Universidade Federal do Rio Grande - FURG
Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Modelagem Computacional
C´ assia Cris Beckel
Heur´ıstica construtiva para o empacotamento de elipses tangentes em um pol´ıgono de n lados
Rio Grande
2013
C´ assia Cris Beckel
Heur´ıstica construtiva para o empacotamento de elipses tangentes em um pol´ıgono de n lados
Disserta¸c˜ ao apresentada ao Programa de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Modelagem Computacional da FURG, como requisito parcial para a obten¸c˜ ao do t´ıtulo de MESTRE em Modelagem Computa- cional.
Orientador: Leonardo Ramos Emmendorfer
Orientador - Centro de Ciˆencias Computacionais, C3, FURG
Co-orientadora: Neuza Terezinha Oro
Co-orientadora - Instituto de Ciˆencias Exatas e Geociˆencias, ICEG, UPF
Rio Grande
2013
C´ assia Cris Beckel
Heur´ıstica construtiva para o empacotamento de elipses tangentes em um pol´ıgono de n lados
Disserta¸c˜ ao apresentada ao Programa de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Modelagem Computacional da FURG, como requisito parcial para a obten¸c˜ ao do t´ıtulo de MESTRE em Modelagem Computa- cional.
Aprovado em 25 de Fevereiro de 2013
BANCA EXAMINADORA
Leonardo Ramos Emmendorfer
Orientador - Centro de Ciˆencias Computacionais, C3, FURG
Neuza Terezinha Oro
Co-orientadora - Instituto de Ciˆencias Exatas e Geociˆencias, ICEG, UPF
Aline Brum Loreto
Examinadora Externa - Centro Desenvolvimento Tecnol´ogico, CDTec, UFPel
Catia Maria dos Santos Machado
Examinadora - Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e F´ısica, IMEF, FURG
Dedicat´ oria
Dedico esta disserta¸ c˜ ao a minha
fam´ılia e a todos que me apoiaram e
acreditaram no meu potencial, especial-
mente aos amigos, colegas do mestrado
e professores que contribu´ıram no
decorrer desta caminhada.
“A Ciˆ encia, pelo caminho da exatid˜ ao, s´ o tem dois olhos: a Matem´ atica e a l´ ogica.”
De Morgan, Augustus.
Agradecimentos
Ao final desta longa caminhada, ressalto algumas pessoas importantes cujo agradecimento traduz o singelo muito obrigada.
Agrade¸co a minha fam´ılia pela paciˆ encia e compreens˜ ao nos momentos de ausˆ encia, em especial aos meus pais Rudinei e Silvana Beckel e a minha irm˜ a Camila.
Vocˆ es s˜ ao os respons´ aveis pela minha educa¸c˜ ao, foram com certeza os meus primeiros mestres. Agrade¸co ao Ot´ avio, que mesmo pequeno sentia cada despedida.
Aos meus av´ os Vilmar e Noeli Ozelame, pelo incentivo, preocupa¸c˜ ao e por acreditarem nos meus objetivos.
A minha grande amiga Martiela Vaz de Freitas, pessoa incr´ıvel que tive o prazer ` de conhecer e conviver durante o mestrado. Agrade¸co pela amizade, apoio e in´ umeras divaga¸c˜ oes cotidianas.
A professora Neuza Terezinha Oro, que al´ ` em de orientadora na gradua¸c˜ ao e co-orientadora do mestrado, ´ e uma grande amiga com um racioc´ınio inacredit´ avel e que sempre se fez presente. Agrade¸co pela sua disponibilidade, dedica¸c˜ ao e extremo comprometimento durante todo o per´ıodo do trabalho.
Ao meu orientador e professor Leonardo Ramos Emmendorfer pelas cr´ıticas construtivas, apoio e orienta¸c˜ ao. Agrade¸co ainda pelo constante incentivo ` as conquistas profissionais.
Aos amigos: C´ıcero Matuella Moreira, Ana Carolina Lopes, Cassia Oliveira, Emilia Taffarel e Marlon Vin´ıcius Machado por tornarem cada instante de convivˆ encia um momento de paz, felicidade e amizade.
Aos colegas e amigos da Furg: Carlos Quadros, F´ abio Aiub, Ruth Brum, Eze- quiel Gibbon Gaut´ erio e Juliana Martins pelos momentos alegres e convivˆ encia acadˆ emica.
A Universidade Federal do Rio Grande, bem como aos professores do Programa `
de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Modelagem Computacional. Agrade¸co a CAPES (Coordena¸c˜ ao
de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior) fomentadora de bolsa para aux´ılio
financeiro.
Resumo
Problemas de corte e empacotamento est˜ ao presentes em diversos setores da ind´ ustria, e o estudo destes problemas propicia oportunidades de colabora¸c˜ ao entre os setores acadˆ emicos e industrial, com vistas a que se obtenham benef´ıcios para ambos, contribuindo para a sociedade como um todo. Entre os setores industriais nos quais surgem problemas de corte e empacotamento est˜ ao as ind´ ustrias tˆ extil, automotiva, portu´ aria, lapid´ aria, entre outras. O presente trabalho tem como objetivo elaborar uma metodologia anal´ıtica e computacional com a qual seja poss´ıvel encontrar uma solu¸c˜ ao vi´ avel para o problema de empacotamento de elipses, sendo idˆ enticas ou n˜ ao, sem sobreposi¸c˜ ao e tangentes a cada v´ ertice e quadrante de uma elipse inicial inscrita em um pol´ıgono irregular de n lados. A metodologia anal´ıtica e computacional desenvolvida visa obter a maximiza¸c˜ ao da ´ area total das elipses empacotadas e a minimiza¸c˜ ao do tempo de processamento com- putacional. Destaca-se a aplicabilidade das transforma¸c˜ oes em R
2para obter as novas equa¸c˜ oes param´ etricas das elipses com centro deslocado da origem e rotacionadas em rela¸c˜ ao ao sistema de eixos cartesianos original. A heur´ıstica que realiza a verifica¸c˜ ao da inscri¸c˜ ao de cada elipse, baseia-se em uma modifica¸c˜ ao da fun¸c˜ ao inpolygon do software Matlab [34], de maneira que garante o empacotamento total das elipses no pol´ıgono. Para validar a heur´ıstica construtiva utilizaram-se 7 pol´ıgonos e com os resultados obtidos em cada simula¸c˜ ao foi poss´ıvel encontrar a fun¸c˜ ao exponencial, atrav´ es de um ajuste de curva, que descreve o comportamento da simula¸c˜ ao.
Palavras-chaves: Problemas de corte e empacotamento. Heur´ıstica construtiva. Elipses
tangentes.
