Coordenadas geométricas em funções paramétricas no winplot

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FORTALEZA 2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

FRANCISCO ALLAN QUINTELA SILVA

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FORTALEZA 2014

COORDENADAS GEOMÉTRICAS EM FUNÇÕES PARAMÉTRICAS NO WINPLOT

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática em Rede Nacional do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará como requisito parcial para a obtenção do Título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Ensino de Matemática.

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Matemática

S58c Silva, Francisco Allan Quintela

Coordenadas geométricas em funções paramétricas no Winplot / Francisco Allan Quintela Silva. – 2014.

77 f. : il., enc.; 31 cm

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Fortaleza, 2014. Área de Concentração: Ensino de Matemática.

Orientação: Prof. Dr. Marcos Ferreira de Melo.

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A Deus, por confiar a mim o poder de compreender as limitações de minha família e as minhas próprias limitações, o poder de aceitar a vida conforme ela a mim se apresenta, e o poder de reconhecer a importância da humanidade daqueles com quem tive o prazer de conviver.

A minha mãe, Tereza, um espelho de força e persistência contra a dura jornada da vida.

A minha mãe, Didi, um santuário de ternura e afabilidade, que me ensinou a dar os primeiros passos.

Ao meu pai, Francisco, por me orientar em importantes escolhas da minha vida, inclusive a de cursar nível superior em Matemática.

A todos os professores, mestres e doutores do Mestrado Profissional, em especial aos professores Marcos Ferreira de Melo e Marcelo Ferreira de Melo, pelo exemplo e pela dedicação presentes durante todo o processo de construção deste curso que, então, encerra-se para a turma de 2012.

E a todos aqueles que, de uma maneira ou de outra, contribuíram para a realização deste trabalho, não esquecendo os colegas do PROFMAT da turma de 2012, por compartilharem suas dúvidas e incertezas, e por dividirem seu companheirismo nos melhores e nos piores momentos. Muito obrigado a todos.

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“Descartes comandou mais o futuro a partir de seus estudos do que Napoleão a partir de seu trono.”

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Desde o princípio, as sequências e séries numéricas geraram interesse entre os matemáticos. Sua aplicabilidade atual é extensa e inclui o cálculo refinado da área da superfície e do volume de uma variedade de sólidos. Neste trabalho usaremos as diferenças entre os elementos de uma sequência finita a fim de encontrar leis que expressem as tendências nela contidas. Veremos também como um estudo simples sobre progressões aritméticas de ordens diversas é capaz de fornecer funções paramétricas de curvas passando por pontos pré-definidos, de

superfícies contendo curvas pré-definidas ou, até mesmo, de regiões do R³

situadas entre duas superfícies dadas. Além disso, poderemos, com o auxílio do programa computacional Winplot, visualisar as curvas, superfícies ou regiões obtidas em cada exemplo de nosso estudo, além de, eventualmente, verificar pontos de máximo e mínimo relativos de uma curva ou calcular a área de uma

superfície e o volume de uma região limitada do R³, tudo isto com um devido e

prévio embasamento teórico.

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From the beginning, the numeric sequences and series generated interest among mathematicians. Your present applicability is extensive and includes the refined calculation of the surface area and volume of a variety of solids. In this work we will use the differences between the elements of a finite sequence in order to find laws that express the trends contained therein. We will also see how a simple study about arithmetic progressions of various orders is able to provide curves's parametric functions through predefined points, of surfaces containing predefined

curves or even regions of the R³ localized between two given surfaces. Moreover,

we will can, with the aid of the computational program Winplot, visualize the curves, surfaces, or regions obtained in each example of our study, in addition to eventually check points of relative maximum and minimum of a curve or calculate

the area of a surface and the volume of a limited region of R³, all of this with a

necessary and previous theoretical background.

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 09

2 CONJUNTOS E FUNC¸ ˜OES . . . 10

2.1 Conjuntos . . . 10

2.2 Func¸ ˜oes . . . 11

2.2.1 Gr áficos e funç ões param étricas . . . 13

2.2.2 Sequ ˆencias . . . 14

2.2.2.1 Progress ˜oes aritm ´eticas . . . 17

3 LIMITES E CONTINUIDADE . . . 19

3.1 Limites . . . 19

3.1.1 Limites de sequ ˆencias . . . 19

3.1.2 Limites de func¸ ˜oes . . . 22

3.2 Limites e continuidade . . . 24

4 DERIVADAS . . . 27

5 INTEGRAIS . . . 32

6 COORDENADAS GEOM ÉTRICAS EM FUNÇ ÕES PARAM ÉTRICAS . . . 38

6.1 Exemplo 1 . . . 38

6.2 Exemplo 2 . . . 45

6.3 Exemplo 3 . . . 49

6.4 Exemplo 4 . . . 52

6.5 Exemplo 5 . . . 56

6.6 Exemplo 6 . . . 61

6.7 Exemplo 7 . . . 64

6.8 Exemplo 8 . . . 68

6.9 Exemplo 9 . . . 71

6.10 Exemplo 10 . . . 74

7 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS . . . 76

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Neste breve trabalho mostraremos como é poss´ıvel obtermos elementos geom étricos bidimensionais e tridimensionais a partir das coordenadas, ou das funç ões param étricas das coordenadas, de outros elementos pr é-definidos. Para tanto, faremos uma breve parada pelos t ópicos pormenorizados de cada teoria que fundamenta nosso estudo, enfatizando sua natureza sistematizada.

Assim, iniciaremos nossa explanaç ão com as definiç ões e proposiç ões sobre conjun-tos, funç ões, sequ ências e progress ões aritm éticas, onde fundamenta-se a maior parte deste trabalho. Passaremos ent ão a abordar as definiç ões e proposiç ões sobre limites e suas propriedades. Em seguida, trataremos das definiç ões e proposiç ões relativas à derivada de uma funç ão, suas propriedades e aplicaç ões. E agruparemos, em seguida, as definiç ões e proposiç ões que envolvem a integral de uma funç ão, suas propriedades e aplicaç ões. Finalmente encerraremos este trabalho mostrando dez exemplos, onde faremos uso de toda a teoria descrita anteriormente, e onde o estudo de sequ ências servir á de base para modelarmos os elementos geom étricos requeridos em cada exem-plo, junto ao programa computacional Winplot. As aplicaç ões da derivada e da integral de uma funç ão servir ão para compararmos os resultados obtidos, no Winplot, no que diz respeito à obtenç ão dos pontos de m áximo e m´ınimo relativos de uma funç ão, e ao c álculo da área da superf´ıcie e do volume de s ólidos geom étricos.

Veremos que o m étodo descrito neste trabalho é bastante simples e contem uma infinidade de exemplos que poder´ıamos usar para ilustr á-lo. Veremos tamb ém que tal m étodo n ão pretende esgotar todas as possibilidades para obtenç ão de elementos geom étricos a partir de outros elementos pr é-definidos. Os exemplos aqui descritos en-fatizam apenas a possibilidade de obtermos certos elementos geom étricos que incluam elementos pr é-definidos numa dada ordem, sempre mostrando que é poss´ıvel atrav és do sequenciamento dos n úmeros de cada coordenada, ou dos coeficientes das funç ões param étricas de cada coordenada, de determinados elementos geom étricos obtermos as funç ões param étricas que representam as coordenadas do elemento geom étrico de-sejado. Enfatizamos aqui tamb ém que, sem o aux´ılio de uma ferramenta computacional como o programa Winplot, n ão conseguir´ıamos obter o grau de comparaç ão de resulta-dos alcançado neste trabalho, tampouco conseguir´ıamos observar o resultado maior de nosso experimento que s ão as curvas e superf´ıcies geradas pelo programa.

(12)

2 CONJUNTOS E FUNC¸ ˜OES

Para darmos in´ıcio ao nosso trabalho s ão necess ários alguns conceitos e definiç ões pr é-liminares que tratam das noç ões de conjunto e de funç ão. A primeira destas noç ões diz respeito ao agrupamento de elementos de acordo com uma caracter´ıstica comum a todos eles. J á a segunda noç ão nos diz como relacionar dois ou mais conjuntos por meio de uma lei ou regra.

2.1 Conjuntos

Dentre todos os conceitos que abordaremos em nosso estudo, o conceito mais pri-mitivo é o de conjunto ou coleç ão de elementos ou objetos.

Quanto a um elemento pertencer ou n ão a um conjunto dizemos que sea é elemento de um conjunto A ent ão escrevemos a ∈ A (l ê-se a pertence a A), caso contr ário escrevemosa /∈A(l ê-sean ão pertence a A).

Representamos um conjunto qualquer A por seus elementos entre chaves ou por uma propriedade caracter´ıstica de seus elementos tamb ém entre chaves. Por exemplo o conjuntoA = {b, c, d} pode ser representado tamb ém comoA = {x;x é consoante situada entre as duas primeiras vogais do nosso alfabeto}, onde xrepresenta um ele-mento qualquer do conjuntoA.

Definiremos a seguir algumas operaç ões entre conjuntos, a saber: a reuni ão (ou uni ão), a interseç ão e a diferença entre dois conjuntos.

