Modelos de Otimização em Redes

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Modelos de Otimização em Redes

Socorro Rangel

DMAp

Departamento de Matemática Aplicada e-mail: socorro@ibilce.unesp.br

http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica-aplicada/docentes/

(2)

Empresa de Produtos de Madeira

Problemas:

•Transporte, localização, roteamento, entre outros.

(Wagner,1986)

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Problema do Transporte

O Presidente, Antônio Castor, da Companhia Ramos de Carvalho quer distribuir da melhor maneira possível os recursos de madeira disponíveis em suas reservas florestais. A madeira extraída deve ser enviada para os depósitos situados nos estados de São Paulo, Bahia, Minas Gerais e Rio de Janeiro. Para a próxima safra, foi feita uma estimativa de qual seria a produção de cada reserva e a demanda de cada depósito.

Determinar um plano de distribuição da madeira que minimize

o custo total de transporte.

Reservas Depósitos

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Problema do Transporte

elementos conhecidos:

– custo de transporte entre cada combinação reserva – oferta de madeira em cada reserva

– demanda por madeira em cada depósito elementos desconhecidos

– quanto enviar de cada reserva para cada depósito objetivo

– Fazer o transporte da madeira ao menor custo possível restrições

– distribuir toda a madeira disponível nas reservas, atendendo a demanda dos depósitos.

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Restrições de oferta

Toda a safra da reserva i deve ser enviada para algum dos depósitos 1,2,3 ... n

Restrições de destino

O depósito j deve receber madeira das reservas 1,2,3, ... ou m suficientes para atender a demanda:

Construção do Modelo:

Variáveis e Restrições

Variáveis de decisão:

Precisamos decidir quanto remeter de cada reserva i para cada depósito j:

= número de caminhões com carga total enviados da reserva i para o depósito j

x

ij

m i

O x

x

_i₁

+

_i₂

+ ... +

_in

=

_i

, = 1 , 2 ,...

n j

D x

x

₁_j

+

₂ _j

+ ... +

_nj

=

_j

, = 1 , 2 ,...

(6)

Modelo de Otimização Linear

Função Objetivo fazer o transporte da madeira ao menor custo possível.

O modelo é então:

: a sujeito min

1 1

∑ ∑

= =

=

n

i

m

j

ij ijx c z

m i

O x

x

x_i₁ + _i₂ +...+ _in = _i, =1,2,...,

n j

m i

x

n j

D x

x x

ij

j mj

j j

,..., 1

; ,..., 1 ,

0

,..., 2 , 1 ,

2 ...

1

=

≥

=

= +

+ +

(7)

Problema do Transporte: Formato MPL

Solução enviada para planilha do EXCEL

Leitura de dados em planilha do EXCEL

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(9)

Problema do Transporte: Formato LP

\ transp.lp

\ Generated with the MPL Modeling System

\ Constraints: 7, Variables: 12, Nonzeros: 24, Density: 29 %

\

MINIMIZE

Custo_To: 464 x11 + 513 x12 + 654 x13 + 867 x14 + 352 x21 + 416 x22 + 690 x23 + 791 x24 + 995 x31 + 682 x32 + 388 x33 + 685 x34

SUBJECT TO

of_1: x11 + x12 + x13 + x14 = 75 of_2: x21 + x22 + x23 + x24 = 125 of_3: x31 + x32 + x33 + x34 = 100 dm_1: x11 + x21 + x31 = 80

dm_2: x12 + x22 + x32 = 65 dm_3: x13 + x23 + x33 = 70 dm_4: x14 + x24 + x34 = 85 END

(10)

Solução do Problema do Transporte

(11)

Se O_i e D_jsão inteiros então x_ijé inteiro.

Matriz de restrições é Totalmente Unimodular (determinante = 1,-1, ou 0)

(12)

O Problema da Designação

: a sujeito

min

1 1

∑ ∑

= =

=

n

i

m

j

ij ijx c z

m i

x x

x_i₁ + _i₂ +...+ _in =1, =1,2,...,

. ,..., 1 ,

, 0

,..., 2 , 1 ,

1

2 ...

