′1, . . . , x^′m), respectivamente. Como j´a comentamos em (34.3) indica-nos queGeG^′relacionam-se porG^′ = P^TGP, ondeP´e a matriz com elementos de matrizPab=_∂x^∂x′b^a. Se denotarmos porgeg^′os determinantes deGeG^′, respectivamente, segue disso que

g^′ = J²g, (34.8)

ondeJ:= det(P) ´e o Jacobiano da matriz de mudan¸ca de coordenadasP.

Assim, se a mudan¸ca de coordenadas (x¹, . . . , x^m) e (x^′1, . . . , x^′m) possui Jacobiano positivo, segue que qg^′

dx^′1· · ·dx^′m = q g

dx¹ · · ·dx^m, poisdx¹ · · ·dx^m=Jdx^′1 · · ·dx^′m. Vemos com isso que

qg

dx¹ · · ·dx^m (34.9)

provˆe uma medida de integra¸c˜ao invariante por mudan¸cas locais de coordenadas em uma variedade semi-Riemanniana orient´avel.

•A “inversa” do tensor m´etrico

A condi¸c˜ao de n˜ao-degenerescˆencia do tensor m´etrico implica que, em uma carta local de coordenadas (x¹, . . . , x^m), a matrizGintroduzida `a p´agina 1673, com elementosgij, possui uma inversa. Os elementos de matriz dessa inversaG⁻¹ s˜ao denotados porg^ij, com ´ındices superiores. Como veremos, essa distin¸c˜ao notacional de ´ındices superiores e inferiores, ainda que n˜ao possua nenhum significado profundo em si, ´e muito conveniente. Observe-se que comoG´e uma matriz sim´etrica,G⁻¹tamb´em o ´e e vale a rela¸c˜ao simetriag^ij=g^jipara todos os ´ındicesi,j.

Naturalmente,G⁻¹G=1eGG⁻¹=1, o que se escreve na forma

g^ijgjk = δⁱk e gijg^jk = δi^k. (34.10)

Por uma mudan¸ca de sistema de coordenadasGtransforma-se segundo (34.5). Logo,G⁻¹transforma-se comoG^′−1= P⁻¹G⁻¹ P⁻¹T

. Os elementos de matriz dePs˜aoPab= ^∂x_∂x′b^a e os elementos de matriz deP⁻¹s˜ao (P⁻¹)ab= ^∂x_∂x^′ab

(verifique!). Logo, a transforma¸c˜ao dos elementosg^ij´e g^′ij = ∂x^′i

∂x^k

∂x^′j

∂x^lg^kl. (34.11)

E. 34.1Exerc´ıcio. Verifique isso e constate que essa express˜ao respeita as rela¸c˜oes (34.10), como esperado. 6

Com os elementosg^ij´e poss´ıvel definir um tensorg^♯:X^∗(M)×X^∗(M)→R, de tipo (0,2), definido em uma carta local por

g^♯ Aidxⁱ, Bjdx^j

= g^ijAiBj, (34.12)

ou seja,

g^♯ = g^ij ∂

∂xⁱ⊗ ∂

∂x^j. (34.13)

5Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855).

6Hermann Minkowski (1864–1909).

Observe-se que

g^♯ dxⁱ, dx^j

= g^ij. (34.14)

E importante notar que as express˜oes (34.12) e (34.13) s˜ao invariantes por mudan¸cas de sistemas de coordenadas. ´´ E suficiente provar essa afirma¸c˜ao para (34.13). De fato,

g^′♯ = g^′ij ∂

∂x^′i⊗ ∂

∂x^′j

(34.11)e(33.16)

= ∂x^′i

∂x^k

∂x^′j

∂x^lg^kl ∂x^a

∂x^′i

∂

∂x^a

⊗ ∂x^b

∂x^′j

∂

∂x^b

= ∂x^′i

∂x^k

∂x^a

∂x^′i

| {z }

=δ^a_k

∂x^′j

∂x^l

∂x^b

∂x^′j

| {z }

=δ^b_l

g^kl ∂

∂x^a⊗ ∂

∂x^b = g^kl ∂

∂x^k⊗ ∂

∂x^l = g^♯,

como quer´ıamos mostrar. Isso prova queg^♯tem uma existˆencia intr´ınseca, independente do sistema de coordenadas adotado.