Sum´ ario
Lista de Figuras viii
Lista de Tabelas xiii
Lista de S´ımbolos xiv
Lista de Siglas xv
1 Introdu¸ c˜ ao 1
1.1 Problemas de corte e empacotamento na ind´ ustria . . . . 1
1.1.1 Classifica¸c˜ ao dos problemas de corte e empacotamento . . . . 3
1.2 Tecnologia 3D Gemas . . . . 6
1.3 Introdu¸c˜ ao a programa¸c˜ ao com o Software MatLab . . . . 7
1.4 Justificativas para o trabalho . . . . 8
1.5 Objetivo geral do trabalho . . . . 10
1.5.1 Objetivos espec´ıficos do trabalho . . . . 10
1.6 Organiza¸c˜ ao da Disserta¸c˜ ao . . . . 11
2 Revis˜ ao bibliogr´ afica 13 2.1 Trabalhos relacionados ao posicionamento de formas . . . . 16
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posicionamento de formas em pol´ıgonos 19 3 Formula¸ c˜ ao matem´ atica do problema de empacotamento de elipses 24 3.1 Generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao param´ etrica de uma elipse . . . . 24
3.2 Coordenadas locais de ε inscrita em P . . . . 28
3.3 Generaliza¸c˜ ao da otimiza¸c˜ ao de elipses tangentes . . . . 29
3.4 Estrat´ egias de otimiza¸c˜ ao . . . . 31
3.4.1 Otimiza¸c˜ ao da fun¸c˜ ao objetivo . . . . 31
3.4.2 Etapa 1 - Restri¸c˜ oes para otimiza¸c˜ ao de ε . . . . 32
3.4.3 Etapa 2 - Restri¸c˜ oes para otimiza¸c˜ ao das elipses tangentes aos v´ ertices V
ide ε . . . . 33
3.4.4 Etapa 3 - Restri¸c˜ oes para otimiza¸c˜ ao das elipses tangentes a cada quadrante Q
ide ε . . . . 34
3.4.5 Etapa 4 - Restri¸c˜ ao de tangˆ encia . . . . 35
3.4.6 Etapa 5 - Condi¸c˜ ao adicional para o teste de convexidade em rela¸c˜ ao ao semi-eixo maior das elipses. . . . 36
4 Adapta¸ c˜ ao do m´ etodo de otimiza¸ c˜ ao de Hooke e Jeeves 40 4.1 Descri¸c˜ ao da busca explorat´ oria . . . . 47
4.2 Descri¸c˜ ao da busca padr˜ ao utilizando o m´ etodo de Hooke e Jeeves . . . . . 50
4.3 Parˆ ametros obtidos com o posicionamento de ε . . . . 51
5 Metodologia anal´ıtica para o empacotamento de elipses tangentes aos v´ ertices de ε 53 5.1 C´ alculo das coordenadas dos v´ ertices da elipse inicial . . . . 56
5.2 Posicionamento das elipses tangentes aos v´ ertices da elipse inicial . . . . . 60
5.2.1 Elipse posicionada no v´ ertice B1 de ε . . . . 61
5.2.2 Elipse posicionada no v´ ertice C1 de ε . . . . 65
5.2.3 Elipse posicionada no v´ ertice A1 de ε . . . . 68
5.2.4 Elipse posicionada no v´ ertice D1 de ε . . . . 71
6 Metodologia anal´ıtica para o empacotamento de elipses tangentes aos quadrantes de ε 75 6.1 Equa¸c˜ oes param´ etricas resultantes da aplica¸c˜ ao de simetrias em R
2. . . . 78
6.1.1 Elipse posicionada no 1
oquadrante de ε . . . . 82
vi
6.1.2 Elipse posicionada no 2
oquadrante de ε . . . . 87 6.1.3 Elipse posicionada no 3
oquadrante de ε . . . . 91 6.1.4 Elipse posicionada no 4
oquadrante de ε . . . . 95 7 Verifica¸ c˜ ao da inscri¸ c˜ ao das elipses no pol´ıgono P 99
8 Simula¸ c˜ oes da heur´ıstica construtiva de empacotamento 105
8.1 Experimentos num´ ericos . . . 105 9 An´ alise dos resultados obtidos com as simula¸ c˜ oes 115
10 Conclus˜ ao 121
10.1 Considera¸c˜ oes finais . . . 121 10.2 Contribui¸c˜ oes do trabalho . . . 123 10.3 Propostas para trabalhos futuros . . . 123
Referˆ encias Bibliogr´ aficas 126
Apˆ endices 132
A Projeto de lapida¸ c˜ ao virtual 133
B Pseudo-c´ odigo do Algoritmo Heuristic 135
C Algoritmo de ajuste de curva - Exponencial 141
D Simula¸ c˜ ao - Pol´ıgono com 23 v´ ertices 142
Lista de Figuras
1.1 Lapida¸c˜ ao de gemas - um problema de corte no setor lapid´ ario. Fonte: 3D
Gemas. . . . 2
1.2 Pe¸cas fabricadas em s´ erie. Fonte: J.A.S. Metal´ urgica. . . . 2
1.3 Concreto convencional e concreto obtido com MEC. Fonte: [20] . . . . 3
1.4 Problema de corte e empacotamento. Fonte: [1] . . . . 3
1.5 Problema unidimensional para minimizar a perda P. Fonte: [22] . . . . 4
1.6 Problema do corte e empacotamento bidimensional. Fonte: [17] . . . . 4
1.7 Problema de empacotamento tridimensional em containers. Fonte: [38] . . 5
1.8 Problema de aloca¸c˜ ao de ber¸cos em portos. Fonte: Terminal Mar´ıtimo da Ultrafertil. . . . 5
2.1 Empacotamento de c´ırculos em um c´ırculo maior. Fonte: [21]. . . . 15
2.2 Posicionamento de formas em um recipiente de dimens˜ oes fixas. Fonte: [32] 16 2.3 Posicionamento de duas elipses em um dado container. Fonte:[48] . . . . . 17
2.4 Base do modelo cora¸c˜ ao em um dado container. Fonte: [48] . . . . 17
2.5 Posicionamento geral no pol´ıgono. Fonte: [25] . . . . 18
2.6 Posicionamento de c´ırculos com PCSN. Fonte: [25] . . . . 18
2.7 M´ etodo de otimiza¸c˜ ao Hooke e Jeeves. Fonte: [4] . . . . 21
3.1 Elipse posicionada na origem. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 25
3.2 Elipse transladada em rela¸c˜ ao a origem. Fonte: Elaborado pela autora. . . 25
3.3 Rota¸c˜ ao de um ponto no sistema cartesiano. Fonte: Elaborado pela autora. 26
3.4 Elipse com centro transladado em rela¸c˜ ao a origem e com rota¸c˜ ao R. Fonte:
Elaborado pela autora. . . . 27
3.5 Elipse inicial interior a um pol´ıgono dado. Fonte: Elaborado pela autora. . 29 3.6 Representa¸c˜ ao da redu¸c˜ ao gradativa do semi-eixo maior em fun¸c˜ ao de α.
Fonte: Elaborado pela autora. . . . 39 4.1 Prot´ otipos da inscri¸c˜ ao de um modelo de lapida¸c˜ ao oval em um gema.
Fonte: 3D Gemas. . . . 41 4.2 Contorno com sele¸c˜ ao de pontos que descreve o maior plano da gema.
Fonte: [35] . . . . 43 4.3 Distˆ ancia do centro ao v´ ertice do pol´ıgono. Fonte: Elaborado pelo autora. . 44 4.4 Rota¸c˜ ao da elipse inscrita no pol´ıgono irregular. Fonte: Elaborado pela
autora. . . . 50 4.5 Inscri¸c˜ ao da elipse inicial em um pol´ıgono P . Fonte: Elaborado pela autora. 52 5.1 Composi¸c˜ ao de triˆ angulos pela F´ ormula de Heron. Fonte: Elaborado pela
autora. . . . 54 5.2 (a) Rota¸c˜ ao: vetor linha - (b) Rota¸c˜ ao: vetor coluna. Fonte: Elaborado
pela autora. . . . 57 5.3 Representa¸c˜ ao gr´ afica do v´ ertice A1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . 58 5.4 Representa¸c˜ ao gr´ afica do v´ ertice B1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . 58 5.5 Representa¸c˜ ao gr´ afica do v´ ertice C1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . 59 5.6 Representa¸c˜ ao gr´ afica do v´ ertice D1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . 59 5.7 Representa¸c˜ ao geom´ etrica dos v´ ertices e do centro de ε. Fonte: Elaborado
pela autora. . . . 60 5.8 As ´ areas em destaque representam a sobreposi¸c˜ ao de elipses tangentes a ε.
Fonte: Elaborado pela autora. . . . 60 5.9 Elipses tangentes a ε com efeito de dimensionamento.Fonte: Elaborado
pela autora. . . . 61 5.10 Elipse tangente ao v´ ertice B1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 63 5.11 Pontos aleat´ orios em cada quadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . . 64 5.12 Pontos aleat´ orios no 1
oe 4
oquadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 65
ix
5.13 Elipse tangente ao v´ ertice C1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 67
5.14 Pontos aleat´ orios no 1
oe 2
oquadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 68
5.15 Elipse tangente ao v´ ertice A1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 70
5.16 Pontos aleat´ orios no 2
oe 3
oquadrantes. Fonte: Elaborado pela autora. . . 71
5.17 Elipse tangente ao v´ ertice D1 de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 73
5.18 Pontos aleat´ orios no 3
oe 4
oquadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 74
6.1 Blocos de Lego criados por Godtfred. Fonte: [13] . . . . 76
6.2 Posicionamento das circunferˆ encias em cada quadrante. Fonte: [13] . . . . 76
6.3 Posicionamento das circunferˆ encias com duas proje¸c˜ oes internas. Fonte: [13] 76 6.4 Posicionamento das circunferˆ encias com cruzamento de diagonais. Fonte: [13]. . . . . 77
6.5 Pontos de tangˆ encia definidos em cada quadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 77
6.6 Reflex˜ ao em torno do eixo das ordenadas. Fonte: [45]. . . . 79
6.7 Reflex˜ ao em torno da origem. Fonte: [45]. . . . . 80
6.8 Reflex˜ ao em torno do eixo das abscissas. Fonte: [8]. . . . 81
6.9 Simetrias em R
2. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 82
6.10 Transforma¸c˜ oes aplicadas para obten¸c˜ ao de pontos de tangˆ encia. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 82
6.11 Ponto de tangˆ encia com dire¸c˜ ao de busca definida no 1
oquadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 83
6.12 Elipse tangente ao 1
oquadrante de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . . 86
6.13 Elipse 5 - Ponto de tangˆ encia, centro e ponto aleat´ orio. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 86
6.14 Ponto de tangˆ encia P 6 resultado da transforma¸c˜ ao aplicada. Fonte: Ela- borado pela autora. . . . 87
6.15 Ponto de tangˆ encia com dire¸c˜ ao de busca definida no 2
oquadrante. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 88
x
6.16 Elipse tangente ao 2
