Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

ufpe – ´ area ii – 2019 prof. fernando j. o. souza c MA036 (geometria anal´ıtica 1) – 2019.1 – turma p6 EXERC´ICIOS DE REVIS ˜ AO DA 2

UNIDADE v. 1.1

Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

, y

) no plano euclidiano ser´a denotado por P (x

, y

), sem sinal de igualdade. A origem ´e O (0, 0). J´a um vetor − → v no plano de coordenadas (v

, v

) com rela¸c˜ao `a base canˆonica ξ

(uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

, v

), evitando confus˜ao com os pontos, apesar de valer −→

OP = (x

, y

).

Analogamente, est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxyz para o espa¸co euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

, y

, z

) ser´a de- notado por P (x

, y

, z

). A origem ´e O (0, 0, 0). J´a um vetor − → v no espa¸co de coordenadas (v

, v

, v

) com rela¸c˜ao `a base canˆonica ξ

= n

b i, b j, b k o (uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

, v

, v

).

Quest˜ ao 1. No espa¸co euclidiano:

1.a. Encontrar uma equa¸c˜ ao geral para o plano que passa pelo ponto P

(1, 2, 3) e que ´e perpendicular `a reta definida pelas equa¸c˜oes sim´etricas

x − 1

5 = y − 48

−3 = z + 12 2

1.b. Calcular o ˆ angulo entre as retas r e s definidas, respectivamente, pelas equa¸c˜oes abaixo:

r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + µ(0, −1, 1), onde µ ´e um parˆametro real; e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(2, 1, −2), onde λ ´e um parˆametro real.

1.c. Mostrar que a reta s definida abaixo ´e paralela ao plano Π definido abaixo, e calcular a distˆ ancia entre s e Π:

s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(2, 1, −2), onde λ ´e um parˆametro real; e

Π : (x, y, z) = (0, 0, 0) + α(1, 0, −1) + β(−1, 1, 1), onde α e β s˜ao parˆametros reais.

1.d. Mostrar que as retas r

e r

definidas abaixo s˜ao reversas, e calcular a distˆ ancia entre r

e r

:

r

: (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 1, 2), onde λ ´e um parˆametro real; e r

: (x, y, z) = (5, 4, 3) + µ(1, 0, 1), onde µ ´e um parˆametro real.

1

1.e. Encontrar equa¸c˜ oes param´ etricas para a interse¸c˜ ao dos planos Π

e Π

no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸c˜oes gerais abaixo:

Π

: x − 2y + 2z − 3 = 0; e Π

: 2x + y − z − 11 = 0;

1.f. Encontrar a interse¸c˜ ao (simultˆanea) dos trˆes planos Π

, Π

e Π

no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸c˜oes gerais abaixo:

Π

: x − 2y + 3z − 12 = 0;

Π

: 2x − 4y + 6z = 0; e Π

: x − z − 6 = 0.

1.g. Repetir o exerc´ıcio anterior para os planos Π

, Π

e Π

abaixo:

Π

: x − z − 2 = 0;

Π

: 2x − 2y + 3z − 6 = 0; e Π

: x − 4y + 9z − 6 = 0.

Quest˜ ao 2. Considerem-se os pontos M (5, −3, 2), N (13, −3, −4), P (5, −2, 2), Q (−3, −3, 3) e R (−3, −2, 3) no espa¸co euclidiano. Seja Π o plano que con- t´em os pontos M, N e P .

2.a. Encontrar uma equa¸c˜ ao geral (cartesiana) para o plano Π;

2.b. Calcular a distˆ ancia entre o ponto Q e o plano Π;

2.c. Calcular a distˆ ancia entre o ponto Q e a reta ←−→

MN;

2.d. Calcular a distˆ ancia entre as retas ← →

QR e ←−→

MN .

Quest˜ ao 3. Considerem-se os pontos M (5, 0, −3), N (6, 3, −1), P (6, −1, −2) e Q (5, 4, −3) no espa¸co euclidiano. Seja Π o plano que cont´em M , N e P . 3.a. Encontrar uma equa¸c˜ ao geral (cartesiana) para o plano Π;

3.b. Calcular a distˆ ancia entre o ponto Q e o plano Π;

3.c. Calcular a distˆ ancia entre o ponto Q e a reta ←−→

MN.

Quest˜ ao 4. Sejam os seguintes pontos no plano euclidiano: O (0, 0), P (1, −1), Q (−1, 0), R (4, 1), S (−1, 2) e T (3, 4).

