Fis Mec Lista de Exercícios 01 02 rev0 [GABARITO]

2015/2 – FÍS. MEC. – LISTA DE EXERCÍCIOS 1-2 – UNISUAM Página 1 de 12 CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA – UNISUAM

SEMESTRE LETIVO: 2015/2

DISCIPLINA: FÍSICA MECÂNICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

TURMA: ARQ03021N

Prof. Vinicius Coutinho

***************** LISTA DE EXERCÍCIOS 1-2 *****************

Quaisquer dúvidas com relação a esta lista podem ser encaminhadas a mim, pessoalmente ou por e-mail: vcoutinho@unisuamdoc.com.br ou prof.vcoutinho@gmail.com

*******************************************************************

Funções trigonométricas úteis

Ângulo Seno Cosseno

0°

0

1

30°

1/2

3

/

2

45°

2

/

2

2

/

2

60°

3

/

2

1/2

90°

1

0

2

/

2



0,71

2

/

3



0,87

Ângulo Seno Cosseno

20°

0,34

0,94

160°

0,34

-0,94

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Constantes



Aceleração da gravidade:

g

= 9,8 m/s

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AULA 03

1. Se o corpo padrão de 1 kg tem uma aceleração de 2 m/s2 _{fazendo um ângulo de 20°}

com o semieixo positivo x, então:

a. Determine as componentes x e y da força resultante sobre o corpo.

b. Esboce o gráfico com as componentes x e y determinadas no item anterior e a força resultante sobre o corpo.

c. Responda: qual a força resultante, em notação de vetores unitários?

[GABARITO] (a)

O módulo da força resultante pode ser resolvido através da 2ª lei de Newton:

Fres = maFres = 1 kg  2 m/s2_{Fres = 2 N}

A componente x da força resultante será

Fres,x = Fres cos  = 2 N cos 20° = 2 N  0,94 Fres,x = 1,88 N

A componente y da força resultante será

Fres,y = Fres sen  = 2 N sen 20° = 2 N  0,34 Fres,y = 0,68 N

OBS.: revise os slides da aula 02 para dirimir suas dúvidas referentes à decomposição de vetores.

(b) O esboço das forças no gráfico fica assim.

(c)

A partir dos resultados obtidos no item (a), podemos notar a força resultante em termos de vetores unitários.

Fres = (1,88 N) i + (0,68 N) j

OBS.: revise os slides da aula 02 para dirimir suas dúvidas referentes a vetores unitários.

2. Se o corpo padrão de 1 kg é acelerado por F1 = (3,0 N) i + (4,0 N) j e F2 = (- 2,0 N) i + (-

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a. Qual a força resultante, em notação de vetores unitários? b. Qual o módulo e o sentido da força resultante?

c. Qual o módulo e o sentido da aceleração?

[GABARITO] (a)

O valor da soma das componentes x e y de F1 e F2 resulta nas componentes x e y de Fres .

Resolvendo para Fres:

Fres,x = F1,x + F2,xFres,x = (3,0 N) i +(- 2,0 N) i  Fres,x = (1,0 N) i

Fres,y = F1,y + F2,yFres,y = (4,0 N) j +(- 6,0 N) j  Fres,y = (- 2,0 N) j

 Fres = (1,0 N) i + (- 2,0 N) j

(b)

Com o resultado obtido no item (a), podemos resolver o item (b). O módulo da força resultante será:

Fres = (Fres,x)2+ (Fres,y)2 = (1)2+ (-2)2 = 5  2,24 N

tan  = (Fres,y/Fres,x) = -2/1 = -2.

Existem dois ângulos cuja tangente é, aproximadamente, -2 : 117° e 297°. Portanto, o sentido da força pode ser descrito um vetor orientado 63° abaixo do semieixo positivo dos x (o mesmo que dizer a 297° a partir da origem do ciclo

trigonométrico).

OBS.: Se você não estiver confortável com estas operações, recomendo consultar os slides da aula 02.

(c)

A aceleração terá o mesmo sentido da força resultante, acima calculada. Seu módulo será dado pela 2ª lei de Newton:

Fres = ma 2,24 N = 1 kg aa = 2,24 m/s2

3. Suponha que o corpo padrão de 1 kg tem uma aceleração de 4 m/s2 _{fazendo um ângulo}

de 160° com o semieixo positivo x devido a duas forças, sendo uma delas F1 = (2,5 N) i

+ (4,6 N) j.

a. Qual é a outra força, em notação de vetores unitários? b. Qual o módulo e o sentido da outra força?

c. Esboce o gráfico com as duas forças.