Definic¸ ˜ao 2.1. Dados os conjuntosAeB:

(i) a reuni ãoA∪B é o conjunto formado pelos elementos deAou deB; (ii) a interseç ãoA∩B é o conjunto formado pelos elementos deAe deB. (N úmeros e Funç ões Reais, PROFMAT, u.1 e 2, p.16).

Definiç ão 2.2. A diferença entre dois conjuntosAeB é definida por:

B\A={x;x∈B ex /∈A}. (N úmeros e Funç ões Reais, PROFMAT, u.1 e 2, p.15).

Assim, por exemplo, dadosA={b, c, d}eB ={a, b, c}, teremosA∪B ={a, b, c, d}, A∩B ={b, c}eA\B ={d}.

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racionais (fracion ´arios) ou represent ´aveis na forma p

q com p, q ∈ Z, o conjunto I dos n úmeros n ão-racionais ou irracionais, isto é aqueles que n ão podem ser representados na forma p

q, com p, q ∈ Z, como, por exemplo a medida da diagonal de um quadrado cuja medida do lado é um n úmero natural, e finalmente o conjuntoRdos n úmeros reais que consiste da uni ão entre o conjunto dos n úmeros racionais e o conjunto dos n úmeros irracionais, ou seja,R=Q∪I.

Quanto à relaç ão de conting ência entre dois conjuntos, segue a pr óxima definiç ão.

Definiç ão 2.3. Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento deA for tamb ém elemento deB, diz-se queA é um subconjunto deB, queAest á contido emB, ou queA é parte de B. Para indicar este fato, usa-se a notaç ão A ⊂ B. (N úmeros e Funç ões Reais, PROFMAT, u.1 e 2, p.5).

Podemos, ent ão, escrever, com base na definiç ão dos conjuntos num éricos citados anteriormente, a relaç ãoN⊂Z⊂Q⊂R. Ainda quanto a subconjuntos, indicamos por In, n ∈ N, o subconjunto de N dado por In = {p ∈ N;p ≤ n}. Assim, por exemplo, escrevemosI7 ={1,2,3,4,5,6,7}.

As definic¸ ˜oes a seguir tratam de conjunto limitado superiormente, conjunto limitado inferiormente, e supremo e ´ınfimo de um conjunto.

Definiç ão 2.4. Um conjuntoX ⊂Rdiz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈Rtal quex ≤b para todox ∈X. Neste caso, diz-se queb é uma cota superior de X. Analogamente, diz-se que o conjuntoX ⊂R é limitado inferiormente quando existe a∈Rtal quea≤xpara todox∈X. O n úmero achama-se ent ão uma cota inferior de X. (LIMA, 2006, p.16).

Definiç ão 2.5. Seja X ⊂ R limitado superiormente e n ão-vazio. Um n úmero b ∈ R chama-se o supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X. Analogamente, seX ⊂ R é um conjunto n ão-vazio, limitado inferiormente, um n úmero realachama-se o ´ınfimo do conjuntoX. (LIMA, 2006, p.16).

Indicamos o supremo e o ´ınfimo de um conjunto X respectivamente por sup X e inf X.

Podemos agora relacionar os elementos de dois ou mais conjuntos por meio de uma lei ou regra que os associe, a qual chamaremos de func¸ ˜ao.

2.2 Func¸ ˜oes

(14)

Al ém disso, dada uma funç ão qualquer f : A _→ B, denomina-se os conjuntos A, B e f(A) respectivamente de dom´ınio (D(f)), contra-dom´ınio(CD(f)) e imagem(Im(f)) da funç ão f, sendo quef(A) = _{y_∈B;y=f(x)_}. Assim, por exemplo, dados os conjuntos A=_{−1,0,√2_}eB =_{1,2,3_}, comx _∈Ae y_∈B, podemos dizer que a express ão y =x2

+ 1representa uma funç ãof : A _→ B, j á que todo elementoxest á associado a um elementoy pela funç ão f pois f(₋1) = 2, f(0) = 1 e f(√2) = 3, e ainda que D(f) =A,CD(f) = Im(f) =B.

Dizemos tamb ém que uma funç ãof : X _→ Y é injetora se para quaisquerx0, x1 _∈ D(f), com x0 ₆= x1, tem-se f(x0) ₆= f(x1), é sobrejetora se Im(f) = CD(f), e é bijetora, ou uma bijeç ão, sef é simultaneamente injetora e sobrejetora.

Podemos agora definir conjuntos cardinalmente equivalentes, conjuntos finitos e conjuntos infinitos, conforme segue.

Definiç ão 2.7. Dois conjuntosX eY s ão ditos cardinalmente equivalentes (ou equipo-tentes) se existe uma bijeç ãof : X _→ Y. (N úmeros e Funç ões Reais, PROFMAT, u.3, p.7).

Podemos estabelecer, por exemplo, uma equival ência entre o conjunto dos n úmeros reais, R, e o conjunto dos pontos de uma reta, a qual chamaremos reta real. Se de-finirmos um ponto O da reta como origem da mesma e ref ência para o n úmero real zero e definirmos o sentido positivo da reta para direita, demarcando sobre esta um ponto correspondente ao n úmero real um, podemos fazer a correspond ência entre os n úmeros racionais, pertencentes a Q, contidos em R e os pontos da reta que podem ser obtidos com base na unidade, sob alguma raz ão p

q, comp, q ∈Z. Para completar a equival ência, inclu´ımos no conjuntoRos n úmeros que n ão podem ser demarcados na reta sob a raz ão p

q, comp, q ∈Zcom base na unidade, isto é, os n úmeros irracionais do conjuntoI. Reciprocamente podemos associar todo ponto P da reta real a um n úmero real que representa a dist ância orientada, positiva, negativa ou nula, de P à origem O da reta.

Assim, acabamos de estabelecer uma bijeç ão entre os n úmerosx_∈Re o conjunto dos pontosX pertencentes à reta real, à qual denominaremos simplesmente de eixo realOX, e no qual os n úmerosxs ão chamados coordenadas abscissas dos pontosX da reta. A figura, a seguir, representa a reta real e dois pontosX, um à esquerda da origem e associado ao n úmero real negativox=₋d(X, O), e outro à direita da origem e associado a um n úmero real positivox=d(X, O), onded(X, O)representa a dist ância de cada pontoX à origemO da reta real.

(15)

Definiç ão 2.8. Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou ent ão existemn ∈ N _e uma bijeç ãof :In →X. (LIMA, 2006, p.3).

Definiç ão 2.9. Diz-se que um conjunto é infinito quando n ão é finito. Assim,X é infinito quando n ão é vazio nem existe, seja qual forn ∈ N, uma bijeç ão f : In → X. (LIMA, 2006, p.5).

O pr óximo t ópico trata de sistemas de coordenadas cartesianas e define gr áfico de funç ões param étricas de vari ável real no plano e no espaço.

2.2.1 Gr áficos e Funç ões Param étricas

Antes de definirmos o gr áfico de uma funç ão, necessitamos conceituar produto car-tesiano entre dois ou mais conjuntos. Assim, dados os conjuntosX e Y, definimos o produto cartesianoX×Y como o conjunto dos pares ordenados(x, y)tais quex∈Xe y∈Y, isto éX×Y ={(x, y);x∈X ey ∈Y}. Da mesma forma, definimos o produto cartesiano de tr ês conjuntosX,Y eZ, como sendoX×Y×Z ={(x, y, z);x∈X, y ∈Y e z ∈ Z}. Abreviadamente, escrevemos os produtos cartesianos R_×R_e R_×R_×R respectivamente comoR2

eR3 .

Podemos agora estabelecer uma equival ˆencia entre um par ordenado(x, y)do con-junto R2

e um ponto P do plano, definindo-se antes um sistema composto por duas retas reais perpendiculares, de origem O = (0,0) comum, tamb ém conhecidas como eixo das coordenadas abscissas e eixo das coordenadas ordenadas ou, respectiva-mente, eixos OX e OY, sendo o primeiro, horizontal e orientado positivamente para direita, e o segundo, vertical e orientado positivamente para cima, onde os n úmeros reaisxeyem seus respectivos eixos representam, nesta ordem, a dist ância orientada, positiva, negativa ou nula, do pontoP, respectivamente, aos eixosOY eOX, portanto, determinando-o. Da mesma forma, podemos associar um ponto P do plano às suas coordenadas xe y, ou seja, a um par ordenado (x, y) ∈ R2

. Na figura a seguir, est ˜ao representados o planoπ, seu sistema cartesianoOXY e alguns pontos do citado plano com suas respectivas coordenadas.

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Analogamente ao caso anterior, podemos estabelecer uma equival ˆencia entre o con-junto dos elementos (x, y, z) doR3

e o conjunto dos pontos do espac¸o tridimensional, adotando-se um terceiro eixo real orientado positivamente para cima, eixoOZ, sendo este perpendicular aos eixosOX eOY, e de mesma origemO = (0,0,0), compondo o chamado sistema ortogonalOXY Z.

As figuras a seguir mostram uma regi ão do espaço tridimensional limitada pelos planosOXY, OXZ e OY Z que contem, respectivamente, os eixosOX e OY, OX e OZ, e OY e OZ, onde o ponto O é a única intersecç ão entre os planos OXY,OXZ e OY Z. Al ém disso, podemos associar o terno de n úmeros reais(a, b, c) nas figuras a seguir como as coordenadas do ponto P, onde a = d(P, Q3), b = d(P, Q2) e c = d(P, Q1), onde os pontosQ1,Q2 eQ3s ão, nesta ordem, os p és das perpendicularesr1, r2 e r3 baixadas deP sobre os planosOXY,OXZ eOY Z.