1

m j

i x

m j

x x

x

ij

mj j

j

=

≥

=

= +

+ +

Fazendo m = n , O_i=1 e D_j= 1, no modelo do transporte, temos:

Tarefas Pessoas

(13)

O Problema da Designação

Solução: emparelhamento (matching) de menor custo.

Fazendo m = n , O_i=1 e D_j = 1, no modelo do transporte, temos:

: a sujeito

min

1 1

∑ ∑

= =

=

n

i

m

j

ij ijx c z

m i

x x

x_i₁ + _i₂ +...+ _in =1, =1,2,...,

. ,..., 1 ,

, 0

,..., 2 , 1 ,

1

2 ...

1

m j

i x

m j

x x

x

ij

mj j

j

=

≥

=

= +

+ +

Tarefas Pessoas

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Problema de Localização

elementos conhecidos:

– custo de transporte no percurso entre cada combinação reserva, depósito – potencial de oferta de madeira em cada reserva

– demanda por madeira em cada depósito – custo fixo de instalação de cada reserva

–custo variável de manutenção de cada percurso.

elementos desconhecidos

–que reservas deverão ser instaladas, e quanto enviar de cada reserva instalada para cada depósito

objetivo a ser alcançado:

– definir as reservas a serem instaladas e fazer o transporte da madeira ao menor custo possível

restrições

– distribuir a madeira disponível nas reservas instaladas, atendendo a demanda dos depósitos.

O que muda no modelo do transporte considerado anteriormente?

(15)

Construção do Modelo:

Variáveis

Variáveis de decisão:

= 1 se a reserva i for instalada, 0 c.c.

Precisamos decidir também quanto remeter de cada reserva i para cada depósito j:

= número de unidades enviadas da reserva i para o depósito j

Restrições de oferta

Só hverá oferta de material na reserva i se esta estiver instalada (y_i=1), caso contrário (y_i=0), a oferta de material é zero. As restrições de oferta devem então ser modificadas para:

x

ij

y

i

m i

y O x

x

x _i ₁ + _i ₂ + ... + _in ≤ _i _i , = 1 , 2 ,...

(16)

Construção do Modelo:

Objetivo

Função Objetivo

• Além dos custos de transporte:

temos que considerar no custo total:

• o custo de instalação das reservas

• o custo de manutenção das estradas

A nova função objetivo será dada por:

∑ ∑

= =

m

i n

j

ij ijx f

1 1

∑ ∑

= =

m

i n

j

ij ijx c

1 1

∑

= m

i

i i y F

1

+

=

∑ ∑

= =

m

i n

j

ij ijx c z

1 1

min

∑

+

= m

i

i i y F

1

∑ ∑

= =

m

i n

j

ij ijx f

1 1

(17)

Modelo de otimização inteiro misto:

Problema de Localização Capacitado Formulação I

∑∑

= =

=

4

1 4

1

min

i j

ij ijx c

z +

∑

= m

i

i i y F

1

+

∑ ∑

= = m

i n

j

ij ijx f

1 1

Sujeito a:

m i

y O x

x

x_i₁ ₊ _i₂ ₊...₊ _in _≤ _i _i, ₌1,2,...,

n j

m i

x

m i

y

n j

D x

x x

ij i

j mj

j j

,..., 1

; ,..., 1 inteira

, 0

,..., 1 ,

1 / 0

,..., 2 , 1 ,

2 ...

1

=

≥

=

= +

+ +

(18)

Problema de Localização Capacitado

(19)

Problema de Localização Capacitado

(20)

Problema de Localização Capacitado

(21)

Problema de Localização Capacitado

(22)

Problema de Localização Capacitado

(23)

Problema de Localização Capacitado

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Para Saber Mais

1. Arenales, M., Armentano, V., Morabito, R. E Yanasse, H.- Pesquisa Operacional, Elsevier, 2007.

2. Boaventura, P. O., Grafos : teoria, modelos, algoritmos, Edgard Blucher, ; 2001.

3. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de

otimização linear e inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-

SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em

http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)

4. H. M. Wagner, Pesquisa Operacional, 1986, Prentice Hall do Brasil Ltda, 2ª. Edição

5. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1998.

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