oquadrante de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . . 90 6.17 Elipse 6 - Ponto de tangˆ encia, centro e ponto aleat´ orio. Fonte: Elaborado
pela autora. . . . 90 6.18 Ponto de tangˆ encia P7 obtido com a transforma¸c˜ ao aplicada. Fonte: Ela-
borado pela autora. . . . 91 6.19 Ponto de tangˆ encia com dire¸c˜ ao de busca definida no 3
oquadrante. Fonte:
Elaborado pela autora. . . . 92 6.20 Elipse tangente ao 3
oquadrante de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . . 94 6.21 Elipse 7 - Ponto de tangˆ encia, centro e ponto aleat´ orio. Fonte: Elaborado
pela autora. . . . 94 6.22 Ponto de tangˆ encia P8 resultado da transforma¸c˜ ao aplicada. Fonte: Ela-
borado pela autora. . . . 95 6.23 Ponto de tangˆ encia com dire¸c˜ ao de busca definida no 4
oquadrante. Fonte:
Elaborado pela autora. . . . 95 6.24 Elipse tangente ao 4
oquadrante de ε. Fonte: Elaborado pela autora. . . . . 97 6.25 Elipse 8 - Ponto de tangˆ encia, centro e ponto aleat´ orio. Fonte: Elaborado
pela autora. . . . 98 7.1 Heur´ıstica construtiva: elipses posicionadas nos v´ ertices e quadrantes de ε
sem a verifica¸c˜ ao da inscri¸c˜ ao. Fonte: Elaborado pela autora. . . . 99 7.2 Posi¸c˜ ao relativa do ponto em rela¸c˜ ao ao pol´ıgono P. Fonte: Adaptado pela
autora [40]. . . . 100 7.3 Fun¸c˜ ao inpolygon aplicada ao problema de um retˆ angulo. Fonte: [34]. . . . 102 7.4 Heur´ıstica construtiva: exemplo da verifica¸c˜ ao da inscri¸c˜ ao em ε. Fonte:
Elaborado pela autora. . . 103 7.5 Tempo de processamento x n´ umero de arestas. Fonte: [40]. . . 103 8.1 Empacotamento de elipses tangentes a uma elipse inicial em um pol´ıgono
de n lados. Fonte: Heur´ıstica construtiva. . . . 114
xi
9.1 Simula¸c˜ ao mostrada no Cap´ıtulo 8 com ajuste de curva . Fonte: Elaborado pela autora. . . 117 9.2 Simula¸c˜ ao realizada e o ajuste de curva . Fonte: Elaborado pela autora. . . 119 9.3 Elipses empacotadas restritas ao contorno com concavidades. Fonte: Ela-
borado pela autora. . . 120
Lista de Tabelas
8.1 Legenda utilizada nas simula¸c˜ oes na descri¸c˜ ao da tangˆ encia . . . 106
8.2 Simula¸c˜ ao num´ erica - Posi¸c˜ ao inicial . . . 107
8.3 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 1 . . . 107
8.4 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 2 . . . 108
8.5 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 3 . . . 109
8.6 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 4 . . . 109
8.7 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 5 . . . 110
8.8 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 6 . . . 110
8.9 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 7 . . . 111
8.10 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 8 . . . 111
8.11 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 9 . . . 112
8.12 Simula¸c˜ ao num´ erica - Itera¸c˜ ao 10 . . . 113
9.1 Resultados obtidos com a heur´ıstica construtiva . . . 116
9.2 S´ eries de dados utilizada no ajuste de curvas. . . . 116
9.3 S´ eries de dados utilizada no ajuste de curvas. . . . 118
xiii
Lista de S´ımbolos
ε - Elipse inicial
a - Semi-eixo maior da elipse (mm) b - Semi-eixo menor da elipse (mm) e - Excentricidade
A - Area da elipse (mm ´
2)
σ - Angulo de rota¸c˜ ˆ ao no sentido anti-hor´ ario (
c) sin - Seno de um ˆ angulo
xiv
Lista de Siglas
P CE - Problema de Corte e Empacotamento T p - Tempo de processamento de cada elipse (s) T tp - Tempo total de processamento (s)
I - N´ umero de itera¸c˜ oes realizadas N p - N´ umero de pontos do pol´ıgono
At - Area total ocupada pelas elipses (mm ´
2) Ap - Area do pol´ıgono ´ P (mm
2)
Ar - Area restante (mm ´
2)
P r - Percentual de ´ area restante %
xv
1 Introdu¸ c˜ ao
Neste cap´ıtulo ´ e apresentada a introdu¸ c˜ ao ` a heur´ıstica desenvolvida nesta disserta¸ c˜ ao. E realizada uma contextualiza¸ ´ c˜ ao aos problemas de corte e empacotamento, ressaltando a aplicabilidade na ind´ ustria lapid´ aria e em outros ramos industriais. As principais classifica¸ c˜ oes dos problemas de corte e empacotamento s˜ ao expostas e por fim, apresenta- se o software Matlab e a Tecnologia 3D Gemas base desse estudo. Fi- nalmente, s˜ ao relatados os objetivos e justificativas desta pesquisa, bem como, a organiza¸ c˜ ao dos demais cap´ıtulos da disserta¸ c˜ ao.
1.1 Problemas de corte e empacotamento na ind´ ustria
Com os grandes avan¸cos tecnol´ ogicos e cient´ıficos que est˜ ao dispon´ıveis em n´ıvel mundial, cada vez mais surge a necessidade de solucionar problemas de corte e empacotamento como forma de propiciar um maior desenvolvimento industrial.
A modelagem computacional, que tem por base um problema cient´ıfico e faz uso da constru¸c˜ ao de modelos e simula¸c˜ ao de solu¸c˜ oes vi´ aveis, geralmente baseia-se em uma aplica¸c˜ ao resultando em c´ odigos computacionais que obtenham solu¸c˜ oes precisas para os mais variados problemas industriais [5].
Nesse sentido, surgiu necessidade de encontrar tais solu¸c˜ oes para problemas de corte e empacotamento (PCEs) em v´ arios ramos industriais como: ind´ ustria tˆ extil, ind´ ustria automotiva, industria portu´ aria, ind´ ustria lapid´ aria, entre outras. Conforme [1], o reverso dos problemas de corte s˜ ao os problemas de empacotamento, os quais s˜ ao igualmente essenciais para o planejamento de opera¸c˜ oes log´ısticas da ind´ ustria, como a armazenagem, movimenta¸c˜ ao ou transporte de itens produzidos.
O problema de corte consiste basicamente em cortar unidades de pe¸cas maiores
para a produ¸c˜ ao de unidades de pe¸cas menores, com quantidades e tamanhos espec´ıficos,
1.1 Problemas de corte e empacotamento na ind´ ustria 2 de maneira a otimizar uma determinada fun¸c˜ ao objetivo, como a de minimizar perdas, custos e o total de objetos a serem cortados, visando desta forma maximizar os lucros de produ¸c˜ ao [12]. Na Figura 1.1, observa-se um problema de corte presente na ind´ ustria lapid´ aria onde, a partir de uma determinada gema
1, busca-se extrair o modelo de lapida¸c˜ ao que resulte no maior aproveitamento volum´ etrico da superf´ıcie.
Figura 1.1: Lapida¸c˜ ao de gemas - um problema de corte no setor lapid´ ario. Fonte: 3D Gemas.
O problema de corte nas ind´ ustrias metal´ urgicas ocorre principalmente na fabrica¸c˜ ao de pe¸cas em s´ erie. Nesses casos como mostra a Figura 1.2, por exemplo, s˜ ao cortadas v´ arias pe¸cas idˆ enticas de uma determinada chapa de a¸co.
Figura 1.2: Pe¸cas fabricadas em s´ erie. Fonte: J.A.S. Metal´ urgica.
No setor de aplica¸c˜ ao estrutural de concreto, uma das ´ areas de concentra¸c˜ ao de estudos em engenharia civil ´ e a de problemas de empacotamento (Packing Problem).
Dentro deste contexto, destaca-se a utiliza¸c˜ ao do m´ etodo de empacotamento compress´ıvel (MEC). O MEC ´ e uma ferramenta de dosagem que possibilita a sele¸c˜ ao e otimiza¸c˜ ao dos
1Segundo o Gemological Institute of America (2009) “gemas s˜ao minerais ou materiais orgˆanicos, utilizados como adorno e que possuem beleza, raridade e durabilidade”.
1.1 Problemas de corte e empacotamento na ind´ ustria 3 constituintes do concreto atrav´ es do empacotamento e visa proporcionar uma melhora na qualidade final e durabilidade do concreto. Segundo [20] a longo prazo, a durabilidade ele- vada do material minimizar´ a os custos de manuten¸c˜ ao, reparo e substitui¸c˜ ao da estrutura existente por uma nova. Na Figura 1.3 verifica-se uma mistura sem o devido tratamento e a mesma ap´ os o m´ etodo de empacotamento compress´ıvel:
Figura 1.3: Concreto convencional e concreto obtido com MEC. Fonte: [20]
Os problemas de empacotamento consistem em alocar ou armazenar uma quan- tidade x de pe¸cas menores em espa¸cos maiores, tais como containers, caixas, adegas, etc., de modo que se maximize o aproveitamento de espa¸co dispon´ıvel. ´ E poss´ıvel perceber como os problemas de corte e empacotamento est˜ ao altamente correlacionados, pois a ideia de cortar pe¸cas pequenas de objetos grandes ´ e equivalente a ideia de aloc´ a-las em espa¸cos maiores [1], como mostra a Figura 1.4. Dessa forma os dois problemas atualmente s˜ ao estudados de maneira conjunta.
Figura 1.4: Problema de corte e empacotamento. Fonte: [1]
1.1.1 Classifica¸ c˜ ao dos problemas de corte e empacotamento
Na classifica¸c˜ ao dos problemas de corte e empacotamento leva-se em consi-
dera¸c˜ ao ` as dimens˜ oes que s˜ ao relevantes durante o procedimento de corte ou empaco-
1.1 Problemas de corte e empacotamento na ind´ ustria 4 tamento. Segundo [17], a seguinte associa¸c˜ ao ´ e feita: por causa do papel fundamental desempenhado pelos padr˜ oes de corte e sua natureza de combina¸c˜ oes geom´ etricas (com- binar itens sobre objetos), pode-se dizer que os Problemas de Corte e Empacotamento s˜ ao “problemas de combina¸c˜ oes geom´ etricas” e podem ser divididos em problemas com dimens˜ oes espaciais e n˜ ao-espaciais.