Geometria Anal´ıtica, PROFMAT, u.13, p.5. Geometria Anal´ıtica, PROFMAT, u.13, p.5. Geometria Anal´ıtica, PROFMAT, u.13, p.5. Uma funç ão param étrica de vari ável realt no plano é uma funç ãof :R → R2 cujo gr áfico no sistemaOXY comp õe-se dos pontosP = (x, y) = (f1(t), f2(t))do plano que obedecem à lei da funç ãof e onde as coordenadasxeys ão, respectivamente, funç ões f1 ef2 no par âmetro realt. De forma an áloga, uma funç ão param étrica de vari ável real t no espaço tridimensional é uma funç ãof : R → R3 cujo gr áfico no sistema OXY Z comp õe-se dos pontosP = (x, y, z) = (f1(t), f2(t), f3(t))do espaço que seguem à lei da funç ãof e onde as coordenadasx,y e z s ão, respectivamente, funç õesf1,f2 e f3 no par âmetro realt.

As definiç ões a seguir tratam de sequ ência num érica, sequ ência limitada, sequ ências mon ótonas e subsequ ência.

2.2.2 Sequ ˆencias

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Como o conjunto N _{= 1,}_2,_{3, . . .} _{é o mesmo para toda e qualquer sequ ência} _x, pode-se convenientemente representar a sequ ência(x(1), x(2), . . . , x(n), . . .)de valo-res funcionais dexpor(x1, x2, . . . , x_n, . . .)e a sequ ênciaxpor(xn), onde seu n- ésimo termo tamb ém é conhecido como termo geral da sequ ência.

Definiç ão 2.11. Uma sequ ência (xn) é dita limitada, se existe c > 0tal que |xn| < c, para todo n ∈ N. Quando uma sequ ência (xn) n ão é limitada, dizemos que ela é ilimitada. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.4).

Definiç ão 2.12. Uma sequ ência (xn) ser á dita decrescente se xn+1 < xn para todo n ∈ N. Diremos que a sequ ência é n ão crescente, se xn+1 ≤ xn para todo n ∈ N. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.5).

Definiç ão 2.13. Uma sequ ência (xn)ser á dita crescente se x_n+1 > xn para todo n ∈ N. Diremos que a sequ ência é n ão decrescente, se x_n+1 ≥ xn para todo n ∈ N. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.5).

Definiç ão 2.14. As sequ ências crescentes, n ão decrescentes, decrescentes ou n ão crescentes s ão chamadas de sequ ências mon ótonas. (Fundamentos de C álculo, PROF-MAT, u.1, p.5).

Definiç ão 2.15. Dada uma sequ ência (xn)n∈N de n úmeros reais, uma subsequ ência de (xn) é a restriç ão da funç ão x que define (xn) a um subconjunto infinito N₁ ₌ {n1 < n2 < n3 < . . . < n_k < . . .}. Denotamos a subsequ ência por (xn)n∈N1, ou (x_n1, x_n2, x_n3, . . . , x_nk, . . .)ou ainda(x_ni)i∈N. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.7).

Podemos agora enunciar e demonstrar nosso primeiro Teorema.

Teorema 2.1. Toda sequ ência(xn)possui uma subsequ ência mon ótona. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.15).

Demonstraç ão. Considere os dois seguintes conjuntos: A1 = {p ∈ N_; _existe _{n > p} tal que xn ≥ xp} e A2 = {p ∈ N; existe n > ptal que xn ≤ xp}. É claro que se tem A1∪A2 =N_{. Temos, agora, duas possibilidades: a)}A1 é infinito. Neste caso, é imediato extrair uma subsequ ência n ão decrescente de(xn). b)A1 é vazio ou finito. Neste caso, A2 é necessariamente infinito e, portanto, podemos extrair de (xn) uma subsequ ência n ão crescente. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.15).

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•Pn_k=11 :Pn_k=11 = 1 + 1 +. . .+ 1

| {z }

n vezes

=n.1 =n;

•Pn_k=1a, comaconstante: Pn

k=1a=a_|+a+_{z. . .+a_} n vezes

=a.(1 + 1 +. . .+ 1)

| {z }

n vezes

=a.Pn_k=11 =a.n;

•Pn_k=1k :

Pn

k=1k = 1 + 2 + . . . + (n−1) + n

Pn

k=1k = n + (n−1) + . . . + 2 + 1

2.Pn_k=1k = (n+ 1) + (n+ 1) + . . . + (n+ 1) + (n+ 1)

⇒Pn_k=1k = n.(n+1)₂ ;

•Pn_k=1a.k, comaconstante: Pn

k=1a.k =a.1 +a.2 +. . .+a.n=a.(1 + 2 +. . .+n) =a. Pn

k=1k =a. n(n+1)

2 ; •Pn_k=1k2 :

Pn

k=1(k+ 1)3− Pn

k=1k3 = 23+. . .+n3+ (n+ 1)3−(13+ 23+. . .+n3) = (n+

1)3₋₁3 _⇒Pn

k=1[(k+ 1)3−k3] =n3+ 3n2+ 3n+ 1−1⇒ Pn

k=1(3k2+ 3k+ 1) =

n3+ 3n2_{+ 3n}_⇒_3.Pn

k=1k2+ 3. Pn

i=1k+ Pn

k=11 = n3+ 3n2+ 3n ⇒ Pn

k=1k2 = 1

3.(n

3_{+ 3n}2_{+ 3n}₋_3.Pn k=1k−

Pn

k=11) = 1 3.(n

3_{+ 3n}2_{+ 3n}₋_3.n(n+1)

2 −n)⇒ Pn

k=1k2 = 1 3. 2n3 +6n2 +6n−3n2 −3n−2n 2 = 2n3 +3n2 +n 6 ⇒ Pn

k=1k2 =

n(n+1)(2n+1)

6 .

Verificamos assim que o somat ório das pot ências dek,kp_{, com}_p_{= 0,}_1,_{2 (}Pn k=1kp) s ão polin ômios de graup+ 1. Iremos, ent ão, generalizar em um Teorema estes resulta-dos e demonstr á-lo, por induç ão, conforme segue.

Teorema 2.2. ₁p_{+ 2}p _{+ 3}p ₊_{. . .}₊_np ₌ Pn

k=1kp é um polin ômio de graup+ 1emn. (Matem ática Discreta, PROFMAT, u.5, p.11).

Demonstraç ão. Vamos proceder por induç ão sobre p. Para p = 1, o teorema j á foi provado anteriormente.

Suponhamos agora quePn_k=1kp _{seja um polin ˆomio de grau}_p_{+ 1}_em_n_{, para todo}

p ∈ {1,2,3, . . . , s}. Mostraremos que essa afirmaç ão é verdadeira para p = s + 1, isto é, mostraremos quePn_k=1ks+1 é um polin ômio de grau s + 2 em n. Observe que

(k+1)s+2 ₌_ks+2_+(s+2)ks+1_{+. . .}_{, onde os termos que n ˜ao foram escritos explicitamente} formam um polin ˆomio de grau s em k.

Temos ent ˜ao,

Pn

k=1(k+ 1)s+2 = Pn

k=1ks+2+ (s+ 2) Pn

(19)

ondeF(n) é um polin ômio de graus+ 1emn, pela hip ótese da induç ão. Simplificando os termos comuns aos dois primeiros somat órios, obtemos

(n+ 1)s+2

= 1 + (s+ 2)Pn_k=1ks+1

+F(n). Da´ı,

n X

k=1

ks+1 = (n+ 1) s+2

−1−F(n) s+ 2

que é um polin ômio de grau s + 2 em n. (Matem ática Discreta_{, PROFMAT, u.5, p.11).} Assim, dado um polin ômio qualquerF(k) = a0+a1k+a2k2

+. . .+apkp, o somat ´orio Pn

k=1F(k)pode ser calculado como

n X

k=1

F(k) = n X

k=1

(a0+a1k+a2k2+. . .+apkp)

= a0 n X

k=1

1 +a1 n X

k=1

k+a2 n X

k=1

k2+. . .+ap n X

k=1 kp

e observando-se que o grau de Pn_k=1F(k) depende somente do grau de Pn_k=1kp _na express ão acima e que este, pelo Teorema 1, é igual ap+ 1 podemos, ent ão, enunciar o seguinte Corol ário.

Corol ário 2.1. SeF é um polin ômio de graupent ãoPn_k=1F(k) é um polin ômio de grau p+ 1 emn. (Matem ática Discreta_{, PROFMAT, u.5, p.12).}

As definiç ões a seguir tratam da definiç ão de progress ão aritm ética, do operador diferença para sequ ências e da definiç ão de progress ão aritm ética de segunda ordem.

2.2.2.1 Progress ˜oes Aritm ´eticas

Definiç ão 2.16. Uma progress ão aritm ética é uma sequ ência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de raz ão da progress ão e representada pela letra r. (Matem ática Discreta_{, PROFMAT, u.5,} p.3).

