Álgebra Linear (Complementos da gemetria analítica no IR3)
TAREFA-04
Prof: Neudson Muniz Dependência linear, subespaços e transformações lineares.
Exercícios
1. Dados U= (2;1), v = (0;2) e w = (-1 ;5), calcular as seguintes combinações lineares de u, v e w:
a) 3u + 2v – 5w R: (11; - 18) b) u – v + 7w R: (-5; 34)
2. Escrever o vetor w = (2;13) como combinação linear de u = (1;2) e v = (-1;1), isto é, determinar x e y tais que w = xu + yv.
R: W = 5u + 3v
Escrever o vetor v = (10; 7; 4) como combinação linear dos vetores v1 = (1;0;1), U2 = (1; 1; 1) e u3 = (0;-1;1 )
R: v = 9u1 + V2 – 6V3
3. Verificar se o vetor w = (6;6;– 1) é combinação linear de u = (2;0;-1) e v = (0;3;1).
R: Sim;
W= 3u + 2v
4. Verificar se o vetor w = (2; 0; 5) é combinação linear de u = (1;2;1) e v = (0;4;3).
R: Não.
5. Calcular o valor de k para que o vetor w = (3;4;k) seja uma combinação linear de u = (1;1;2) e v = (0;2;1)
R: 13/2
6. Verificar se u e v linearmente dependentes ou linearmente independentes nos casos:
a) u = (1;2) e v = (3;6) LD b) u = (4;-6) e v = (-2;3) LD c) u = (6;+8) e v = (-2; -3) LI d) u = (0;0) e v = (1;5) LD
8. Verificar se u e v são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos casos:
a) u = (2;-1;3) e v = (6;-3;9) LD b) u = (4;6;-8) e v = (-2;-3;4) LD c) u = (2;1;3) e v = (4;2;5) LI d) u = (5;6;7) e v = (6;7;8) LI
9. Para que valores de k os vetores u = (2;3) e v = (4; k) são linearmente independentes?
R: K ≠ 6
10. Para que valores de k os vetores (1; k) e (k;1) são linearmente dependentes?
R: +/- 1
11. Dar a condição sobre a e b para que os vetores (1;a;b) e (3;2;5)sejam linearmente dependentes.
R: a = 2/3, b = 5/3
12. Dar a condição sobre a e b para que os vetores (a;2;b) e (1;6;-3) sejam linearmente independentes.
R: a ≠ 1/3 ou b ≠ -1
13. Verificar se u, v e w são linearmente independentes ou linearmente dependentes nos casos:
a) u = (2;1;0) e v = (-1;1;1) e w = (0;3;2) LD b) u = (1;1;2) e v = (1;0;1) e w = (0;1;3) LI
c) u = (0;1;2) e v = (1;2;3) e w = (2;3;4) LD
14. Determinar o valor de k que torna os vetores u = (k; 1;0), v = (2;2;3) e w = (-1;0;2) lineamente dependentes.
R: 7/4
15. Dados os valores u = (1;1;1) v = (1;1;0) e w = (1;0;0) a) mostrar que {u;v;w} é uma base do IR3
b) escrever o vetor p = (2;3;4) como combinação linear de u, v e w R: p = 4u – v = w
16. Qual é a condição sobre a,b,c e d para que os vetores u = (a;b) e v = (c;d) formem uma base do IR2?
R: ad – bc ≠ 0
17. Provar que w = {(0;y); y € IR} é um subespaço do IR2.
18. Entre os conjuntos seguintes, dizer quais são subespaços do IR2. W1 = {(x;y) € IR2 │x+ y = 0}
W2 = {(x;y) € IR2 │y = 3x}
W3 = {(x;y) € IR2 │x2 + y2 = 1 W4 = {(x;y) € IR2 │y = x + 1}
W5 = {(t; 2t); t € IR}
W6 = {(t + 1; t – 1); t € IR}
R: w1, w2, w5
19. Seja w= {(x;y) € IR2 │ax + by + c = 0}, onde a, b e c são números reais. Qual a condição sobre a, b e c para que w seja subespaço do IR2?
R: c = 0, para qualquer real a, se b for diferente de zero, ou c=0, para qualquer real b, se a for diferente de zero.
20. Entre os conjuntos seguintes, dizer quais são subespaços do IR3: W1 = {(x;y;z) € IR3 │x + y + z = 0}
W2 = {(x;y;z) € IR3 │z = x – 2y}
W3 = {(x;y;z) € IR3 │x + 2y + 3z + 4 = 0}
W4= {(x;y;z) € IR3 │x/2 = y/3 = z/4}
W5 = {(x;y;z) € IR3 │x = y = z}
W6 = {(t; 2t; 3t) € IR}
W7 = {(0;t; - t) t € IR}
R: w1,w2,w4,w5,w6,w7.