Os problemas com dimens˜ oes espaciais envolvem objetos e itens que podem ter uma, duas ou trˆ es dimens˜ oes do Espa¸co Euclidiano de acordo com o processo de corte que se deseja aplicar. Dessa forma, classificam-se os problemas de corte de acordo com as suas caracter´ısticas:
• Problema Unidimensional - O problema de corte e empacotamento unidimen- sional ´ e definido como um problema de otimiza¸c˜ ao combinat´ oria, levando em consi- dera¸c˜ ao no processo apenas uma dimens˜ ao (comprimento) do objeto. Esses proble- mas s˜ ao facilmente encontrados em ind´ ustrias de a¸co na fabrica¸c˜ ao de bobinas e na industria de papel˜ ao com bobinas de papel [22] como pode ser visto na Figura 1.5:
Figura 1.5: Problema unidimensional para minimizar a perda P. Fonte: [22]
• Problema Bidimensional - O problema de corte e empacotamento bidimen- sional assim como o unidimensional ´ e um problema de otimiza¸c˜ ao combinat´ oria por´ em leva-se em considera¸c˜ ao duas dimens˜ oes do Espa¸co Euclidiano (comprimento e largura). Problemas dessa natureza s˜ ao encontrados em ind´ ustrias de m´ oveis, setor metal´ urgico e posicionamento de formas em pol´ıgonos.
Figura 1.6: Problema do corte e empacotamento bidimensional. Fonte: [17]
1.1 Problemas de corte e empacotamento na ind´ ustria 5
• Problema Tridimensional - Um problema de corte ou empacotamento ´ e consi- derado tridimensional quando as trˆ es dimens˜ oes do objeto (largura, comprimento e altura) s˜ ao levados em considera¸c˜ ao durante o processo, buscando alocar objetos espaciais dentro de objetos maiores de modo a minimizar os espa¸cos ociosos.
Figura 1.7: Problema de empacotamento tridimensional em containers. Fonte: [38]
Existem ainda os problemas multi-dimensionais ( n > 3 dimens˜ oes) geral- mente associados aos problemas de aloca¸c˜ oes de tarefas. Esse tipo de problema est´ a inserido na classe dos problemas de dimens˜ oes n˜ ao-espaciais na concep¸c˜ ao de [17] e po- dem ser definidos como problemas abstratos, pois as dimens˜ oes levadas em considera¸c˜ ao no decorrer da busca pela solu¸c˜ ao, n˜ ao s˜ ao dimens˜ oes f´ısicas ou palp´ aveis.
O problema de aloca¸c˜ ao de ber¸cos em portos, conforme mostra a Figura 1.8 esta enquadrado nesse tipo de problema multi-dimensional, onde a janela de tempo passa a fazer parte do problema.
Figura 1.8: Problema de aloca¸c˜ ao de ber¸cos em portos. Fonte: Terminal Mar´ıtimo da Ultrafertil.
O empacotamento de elipses tangentes em um pol´ıgono de n lados ´ e caracte-
rizado como um problema bidimensional, levando em considera¸c˜ ao os semi-eixos maior e
menor de cada elipse alocada.
1.2 Tecnologia 3D Gemas 6
1.2 Tecnologia 3D Gemas
No setor industrial destaca-se o grande desenvolvimento do setor de lapida¸c˜ ao e exporta¸c˜ ao de gemas do munic´ıpio de Soledade. Esse desenvolvimento propiciou a cria¸c˜ ao de v´ arias linhas de pesquisa na ´ area de tecnologias para a lapida¸c˜ ao e aperfei¸coamento de t´ ecnicas visando melhorar a qualidade dos artefatos constitu´ıdos de gemas encontradas em estado bruto.
Dentre as tecnologias desenvolvidas atrav´ es de pesquisas, cita-se a Tecnologia 3D Gemas como resultado do projeto de pesquisa “Digitaliza¸c˜ ao 3D de gemas de pedras preciosas com software CAD
2de apoio ao projeto de lapida¸c˜ ao”, que posteriormente passou a ser chamado de “Projeto 3D Gemas”.
Nesse sentido, o Projeto 3D Gemas desenvolvido pelo Centro Tecnol´ ogico de Pedras, Gemas e J´ oias do Rio Grande do Sul, localizado em Soledade, juntamente com a Universidade de Passo Fundo e Universidade Federal do Rio Grande do Sul prop˜ oe a Tecnologia 3D Gemas. Essa tecnologia ´ e um conjunto de t´ ecnicas e procedimentos desenvolvidos com objetivo de auxiliar o processo de lapida¸c˜ ao facetada de gemas coradas, que consiste em aplicar modelos de lapida¸c˜ ao em que as gemas s˜ ao totalmente limitadas por superf´ıcies planas, visando encontrar para cada gema o projeto de lapida¸c˜ ao que resulte no maior valor agregado, considerando volume e brilho.
Segundo [9] a referida tecnologia trabalha no desenvolvimento do Software Otimizador 3D Gemas, cujo prop´ osito ´ e desenvolver um algoritmo capaz de indicar o melhor aproveitamento volum´ etrico atrav´ es da inser¸c˜ ao de um modelo virtual de lapida¸c˜ ao que n˜ ao passe por uma solu¸c˜ ao trivial. Inicialmente, uma vers˜ ao funcional do software est´ a sendo desenvolvida, sendo que ´ e capaz de inscrever apenas um modelo de lapida¸c˜ ao no formato redondo ou formato oval para qualquer gema digitalizada.
A inscri¸c˜ ao desses modelos de lapida¸c˜ ao tem por padr˜ ao o posicionamento de elipses ou circunferˆ encias que formam a base dos modelos de lapida¸c˜ ao. Alguns problemas de posicionamento de formas semelhantes s˜ ao provenientes de um grande n´ umero de ind´ ustrias, como as de fabrica¸c˜ ao de pe¸cas automotivas, onde pe¸cas pr´ e-definidas devem ser extra´ıdas de chapas de metal minimizando o desperd´ıcio de material. Outro exemplo, s˜ ao as ind´ ustrias de vestu´ ario que buscam produzir o maior n´ umero de componentes a
2Os sistemas CAD -Computer Adied Design (projeto auxiliado por computador) auxiliam na cria¸c˜ao, modifica¸c˜ao e otimiza¸c˜ao de um projeto
1.3 Introdu¸c˜ ao a programa¸c˜ ao com o Software MatLab 7 partir de uma pe¸ca de tecido.
Neste trabalho, pretende-se desenvolver uma metodologia anal´ıtica e computa- cional capaz de encontrar a solu¸c˜ ao vi´ avel para o problema de empacotamento de m´ ultiplas elipses tangentes entre si num pol´ıgono irregular de n lados, geradas a partir de uma elipse inicial obtida atrav´ es do m´ etodo de otimiza¸c˜ ao irrestrita de Hooke e Jeeves, cuja mode- lagem matem´ atica e computacional ´ e descrita em [5] e [6]. Descreve ainda a utiliza¸c˜ ao de simetrias em R
2e suas implica¸c˜ oes na busca pelos pontos de tangˆ encia e uma heur´ıstica baseada na modifica¸c˜ ao da fun¸c˜ ao inpolygon do MatLab que realiza a verifica¸c˜ ao de pon- tos interiores ou n˜ ao ao pol´ıgono utilizado. As elipses devem ser posicionadas de modo que seja obtida a maximiza¸c˜ ao da ´ area total das elipses empacotadas, n˜ ao havendo so- breposi¸c˜ ao de formas e sem que essas ultrapassem os limites do contorno da gema, con- siderando que o processo seja realizado em um tempo computacional aceit´ avel de acordo com a necessidade do lapid´ ario.
1.3 Introdu¸ c˜ ao a programa¸ c˜ ao com o Software Mat- Lab
Para as implementa¸c˜ oes computacionais da heur´ıstica desenvolvida para em- pacotar elipses em pol´ıgonos irregulares de n lados utilizou-se o software MatLab (MATrix LABoratory) [34] sob licen¸ca acadˆ emica
3.
De acordo com [36] esse software ´ e interativo e de alta performance voltado para o c´ alculo num´ erico, integrando an´ alise num´ erica, c´ alculo com matrizes, processa- mento de sinais e constru¸c˜ ao de gr´ aficos. Possui um ambiente f´ acil de usar, onde os problemas e solu¸c˜ oes s˜ ao expressos somente como eles s˜ ao escritos matematicamente, ao contr´ ario de outras linguagens de programa¸c˜ ao tradicional.
O software MatLab foi implementado em C (linguagem de programa¸c˜ ao) e oferece uma ampla biblioteca de fun¸c˜ oes pr´ e-definidas, as quais s˜ ao usadas para resolver determinados problemas tais como os de otimiza¸c˜ ao, manipula¸c˜ ao alg´ ebrica, redes neurais, processamento de sinais, simula¸c˜ ao de sistemas dinˆ amicos, entre outros.
3Serial Number: 13-22935-54640-30039-45949-41945-37494-18536-34124-63074-33671-08341-01230- 63402-23598.
1.4 Justificativas para o trabalho 8 Segundo [31] o software MatLab surgiu no in´ıcio da d´ ecada de 80, desenvolvido por Cleve Moler, no Departamento de Ciˆ encia da Computa¸c˜ ao da Universidade do Novo M´ exico, EUA. Vers˜ oes anteriores a este foram desenvolvidas na firma comercial Math- Works Inc., que detˆ em os direitos autorais das implementa¸c˜ oes. Uma vers˜ ao do software pode ser obtida pela internet atrav´ es da p´ agina http://www.matlab.com.br.