[GABARITO]

A força resultante tem a mesma direção e sentido da aceleração. O módulo dela pode ser terminado aplicando-se a 2ª lei de Newton: Fres = maFres = 1 kg  4 m/s2_{Fres = 4 N.} O restante do problema pode ser resolvido pelo método gráfico ou por decomposição de vetores. Demonstraremos, agora, a resolução pelo método de decomposição de vetores. Decompondo Fres :

A componente de Fres no eixo y é a multiplicação do módulo desta força por sen 160°. A

componente de Fres no eixo x é a multiplicação do módulo desta força por cos 160°

2015/2 – FÍS. MEC. – LISTA DE EXERCÍCIOS 1-2 – UNISUAM Página 4 de 12 Fres,x = 4  cos 160° = 4  (-0,94) = - 3,76 N.

Fres,y = 4  sen 160° = 4  0,34 = 1,36 N.

Finalmente, podemos expressar Fres em termos de vetores unitários:

Fres = (- 3,76 N) i + (1,36 N) j.

(a)

Já sabemos as componentes x e y da força resultante. A força F1 é fornecida no problema:

F1 = (2,5 N) i + (4,6 N) j. Recordemos que o valor da soma das componentes x e y de F1 e F2

resulta nas componentes x e y de Fres . Resolvendo para F2:

Fres,x = F1,x + F2,x - 3,76 N = 2,5 N + F2,x F2,x = - 6,26 N

Fres,y = F1,y + F2,y 1,36 N = 4,6 N + F2,y F2,y = - 3,24 N

 F2 = (- 6,26 N) i + (- 3,24 N) j

(b)

Com o resultado obtido no item (a), podemos resolver o item (b).

F2 = (F2,x)2+ (F2,y)2 = (- 6,26)2+ (- 3,24)2  7,05 N.

tan  = (F2,y/F2,x) = (- 3,24)/(- 6,26) = 0,51.

Existem dois ângulos cuja tangente é, aproximadamente, 0,51: 27° e 207°. Portanto, o sentido da força pode ser descrito um vetor orientado 27° abaixo do semieixo negativo dos x (o mesmo que dizer a 207° a partir da origem do ciclo

trigonométrico).

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OBS.: o esboço da força resultante não foi solicitado no problema, mas podemos resolver, por exemplo, pelo método gráfico.

Com um pouco de atenção, é possível perceber graficamente que as componentes x e y da

força resultante têm valores bem próximos dos valores determinados numericamente, que foram: Fres = (- 3,76 N) i + (1,36 N) j.

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AULA 04

4. Duas forças são aplicadas sobre uma partícula que se move continuamente com velocidade v = (3 m/s) i - (4 m/s) j. Uma das forças é F1 = (2 N) i + (- 6 N) j.

a. Responda: qual é a outra força? b. Esboce o gráfico com as duas forças.

[GABARITO] (a)

A velocidade é constante; isto significa que a aceleração é zero, e que a resultante das forças é zero. Logo, a outra força F2 deve cancelar F1, ou seja, mesmo módulo e direção

porém sentido contrário ao de F1. Assim, F2 = (- 2 N) i + (6 N) j.

(b)

5. Na caixa de 2 kg da Figura 1 são aplicadas duas forças, mas somente uma é mostrada. A caixa se move exatamente sobre o eixo x. Determine a segunda força para os seguintes valores da componente ax da aceleração da caixa:

a. 10 m/s2_;

b. 20 m/s2_;

c. 0;

d. - 10 m/s2_;

e. - 20 m/s2_.

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[GABARITO]

Para equilibrar o corpo é necessário que a resultante das forças sobre ele seja zero. Neste caso, a segunda força F2 tem que ser igual à F1 em módulo e direção, mas em sentido

contrário, o que nos dá a resposta do item (c). Para aceleração positiva F2 tem que ter o

mesmo sentido e direção de F1. Para aceleração negativa, F2 tem que ter sentido oposto ao

de F1 e possuir módulo maior do que o de F1. Para determinar os valores, vamos aplicar a

2ª lei de Newton.