21. Dada a transformação f: IR2 → IR2 definida por f (x;y) = (2x – y; x + 3y), calcular a) f (1;2) R: (0;7)
b) f (3; -5) R: (11;- 12) c) f (0; 0) R: (0; 0) d) f (-1; -1) R: ( -1; -4)
22. Dada a transformação linear do IR2, f (x;y) = (x + y; 3x), e os vetores u = (2;3) e v = (4;1), calcular
a) f (u) R: (5;6) b) f (v) R: (5;12) c) f (u + v) R: (10;18) d) f (3u) R: (15;18) e) f (5u + 2v ) R: (35;54)
23. Dados u, v € IR2 e uma transformação linear f: IR2 → IR2 tal que f (u) = 2u e f (u) = u + v, expressar em função de u e v:
a)f (u – v) R: u-v b) f (2v) R: 2u + 2v c) f (3u + 7v) R: 13u + 7v d) f (2v – u) R: 2v
24. Uma transformação linear f: IR2 → IR2 é tal que f (1;0) = (3;4) e f (0;1) = (2;1). Calcular a) f (x; y) R: (3x + 2y; 4x + y)
b) f (1;1) R: (5;5)
25. Entre as transformações f: IR2 → IR2 definidas pelas leis seguintes, dizer quais são transformações lineares:
a) f (x ;y) = (2x + 3y; 4x – 5y) b) f (x; y) = (2x; x – y)
c) f (x; y) = (3y; 0) d) f (x; y) = (x + 1; y + 1) e) f (x; y) = (0;x - y) f) f (x; y) = ([x] ; [y] ) g) f (x; y) = (x2 + y2 ; 0) h) f (x; y) = (1; y) i) f (x; y) = (0; 0) j) f (x; y) = (x; y) R: {a, b, c, e, i, j, sim d, f, g, h, não }
26. Faça em cada caso, um gráfico indicando um vetor v = (x;y) e sua imagem f (v) pela transformação linear f: IR2 → IR2
a) f (x; y) = (x; 0) (projeção no eixo das abscissas) b) f (x; y) = (0; y) (projeção no eixo das ordenadas) c) f (x; y) = (-x; y) (reflexão no eixo das ordenadas)
d) f (x; y) = (x; -y) (reflexão no eixo das abscissas)
e) f (x; y) = (y; x) (reflexão na bissetriz do 1º e 3º quadrante)
27. Dada a transformação linear f: IR2 → IR2 definida por f(x;y) = (2x; 3y), representar num mesmo gráfico o quadrado de vértices A (0;0), B (1;0), C(1;1) e D (0;1) e a imagem desse quadrado pela transformação f. Qual foi a implicação na mudança de área? R: Aumento para o sêxtuplo da área.
28. Representar graficamente a reta r: y = 2x e a imagem de r pela transformação linear do IR2 dada por f (x;y) = (-x + y; x + y).Quem é a imagem de r?
R: y=3x.
29. Entre as seguintes transformações f: IR3 → IR3 identificar aquelas que são lineares:
a) f (x; y; z) = (2x; y + z; x – y – z) b) f (x; y; z) = (0; y; z)
c) f (x; y; z) = (x – 1; y ; z + 1) d) f (x; y; z) = (z; o; x)
e) f (x; y; z) = (x + y, y + z, z + x) f) f ) (x, y, z) = ([x]; y; z2)
R: a, b, d, e
30. Se uma transformação linear f: IR3 → IR3 é tal que f (i) = i, f (j) = i + j e f (k) = i + j + k, calcular:
a) f (i + j + k) R: 3i + 2j+ k b) f (3i + 2j + k) R: 6i + 3j+ k
31. Dar a matriz de cada uma das seguintes transformações lineares:
a) f: IR2 → IR2 , tal que f (x;y) = (3x + y; 2x – 10y) R: ( 3 1
2 – 10)
b) f: IR2 → IR2 , tal que f (x;y) = (3y; 2x + y) R: (0 3
2 1)
c) f: IR2 → IR2 , tal que f (x;y) = (- x; y) R: (-1 0
0 1)
d) f: IR3 → IR3 , tal que f (x;y; z) = (x + y + z; 2x + 3y + 4z; x – y) R: (1 1 1
2 3 4 1 0 -1)
e) f: IR3 → IR3 , tal que f (x;y;z) = (x; x + y; 0) R: (1 0 0)
1 1 0 0 0 0
32. Dada a matriz M = (1 2 de uma transformação linear f: IR2 → IR2 , determinar:
0 1) a) f (x; y) R: (x+2y; y) b) f (5;6) R: (17;6) c) f (-1;0) R: (-1; 0)
33. Dada a matriz M = ( -1 0 de uma transformação linear f: IR2 → IR2 , calcular:
1 0) a) f (x; y) R: (-x; x) b) f (1;1) R: (-1; 1) 34. Dada a matriz M = (0 1
-1 0) de uma transformação linear IR2 → IR2 , representar num gráfico o vetor v = (4;5) e a sua imagem por f. R:f(v)=(5;-4).
35. Dada a matriz M = (2 0
0 2) de uma transformação linear IR2 → IR2 , representar num gráfico a circunferência x2+ y2 = 1 , a sua imagem por f e respectiva equação. Verificar o aumento porcentual da área R: f(v)= x2 + y2= 4. Aumento de área de 300%.
36. Dada a matriz M = (1 1 1 0 2 -1
-1 3 4) de uma transformação linear f: IR3 → IR3, determinar:
a) f (x; y; z) R: (x + y + z; 2y – z; -x + 3y + 4z) b f (1;2;3) R: (6;1;17)
c)f (-7; 0; 5) R: (-2; -5; 27).
d)Analise a transformação efetuada no item b.
Fonte: Álgebra Linear e Geom. Analítica, de
Antônio dos Santos Machado (Ed. Atual).