Agora, um pouco da nomenclatura adotada em textos de F´ısica. As componentes deg^♯ em uma carta local de coordenadas s˜ao (por defini¸c˜ao)g^ije s˜ao denominadascomponentes contravariantes do tensor m´etrico. As componentes gij do tensor m´etrico s˜ao tamb´em denominadascomponentes covariantes do tensor m´etrico. O tensor g´e tamb´em denominadotensor m´etrico covariantee o tensorg^♯´e tamb´em denominadotensor m´etrico contravariante.

•Elevando e abaixando ´ındices

Por uma quest˜ao de simetria, vamos aqui denotar o tensor m´etricogporg♯. Temos, portanto, em uma carta local, g♯ = gijdxⁱ⊗dx^j e g^♯ = g^ij ∂

∂xⁱ⊗ ∂

∂x^j.

O tensorg♯ permite definir uma aplica¸c˜ao linear deX(M) em X^∗(M) que denotamos porg♯. Definimos essa aplica¸c˜ao linearg♯:X(M)→X^∗(M) como sendo a aplica¸c˜ao linear que a cadaA∈X(M) associa um elemento A♯≡g♯(A)∈X^∗(M) de forma que

A♯, B

= g♯(A, B) (34.15)

seja v´alida para todoB∈X(M). Em componentes de uma carta local, escrevendoA=A^{i ∂}_∂xi,B=B^{j ∂}_∂xj eA♯= (A♯)kdx^k, (34.15) fica (A♯)jB^j = gijAⁱB^j, mostrando que (A♯)j=gijAⁱ.

Em resumo,

g♯

Aⁱ ∂

∂xⁱ

= gijAⁱdx^j. (34.16)

E tamb´em interessante observar que, seguindo as defini¸c˜´ oes acima, ∂

∂xⁱ

♯

= g♯

∂

∂xⁱ

= gijdx^j. (34.17)

Verifique!

H´a uma constru¸c˜ao an´aloga envolvendo o tensorg^♯. O tensorg^♯permite definir uma aplica¸c˜ao linearg^♯:X^∗(M)→ X(M) como sendo a aplica¸c˜ao linear que a cadaB∈X^∗(M) associa um elementoB^♯≡g^♯(B)∈X(M) de forma que

A, B^♯

= g^♯(A, B) (34.18)

seja v´alida para todo A∈ X^∗(M). Em componentes de uma carta local, escrevendoA= Aidxⁱ,B = Bjdx^j e B^♯= (B^♯)^{k ∂}_∂xk, (34.18) ficaAi(B^♯)ⁱ = g^ijAiBj, mostrando que (B^♯)ⁱ=g^ijBj.

Em resumo,

g^♯Bidxⁱ

= g^ijBi ∂

∂x^j . (34.19)

E tamb´em interessante observar que, seguindo as defini¸c˜´ oes acima, dxⁱ♯

= g^♯dxⁱ

= g^ij ∂

∂x^j . (34.20)

Verifique!

Como ´e de se esperar, as aplica¸c˜oesg^♯eg♯s˜ao a inversa uma da outra. Isso ´e mais facilmente constatado em uma base de coordenadas. De fato, para todoitem-se

g♯

g^♯ dxⁱ (34.20)

= g^ijg♯

∂

∂x^j (34.17)

= g^ijgjk

| {z }

=δ_kⁱ

dx^k = dxⁱ,

o que, devido `a linearidade deg^♯eg♯, implicag♯◦g^♯=id^X∗(M). De maneira totalmente an´aloga demonstra-se que g^♯◦g♯=id^X(M). Em fun¸c˜ao disso, (34.15) e (34.18) implicam tamb´em

A, B

= g♯A^♯, B

= g^♯A, B♯

, (34.21)

para todosA∈X^∗(M) eB∈X(M).