(20)

Podemos, com base nos resultados anteriores e de posse da express ˜ao do termo

geral da progress ão aritm ética, encontrar uma express ão para a soma dos termos de

uma progress ˜ao aritm ´etica(ak) : (a1, a2, . . . , an−1, an), ou seja, Pn

k=1ak. Assim:

n X

k=1

ak = n X

k=1

(a1 + (k−1)r) =

n X

k=1

((a1−r) +r.k)

= (a1−r). n X

k=1

1 +r. n X

k=1 k

= (a1−r).n+r.n(n+ 1)

2 =

rn(n+ 1) + 2(a1−r)n

2

= rn

2

+rn+ 2a1n−2rn

2 =

(rn+r+ 2a1−2r).n

2

= (2a1+rn−r).n

2 =

(a1 + (a1+ (n−1)r).n

2 =

(a1+an)n

2 .

Definiç ão 2.17.Define-se para sequ ências o operador∆, chamado de operador diferen-ça, por∆an =an+1−an. (Matem ática Discreta, PROFMAT, u.5, p.8).

Como consequ ência desta definiç ão, v ê-se que toda sequ ência (an) em que ∆an é constante é uma progress ão aritm ética. Define-se ainda progress ão aritm ética es-tacion ária aquela em que ∆an é constante e igual a zero, e progress ão aritm ética de primeira ordem (ou n ão-estacion ária) aquela em que ∆an é constante e diferente de zero.

Definiç ão 2.18. Uma progress ão aritm ética de segunda ordem é uma sequ ência(an)na qual as diferenças∆an =an+1−an, entre cada termo e o termo anterior, formam uma progress ão aritm ética n ão-estacion ária. (Matem ática Discreta_{, PROFMAT, u.5, p.8).}

De um modo geral, podemos afirmar que uma progress ão aritm ética (an) é de k-ésima ordem,k ≥ 2, quando a sequ ência formada pelas diferenças consecutivas entre seus termos, isto é(∆an), é uma progress ão aritm ética de (k-1)- ésima ordem.

Dada uma sequ ência qualquer(aj) : (a1, a2, . . . , an)podemos, por diferenciaç ão de seus elementos, encontrar sequ ências(∆ak),(∆∆ak)ou(∆2

ak),(∆3

ak), . . . ,(∆n−1 ak), das quais pelo menos uma podemos supor ser uma progress ão aritm ética estacion ária.

Assim, obtemos o seguinte esquema em pir ˆamide.

∆n−1 a1

∆n−2

a1,∆n−2 a2 . . .

∆2

a1, . . . , ∆2 an−2

(21)

Observe que, na pior das hip ´oteses, podemos considerar(∆n−1

a1)como progress ão aritm éti-ca estacion ária e a partir da´ı escrevermos express ões gerais para as demais sequ ências por meio da igualdade ∆l_a

j = ∆la1 +

Pj−1

m=1∆

l+1

am, onde j varia de 1 a

n −l em cada progress ˜ao. Neste caso, (∆n−2

aj) e (∆n−3aj) ser´ıam, por definic¸ ˜ao,

respectivamente, progress ões aritm éticas de primeira e de segunda ordens. Seguindo este racioc´ınio, ter´ıamos enfim que(ak)ser´ıa uma progress ão aritm ética de (n-1)- ésima

ordem. Note tamb ´em que, neste caso, o grau do polin ˆomio que define o termo geral ∆l_a

j de cada progress ão da pir âmide depende apenas do somat ório dosj−1primeiros

termos de sua sequ ˆencia imediatamente superior, ∆l+1

aj, e que, pelo Corol ´ario 1, ´e o

grau do polin ômio desta mais uma unidade. Portanto, conclui-se que o polin ômio que define a sequ ência (aj), neste caso, possui grau n-1. Assim, de modo geral, se l é

o menor n ´umero para o qual tem-se (∆l_a

j) como progress ão aritm ética estacion ária,

ent ão o grau do polin ômio que representa a sequ ência(aj) é igual al.

As definiç ões e Teoremas, a seguir, tratam do limite (lim) de sequ ências e suas pro-priedades, bem como do limite de funç ões e suas propro-priedades, e fundamentam nosso estudo sobre derivadas e integrais de funç ões.

3 LIMITES E CONTINUIDADE

3.1 Limites

3.1.1 Limites de Sequ ˆencias

Definiç ão 3.1. Sejam(xn)uma sequ ência de n úmeros reais elum n úmero real.

Dize-mos que(xn)converge paral, ou ´e convergente, e escreve-se lim n→∞

xn=l, quando para

qualquer intervalo aberto I contendo l (por menor que ele seja) ´e poss´ıvel encontrar um inteiron0 ≥ 1, de modo que xn ∈ I para todo n > n0. (Fundamentos de C ´alculo,

PROFMAT, u.1, p.12).

Podemos, por exemplo, mostrar que lim

k→∞

c = c, ou simplesmente limc = c, com cconstante. Neste caso, considere a sequ ˆencia (ck), onde ck = cpara todo k, e um

intervaloI = (−r+c, c+r), onder >0 é um n úmero real arbitr ário. Assim, admitindo-sek0 = 1teremos para todo k > k0 que −r+c < ck =c < c+r e portantock ∈ I, o

que quer´ıamos demonstrar.

O Teorema, a seguir, trata da unicidade do limite. Teorema 3.1. Se existir um n ´umero reall tal que lim

n→∞

xn =l, ent ão ele é único. (

(22)

Demonstrac¸ ˜ao. Suponha por absurdo que lim

n_→∞xn=l1 e quenlim_→∞xn =l2, coml1 6=l2. Tomer = |l2−l1|

2 >0. Assim, existem inteiros positivosn1 en2tais que para todon > n1, |xn−l1|< re para todon > n2,|xn−l2|< r. Tomando-sen0 =max{n1, n2}, temos que |xn−l1|< re|xn−l2|< r, para todon > n0, o que é equivalente al1−r < xn< l1+r e l2 −r < xn < l2 +r, para todo n > n0. Multiplicando-se a primeira desigualdade por −1, obtemos a desigualdade −l1 −r < −xn < r −l1. Agora, adicionando-a à segunda, obtemosl2−l1−2r < 0 < l2−l1 + 2r, ou seja, −2r < l1−l2 < 2r, donde |l2−l1| <2r =|l2−l1|, absurdo. Provamos assim que o limite é único. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.20).

Os Teoremas, a seguir, tratam da limitaç ão de sequ ências convergentes e da com-pletude dos n úmeros reais.

Teorema 3.2._{Toda sequ ência convergente é limitada. (}_{Fundamentos de C álculo}_, PROF-MAT, u.1, p.13).

Demonstraç ão. Seja(xn)uma sequ ência convergente, tal que lim

n_→∞xn =l. Pela defini-ç ão de sequ ência convergente, temos que dado um intervalo limitado I contendo l, existe um inteiro positivon0 tal que para todo inteiron > n0, tem-se quexn ∈I. Assim, os únicos termos da sequ ência que eventualmente n ão pertencem ao intervaloI, s ão os termosx1, x2, . . . , xn0, portanto em n úmero finito.

Basta agora tomar um intervalo limitadoJ contendo o intervaloI e tamb ém os ter-mosx1, x2, . . . , xn0 . Obtemos assim, que todos os termos da sequ ência pertencem ao intervaloJ e que, portanto, (xn) é limitada. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.1, p.14).

Teorema 3.3. _{Toda sequ ência mon ótona limitada é convergente. (LIMA, 2006, p.25).}

Demonstraç ão. Seja(xn)mon ótona, digamos n ão decrescente, limitada. Escrevamos X =x1, . . . , xn, . . . ea =supX. Afirmamos que a= limxn. Com efeito, dado ǫ >0, o n úmeroa−ǫ n ão é cota superior de X. Logo existen0 ∈ N tal quea−ǫ < xn0 ≤ a. Assim,n > n0 ⇒a−ǫ < xn0 ≤xn < a+ǫe da´ılimxn =a.

Semelhantemente, se(xn) é n ão-crescente, limitada ent ãoxn é o ´ınfimo do conjunto dos valoresxn. (LIMA, 2006, p.25).

Os Teoremas e o Corol ário a seguir e suas respectivas demonstraç ões tratam do limite da soma, do limite do produto, do limite de polin ômio, do limite do inverso, do limite do quociente e da relaç ão entre limites e desigualdades aplicada a sequ ências. Teorema 3.4. _Se _lim

n_→∞xn=lenlim_→∞yn=k, ent ˜aonlim_→∞(xn+yn) = l+k. (Fundamentos

(23)

Demonstrac¸ ˜ao. Pela desigualdade triangular, para todo n, temos

|(xn+yn)−(l+k)|=|(xn−l) + (yn−k)| ≤ |xn−l|+|yn−k|

A validade desta proposic¸ ˜ao decorre do fato de que podemos tornar a soma|xn−l|+

|yn−k|t ão pr óximo de zero quanto queiramos desde que tomemos nsuficientemente grande (pois isto vale tanto para|xn−l|quanto para|yn−k|. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.2, p.2).

Teorema 3.5. _Se _lim n→∞

xn=le lim n→∞

yn=k, ent ˜ao lim n→∞

xn.yn= ( lim n→∞

xn).( lim n→∞

yn) = lk. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.2, p.3).