Atrav´ es de estudos comparativos realizados por [37] observou-se que alguns problemas matem´ aticos implementados em MatLab foram resolvidos muito mais rapida- mente e de maneira mais eficiente que em outras linguagens como C, Basic, Pascal ou Fortran.
Ainda com rela¸c˜ ao a programa¸c˜ ao ´ e poss´ıvel utilizar o Simulink
R4- si- mula¸c˜ ao e modelagem de projetos. O Simulink
R[34] ´ e um ambiente desenvolvido para a simula¸c˜ ao de v´ arios dom´ınios e design baseado em modelos para sistemas dinˆ amicos e integrados. Ele fornece um ambiente gr´ afico interativo e um conjunto personaliz´ avel de bibliotecas de blocos que permitem projetar, simular, implementar e testar in´ umeros sistemas variantes no tempo, incluindo comunica¸c˜ oes, controles, processamento de sinais, processamento de v´ıdeo e processamento de imagem.
1.4 Justificativas para o trabalho
O tema escolhido para pesquisa leva em considera¸c˜ ao um estudo anterior sobre a inscri¸c˜ ao de sec¸c˜ oes cˆ onicas em pol´ıgonos irregulares de n lados, encontrado no decorrer do projeto 3D Gemas e desenvolvido por [5]. Uma das motiva¸c˜ oes para o desenvolvimento de uma heur´ıstica capaz de empacotar elipses tangentes em pol´ıgonos baseia-se no fato de que grande parte dos estudos na ´ area de empacotamento s˜ ao realizados levando em considera¸c˜ ao formas regulares, ou seja, empacotar formas regulares em objetos com a mesma caracter´ıstica.
A pesquisa anteriormente realizada por [5] inscreve sec¸c˜ oes cˆ onicas - no caso a elipse e a circunferˆ encia - que formam, respectivamente, a base dos modelos de lapida¸c˜ ao oval e redondo. Com o desenvolvimento de uma metodologia anal´ıtica desse problema e uma compreens˜ ao dos m´ etodos de buscas das solu¸c˜ oes vi´ aveis, busca-se otimizar v´ arias
4M athW orksR Simulink - Simulation and Model-Based Design. Dispon´ıvel em <
http://www.mathworks.com/products/simulink/>
1.4 Justificativas para o trabalho 9 elipses aumentando assim o aproveitamento volum´ etrico de uma gema ap´ os o processo de lapida¸c˜ ao. A inquieta¸c˜ ao inicial surge com o prop´ osito de empacotar elipses em torno de uma elipse inicial pr´ e-estabelecida obtendo dessa forma m´ ultiplos modelos de lapida¸c˜ ao oval em uma mesma gema. Essa problematiza¸c˜ ao justifica-se pela sua influˆ encia no con- texto cient´ıfico e industrial, bem como no desenvolvimento do projeto 3D Gemas.
Para a elabora¸c˜ ao da heur´ıstica realizou-se um estudo dos principais m´ etodos e heur´ısticas indicados para resolu¸c˜ ao de problemas de corte e empacotamento bidimen- sional, destacando alguns deles:
- M´ etodo Simplex adaptado ao problema de corte, descrito em [22];
- M´ etodos de Otimiza¸ c˜ ao Cont´ınua atrav´ es de sistemas de equa¸c˜ oes n˜ ao-lineares e a obten¸c˜ ao da solu¸c˜ ao a partir do m´ etodo de Newton-Raphson, desenvolvido por [21];
- Algoritmos de Aproxima¸ c˜ ao aplicados ao problema de corte e empacotamento, s˜ ao algoritmos eficientes e que geram solu¸c˜ oes com garantia de qualidade adaptados por [49];
- Inferˆ encia Fuzzy utilizada por [43] em problemas de corte de estoque com sobras aproveit´ aveis (PCESA);
- Algoritmos gen´ eticos utilizados por [16] como uma t´ ecnica de otimiza¸c˜ ao em problemas de corte industrial bidimensional;
- M´ etodo de otimiza¸ c˜ ao irrestrita de Hooke e Jeeves aplicado ao problema de inscri¸c˜ ao de sec¸c˜ oes cˆ onicas em pol´ıgonos de n lados [5].
Com base no estudo realizado sobre os principais m´ etodos, optou-se em desen- volver uma heur´ıstica construtiva sendo utilizada uma adapta¸c˜ ao do m´ etodo de otimiza¸c˜ ao de Hooke e Jeeves para a inscri¸c˜ ao da elipse inicial. Segundo [14] heur´ısticas construtivas ou algoritmos construtivos s˜ ao m´ etodos baseados em construir uma solu¸c˜ ao a partir de regras pr´ e-definidas, levando em considera¸c˜ ao as caracter´ısticas do problema. Alguns dos m´ etodos acima citados ser˜ ao abordados no Cap´ıtulo 2.
A metodologia adotada para o desenvolvimento da heur´ıstica poder´ a ser uti-
lizada para diversos problemas de corte e empacotamento, n˜ ao apenas na ind´ ustria lapid´ a-
1.5 Objetivo geral do trabalho 10 ria mas tamb´ em na ind´ ustria tˆ extil, mecˆ anica e automotiva, principalmente na usinagem de pe¸cas seriadas.
Este trabalho decorre do interesse em desenvolver uma heur´ıstica para pro- blemas de corte e empacotamento que modifique o estado da arte nessa ´ area, no que diz respeito as restri¸c˜ oes impostas pelo problema principalmente tratando-se de uma regi˜ ao com dimens˜ oes n˜ ao fixas.
1.5 Objetivo geral do trabalho
Desenvolver uma metodologia anal´ıtica e computacional, com a qual fosse poss´ıvel encontrar uma solu¸c˜ ao vi´ avel para o problema de empacotamento de elipses, idˆ enticas ou n˜ ao, sem sobreposi¸c˜ ao e tangentes a cada v´ ertice e quadrante da elipse ini- cial. Nesta instˆ ancia do problema do empacotamento, se pretendeu obter a maximiza¸c˜ ao da ´ area total das elipses empacotadas em P e a minimiza¸c˜ ao do tempo de processamento computacional.
1.5.1 Objetivos espec´ıficos do trabalho
Para o desenvolvimento da heur´ıstica construtiva e valida¸c˜ ao da metodolo- gia faz-se necess´ ario elaborar alguns objetivos espec´ıficos para definir as metas a serem alcan¸cadas. Podemos destacar como prioridade:
- transformar o m´ etodo de otimiza¸c˜ ao irrestrita de Hooke e Jeeves em um m´ etodo de otimiza¸c˜ ao com restri¸c˜ oes;
- investigar os m´ etodos mais utilizados nos problemas de corte e empacotamento, capazes de serem aplicados a diferentes tipos de objetos;
- modelar adequadamente as solu¸c˜ oes vi´ aveis no espa¸co de busca;
- possibilitar uma modelagem mais gen´ erica e flex´ıvel do problema, de forma a variar o n´ umero de itera¸c˜ oes conforme a necessidade do usu´ ario do programa;
- definir e implementar os algoritmos e sub-rotinas necess´ arios para a valida¸c˜ ao da metodologia proposta;
- realizar adapta¸c˜ oes na fun¸c˜ ao pr´ e-definida inpolygon do MatLab [34] utilizada na
verifica¸c˜ ao inscri¸c˜ ao das elipses no pol´ıgono;
1.6 Organiza¸c˜ ao da Disserta¸c˜ ao 11 - realizar as simula¸c˜ oes computacionais com a utiliza¸c˜ ao do software MatLab;
- elaborar um pseudo-c´ odigo para disponibilizar aos demais pesquisadores na ´ area de problemas de corte e empacotamento;
- obter a fun¸c˜ ao exponencial de cada simula¸c˜ ao, caracterizando dessa forma o com- portamento da heur´ıstica;
- analisar e validar os resultados obtidos com a heur´ıstica desenvolvida.
1.6 Organiza¸ c˜ ao da Disserta¸ c˜ ao
Neste cap´ıtulo, foram introduzidos os problemas de corte e empacotamento, suas classifica¸c˜ oes com um enfoque no setor industrial. Situou-se o leitor sobre a im- portˆ ancia da Tecnologia 3D Gemas no contexto desse trabalho e destacou-se a utiliza¸c˜ ao do software MatLab para a implementa¸c˜ ao da heur´ıstica desenvolvida. Foram apresenta- dos, tamb´ em, o objetivo geral e os objetivos espec´ıficos para esse trabalho bem como a justificativa para a realiza¸c˜ ao do mesmo.
O Cap´ıtulo 2 apresenta, resumidamente, trabalhos relacionados aos problemas de corte e empacotamento e algumas t´ ecnicas utilizadas por outros autores, a fim de pro- porcionar uma vis˜ ao mais ampla das pesquisas em problemas de corte e empacotamento e tamb´ em relacionadas ao posicionamento de formas. Faz-se uma abordagem mais apro- fundada do m´ etodo de Hooke e Jeeves proposto por [4] e indicado como o mais vi´ avel para a otimiza¸c˜ ao da elipse inicial.