Como vimos acima, a aplica¸c˜ao que leva um vetorAao covetorA♯corresponde, no que concerne `as suas componentes em uma base de coordenadas, a transformar as componentesA<sup>i</sup>nas componentes (A♯)j =gijA<sup>i</sup>. Analogamente, a aplica¸c˜ao que leva um covetorBao vetorB<sup>♯</sup>corresponde, no que concerne `as suas componentes em uma base de coorde- nadas, a transformar as componentesBjnas componentes (B^♯)ⁱ=g^ijBj. Uma nota¸c˜ao muito mais pr´atica, encontrada ami´ude em livros sobre a Teoria da Relatividade Geral, omite o s´ımbolo♯das componentes dos vetores e dos covetores e permite escrever as componentes deA♯eB^♯comoAj=gijAⁱeBⁱ=g^ijBj, respectivamente. Assim, de um ponto de vista notacional, no que concerne `as componentes, a passagem deAaA♯e deBaB^♯consiste em abaixar e, respecti- vamente, elevar seus ´ındices, transforma¸c˜oes essas definidas pelas contra¸c˜oesAj=gijAⁱeBⁱ=g^ijBj, respectivamente, com as componentes dos tensoresg♯eg^♯, respectivamente. Essas opera¸c˜oes s˜ao inversas uma da outra, como j´a comen- tamos. Componentes de vetores, com ´ındices em cima, s˜ao frequentemente denominadascomponentes contravariantese componentes de covetores, com ´ındices em baixo, s˜ao frequentemente denominadascomponentes covariantes.

Como tensores s˜ao elementos de produtos tensoriais dos espa¸cosX(M) eX^∗(M), as aplica¸c˜oesg♯eg^♯estendem-se tamb´em a tensores de maneira ´obvia, permitindo, analogamente, definir as opera¸c˜oes de elevar e abaixar ´ındices tensoriais.

•Bases emTpM e bases duais emT^∗_pM

Tomemos{e1, . . . ,em}, uma base de vetores emTpM, e{e¹, . . . ,e^m}, sua base dual de covetores emT^∗pM, de sorte que para o pareamento deeⁱeej, valhaheⁱ,ejip=δjⁱ. Como em (33.18) e (33.21), escrevemos

ek = Ek^l

∂

∂x^l

_p e e^k = E^kl dx^l

_p. (34.22)

Sejam tamb´em o conjunto de vetores{e^1♯, . . . , e^m♯}emTpM e o conjunto de covetores{e1♯, . . . , em♯}emT^∗pM definidos por

e^k♯ := g^♯ e^k

e ek♯ := g♯(ek), (34.23)

k= 1, . . . , m. ´E f´acil constatar, pela invertibilidade deg♯eg^♯que{e^1♯, . . . , e^m♯}comp˜oe uma base emTpMe que {e1♯, . . . ,em♯}comp˜oe uma base emT^∗_pM. Por defini¸c˜ao, teremos

g e^i♯,ej

p =

eⁱ,ej

p = δⁱj e g

eⁱ,e_{j ♯}

p =

eⁱ,ej

p = δⁱj. (34.24) Verifique! Teremos tamb´emD

e_{j ♯},e^i♯E

p (34.15)

= g♯

ej,e^i♯

p=g e^i♯,ej

p (34.24)

=

eⁱ,ej

p=δjⁱe, portanto, De_{j ♯}, e^i♯E

p = δⁱj. (34.25)

Isso estabeleceu que a base

e1♯, . . . , em♯ ´e a base dual da base

e^1♯, . . . , e^m♯ . Para uso futuro, resumindo as express˜oes acima em uma linha, tem-se

δⁱj = eⁱ,ej

p = g e^i♯,ej

p = g eⁱ, e_{j ♯}

p = D e_{j ♯}, e^i♯E

p. (34.26)

Por (34.22) e (34.23) e por (34.17) e (34.20) tem-se, e^k♯ =

E^klg^lm ∂

∂x^m

_p =: E^kl ∂

∂x^l

_p e ek♯ = Ek^lglm

dx^m|p =: Ekldx^l _p. Em particular, valem em um pontop,

dx^{k ♯} = g^kl ∂

∂x^l e ∂

∂x^k

♯

= gkldx^l. (34.27)

•O tensor m´etrico Riemanniano usual eRⁿ Considere-se a variedadeRⁿusual, com o atlas

(Rⁿ, id) , composto por uma ´unica carta com um sistema de coordenadas Cartesianas. Dados dois campos vetoriais expressos nessa carta comoA=A^{i ∂}_∂xieB=B^{j ∂}_∂xja express˜ao

g(A, B) :=

Xn i=1

AⁱB^j

define um tensor m´etrico Riemanniano emRⁿ, como facilmente se verifica. Note-se queg(A, B) ´e o produto escalar usual de vetores emRⁿ, da´ı denominar-se esse tensorgcomo otensor m´etrico Riemanniano usual emRⁿ.