Demonstrac¸ ˜ao. Notemos que

xnyn−lk =xnyn−xnk+xnk−lk =xn(yn−k) +k(xn−l)

Por outro lado, sabemos que existeM > 0tal que|xn| ≤M para todo n, pois toda sequ ˆencia convergente ´e limitada. Portanto, para todon,

|xnyn−lk|=|xn(yn−k) +k(xn−l)| ≤ |xn(yn−k)|+|k(xn−l)|=|xn||yn−k|+

|k||xn−l| ≤M|yn−k|+|k||xn−l|. Da´ı resulta que lim

n→∞

xnyn = lk, j á que podemos tornarM|yn−k|+|k||xn−l| t ão pr óximo de zero quanto queiramos desde que tomemosnsuficientemente grande (pois isto vale tanto para|xn−l|quanto para|yn−k|. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.2, p.3-4).

Por exemplo, sejacuma constante real arbitr ´aria,xn=cpara todon ≥1e lim n→∞

yn=

k. Assim, como lim n→∞

xn = lim n→∞

c = c temos, do teorema anterior que lim n→∞

cyn = lim

n→∞

xnyn= ( lim n→∞

xn)( lim n→∞

yn) =ck.

Teorema 3.6. _Seja_p₍_x_{) =}_a_m_xm₊_{. . .}₊_a

1x+a0 um polin ˆomio. Tem-se que lim n→∞

xn =

l⇒ lim

n→∞

p(xn) = p( lim n→∞

xn) =p(l). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.2, p.5).

Demonstrac¸ ˜ao. De fato, dos Teoremas 3.4, 3.5 e do exemplo anterior, segue-se que

lim n→∞

p(xn) = lim

n→∞(

amxnm+. . .+a1x_n+a0)

= lim n→∞

amxnm+. . .+ lim n→∞

a1x_n+ lim n→∞

a0

= am lim n→∞

xnm+. . .+a1 lim n→∞

xn+a0

= amlm+. . .+a1l+a0 =p(l).

(Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.2, p.5).

Teorema 3.7. _Se₍_y_n) _{é uma sequ ência de n úmeros reais n ão nulos convergindo para} um n úmero realk n ão nulo, ent ão a sequ ência(1

yn)converge para 1

k. (Fundamentos de

(24)

Demonstraç ão. Seja r um n úmero real arbitr ário no intervalo (0, k2

). Assim, r2 > 0

e k2

−r > 0. Como yn converge para k, sabemos que kyn converge para k 2

. Logo,

existem inteiros positivosn1en2 tais que paran > n1temos|yn−k|< r 2

e paran > n2

temos|kyn−k 2

|< k2−r. Tomando-sen0 =max{n1, n2}, segue que para todon > n0, temos que |yn− k| < r

2

e |kyn −k 2

| < k2

−r. Expandindo a ´ultima desigualdade, obtemos kyn > r > 0para todon > n0, donde 0 <

1 kyn <

1

r. Assim, conclu´ımos que para todon > n0,|1

yn− 1 k|=|

k−_yn kyn |<

r2

r =r, provando a proposic¸ ˜ao. (Fundamentos de

C ´alculo, PROFMAT, u.2, p.6).

Corol ´ario 3.1. Se lim n→∞

xn = l e lim n→∞

yn = k, com yn 6= 0, para todon ∈ N, e k 6= 0 ent ˜ao lim

n→∞ xn yn = lim n→∞x n lim n→∞yn = l

k. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.2, p.6).

Demonstrac¸ ˜ao. De fato, dos Teoremas 3.5 e 3.7, temos que

lim n→∞

xn yn

= lim n→∞(

xn. 1 yn

) = ( lim n→∞

xn)( lim n→∞

1 yn

) =l.1 k =

l k.

Teorema 3.8. Se(xn) é uma sequ ência convergente satisfazendoxn< bpara todon ∈ N(respectivamente,xn> bpara todon ∈N), ent ão lim

n→∞

xn ≤b(respectivamente,lim n→∞

xn ≥b). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.2, p.7).

Demonstraç ão. Provaremos apenas a primeira asserç ão, pois a segunda se prova de

modo an ´alogo e a deixamos como exerc´ıcio para o leitor.

Seja lim n→∞

xn =le suponha por absurdo quel > b. Tomemosr >0, suficientemente

pequeno, tal quel−r > b.

Por definiç ão de limite de uma sequ ência, existe um inteiro positivon0 tal que para todon > n0 tem-se que xn ∈ (l −r, l+r). Mas isso significa que para todo n > n0, tem-se que xn > b, contradizendo a hip ótese xn < b para todo n ∈ N. Conclu´ımos, portanto, quel≤b. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.2, p.8).

3.1.2 Limites de Func¸ ˜oes

Vamos agora estender a definiç ão de limite para uma funç ãof :R_→R.

Definiç ão 3.2. Sejamf :D→R, ondeD é o dom´ınio def,a∈Rtal que todo intervalo aberto contendo a intersecte D\{a} e l ∈ R_{. Diz-se que} _f(x) _{tende para} _l _quando _x tende paraa, e escreve-se lim

x→_af(x) =

l (l ˆe-se: limite def(x)quandoxtende paraa ´e

igual al) quando para toda sequ ˆencia(xn)de elementos deD\{a}tal que lim n→∞

xn=a,

tem-se lim n→∞

(25)

Os Teoremas e o Corol ário a seguir, com suas respectivas demonstraç ões tratam do limite de polin ômio, do limite da soma, do limite do produto e do limite do quociente aplicado a funç ões, al ém do limite do produto de uma constante por uma funç ão e do limite da diferença de duas funç ões.

Teorema 3.9. _Se _p _{é um polin ômio qualquer, ent ão, para todo}_a _∈ _R_, _lim

x→a

p(x) = p(a). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.3, p.6).

Demonstraç ão. De fato, tomemos qualquer sequ ência (xn) de n úmeros reais

diferen-tes de a tal que lim

n→∞

xn = a. Vimos no Teorema 3.6 que lim

n→∞p(xn) = p(a). Assim, lim

x→_ap(x) =p(a). (

Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.3, p.6).

Teorema 3.10. _Sejam _{f, g} _: _D _→ _R_e _a _∈ _R_{tal que todo intervalo aberto contendo} _a intersecteD\{a}. Se lim

x→_a

f(x) = l₁ e lim

x→_ag(x) =

l₂, ent ˜ao,

(a)lim

x→_a(f +g)(x) =

l₁+l₂.

(b)lim

x→a(

f g)(x) = l₁l₂.

(c)Seg(x)6= 0para todox∈Del₂ 6= 0, tem-se que lim

x→_a(

f

g)(x) = l1

l2. (Fundamentos

de C ´alculo, PROFMAT, u.3, p.9).

Demonstraç ão. (a) Seja(xn)uma sequ ência arbitr ária de elementos deD\{a}tal que

lim

n→∞

xn =a. Como lim x→_a

f(x) =l₁, segue-se que lim

n→∞f(xn) =

l₁ e, como lim

x→_ag(x) = l₂, segue que lim

n→∞g(xn) =

l₂. Pelo Teorema 3.4, obtemos lim

n→∞(f+g)(xn) = lim_n→∞(f(xn) + g(xn)) = lim

n→∞

f(xn) + lim

n→∞g(xn) =

l₁+l₂. Portanto, pela definic¸ ˜ao de limite, lim

x→_a(f+g)(x) =

l₁+l₂, como hav´ıamos afirmado.

(b) De fato, seja (xn) uma sequ ˆencia arbitr ´aria de elementos de D\{a} tal que

lim

n→∞

xn =a. Como lim x→a

f(x) =l₁, segue-se que lim

n→∞

f(xn) = l1 e, como_xlim →a

g(x) = l₂, segue que lim

n→∞g(xn) =

l₂. Pelo Teorema 3.5, obtemos lim

n→∞(f g)(xn) = lim_n→∞(f(xn)g(xn)) = ( lim

n→∞

f(xn))( lim

n→∞g(xn)) =

l₁l₂. Portanto, pela definic¸ ˜ao de limite, lim

x→_a(f g)(x) = l₁l₂.

(c) A demonstraç ão deste item é an áloga às dos itens anteriores, lembrando que dever á ser usado o Corol ário 3.1. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.3, p.10).

Corol ´ario 3.2. _Sejam_{f, g} _:_D_→_R_{como no enunciado do Teorema 3.10.} (a) Sec∈R, ent ˜ao lim

x→_a

cf(x) =clim

x→_a

f(x) = cl₁.

(b) lim

x→a

(26)

Demonstraç ão. (a) Aplique o item (b) do Teorema 3.10 com g(x) = c a funç ão constante.

(b) Observe que lim

x→a

(f(x)−g(x)) = lim

x→a

[f(x) + (−g(x))] e aplique a esta última express ão os itens (a) do Teorema 3.10 e do presente corol ário. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.3, p.10).

Antes de definirmos a derivada de uma funç ão faz-se necess ário definirmos quando

uma funç ão é cont´ınua em um dado ponto de seu dom´ınio e quando uma funç ão é dita

cont´ınua. As definiç ões a seguir tratam deste t ópico.

3.2 Limites e Continuidade

Definiç ão 3.3. Sejam f :D →Ruma funç ão definida no dom´ınioD ∈Re a ∈D, um ponto tal que todo intervalo aberto contendoaintersectaD\{a}. Dizemos que a funç ão

f ´e cont´ınua emase lim

x→a

f(x) =f(a). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.7, p.3).