No Cap´ıtulo 3, ´ e apresentada a generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao param´ etrica de uma elipse e a formula¸c˜ ao matem´ atica para a otimiza¸c˜ ao da elipse inicial e para o empaco- tamento das elipses tangentes. Descreve-se as estrat´ egias de otimiza¸c˜ ao e a condi¸c˜ ao adicional inserida para garantir a inscri¸c˜ ao total das elipses e formaliza-se o conceito de convexidade.
Ap´ os, o Cap´ıtulo 4 apresenta uma adapta¸c˜ ao do m´ etodo de otimiza¸c˜ ao de Hooke e Jeeves e as buscas explorat´ oria e padr˜ ao realizadas para otimizar a elipse ini- cial, obtendo assim os parˆ ametros necess´ arios para realizar o empacotamento das elipses tangentes.
A seguir, no Cap´ıtulo 5 descreve-se a metodologia anal´ıtica para o empacota-
mento das elipses tangentes aos v´ ertices da elipse inicial. Neste Cap´ıtulo ´ e formalizado o
1.6 Organiza¸c˜ ao da Disserta¸c˜ ao 12 c´ alculo para a obten¸c˜ ao de cada v´ ertice de uma elipse, sendo utilizado em todas as elipses empacotadas.
J´ a o Cap´ıtulo 6 apresenta a metodologia anal´ıtica desenvolvida para o empa- cotamento de elipses tangentes aos quadrantes da elipse inicial baseada no princ´ıpio da constru¸c˜ ao de pe¸cas Lego e na obten¸c˜ ao de equa¸c˜ oes param´ etricas resultantes da aplica¸c˜ ao de simetrias em R
2.
No Cap´ıtulo 7 ´ e apresentada a estrat´ egia computacional utilizada para verificar quais elipses possuem pontos exteriores ao contorno que define o pol´ıgono. As simula¸c˜ oes da heur´ıstica desenvolvida e os parˆ ametros obtidos de cada elipse bem como o tempo de processamento e aproveitamento volum´ etrico s˜ ao descritos no Cap´ıtulo 8.
Ap´ os realizadas as simula¸c˜ oes com os contornos escolhidos, o Cap´ıtulo 9 exp˜ oe os resultados obtidos e algumas considera¸c˜ oes sobre restri¸c˜ oes que possam interferir na busca pelo empacotamento ´ otimo, tais como pol´ıgonos n˜ ao-convexos com muitos pontos e pol´ıgonos com concavidades acentuadas onde o c´ alculo do centro do pol´ıgono deve ser realizado considerando um centro de massa e n˜ ao o centr´ oide.
Por fim o Cap´ıtulo 10 apresenta os principais aspectos abordados, seguindo
com uma discuss˜ ao das principais contribui¸c˜ oes alcan¸cadas com a heur´ıstica desenvolvida
e, posteriormente, por sugest˜ oes de trabalhos futuros.
13
2 Revis˜ ao bibliogr´ afica
Este cap´ıtulo apresenta, primeiramente, os aspectos mais relevantes com rela¸ c˜ ao aos problemas de corte e empacotamento, m´ etodos distintos uti- lizados em pesquisas e trabalhos na ´ area. Ap´ os, s˜ ao tratadas as abor- dagens para os diversos problemas de posicionamento de formas em dom´ınios distintos. Por fim, apresenta o m´ etodo de Hooke e Jeeves adotado na heur´ıstica para o posicionamento da elipse inicial.
Problemas na ´ area de corte e empacotamento (PCEs) s˜ ao cada vez mais estuda- dos pela comunidade acadˆ emica. Esses estudos buscam desenvolver m´ etodos e heur´ısticas que minimizem a quantidade de mat´ eria-prima necess´ aria para gerar produtos no setor industrial e de fabrica¸c˜ ao e melhorar a qualidade nos servi¸cos de log´ıstica em ind´ ustrias de grande porte.
Os problemas de corte e empacotamento s˜ ao, em geral, classificados como problemas de otimiza¸c˜ ao combinat´ oria. A utiliza¸c˜ ao de estrat´ egias de otimiza¸c˜ ao tem como objetivo geral minimizar ou maximizar uma fun¸c˜ ao f em um dom´ınio onde esta seja definida.
Um dos acontecimentos mais importantes da hist´ oria mundial ocorrido em meados do s´ eculo XVIII no Reino Unido e que acabou se espalhando pelo mundo no s´ eculo XIX foi determinante para o surgimento de estudos voltados para os problemas de corte e empacotamento. Segundo [44], desde os prim´ ordios da revolu¸c˜ ao industrial as interven¸c˜ oes econˆ omicas dos produtores j´ a apresentavam complica¸c˜ oes ligadas as decis˜ oes de log´ıstica dos produtos.
Nesse contexto surgiram os primeiros estudos na ´ area de PCEs. O trabalho
pioneiro de PCEs foi realizado pelo matem´ atico e economista sovi´ etico Leonid Vitaliyevich
Kantorovich publicado em russo no ano de 1939 e por consequˆ encia da Guerra Fria foi
traduzido para o inglˆ es [27] e publicado somente em 1960. O estudo realizado por [27] a-
presenta alguns modelos de programa¸c˜ ao linear voltados para o planejamento, organiza¸c˜ ao
2 Revis˜ ao bibliogr´ afica 14 e log´ıstica de produtos e seus m´ etodos de solu¸c˜ ao.
Os m´ etodos para resolver e modelar problemas de corte e empacotamento mais relevantes foram publicados por Gilmore e Gomory na d´ ecada de 60. Dentre eles destaca- se a formula¸c˜ ao feita em 1961 por [22] do Problema de Corte de Estoque Unidimensional, que prop˜ oe uma varia¸c˜ ao baseada no m´ etodo Simplex com gera¸c˜ ao de colunas para a relaxa¸c˜ ao linear de um problema de grande porte. Em 1963, os mesmos autores esten- deram a aplicabilidade dos m´ etodos propostos em [22], adaptando-os para um problema espec´ıfico de estudo de caso, acrescentando restri¸c˜ oes que mais tarde definiram-se como fundamentais no ponto de vista pr´ atico da ind´ ustria.
No que diz respeito aos PCEs surgem as heur´ısticas construtivas como alterna- tivas computacionalmente vi´ aveis para resolver os problemas de otimiza¸c˜ ao combinat´ oria.
Segundo [26], define-se heur´ıstica como uma regra simples e eficiente para resolver um determinado problema ou tomar uma decis˜ ao em rela¸c˜ ao ao mesmo. A limita¸c˜ ao de se utilizar uma heur´ıstica est´ a relacionada a busca pela solu¸c˜ ao ´ otima, a solu¸c˜ ao sempre
´
e encontrada mas n˜ ao necessariamente, ´ e ´ otima. Com base nos estudos e m´ etodos de- senvolvidos por [22] surgiram v´ arias heur´ısticas e m´ etodos adaptados para resolver os PCEs.
Entre as heur´ısticas e m´ etodos desenvolvidos para resolver os problemas de corte e empacotamento, destaca-se o estudo realizado por [22](1961) no qual foi proposto a formula¸c˜ ao do Problema de Corte de Estoques utilizando Programa¸c˜ ao Linear (PL) em especial t´ ecnicas de Programa¸c˜ ao Inteira (PI). Nesses casos faz-se uma relaxa¸c˜ ao de algumas restri¸c˜ oes do problema, levando em considera¸c˜ ao a aproxima¸c˜ ao da solu¸c˜ ao ´ otima do programa linear podendo resultar em uma solu¸c˜ ao vi´ avel para a programa¸c˜ ao linear inteira.
Dois anos mais tarde, os mesmos autores utilizaram o m´ etodo simplex com gera¸c˜ ao de colunas com relaxamento das condi¸c˜ oes de integralidade das vari´ aveis de de- cis˜ ao do problema. Segundo [22], uma s´ erie de colunas s˜ ao geradas de acordo com a quantidade de parˆ ametros dispon´ıveis e todos os poss´ıveis padr˜ oes P de corte. Com as colunas determinadas ´ e poss´ıvel encontrar uma solu¸c˜ ao para o problema relaxado e posteriormente para o problema inteiro.
A limita¸c˜ ao do m´ etodo simplex aplicado por [22] est´ a diretamente ligada a
quantidade de padr˜ oes de corte P que em problemas de grande porte pode ultrapassar
2 Revis˜ ao bibliogr´ afica 15 a quantidade de milh˜ oes de padr˜ oes. Como estrat´ egia para essa limita¸c˜ ao gera-se um subconjunto dos melhores padr˜ oes e aplica-se o m´ etodo novamente.
Outra estrat´ egia para solucionar os problemas de corte e empacotamento uti- liza resultados obtidos por m´ etodos de Otimiza¸c˜ ao Cont´ınua na busca de solu¸c˜ oes mais precisas. Um dos trabalhos que utiliza essa estrat´ egia foi realizado por [21] para mini- mizar as dimens˜ oes de um objeto que comporte em seu interior um dado n´ umero de itens circulares idˆ enticos, sem que haja sobreposi¸c˜ oes. Para isso, o autor prop˜ oe uma estrat´ egia baseada na formula¸c˜ ao de sistemas de equa¸c˜ oes n˜ ao-lineares obtendo sua solu¸c˜ ao com a aplica¸c˜ ao do m´ etodo de Newton-Raphson.