Claro est´a que para as componentes do tensor m´etrico Riemanniano usual tem-segij=δije para o tensor m´etrico contravarianteg^ij=δ^ij≡δij.

No caso desse tensor m´etrico Riemanniano usual emRⁿas opera¸c˜oes de subir e abaixar ´ındices s˜ao triviais:Aⁱ=Ai. Se adotarmos uma nova carta de coordenadas emRⁿ, essas componentes tornam-se, segundo (34.3) e (34.11),

g^′ij = Xn k=1

∂x^k

∂x^′i

∂x^k

∂x^′j e g^′ij = Xn k=1

∂x^′i

∂x^k

∂x^′j

∂x^k . (34.28)

Por conveniˆencia, evitamos aqui adotar a conven¸c˜ao de Einstein. As express˜oes (34.28) s˜ao ´uteis, por exemplo, quando expressamos certos operadores diferenciais, como o gradiente, o divergente e o Laplaciano, em sistemas de coordenadas que n˜ao as Cartesianas emRⁿ. Vide Se¸c˜ao 34.2.4, p´agina 1704.

E. 34.2Exerc´ıcio. SejaJa matrizn×ndada por

J :=











∂x¹

∂x′1 · · · _∂x^∂x′n¹

... . .. ...

∂xⁿ

∂x′1 · · · _∂x^∂x′nⁿ











(34.29)

e sejaGa matrizn×ncujos elementos de matriz s˜aoGij=gij^′, dados em (34.28). Constate por (34.28) queG=J^TJ. Se denotarmos porgo determinante deG, teremos, portanto,g= det(J)2

. 6

34.1.1 Transposi¸c˜ ao em Rela¸c˜ ao a Tensores M´ etricos

SejaMuma variedade diferenci´avel e sejaV :TpM→TpMuma aplica¸c˜ao linear deTpMem si mesmo, de sorte que, em uma base de coordenadas ∂

∂x¹, . . . , _∂x^∂m , tenhamosV_∂x^∂a =V^ba ∂

∂x^b. Naturalmente,V define um elemento de TpM⊗T^∗pM, um tensor de tipo (1,1), a saber, podemos identificarV=V^ba ∂

∂x^b⊗dx^a.

Na Se¸c˜ao 33.2.3.2, p´agina 1630, introduzimos a aplica¸c˜ao linear transpostaV^T :T^∗_pM →T^∗_pM como a aplica¸c˜ao linear definida por (33.39). Vamos aqui tratar de uma no¸c˜ao similar de transposi¸c˜ao associada a uma tensor m´etrico.

Dada uma aplica¸c˜ao linearV :TpM→TpM, como acima, definimosV^†:TpM →TpMcomo sendo a aplica¸c˜ao linear tal que

g V^†A, B

p = g A, V B

p (34.30)

para todosA, B∈TpM. A aplica¸c˜ao linearV^†:TpM→TpM´e dita ser ag-transposta, oug-dual, deV:TpM→TpM. E. 34.3Exerc´ıcio. De (34.30) e da defini¸c˜ao de tensor transposto em (33.39), mostre que

V^†A

♯ =V^T A♯ para todoA∈TpM, ou seja, mostre que valeg♯◦V^†=V^T◦g♯, o que implica que

V^† =g^♯◦V^T◦g♯, (34.31)

sendo queV^Tfoi definido em (33.39). 6

Da defini¸c˜ao (34.30) e da simetria deg, segue facilmente que V^††

= V . (34.32)

Verifique!