Definiç ão 3.4. Sejaf :D→ R. Dizemos quef é cont´ınua sef for cont´ınua em todos os elementos deD. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.7, p.4).

Assim, por exemplo, podemos afirmar que toda funç ão polinomial p : R → R é cont´ınua pois, pelo Teorema 3.9, temos lim

x→a

p(x) = p(a) para todo a ∈ _R, isto ´e p ´e cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio.

Os Teoremas, a seguir, e suas respectivas demonstrac¸ ˜oes tratam respectivamente

do Teorema do Valor Intermedi ´ario, da imagem de um intervalo e do Teorema de

Wei-erstrass e auxiliar ão em nosso estudo sobre integral de uma funç ão.

Teorema 3.11. Sejaf : [a, b]→Ruma funç ão cont´ınua e sejadum n úmero entref(a) ef(b). Ent ão existe um n úmero c∈ (a, b)tal quef(c) = d. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.8, p.5).

Demonstrac¸ ˜ao. Sem perda de generalidade, podemos supor que f(a) < d < f(b).

Al ém disso, considerandog : [a, b]→_Ra funç ão definida porg(x) =f(x)−d, tamb ém cont´ınua, observamos que basta demonstrar o teorema para o caso em que d = 0.

Logo, podemos supor quef(a) < 0 < f(b)e, portanto, queremos achar c ∈ (a, b) tal

quef(c) = 0.

A estrat égia que usaremos para achar esse n úmero c é a seguinte: construiremos

duas sequ ˆencias mon ´otonas contidas em [a, b], portanto limitadas. Pela completude

dos n úmeros reais, elas s ão convergentes. Al ém disso, a sequ ência obtida tomando a dist ância entre os seus termos, converge para zero. Portanto, elas convergem para um

(27)

Constru´ımos duas sequ ˆencias, (an)e (bn), da seguinte maneira: a1 = a e b1 = b. Sejam1 = a₁+b₁

2 , o ponto m ´edio do intervalo [a, b]. Apenas uma das tr ˆes possibilidades

pode ocorrer: f(m1) = 0, f(m1) < 0 ou f(m1) > 0. Caso f(m1) = 0. Neste caso, tomandoc=m1, o teorema est ´a demonstrado. Caso f(m1) <0. Neste caso, escolhe-mosa2 = m1 e b2 = b1. Isto ´e, estamos abandonando a primeira metade do intervalo

[a, b]. Veja na ilustrac¸ ˜ao a seguir.

Fonte:Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.8, p.15.

Casof(m1)>0. Neste caso, escolhemosa2 =a1 eb2 =m1. Isto ´e, abandonamos a outra metade do intervalo.

Repetimos este processo fazendom2 = a₂+b₂

2 . Novamente, sef(m2) = 0, ent ˜ao o

resultado ´e verdadeiro. Sef(m2) < 0, escolhemosa3 = m2 e b3 = b2. Se f(m2)> 0, escolhemosa3 =a2 eb3 =m2.

Prosseguindo desta forma, ou obtemos uma soluç ão def(x) = 0, como algum ponto m édio dos subintervalos, ou produzimos duas sequ ências mon ótonas,(an)e (bn), tais que para todo n úmeron∈N_,

•an≤an+1 ebn ≥bn+1;

•bn−an = b₁₋a₁ 2n ; •f(an)<0e f(bn)>0.

A primeira afirmaç ão, mais o fato de todos os elementos das duas sequ ências

es-tarem contidos no intervalo[a, b], pelo Teorema 3.3, implicam que as duas sequ ências convergem. Sejamliman=c1elimbn =c2. A segunda afirmaç ão garante quec1 =c2. De fato,c2−c1 = limbn−liman = lim(bn−an) = 0.

Logo, c1 = c2. Chamaremos esse n úmero de c. Este é o candidato à soluç ão de

f(x) = 0. Para mostrar isso, usamos a hip ´otese da continuidade. Como f ´e cont´ınua,

limf(an) = limf(bn) = f(c). A terceira afirmac¸ ˜ao garante, pelo Teorema 3.8, que

limf(an) = f(c) ≤ 0 e limf(bn) = f(c) ≥ 0. Portanto, f(c) = 0. (Fundamentos de C ´alculo_{, PROFMAT, u.8, p.15-16).}

Teorema 3.12. _Seja_f _:_I →Ruma funç ão cont´ınua definida em um intervaloI. Ent ão,

(28)

Demonstrac¸ ˜ao. Na verdade, vamos mostrar que a imagem f(I), do intervalo I por f

possui a seguinte propriedade: se α e β s ˜ao elementos de f(I), ent ˜ao o intervalo de

extremosα e β est á contido emf(I). Esta caracterizaç ão dos subconjuntos de_Rque s ão intervalos é bastante intuitiva e poderia ser demonstrada rigorosamente usando a completude de_R. Note que estamos considerando todos os tipos de intervalos, inclusive

Re{a}= [a, a].

Vamos aos detalhes. Sef ´e constante,f(I)reduz-se a um conjunto com um ´unico

elemento. Vamos ent ão suporfn ão constante e sejamαeβelementos def(I). Ent ão,

existem a e b em I tais que f(a) = α e f(b) = β. Suponhamos, sem perder em

generalidade, quea < b. Aqui usamos a hip ´otese deI ser um intervalo: [a, b] → I. A

funç ãof, cont´ınua emI, quando restrita a [a, b], ainda é uma funç ão cont´ınua. Agora,

suponhaγ um elemento qualquer entre αe β. Portanto,γ ´e um elemento entref(a)e

f(b)e, pelo Teorema do Valor Intermedi ´ario aplicado af restrita `a[a, b], existec∈[a, b]

tal quef(c) =γ. Isso quer dizer que todos os elementos entreαeβ s ˜ao elementos de

f(I), ou seja,[α, β]⊂f(I). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.8, p.6).

Teorema 3.13. _Seja _f _{: [}_{a, b}_] _→ _R _{uma func¸ ˜ao cont´ınua definida no intervalo} _[_{a, b}_]_,

fechado e limitado da reta. Ent ˜ao, existem n ´umerosce d, contidos em [a, b], tais que,

para todo x ∈ [a, b], f(c) ≤ f(x) ≤ f(d). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.8,

p.9).

Demonstraç ão. Vamos mostrar que a imagem de [a, b]porf é um intervalo fechado

e limitado [C, D]. J ´a sabemos que f([a, b]) = I, um intervalo. Se f for constante,

I = [C, C] ={C}. Vamos supor quef n ˜ao ´e constante.

Mostraremos inicialmente queI é um intervalo limitado. Suponhamos, por absurdo, que I n ão seja limitado. Podemos ent ão tomar (sem perda de generalidade) uma

sequ ˆencia(yn)de elementos deI, escolhendoy₁um elemento qualquer deIe fazendo

yn = yn₋₁+ 1, para n ≥ 2. Ent ˜ao, limyn = +∞. Na verdade, qualquer subsequ ˆencia

(yn′)tamb ém satisfaz a condiç ãolimyn′ = +∞.

Considere agora a sequ ˆencia (an)de elementos de [a, b], tal que f(an) = yn.

Apli-cando o Teorema 2.1, podemos considerar(an′), uma subsequ ˆencia mon ´otona de(an),

que tamb ´em ´e limitada, uma vez que seus elementos pertencem ao intervalo [a, b].

Pelo Teorema 3.3, da completude dos n ´umeros reais, essa subsequ ˆencia converge

para algum n ´umero em [a, b], digamos liman′ = l. A continuidade de f garante que

limyn′ = limf(an′) = f(l), que contradiz o fatolimyn′ = +∞. Logo, I ´e um intervalo limitado.

Vamos agora provar queI ´e fechado. Suponhamos queDseja o extremo superior

deI. Vamos mostrar que D ∈ f([a, c]). A estrat ´egia ´e a mesma. Tomemos (zn)uma

sequ ˆencia de elementos distintos deI, tal quelimzn = D. Podemos considerar, por

exemplo,z₁ um elemento deIe, portanto,z₁ < D. Definazn= D−zn₋₁

(29)

Agora, seja(bn)a sequ ˆencia de elementos de[a, b]tal quef(bn) =zn. Escolha uma

subsequ ˆencia (b_n′) mon ´otona e limitada, portanto convergente. Digamos limb_n′ = d.

A continuidade de f garante que limf(b_n′) = f(d) = lim(z_n′) = D. Isto prova que

D ∈ I = f([a, b]). Analogamente, prova-se que C, o extremo inferior do intervalo I,

tamb ´em pertence aI. (Fundamentos de C ´alculo_{, PROFMAT, u.8, p.17).}

4 DERIVADAS

Vamos agora definir a derivada de uma func¸ ˜ao. Para isto, dada uma curva do _R2

denomina-se coeficiente angular ou inclinaç ão da reta secante à curva, passando pelos

pontosP = (x0, f(x0))eQ= (x1, f(x1))desta, a raz ˜ao f(x1) −f(x0)

x1−x0 =

f(x0+h)−f(x0)

h , onde

h=x1−x0.