A formula¸c˜ ao do problema conforme [21] ´ e expressa pelo modelo n˜ ao-linear:
Minimizar as dimens˜ oes do objeto
sujeito a comportar os itens sem sobreposi¸c˜ oes
As viola¸c˜ oes remanescentes podem ser facilmente corrigidas com o afastamento de itens que se sobreponham e a posterior amplia¸c˜ ao das dimens˜ oes do objeto. A cada itera¸c˜ ao aumenta a quantidade de itens empacotados, conforme a Figura 2.1:
Figura 2.1: Empacotamento de c´ırculos em um c´ırculo maior. Fonte: [21].
No decorrer do desenvolvimento da heur´ıstica construtiva para o empacota-
mento de elipses tangentes em pol´ıgonos de n -lados al´ em da revis˜ ao bibliogr´ afica sobre os
m´ etodos adequados para resolver P CEs tamb´ em foram pesquisados m´ etodos utilizados
para o posicionamento de formas, mostrados na Se¸c˜ ao 2.1.
2.1 Trabalhos relacionados ao posicionamento de formas 16
2.1 Trabalhos relacionados ao posicionamento de for- mas
Com rela¸c˜ ao aos problemas de empacotamento de itens tangentes e n˜ ao idˆ en- ticos em pol´ıgonos irregulares de n lados observa-se a falta de referˆ encias espec´ıficas, de modo que encontram-se em maior ˆ enfase na literatura o posicionamento de itens idˆ enticos sem a utiliza¸c˜ ao do m´ etodo de otimiza¸c˜ ao de Hooke e Jeeves e com relaxamento das restri¸c˜ oes impostas pelo problema, descaracterizando parte da aplica¸c˜ ao do problema.
Destaca-se no posicionamento de formas o estudo realizado por [32], que propˆ os um processo de otimiza¸c˜ ao para o problema de rota¸c˜ ao e transla¸c˜ ao de formas irregulares em recipientes de dimens˜ oes fixas baseado em heur´ısticas probabil´ısticas (pol´ıgono de obstru¸c˜ ao e recozimento simulado) sem o uso de penaliza¸c˜ ao externa.
O autor utilizou o conceito de pol´ıgono de obstru¸c˜ ao - que mostra claramente a ´ area obstru´ıda por uma figura no posicionamento de outra - juntamente com o m´ etodo do Recozimento Simulado (Simulated Annealing), uma heur´ıstica de otimiza¸c˜ ao de ex- plora¸c˜ ao local que analisa a cada itera¸c˜ ao apenas uma solu¸c˜ ao do problema. A Figura 2.2 representa uma das solu¸c˜ oes obtida por [32] para o problema do posicionamento de formas em recipientes de dimens˜ oes fixas:
Figura 2.2: Posicionamento de formas em um recipiente de dimens˜ oes fixas. Fonte: [32]
2.1 Trabalhos relacionados ao posicionamento de formas 17 O posicionamento de formas ´ e muito utilizado no corte de diamantes e de outras gemas onde a precis˜ ao m´ axima deve ser obtida. Para isso, [48] uniu geometria e c´ alculo multivari´ avel com t´ ecnicas de otimiza¸c˜ ao, sendo capaz de criar algoritmos que automaticamente geram planos precisos de corte que maximizam brilho e rendimento (maximiza¸c˜ ao do volume).
O posicionamento de m´ ultiplas elipses, mostrado na Figura 2.3 ´ e inicialmente abordado por [48] com o prop´ osito de desenvolver outros modelos de lapida¸c˜ ao al´ em dos modelos redondo e oval.
Figura 2.3: Posicionamento de duas elipses em um dado container. Fonte:[48]
Segundo [48], a partir da elipse pode-se obter os demais modelos de lapida¸c˜ ao, para isso fez o uso de m´ etodos num´ ericos pratic´ aveis para problemas de otimiza¸c˜ ao semi- infinita com restri¸c˜ oes n˜ ao-cˆ oncavas. Na Figura 2.4 a seguir, o autor utiliza o mesmo container para inscrever a base de dois modelos de lapida¸c˜ ao cora¸c˜ ao:
Figura 2.4: Base do modelo cora¸c˜ ao em um dado container. Fonte: [48]
Em contrapartida aos m´ etodos num´ ericos, pol´ıgono de obstru¸c˜ ao e ao reco- zimento simulado, [24] e [25] prop˜ oe a utiliza¸c˜ ao de algoritmos evolutivos baseados na sele¸c˜ ao de esp´ ecies para a evolu¸c˜ ao e itera¸c˜ oes entre as esp´ ecies para determinar uma aptid˜ ao.
O autor realiza uma modifica¸c˜ ao no m´ etodo evolutivo denominado Fitness
2.1 Trabalhos relacionados ao posicionamento de formas 18 Sharing, onde todos os indiv´ıduos tem a mesma aptid˜ ao objetiva, mas eles agem para reduzir a aptid˜ ao compartilhada atrav´ es da competi¸c˜ ao de recursos. A modifica¸c˜ ao no Fitness Sharing resultou no m´ etodo Pure Co-evolutionary Shape Nesting (PCSN) que uti- liza propor¸c˜ oes de esp´ ecies para representar a popula¸c˜ ao, assim simulando uma popula¸c˜ ao infinitamente grande. Com nenhuma descoberta de operadores, como a muta¸c˜ ao ou re- combina¸c˜ ao, a evolu¸c˜ ao consiste em uma ´ unica sele¸c˜ ao com todas as esp´ ecies presentes na popula¸c˜ ao inicial.
Os primeiros testes de [24] aplicaram o Fitness Sharing em problemas de posi- cionamento unidimensionais e bidimensionais de formas, com o posicionamento de quadra- dos alinhados aos eixos. J´ a em [25] os experimentos foram realizados com pol´ıgonos de forma arbitr´ aria animando as formas e o pol´ıgono onde ser˜ ao posicionados, conforme pode ser visto na Figura 2.5:
Figura 2.5: Posicionamento geral no pol´ıgono. Fonte: [25]
Em [25] tamb´ em ´ e poss´ıvel observar a utiliza¸c˜ ao do PCSN para posicionar os c´ırculos no mesmo pol´ıgono utilizado para aninhar os pol´ıgonos menores. O autor posicionou c´ırculos com 72 unidades de diˆ ametro, obtendo mais c´ırculos posicionados com o PCSN, visto na Figura 2.6, do que utilizando trˆ es pacotes de softwares comerciais.
Figura 2.6: Posicionamento de c´ırculos com PCSN. Fonte: [25]
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posicionamento de formas em pol´ıgonos 19 Dessa forma, ´ e poss´ıvel concluir que a heur´ıstica adotada por [24] e [25] ´ e mais eficiente computacionalmente e otimiza mais formas em um dado pol´ıgono que os softwares de otimiza¸c˜ ao dispon´ıveis no mercado.
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posiciona- mento de formas em pol´ıgonos
No que diz respeito ao posicionamento de formas em pol´ıgonos, tanto regulares quanto irregulares, geralmente s˜ ao utilizados v´ arios m´ etodos e algoritmos para desenvolver uma heur´ıstica pr´ opria da solu¸c˜ ao. Um dos m´ etodos utilizados para o assentamento de formas num dado pol´ıgono ´ e o Recozimento Simulado (Simulated Annealing). De acordo com [32], o recozimento simulado trata-se de um m´ etodo de otimiza¸c˜ ao baseado em busca por explora¸c˜ ao local do gradiente ascendente de modo que ´ e poss´ıvel escapar de m´ınimos locais permitindo que seja explorado o espa¸co em dire¸c˜ oes que resultem num acr´ escimo da fun¸c˜ ao objetivo.
Em determinados problemas de otimiza¸c˜ ao classificados como dif´ıceis com um n´ umero de restri¸c˜ oes consideravelmente grande, aplica-se uma relaxa¸c˜ ao para produzir limites no algoritmo de busca. Dentre as relaxa¸c˜ oes mais utilizadas, destacam-se as de programa¸c˜ ao linear e as relaxa¸c˜ oes Lagrangeanas.
A otimiza¸c˜ ao segundo [10], ´ e uma ´ area da Matem´ atica Aplicada que trata de como calcular e computar valores ´ otimos que induzem um desempenho ´ otimo. Esses valores devem satisfazer as restri¸c˜ oes que aparecem em determinados casos, impostas pelo problema inicial.
Outro m´ etodo utilizado para resolver problemas de posicionamento de formas
´
e o m´ etodo de otimiza¸c˜ ao de Hooke e Jeeves [4], que combinado com movimentos de transla¸c˜ ao e rota¸c˜ ao, resulta no posicionamento ideal das formas que se deseja fixar. No decorrer do processo de otimiza¸c˜ ao desenvolvido para inscrever a maior elipse poss´ıvel em um pol´ıgono irregular de n lados s˜ ao utilizadas v´ arias etapas de tentativa e erro e um m´ etodo iterativo de otimiza¸c˜ ao.
O m´ etodo de otimiza¸c˜ ao de Hooke e Jeeves n˜ ao faz parte dos m´ etodos cl´ assicos
utilizados para minimizar ou maximizar uma fun¸c˜ ao que n˜ ao contenha restri¸c˜ oes, o que
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posicionamento de formas em pol´ıgonos 20 podemos chamar de otimiza¸c˜ ao irrestrita. Segundo [4], “a otimiza¸c˜ ao irrestrita trata do problema de minimizar ou maximizar uma fun¸c˜ ao na ausˆ encia de qualquer restri¸c˜ ao”.
Dessa forma, n˜ ao existe a necessidade da solu¸c˜ ao estar contida no mesmo espa¸co das possibilidades de solu¸c˜ oes existentes.