Em coordenadas locais, escrevendo-seA=A^{a ∂}_∂xa,B=B^{b ∂}_∂xbeV^†_∂x^∂a= V^†b a

∂

∂x^b, a defini¸c˜ao (34.30) implica que V^†d

a = gabV^bcg^cd, ou seja , V^†d

a = Va^d. (34.33)

E. 34.4Exerc´ıcio. Verifique! Alternativamente, use (34.31) para reobter (34.33). 6

E. 34.5Exerc´ıcio. Mostre que

TrV^†

= TrV

. (34.34)

Use a primeira igualdade em (34.33). 6

E. 34.6Exerc´ıcio. Mostre, usando a defini¸c˜ao (34.30), que vale V1V2

†

=V2^†V1^† (34.35)

para quaisquer aplica¸c˜oes linearesV1:TpM→TpMeV2:TpM→TpM. Essa identidade segue tamb´em de (34.31) usando-se (33.42).

Verifique! 6

•g-transposi¸c˜ao no espa¸co cotangente

O que foi desenvolvido acima deixa-se facilmente generalizar para o caso de aplica¸c˜oes lineares agindo no espa¸co cotangente.

SejaW:T^∗pM→T^∗pMuma aplica¸c˜ao linear deT^∗pMem si mesmo, de sorte que, em uma base dual de coordenadas dx¹, . . . , dx^m , tenhamosW dx^a=Wb^adx^b. Naturalmente,Wdefine um elemento deT^∗_pM⊗TpM, um tensor de tipo (1,1), a saber, podemos identificarW=Wb^adx^b⊗∂x^∂a.

Dada uma aplica¸c˜ao linearW:T^∗pM→T^∗pM, como acima, definimosW^†:T^∗pM→T^∗pMpor g^♯ W^†A, B

p = g^♯A, W B

p (34.36)

para todosA, B∈T^∗_pM. A aplica¸c˜ao linearW^†:T^∗_pM →T^∗_pM´e dita ser ag-transposta, ou a aplica¸c˜aog-dual, de W:T^∗pM→T^∗pM.

E. 34.7Exerc´ıcio. De (34.36) e da defini¸c˜ao de tensor transposto em (33.40), mostre que W^†A♯

=W^T A^♯ para todoA∈T^∗pM, ou seja, mostre que valeg^♯◦W^†=W^T◦g^♯, o que implica que

W^†=g♯◦W^T◦g^♯, (34.37)

sendo queW^Tfoi definido em (33.40). 6

Da defini¸c˜ao (34.30) e da simetria deg, segue facilmente que W^††

= W . (34.38)

Verifique!

Em coordenadas locais, escrevendo-seA=Aadx^a,B=Bbdx^beW^†dx^a= W^†a

b dx^b, a defini¸c˜ao (34.36) implica que

W^†a

d = g^abWb^cgcd, ou seja , W^†a

d = W^ad. (34.39)

E. 34.8Exerc´ıcio. Verifique! Alternativamente, use (34.37) para reobter (34.39). 6

E. 34.9Exerc´ıcio. Mostre que

TrW^†

= TrW

. (34.40)

Use a primeira igualdade em (34.39). 6

E. 34.10Exerc´ıcio. Mostre, usando a defini¸c˜ao (34.36), que vale W1W2†

=W₂^†W₁^† (34.41)

para quaisquer aplica¸c˜oes linearesW1:T^∗pM →T^∗pMeW2:T^∗pM→T^∗pM. Essa identidade segue tamb´em de (34.37) usando-se

(33.42). Verifique! 6

•Operadoresg-sim´etricos

Um operador linearV:TpM→TpM´e dito serg-sim´etrico se g V A, B

p = g A, V B

p (34.42)

para todosA, B∈TpM. Naturalmente,V´eg-sim´etrico se e somente seV^†=V, ou seja, se e somente suas componentes em coordenadas locais satisfizerem

V^ba = Va^b em cujo caso, valem tamb´em, Vab = Vba e V^ab = V^ba. Um operador linearW:T^∗_pM→T^∗_pM´e dito serg-sim´etrico se

g^♯W A, B

p = g^♯ A, W B

p (34.43)

para todosA, B ∈ T^∗_pM. Naturalmente,W ´e g-sim´etrico se e somente seW^† = W, ou seja, se e somente suas componentes em coordenadas locais satisfizerem

Wb^a = W^ab em cujo caso, valem tamb´em, Wab = Wba e W^ab = W^ba.