4.a. Determinar a posi¸c˜ ao relativa da reta descrita por 3x − 4y = −3 com rela¸c˜ao `a circunferˆencia de centro P e raio 2;

4.b. Calcular o raio da circunferˆencia de centro S que ´e tangente `a reta dada pela equa¸c˜ao y = 5;

4.c. Determinar, por meio de equa¸c˜ao(˜oes) reduzida(s), o lugar geom´ e- trico dos centros (x

, y

) das circunferˆencias de raio 1 que tangenciam a reta ← →

QR;

2

4.d. Calcular o raio da circunferˆencia de centro Q que tangencia exterior- mente a circunferˆencia de centro R e raio 3;

4.e. Calcular o raio da circunferˆencia de centro Q que tangencia interior- mente a circunferˆencia de centro R e raio 10;

4.f. Determinar, por meio de equa¸c˜ao(˜oes) reduzida(s), o lugar geom´ etrico dos centros (x

, y

) das circunferˆencias de raio 1 que tangenciam (externa ou internamente) a circunferˆencia de centro T e raio 5.

Quest˜ ao 5. Para qualquer curva cˆonica n˜ao-degenerada C de excentricidade positiva e, uma amplitude focal ( “latus rectum” ) de C ´e definida com uma corda de C (segmento de reta com extremidades sobre C ) perpendicular ao eixo focal (se elipse ou hip´erbole) ou eixo da par´abola (se for este o caso), e passando por um foco de C . Estes nomes tamb´em se aplicam ao seu com- primento. Denota-se por ℓ a metade de tal medida (“semi-latus rectum”).

Assim, ℓ = a = r (raio) na circunferˆencia. Mostrar que, se e > 0, ent˜ao ℓ = e · p, onde e ´e a excentricidade, e p ´e o parˆametro focal. Especificamente:

ℓ = p = 2a na par´abola; e ℓ = b

/a na elipse e na hip´erbole.

Quest˜ ao 6. No plano euclidiano, conforme o tipo de curva cˆonica:

• Se for uma circunferˆencia, dar o centro e o raio;

• Se for uma par´abola, dar o v´ertice, o foco, o eixo, a reta diretriz, o parˆametro focal p e a amplitude focal 2ℓ;

• Se for uma elipse, dar o centro, os focos, os v´ertices (as extremidades de ambos os eixos maior e menor), os comprimentos dos eixos (2a do maior e 2b do menor), a distˆancia focal 2c, a excentricidade e e as retas diretrizes;

• Se for uma hip´erbole, dar o centro, os focos, os v´ertices (isto ´e, as ex- tremidades do eixo transverso (real) e do eixo conjugado (imagin´ario)), os comprimentos dos eixos (2a do transverso e 2b do conjugado), a distˆancia focal 2c, a excentricidade e, e as retas diretrizes e ass´ıntotas;

• Se e > 0, dar a equa¸c˜ao geral (cartesiana), equa¸c˜oes param´etricas e foco-diretriz, e uma equa¸c˜ao geral para a curva.

3

6.a. A elipse de centro na origem O = (0, 0), focos no eixo horizontal Ox e comprimento do eixo maior igual a 20 unidades, sabendo-se que tal elipse passa pelo ponto P = (8, 3);

6.b. A par´abola de foco F (−5, 0) e v´ertice na origem O (0, 0);

6.c. A par´abola de foco F (0, −5) e v´ertice na origem O (0, 0);

6.d. A hip´erbole dada por: y

36 − x

64 = 1;

6.e. A elipse de excentricidade 1/2 cujo eixo maior tem extremidades dadas por (0, −4) e (0, 4);

6.f. A curva dada por x

− 4 y

= 1;

6.g. A curva dada por x

− 4 y

= −12;

6.h. A curva dada por x

− 4 y = 0;

6.i. A curva dada por x

8 + y

8 = 1;

6.j. A curva dada por x

8 − y

8 = 1;

6.k. A curva dada por (x(t), y (t)) = (6 · cos (t), 8 · sen (t)), onde t ∈ R ; 6.l. A curva dada por (x(t), y (t)) = (±6 · cosh (t), 8 · senh (t)), onde t ∈ R ; 6.m. A curva dada por (x(t), y(t)) = (6 · sec (t), 8 · tg (t)), onde t ∈ R e t / ∈ n π

2 + k π o

k∈Z

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