Com base no conceito de inclinaç ão de uma reta e na express ão do limite de uma funç ão, poderemos a seguir tratar da definiç ão de derivada de uma funç ão e dar

interpre-taç ão geom étrica à mesma.

Definiç ão 4.1. A derivada de uma funç ãoy = f(x)definida em um intervalo abertoI

em um pontox0 ∈ I ´e dada por f′(x0) = lim

h→₀

f(x0+h)−f(x0)

h , caso este limite exista. Se

o limite existir a funç ãof é dita deriv ável em x0. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT,

u.9, p.4).

Definiç ão 4.2. Sejaf uma funç ão definida em um intervalo abertoI. Sef é deriv ável para todo ponto de seu dom´ınio, dizemos que a funç ão é deriv ável e que a funç ãof′

:

I →Rque associa a cadax∈Io valorf′

(x) é a funç ão derivada def. (Fundamentos de C álculo_{, PROFMAT, u.9, p.4).}

Podemos ainda representar por dy_dx a derivada f′

(x) e por dy_dx|x=x0 a derivada da funç ão f no ponto x0 de seu dom´ınio, ou seja, f′(x0). A definiç ão, a seguir, mostra

que a derivada de uma funç ãof em um pontoP de abscissa x0 é a inclinaç ão da reta

tangente à curva, gr áfico da funç ão, no pontoP.

Definiç ão 4.3. A reta tangente a uma curva que é gr áfico de y = f(x) em um ponto

P = (x0, f(x0)) ´e a reta que passa porP e cujo coeficiente angular ´e dado porf′(x0) =

lim h→₀

f(x0+h)−f(x0)

h , se o limite existir. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.9, p.8).

Por exemplo, as inclinaç ões das retas tangentes aos gr áficos das funç ões constante

(f : R → R, tendo-se f(x) = k, com k constante) e identidade (f : R → R, onde

f(x) = x), em um ponto qualquer P = (x, f(x)) de seus gr ´aficos, podem ser obtidas

como segue.

•f(x) =k ⇒f′

(x) = lim h→₀

f(x+h)−f(x)

h = lim_h→₀

k−k

h = lim_h→₀ 0

h = lim_h→₀0 = 0; •f(x) =x⇒f′

(x) = lim h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim_h_→₀

(x+h)−x

h = lim_h_→₀ h

(30)

Uma observaç ão importante é a de que uma funç ãof s ó é deriv ável em um ponto

P = (x0, f(x0))de seu gr ´afico se os limites lim h→₀−

f(x0+h)−f(x0)

h e_hlim_→ 0+

f(x0+h)−f(x0)

h forem

iguais, ou seja, se a derivada da func¸ ˜aof for a mesma quando nos aproximamos dex0

pela esquerda (h→0−_{) ou pela direita (}_h→0+_).

Os Teoremas e o Corol ário a seguir, com suas respectivas demonstraç ões tratam da

continuidade de uma funç ão deriv ável, da derivada da soma, da derivada do produto,

da derivada do produto de uma constante por uma funç ão e da derivada da diferença

aplicada a func¸ ˜oes.

Teorema 4.1. _Seja_f _{um funç ão definida em um intervalo aberto}_I_{. Se}_f _{é deriv ável em}

x0 ∈Ient ãof é cont´ınua emx0. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.9, p.20).

Demonstrac¸ ˜ao. Temos que f(x0 +h)−f(x0) = f(x0+h) −f(x0)

h .h. Passando ao limite quandoh→0:

lim h→0

f(x₀+h)−f(x0) = lim h→0

f(x0+h)−_f(x0)

h ._hlim_→₀h.

Maslim h→0

f(x+h)−f(x)

h =f

′

(x)e lim h→0

h= 0. Logolim h→0

f(x0+h)−f(x0) = f′(x).0 = 0, o que mostra quef ´e cont´ınua emx₀. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.9, p.20).

A prova e o Teorema a seguir tratam da derivada da soma de duas func¸ ˜oes.

Demonstraç ão. Vamos provar que a derivada da soma de duas funç ões é a soma das

derivadas das funç ões. Sejamf(x)eg(x)duas funç ões reais. Ent ão

(f +g)(x+h)−(f+g)(x) = f(x+h) +g(x+h)−(f(x) +g(x))

= (f(x+h)−_f(_x)) + (_g(_x+_h)−_g(_x))_.

Portanto,

(f+g)′

(x) = lim h→0

(f +g)(x+h)−(f +g)(x)

h

= lim h→₀

(f(x+h)−f(x)) + (g(x+h)−g(x))

h

= lim h→₀

f(x+h)−f(x)

h + limh→₀

g(x+h)−g(x)

h =f

′

(x) +g′ (x),

caso os limites envolvidos existam. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.10,

p.2-3).

Teorema 4.2. _Sejam_f _e_g_{duas func¸ ˜oes definidas em um intervalo aberto}_I_{. Se as duas}

funç ões forem deriv áveis emx0 ∈I, ent ão a funç ão somaf+g é deriv ável emx0e vale que(f+g)′

(x0) =f′

(x0) +g′

(x0). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.10, p.3).

(31)

Demonstraç ão. Vamos obter uma f órmula para a derivada do produto de duas funç ões

(f g)(x) =f(x)g(x). Observe inicialmente que:

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) =f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)−f(x)g(x)

em que simplesmente somamos e subtra´ımos na express ˜ao a parcela f(x)g(x+h). Reagrupando a express ˜ao:

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) = f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)

−f(x)g(x)

= (f(x+h)−f(x))g(x+h) +f(x)(g(x+h)−g(x)).

Dividindo a express ˜ao porhe passando ao limiteh→0, obtemos:

lim

h→₀

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)

h = lim_h→₀

(f(x+h)−f(x))

h g(x+h) + lim_h→₀f(x)

(g(x+h)−g(x))

h

= (lim

h→0

(f(x+h)−f(x))

h )g(x) +f(x)(lim_h_→₀

(g(x+h)−g(x))

h ).

Observe que no desenvolvimento acima usamos as propriedades do limite da soma

e do produto, estudados anteriormente. Usamos tamb ém a continuidade da funç ãog,

assegurada pelo Teorema 4.1 para o caso em queg é deriv ável. Os limites na última

equaç ão acima s ão, supondof e g deriv áveis, respectivamente, os valores de f′ (x)e

g′

(x). Provamos, portanto, a seguinte proposiç ão. (Fundamentos de C álculo, PROF-MAT, u.10, p.4).

Teorema 4.3. _Sejam_f _e_g_{duas func¸ ˜oes definidas em um intervalo aberto}_I_{. Se as duas}

funç ões forem deriv áveis emx₀ ∈ I, ent ão a funç ão produto(f g)(x) é deriv ável em x₀

e vale que(f g)′

(x0) = f′(x0)g(x0) +f(x0)g′(x0). (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT,

u.10, p.5).

Corol ário 4.1. _Se _k _{é uma constante e} _f _{uma funç ão deriv ável ent ão} _(kf₎′

= kf′

.

Demonstrac¸ ˜ao. (kf)′

= (k)′

f+k(f)′

= 0.f+k.f′ =kf′

, em que usamos o fato de que a derivada da constante ´e zero. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.10, p.5).

Corol ário 4.2. _Se_f _e_g _{s ão funç ões deriv áveis ent ão}_(f −g)′ =f′−g′.

Demonstrac¸ ˜ao. (f −g)′ = (f + (−g))′ = f′+ (−g)′ = f′ + (−g′) = f′ −g′, em que

usamos o Teorema 4.2 e o Corol ´ario 4.1.

As proposiç ões a seguir, tratam da derivada da pot ência aplicada a funç ões, da

definiç ão de valores m áximos e m´ınimos absolutos de uma funç ão, e da definiç ão e

(32)

Teorema 4.4. A func¸ ˜aof(x) = xn

´e deriv ´avel para todo x∈ _Rsen ≥0e [...]f′ (x) = (xn

)′

=nxn−1

Demonstrac¸ ˜ao. Sen = 0o resultado se segue imediatamente, poisx0

= 1, cuja deri-vada é 0. Provaremos o cason >0por induç ão. Vale para n= 1, pois

f(x) = x1 =x⇒f′

(x) = 1 = 1.x1−1.

Suponha que o resultado vale para n = k, ou seja, f(x) = xk

´e deriv ´avel e f′ (x) =

kxk−1

, ent ˜ao, aplicando a regra do produto, temos queg(x) =xk+1

=x.xk

´e deriv ´avel e

(xk+1 )′

= (x.xk )′

=x′

xk

+x.(xk )′

=xk

+kxxk−1 =xk

+kxk

= (k+1)xk

, o que completa

a prova do cason >1.[...](Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.10, p.8).

Definiç ão 4.4. Um funç ãof : D → _Rtem m áximo absoluto emcsef(x) ≤ f(c)para todoxno dom´ınioDdef. Neste caso, o valor f(c) é chamado valor m áximo def em

D. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.2).

Definiç ão 4.5. Um funç ão f : D → _Rtem m´ınimo absoluto em csef(x) ≥ f(c) para todoxno dom´ınio Dde f. Neste caso, o valor f(c) é chamado valor m´ınimo def em

D. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.2).

Definiç ão 4.6. Uma funç ão tem m áximo local (ou m áximo relativo) em um ponto c de seu dom´ınio, se existe intervalo abertoI, tal quec ∈ I e f(x) ≤ f(c)para todo x ∈ I.