•g-transposi¸c˜ao e uma propriedade de positividade do tra¸co

Vamos agora estabelecer uma consequˆencia n˜ao-trivial das defini¸c˜oes de acima, a qual ´e v´alida no caso de tensores m´etricos Riemannianos e possui v´arias utilidades. Ela ser´a empregada na discuss˜ao sobre a identidade de Raychaudhuri na Se¸c˜ao 34.6.1, p´agina 1742.

Proposi¸c˜ao 34.3SejaMuma variedade diferenci´avel de dimens˜aome sejagum tensor m´etrico Riemanniano emM.

Ent˜ao, vale

TrV^†V

≥ 0 (34.44)

para toda aplica¸c˜ao linearV:TpM→TpM, sendo queTrV^†V

= 0se e somente seV = 0. Em termos das componentes deV em um sistema de coordenadas locais essa desigualdade diz-nos que

V^abVab = Va^bV^ab ≥ 0. (34.45)

Enfatizamos que essa desigualdade n˜ao ´e necessariamente v´alida casogn˜ao seja Riemanniano. 2

Prova. Sabemos por (33.30) que V^†Vb a= V^†b

cV^ca e, portanto, TrV^†V

= V^†b

cV^c_b. Usando (34.33) isso se escreve como

TrV^†V

= gceV^efg^{f b}V^cb . (34.46)

Para prosseguirmos, ´e conveniente escrever essa express˜ao fazendo uso da nota¸c˜ao usual de matrizes. Para tal, definamos trˆes matrizesm×m, que denotamos porG,HeA, como sendo as matrizes cujos elementos de matriz s˜ao dados por

Gab := gab, Hab := g^ab e Aab := V^ab.

Como se vˆe, abdicamos de distinguir ´ındices em cima e em baixo. Com isso, podemos escrever (34.46) como TrV^†V

= GceAefHf bAcb. Usando as regras usuais de opera¸c˜ao com matrizes, o lado direito se escreve como

GceAefHf bAcb = Tr GAHA^T

(34.47) onde Tr agora descreve o tra¸co usual de matrizesm×meA^Tdescreve a transposta usual da matrizA(ou seja,A^T´e a matriz cujos elementos satisfazem A^T

ab=Aba).

Observemos agora queH=G⁻¹(assim foidefinidoo tensor m´etrico contravariante de componentesg^ab, com ´ındices em cima). Fora isso, tantoGquantoHs˜ao matrizes sim´etricas, ou seja, vale queG^T =GeH^T =H(pois o tensor m´etrico ´e sim´etrico). Por fim – e este ´e um ponto crucial –GeHs˜ao matrizes positivas (i.e., sim´etricas com autovalores positivos), poisg´e suposta ser um tensor m´etrico Riemanniano. Portanto, ambas possuem ra´ızes quadradas⁷, ou seja, existem matrizes positivas e sim´etricasG^1/2eH^1/2tais que G^1/22

=Ge H^1/22

=H. Com isso, podemos escrever o lado direito de (34.47) da seguinte forma:

Tr GAHA^T

= Tr

G^1/2G^1/2AH^1/2H^1/2A^T

= Tr

H^1/2A^TG^1/2

G^1/2AH^1/2

= Tr

G^1/2AH^1/2T

G^1/2AH^1/2

≥ 0, sendo que acima usamos a propriedade c´ıclica do tra¸co na segunda igualdade e o fato bem conhecido que TrM^TM

≥0 para qualquer matrizm×mrealM.

Isso estabeleceu que Tr V^†V

≥0. Se TrV^†V

= 0, ent˜ao devemos terG^1/2AH^1/2 = 0, o que (j´a queG^1/2 e H^1/2s˜ao invers´ıveis) implicaA= 0 e, portanto,V = 0. A rela¸c˜ao (34.45) segue diretamente de (34.44) escrevendo-se explicitamente TrV^†V

em termos das componentes deV.

A Proposi¸c˜ao 34.3 permite-nos introduzir um produto escalar (real) no espa¸co dos operadores lineares definidos em TpM, a saber:

U, V

≡ U, V

p := TrU^†V .

7Vide Se¸c˜ao 10.5.1, p´agina 512. Para um tratamento ainda mais geral, vide Teorema 39.30, p´agina 2133.