(a) Fres = ma (F1 + F2) = ma (20 N + F2) = 2 kg  10 m/s2 _{F2 = 20 - 20 = 0.} (b) Fres = ma (F1 + F2) = ma (20 N + F2) = 2 kg  20 m/s2 _{F2 = 40 - 20 = + 20 N.} (c) Fres = ma (F1 + F2) = ma (20 N + F2) = 2 kg  0 m/s2 _{F2 = - 20 N.}

(d) Fres = ma (F1 + F2) = ma (20 N + F2) = 2 kg  (- 10 m/s2₎  _{F2 = - 20 - 20 = - 40 N.} (e) Fres = ma (F1 + F2) = ma (20 N + F2) = 2 kg  (- 20 m/s2₎  _{F2 = - 40 - 20 = - 60 N.}

6. Na caixa de 2 kg da Figura 2 são aplicadas duas forças, mas somente uma é mostrada. a. Determine a segunda força em notação de vetores unitários.

b. Determine a segunda força em módulo e sentido.

c. Esboce o gráfico mostrando as duas forças, e a força resultante.

Figura 2

[GABARITO]

A força resultante tem a mesma direção e sentido da aceleração. O módulo dela pode ser terminado aplicando-se a 2ª lei de Newton: Fres = maFres = 2 kg  12 m/s2_{Fres = 24 N.} O restante do problema pode ser resolvido pelo método gráfico ou por decomposição de vetores. Demonstraremos, agora, a resolução pelo método de decomposição de vetores. Decompondo Fres :

A componente de Fres no eixo y é a multiplicação do módulo desta força por cos 30° (o

mesmo que o seno de 60°), mas com o sinal negativo, pois está sendo projetada no semieixo negativo. A componente de Fres no eixo x é a multiplicação do módulo desta força

2015/2 – FÍS. MEC. – LISTA DE EXERCÍCIOS 1-2 – UNISUAM Página 8 de 12 Fres,x = - (24)  sen 30° = - (24)  0,5 = - 12 N.

Fres,y = - (24)  cos 30° = - (24)  0,87 = - 20,88 N.

Finalmente, podemos expressar Fres em termos de vetores unitários:

Fres = (- 12 N) i + (- 20,88 N) j.

OBS.: Se você não conseguiu enxergar por que motivo é - (cos 30°) no eixo y e -(sen 30°) no

eixo x e só se lembra do círculo trigonométrico, pense da seguinte forma: comece contando

o ângulo da origem do círculo [coordenada (x, y) = (1,0)]; este ângulo é 90° + 90° + (90° -

30°) = 240°; daí, use a calculadora científica ou uma tabela de senos e cossenos para ver que cos 240° = - (1/2) e que o sen 240° = - 0,87.

(a)

Já sabemos as componentes x e y da força resultante. Vemos no gráfico que a força F1 só

tem uma componente horizontal. Logo, F1 pode ser expressa em termos de vetores

unitários da seguinte forma: F1 = (20 N) i.

Recordemos que o valor da soma das componentes x e y de F1 e F2 resulta nas

componentes x e y de Fres . Resolvendo para F2:

Fres,x = F1,x + F2,x - 12 N = 20 N + F2,x F2,x = - 32 N

Fres,y = F1,y + F2,y - 20,88 N = 0 + F2,y F2,y = - 20,88 N

 F2 = (- 32 N) i + (- 20,88 N) j

(b)

Com o resultado obtido no item (a), podemos resolver o item (b).

F2 = (F2,x)2+ (F2,y)2 = (-32)2+ (-20,88)2 = 38,2 N.

tan  = (F2,y/F2,x) = -20,88/(-32) = 0,6525.

Existem dois ângulos cuja tangente é, aproximadamente, 0,6525: 33° e 213°. Portanto, o sentido da força pode ser descrito um vetor orientado 33° abaixo do semieixo negativo dos x (o mesmo que dizer a 213° a partir da origem do ciclo

trigonométrico).

2015/2 – FÍS. MEC. – LISTA DE EXERCÍCIOS 1-2 – UNISUAM Página 9 de 12 7. Responda (lembre sempre de indicar as unidades): quais são a massa e o peso de:

a. Uma bomba de 421 kg. b. Um saco de açúcar de 2,25 kg. c. Um jogador de 108 kg.

d. 1 automóvel de 1,8 ton.

[GABARITO]

(a) A massa é uma grandeza física expressa em kg. Massa da bomba: m = 421 kg. Peso (na Terra): P = mg , então: P = 421 kg  9,8 m/s2 _{= 4125,8 N.}

O peso é uma força e deve ser expresso em N.

