MOVIMENTOS SOB A AÇÃO DE UMA FORÇA RESULTANTE DE INTENSIDADE CONSTANTE Trajetórias

MOVIMENTOS SOB A AÇÃO DE UMA FORÇA RESULTANTE DE INTENSIDADE CONSTANTE

Trajetórias

Temos os seguintes casos:

1º) Se a força resultante tiver a direção da velocidade só variará o módulo desta e a trajetória será retilínea.

Ou

2º) Se a força resultante for perpendicular à velocidade, só variará a direção desta e a trajetória será circular.

3º) Se a força resultante não tiver a direção da velocidade, nem for perpendicular à mesma, então o módulo e a direção da velocidade variam, sendo a trajetória curvilínea e não circular.

v

FR

v

FR

v

FR

v

FR

Aceleração, aceleração normal e aceleração tangencial De acordo com a expressão da 2ª Lei de Newton

a m F 



 a 

tem sempre a direção e sentido de

F 

Em relação aos casos anteriores, ocorrem as seguintes situações:

1ª) Para o 1º caso

2ª) Para o 2º caso

3ª) Para o 3º caso

0

_n  a

at

a 



0

_t  a

an

a 



a 

an

a

Para qualquer situação:

n

t a

a a  





Valor da aceleração normal (an)

r a_n v

 2

Sendo:

v v 



Valor da aceleração tangencial (at)

dt v a_t  d

Descrição de um movimento através de um eixo solidário com a trajetória (eixo dos ss)

A

0

sA ; sA < 0

B

0

sB ; sB > 0

C

0

sC ; sC > 0 sA

sB

sC

A velocidade escalar, neste eixo, traduz-se pela expressão:

dt s v d

Os valores das acelerações obtêm-se pelas expressões:

dt v

a_t  d ;

r a_n v

 2 ^; a  a_t² a_n²

EXERCÍCIO

Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 4,0 m.

A lei do movimento é:

s = 3 t³ – 3 t + 1 (SI)

a) Determine a norma da aceleração no instante t = 1 s.

b) Classifique o movimento no instante t = 0,2 s.

MOVIMENTO CIRCULAR

Para este movimento, o ângulo θ entre o vetor posição e o eixo dos xx varia com o tempo.

θ

v 

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Neste caso, a variação do ângulo θ (Δθ) é diretamente proporcional ao intervalo de tempo (Δt).

constante

 

 t



A esta constante de proporcionalidade chama-se velocidade angular (ω).

t

 



ω – velocidade angular (rad/s) Δθ – variação do ângulo (rad) Δt – intervalo de tempo (s)

Se no instante t = 0 s, o vetor posição da partícula faz um ângulo θo com o eixo dos xx, no instante t, o ângulo é θ.







 

 

 

  ⁰ ₀

0   



 

  t

t t

t



  ₀ 

θo

t = 0 t

θ

Movimento circular uniforme Movimento retilíneo uniforme

t



  ₀  ^{x = x}0 + v t

ω = constante v = constante

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

Neste caso a variação da velocidade angular (Δω) é diretamente proporcional ao intervalo de tempo (Δt).

constante

 

 t



A esta constante chama-se aceleração angular (α).

t

 



A unidade SI de aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s²).

Se no instante t = 0, a velocidade angular for ω0, no instante t a velocidade angular será ω.







 

 

 

  ⁰ ₀

0   



 

  t

t t

t



  ₀ 

Relativamente ao ângulo θ, pode-se que este é dado pela seguinte expressão:

2 0

0 2

1 t

t 





   

Movimento circular uniformemente variado

Movimento retilíneo uniformemente variado

t



  ₀  ^{v = v}0 + a t

2 0

0 2

1 t

t 





    _{0 0} ²

2 1at t

v x

x   

RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS ANGULARES E LINEARES s = θ r

v = ω r

at = α r

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM MOVIMENTO COM FORÇA RESULTANTE CONTANTE

Para determinar as equações do movimento de um corpo sujeito a uma força resultante constante, basta conhecer essa força e as condições iniciais.

a m F 





z y

x e e

e  

 

z y

x

R F F F

F   

z y

x

e e

e  

 

z y

x

a a

a

a   

Substituindo na expressão da 2ª Lei de Newton:

) e e e ( e

e

e













z y

x z

y

x

F F m a a a

F     

z y

x z

y

x

e e e e e

e      

z y

x y z

x

a a a

m F m

F m

F     

Desta equação obtêm-se as igualdades:

m

a

 F

m

a

 F

m a

 F

No caso do movimento a duas dimensões, as equações do movimento encontram-se no quadro da página 39 do livro.

PROJÉTEIS LANÇAMENTO HORIZONTAL

g

R F

F 



g m F 





v 

y0

xmáx x FR

ey

 

mg F_R 

Componente horizontal do movimento

Como Fx = 0 e x0 = 0 , verificam-se as seguintes igualdades:

a_x = 0

vx = v0x

x = v0x t

Que permitem concluir que o movimento é uniforme segundo o eixo dos xx.

Componente vertical do movimento

Como Fy = - mg e v0y = 0, verificam-se as seguintes expressões:

ay = - g

vy = - gt

2

0 2

1gt y

y  

Que permitem concluir que o movimento é uniformemente acelerado segundo o eixo dos yy.

Tempo de voo (tvoo)

Quando se atinge o tempo de voo, o valor da ordenada é nulo (y = 0), logo:











 ₀ ² ₀ ²

2 0 1

2 1

gtvoo

y gt

y y

g t_voo  2y⁰

Alcance (xmáx)

Quando se atinge o tempo de voo, o valor da abcissa é máximo (x = xmáx), logo:



 v t x

voo x

máx

v t

x 



LANÇAMENTO OBLÍQUO

v0

hmáx

θ

xmáx

Componente horizontal do movimento

Como Fx = 0, x0 = 0 e y0 = 0, verificam-se as seguintes expressões:

ax = 0

vx = v0x  vx = v0 cosθ

x = v0x t  x = v0 cosθ t

Que permitem concluir que o movimento é uniforme segundo o eixo dos xx.

Componente vertical do movimento

Como Fy = - mg e y0 = 0, verificam-se as seguintes igualdades:

ay = - g

vy = v0y - gt  vy = v0 senθ - gt

2 0

0 2

1 gt t

v y

y   _y  _{ 0} ²

2 1 gt t

sen v

y   

Que permitem concluir que o movimento é uniformemente variado segundo o eixo dos yy.

Tempo de voo (tvoo)

Quando se atinge o tempo de voo, o valor da ordenada é nulo (y = 0), logo:





















 )

2 ( 1

2 0 0 1

2 0 1

0 2

0 2

0

0 v yt gt v ytvoo gtvoo tvoo v y gtvoo

y y









 0

2 0 _0y 1 _voo

voo v gt

t

g t_voo 2v^0y



Alcance (xmáx)

Quando se atinge o tempo de voo, o valor da abcissa é máximo (x = xmáx), logo:



 v t x

voo x

máx

v t

x 