Neste caso, dizemos que f(c) é valor m áximo local de f. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.13, p.4).

Definiç ão 4.7. Uma funç ão tem m´ınimo local (ou m´ınimo relativo) em um ponto c de seu dom´ınio, se existe intervalo abertoI, tal quec ∈ I e f(x) ≥ f(c)para todo x ∈ I.

Neste caso, dizemos que f(c) ´e valor m´ınimo local de f. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.4).

Teorema 4.5. Sejaf :I →_Ruma funç ãof cont´ınua definida em um intervalo abertoI. Sef tem m áximo ou m´ınimo local emx=c,c∈Ief é deriv ável emcent ãof′

(c) = 0. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.7).

Demonstraç ão. Suponha quef tenha um m áximo local emx= c. A prova do caso em

quef tem m´ınimo local emc ´e totalmente an ´aloga.

Comof é deriv ável emc, ent ão

lim x→c−

f(x)−f(c)

x−c = limx→c+

f(x)−f(c)

x−c = limx→c

f(x)−f(c)

x−c =f

′ (c).

Comof(c) é m áximo local, h á um intervalo(a, b)no dom´ınio def tal quec∈(a, b)

(33)

Sex < cent ˜aox−c <0e, portanto f(x_x)−₋_cf(c) ≥0parax∈(a, b), logo

lim x→c−

f(x)−f(c)

x−c ≥0. (I)

Por outro lado,x > cent ˜aox−c >0e, portanto, f(x_x)−₋_cf(c) ≤0parax∈(a, b), logo

lim x→c+

f(x)−f(c)

x−c ≤0. (II)

Comparando as desigualdades(I)e(II), e levando em conta que s ˜ao o mesmo n ´umero, resulta

lim x→c

f(x)−f(c) x−c =f

′

(c) = 0.

As proposiç ões, a seguir, tratam do Teorema de Rolle e do Teorema do Valor M édio.

Teorema 4.6. _Se _f _{: [a, b]} → _R é cont´ınua em [a, b] e deriv ável no intervalo aberto (a, b) e f(a) = f(b) ent ão existe pelo menos um n úmero c ∈ (a, b) tal que f′

(c) = 0. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.14).

Demonstraç ão. Pelo Teorema de Weierstrass, a funç ãofcont´ınua em[a, b]possui valor m áximo e m´ınimo no intervalo. SejammeM os valores de m´ınimo e m áximo absolutos de f em [a, b], respectivamente. Se estes valores s ão assumidos nos extremos do intervalo, por exemplo, f(a) = m e f(b) = M, ent ão, como f(a) = f(b)por hip ótese, o m´ınimo e o m áximo da funç ão s ão o mesmo valor e, portanto, a funç ão é constante

em todo o intervalo. Como a derivada da funç ão constante é nula, temosf′

(c) = 0para todoc∈(a, b), o que prova o Teorema de Rolle neste caso.

Caso o m´ınimo ou m áximo absoluto da funç ão n ão estejam nos extremos do

inter-valo, ent ão h á um pontocno intervalo aberto(a, b)tal quef(c) é m áximo ou m´ınimo de f. Ent ãoc é extremo local defe, pelo Teorema 4.5, comof é deriv ável em(a, b)temos f′

(c) = 0, o que conclui a demonstraç ão. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.13, p.14-15).

Teorema 4.7. _Seja _f _{uma funç ão cont´ınua no intervalo} _{[a, b]} _{e deriv ável no intervalo} aberto(a, b). Ent ão existe pelo menos um n úmero c ∈ (a, b) tal que f′

(c) = f(b)−f(a)

b−a . (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.17).

Demonstraç ão.Para aplicar o Teorema de Rolle, faremos uso de uma funç ãog, definida

a partir de f e tal que g(a) = g(b). Seja a funç ão g : [a, b] → _R definida por g(x) = f(x)−f(b)_b−₋_af(a)x. Ent ãog é cont´ınua em[a, b]e deriv ável em(a, b). Al ém disso:

g(a) =f(a)− f(b)_b−₋f_a(a)a= bf(a)−af(b)

b−a eg(b) =f(b)−

f(b)−f(a)

b−a b=

bf(a)−af(b)

(34)

Logo,g(a) =g(b). Podemos ent ˜ao aplicar o Teorema de Rolle parage concluir que

existe umc∈(a, b)tal queg′

(c) = 0. Masg′

(x) = f′

(x)− f(b)_b−₋f(a)_a . Logo,g′

(c) = 0 ⇒f′

(c) = f(b)−_f(a)

b−a , o que completa a demonstrac¸ ˜ao do Teorema do

Valor M ´edio. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.13, p.17).

Finalizamos nosso estudo te órico com o conceito de integral de um funç ão, onde

abordaremos o c álculo da área de uma superf´ıcie e o c álculo do volume de um s ólido.

O Teorema, sua demonstraç ão e as definiç ões, a seguir, tratam da partiç ão de um

inter-valo, da norma de uma partic¸ ˜ao, da soma de Riemann e da integral definida.

5 INTEGRAIS

Definiç ão 5. 8. Se f é uma funç ão cont´ınua definida em a ≤ x ≤ b, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x = (b −a)/n. Sejam

x0(=a), x1, x2, . . . , xn(=b)as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pon-tos amostrais x∗

1, x ∗ 2, . . . , x

∗

n nesses subintervalos, de forma que x ∗

i esteja no i- ´esimo

subintervalo[xi−1, xi]. Ent ˜ao a integral definida def deaa b ´e

Z b

a

f(x)dx= lim n→∞

n

X

i=1 f(x∗

i)∆x

desde que este limite existia. Se ele existir, dizemos que f ´e integr ´avel em [a, b].

(STEWART, 2011, p.376).

Teorema 5.8. Dada uma funç ão f : [a, b] → _R cont´ınua, existem duas funç ões f+ : [a, b]→_Ref− : [a, b]→R, ambas cont´ınuas, tais quef(x) =f+(x) +f−(x),f+(x)≥0

ef−(x)≤0, para todox∈[a, b]. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.17, p.11).

Demonstrac¸ ˜ao. Basta escreverf+(x) = f(x), sef(x) ≥ 0e f+(x) = 0, sef(x) < 0,

assim como f−(x) = f(x), se f(x) ≤ 0 e f−(x) = 0, se f(x) > 0. Se f(x) ≥ 0

temos lim

x→af+(x) = limx→af(x) = f(a) = f+(a), poisf ´e cont´ınua, e sef(x) < 0 ent ˜ao lim

x→af+(x) = limx→a0 = 0 = f+(a), portanto a funç ão f+ é cont´ınua. A demonstraç ão

de que a funç ãof− é cont´ınua é an áloga. (Fundamentos de C álculo, PROFMAT, u.17,

p.12).

Definiç ão 5.9. No caso def : [a, b] →_R ser uma funç ão tal quef(x) ≤ 0, para todos os elementosx ∈ [a, b], tomamos g = −f e definimos R_abf(x)dx := −R_abg(x)dx. No

caso geral, definimos Z b

a

f(x)dx=

Z b

a

f+(x)dx+

Z b

a

f−(x)dx.

(35)

Definiç ão 5.10. Sejaf : [a, b]→ _R_{uma funç ão cont´ınua. ´}_{E conveniente convencionar} as seguintes afirmaç ões:

1.Sejacum ponto de[a, b]. Ent ˜aoRccf(x)dx= 0. 2.Rabf(x)dx =−

Ra

b f(x)dx. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.17, p.12-13).

Os Teoremas e a definic¸ ˜ao, a seguir, tratam de algumas propriedades da integral

definida, da primitiva de uma funç ão e do Teorema Fundamental do C álculo.

Teorema 5.9. Seja f : I → _R_{uma funç ão cont´ınua definida em intervalo} _{I. Se}_a,_b _e c∈_{I, ent ão}Rb

a f(x)dx= Rc

a f(x)dx+ Rb

c f(x)dx. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.17, p.16).

Demonstrac¸ ˜ao. Consideremos inicialmente a possibilidade a < c < b. Neste caso,

[a, c]∪_[_{c, b}_{] = [}_{a, b}_]⊂_I_{e as restriç ões de}_f _{a cada intervalo mencionado é uma funç ão} cont´ınua. A propriedade segue do fato de que, seP é uma partiç ão de[a, c]e Q é uma

partiç ão de[c, b], ent ãoP ∪_Q_{ser á uma partiç ão de}[_{a, b}]_{. O resultado ent ão seguir á da}

propriedade do limite sobre as partic¸ ˜oes.

Veja uma representaç ão gr áfica desta situaç ão.

Nos casos de ccoincidir com a ou com b ou se uma das situac¸ ˜oes, c < a < b ou

a < b < cocorrer, basta lembrar que R_ccf(x)dx = 0 e queR_acf(x)dx = −Ra

c f(x)dx. (Fundamentos de C ´alculo, PROFMAT, u.17, p.16).

Teorema 5.10. Sejamf, g : [a, b]→_R_{funç ões cont´ınuas,}_k ∈_R_{uma constante. Ent ão}

(i)

Z b

a

(f+g)(x)dx =

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

g(x)dx;

(ii)

Z b

a

kf(x)dx = k Z b

a

f(x)dx.