(b) m = 2,25 kg  P = 2,25 kg  9,8 m/s2 _{= 22,05 N.} (c) m = 108 kg  P = 108 kg  9,8 m/s2 _{= 1058,4 N.}

(d) m = 1,8 ton = 1800 kg  P = 1800 kg  9,8 m/s2 _{= 17640 N.}

8. Um astronauta com 75 kg de massa deixa a Terra. a. Calcule seu peso na Terra.

b. Calcule seu peso em Marte, onde g = 3,8 m/s2_.

c. Calcule seu peso no espaço interplanetário, onde g = 0.

d. Qual a sua massa em cada um desses locais?

[GABARITO]

(a) Lembrando que P = mg , então: P = 75 kg  9,8 m/s2 _{= 735 N.}

(b) P = 75 kg  3,8 m/s2 _{= 285 N.} (c) P = 75 kg  0 = 0.

(d) A massa é invariável com a gravidade, é uma propriedade inerente ao corpo. Portanto, a massa é de 75 kg. O que varia é o peso, uma força dependente da aceleração da gravidade.

9. Com respeito a conceitos e leis fundamentais da Mecânica, sejam as assertivas a seguir: (I) A representação correta da força normal FN é a mostrada na figura 4 (a).

(II) A representação correta da força normal FN é a mostrada na figura 4 (b).

(III) A força normal sobre um corpo repousado sobre uma superfície perfeitamente horizontal é zero.

(IV) Um corpo sobre o qual não atua força resultante alguma irá manter a velocidade. (V) Um corpo sobre o qual não atua força resultante alguma irá desacelerar.

Assinale a opção correta.

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(a) (b)

Figura 4

[GABARITO]

Resposta correta: (d).

Veja os slides da aula 04 para relembrar as forças especiais e revisar as leis de Newton.

10.A Figura 3 mostra um móbile de três peças, preso por uma corda de massa desprezível. São dadas as massas das peças superior e inferior. A tensão no topo da corda é 199 N. Calcule a tensão:

a. No trecho inferior da corda. b. No trecho médio da corda.

Figura 3

[GABARITO] (a)

No trecho inferior da corda haverá uma tração Tinf , que deverá ter o mesmo módulo e

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para que este permaneça em equilíbrio. A tensão, que nada mais é o que módulo da tração Tinf , será:

Tinf= m ∙ g = 5,5 kg ∙ 9,8 m/s2 _{54 N.}

(b)

Existem várias maneiras de se visualizar este problema e, então, resolvê-lo. Vamos a algumas delas.

Foi fornecida no problema a tensão no topo da corda, que é de 199 N, que sustenta o sistema. Como o sistema está em equilíbrio, temos que calcular a força resultante de modo que o valor da mesma seja zero. Podemos considerar que, do ponto de vista do topo da corda, do bloco de 4,8 kg para baixo tudo é uma coisa só. Veja no esquema abaixo.

Ou seja, a tensão no trecho superior da corda equilibra o peso de todo o sistema. De fato, o que ocorre é que a tensão no trecho inferior da corda equilibra o bloco inferior (calculado no item a desta questão); a tensão no trecho médio equilibra os blocos inferior e médio

(este de massa desconhecida); e a tensão no trecho superior equilibra os três blocos.

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Uma maneira de se organizar o raciocínio acima exposto é montar um sistema de equações. Se nós chamarmos o peso dos blocos superior, médio e inferior de x, y e z, respectivamente, temos:

Ttop = x + y + z (tensão no topo da corda cancela o peso dos três blocos)

Tmed = y + z (tensão no trecho médio da corda cancela o peso dos blocos médio e inferior)

Tinf = z (tensão no trecho inferior da corda cancela o peso do bloco e inferior)

É possível enxergar, então, que Ttop = x + (y + z), isto é, Ttop = x + Tmed . x é o peso do bloco superior e foi calculado acima (P = m ∙ g = 4,8 kg ∙ 9,8 m/s2  _{47 N.). Ttop é dado no} enunciado (Ttop = 199 N). Logo, Tmed = Ttop - x = 199 – 47 = 152 N.

Finalmente, apresentamos uma terceira forma de se perceber este problema. Dado que a tensão é de 199 N no topo da corda, a qual sustenta todo o sistema, e que o sistema está em equilíbrio, certamente o módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre o sistema como um todo também é de 199 N.

Sabemos que Fg = m ∙ g . Assim, a massa total do sistema será m = Fgg = 199 N  9,8 m/s2

 20,3 kg. Uma vez que temos as massas dos blocos superior e inferior, é possível determinar com facilidade a massa do bloco médio, que será 20,3 kg - 4,8 kg - 5,5 kg = 10 kg.