Conforme [23], quando se deseja encontrar o valor m´ aximo ou m´ınimo de uma fun¸c˜ ao complexa, ` as vezes os m´ etodos falham ou n˜ ao s˜ ao vi´ aveis pela extens˜ ao dos c´ alculos.
A dificuldade em resolver os problemas com fun¸c˜ oes complexas originou o que hoje ´ e conhecida como “busca direta”. A vantagem de utilizar esse tipo de m´ etodo ´ e que basta definir uma estrat´ egia de busca simples e o computador executar´ a com tempo de execu¸c˜ ao inferior a m´ etodos que n˜ ao utilizam a id´ eia de busca em dire¸c˜ oes.
Com rela¸c˜ ao ao m´ etodo de Hooke e Jeeves [15] afirmam que, os m´ etodos diretos baseiam-se na compara¸c˜ ao dos valores da fun¸c˜ ao objetivo e s˜ ao particularmente atrativos em situa¸c˜ oes onde as derivadas da fun¸c˜ ao objetivo e das fun¸c˜ oes restri¸c˜ oes n˜ ao s˜ ao vi´ aveis, considerando o espa¸co de busca.
Geralmente, a solu¸c˜ ao de um problema de uma vari´ avel n˜ ao auxilia na re- solu¸c˜ ao de um problema correspondente com diversas vari´ aveis. Esse tipo de m´ etodo de otimiza¸c˜ ao, como por exemplo o m´ etodo de Hooke e Jeeves, utiliza o que se chama de
“for¸ca bruta” e caracteriza-se pela falta de elegˆ ancia matem´ atica.
O desenvolvimento desse m´ etodo por Robert Hooke e T. A. Jeeves decorreu de um problema envolvendo uma fun¸c˜ ao complexa em que a utiliza¸c˜ ao de m´ etodos con- vencionais de otimiza¸c˜ ao n˜ ao era a melhor escolha. Eles realizaram experimentos com fun¸c˜ oes objetivo distintas e descobriram que os principais desligamentos ocorrem em cur- vas de contorno longas e finas. Dessa forma, elaboraram uma estrat´ egia chamada “busca padr˜ ao” (Pattern search ) para que fosse poss´ıvel manipul´ a-las.
Uma das grandes vantagens da utiliza¸c˜ ao do m´ etodo de Hooke e Jeeves ´ e que esse m´ etodo pode ser facilmente modificado e ajustado ao problema que se deseja resolver.
Essa modifica¸c˜ ao ´ e observada em problemas que levam em considera¸c˜ ao as restri¸c˜ oes do contorno ou espa¸co de solu¸c˜ oes poss´ıveis. Transforma-se um m´ etodo de otimiza¸c˜ ao irrestrita em um m´ etodo de otimiza¸c˜ ao com restri¸c˜ oes para garantir que a solu¸c˜ ao ´ otima esteja contida na regi˜ ao poligonal formada pelos v´ ertices que descrevem o contorno do maior plano onde ser´ a inserida a elipse inicial.
No problema de inscri¸c˜ ao da elipse inicial, tem-se que a fun¸c˜ ao objetivo a ser
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posicionamento de formas em pol´ıgonos 21 maximizada deve conter a restri¸c˜ ao em rela¸c˜ ao ao ponto inicial que ser´ a assumido como parˆ ametro do m´ etodo de busca de Hooke e Jeeves.
De acordo com [33], esse m´ etodo utiliza um algoritmo de busca direta, ou seja, o espa¸co de solu¸c˜ oes forma-se pela discretiza¸c˜ ao dos parˆ ametros de ajuste, onde cada parˆ ametro corresponde a um determinado eixo desse espa¸co. Feito isso, ´ e atribu´ıdo para cada parˆ ametro um valor m´ınimo e um valor m´ aximo, bem como o n´ umero de intervalos.
O algoritmo ´ e baseado em sucessivas buscas explorat´ orias e lineares. As buscas lineares s˜ ao definidas como buscas padr˜ ao.
O m´ etodo proposto por Hooke e Jeeves ´ e ilustrado por [4] na Figura 2.7:
Figura 2.7: M´ etodo de otimiza¸c˜ ao Hooke e Jeeves. Fonte: [4]
O m´ etodo prop˜ oe a seguinte busca: conhecendo um ponto inicial x
1e realizada uma busca explorat´ oria nas dire¸c˜ oes da coordenada, ir´ a dar origem ao ponto x
2. J´ a a busca padr˜ ao realizada na dire¸c˜ ao definida por x
2−x
1conduz ao ponto y e assim sucessivamente.
Esse m´ etodo proposto pode ser baseado na utiliza¸c˜ ao de buscas lineares ou na discretiza¸c˜ ao de etapas. O algoritmo que descreve o m´ etodo de otimiza¸c˜ ao de Hooke e Jeeves utilizando buscas lineares ´ e proposto por [4], no qual ´ e necess´ ario estabelecer um crit´ erio de parada δ e fixar um ponto inicial que servir´ a de base para as buscas lineares.
Esse m´ etodo realiza buscas pelas dire¸c˜ oes da coordenada:
Passo de inicializa¸ c˜ ao:
Escolha um escalar δ > 0 a ser usado na termina¸c˜ ao do algoritmo. Escolha o
ponto inicial x
1, defina y
1= x
1, defina k = j = 1 e v´ a para o Passo principal.
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posicionamento de formas em pol´ıgonos 22
Passo principal
1. Seja λ
1uma solu¸c˜ ao ideal para o problema da minimiza¸c˜ ao da f (y
j+ λd
j) sujeita a λ ∈ R , e seja y
j+1= y
j+ λ
jd
j. Se j < n, substitua j por j + 1, e repita o Passo 1. Caso contr´ ario, se j = n, defina x
k+1= y
j+1. Se kx
k+1− x
kk < δ, pare; caso contr´ ario, v´ a para o Passo 2.
2. Defina d = x
k+1− x
k, e seja b λ uma solu¸c˜ ao otimizada para o problema da mini- miza¸c˜ ao de f(x
k+1+ λd) sujeita a λ ∈ R . Defina y
1= x
k+1+ b λd, defina j = 1, substitua k por k + 1, e v´ a para o Passo 1.
O m´ etodo de Hooke e Jeeves[4], que utiliza buscas lineares, converge mais ra- pidamente para a solu¸c˜ ao ´ otima e resulta em um esfor¸co computacional menor (diminui¸c˜ ao do tempo de processamento) do que se utilizarmos a discretiza¸c˜ ao de etapas. No m´ etodo com a utiliza¸c˜ ao da discretiza¸c˜ ao de etapas ´ e definida a dire¸c˜ ao das coordenadas de busca, isso facilmente ´ e percebido no passo de inicializa¸c˜ ao do algoritmo proposto por [4].
Passo de inicializa¸ c˜ ao
Seja d
1, . . . , d
na dire¸c˜ ao das coordenadas. Escolha um escalar δ > 0 para ser usado na termina¸c˜ ao do algoritmo. Al´ em disso, escolha o tamanho do passo inicial,
∆ ≥ δ, e o fator de acelera¸c˜ ao, α > 0. Escolha o ponto inicial x
1, deixe y
1= x
1, deixe k = j = 1, e v´ a para o Passo Principal.
Passo principal
1. Se f (y
j+ ∆d
j) < f (y
j), o teste termina com sucesso; deixe y
j+1= y
j+ ∆d
j, e v´ a para o Passo 2. Se, de qualquer modo, f (y
j+ ∆d
j) ≥ f (y
j) o teste ´ e considerado falho. No caso, f (y
j− ∆d
j) < f (y
j), deixe y
j+1= y
j− ∆d
j, e v´ a para o Passo 2;
se f(y
j− ∆d
j) ≥ f (y
j), deixe y
j+1= y
j, e v´ a para o Passo 2.
2. Se j < n, substitua j por j + 1, e repita o Passo 1. Sen˜ ao, v´ a para o Passo 3 se
f (y
n+1) < f (x
k), e v´ a para o Passo 4 se f (y
n+1) ≥ f(x
k).
2.2 M´ etodos para solucionar problemas de posicionamento de formas em pol´ıgonos 23 3. Deixe x
k+1= y
n+1, e deixe y
1= x
k+1+ α(x
k+1− x
k). Substitua k por k + 1, deixe
j = 1, e v´ a para o Passo 1.
4. Se ∆ ≤ δ, pare; x
k´ e a solu¸c˜ ao prescrita. Caso contr´ ario, substitua ∆ por
∆2. Se y
1= x
k, e x
k+1= x
k, substitua k por k + 1, deixe j = 1, e repita o Passo 1.
Em rela¸c˜ ao ` a utiliza¸c˜ ao do fator ou passo de acelera¸c˜ ao, descrito no passo de inicializa¸c˜ ao, na segunda fase do m´ etodo de Hooke e Jeeves utilizando discretiza¸c˜ ao de etapas [47] afirma que:
“[. . .] os componentes do vetor base que conduziram a uma otimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo, s˜ao submetidos a um processo deacelera¸c˜ao. Assim, o passo de acelera¸c˜ao tem o prop´osito de acelerar a convergˆencia da fun¸c˜ao objetivo para o ponto de m´ınimo (minimiza¸c˜ao) ou de m´aximo (maxi- miza¸c˜ao). Ap´os o passo de acelera¸c˜ao, novos componentes para o vetor base s˜ao obtidos.” (2007, p.81).
