Faculdades Integradas Campograndenses (FIC)
Professor: Rodrigo Neves
Disciplina: Softwares Matemáticos para o Ensino Fundamental e Médio
Tutorial para o Winplot – Editor de Gráficos
1) Descrição do Software
O WINPLOT é um programa da categoria “free softwares”, elaborado por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy, em New Hampshire, EUA. Ele tem a vantagem de ser simples, utiliza pouca memória, mas dispõe de vários recursos que o tornam atraente para os diversos níveis de ensino-aprendizagem. Além disso, possui uma versão para o Português, aumentando ainda mais a sua acessibilidade.
De acordo com o seu nome, o WIN...PLOT é um programa que objetiva plotar (ou desenhar) gráficos de funções em Matemática, de uma ou duas variáveis, utilizando como plataforma o sistema operacional Windows. Além do mais, executa uma série de outros comandos.
2) Instalação e Abertura do Software
Após baixar o arquivo .zip (comprimido), de um duplo clique no ícone
e abra uma janela do descompressor.
Neste ponto, a instalação vai depender do tipo de programa usado para “zipar” e “deszipar” arquivos que está instalado em seu computador. Podendo ser entre vários: Winzip, Winrar, 7zip, etc... Porém todos são similares em sua essência.
Após abrir a tela
O padrão é extrair para a pasta c:\peanut, mas o usuário pode digitar qualquer outro ende-reço do seu disco rígido.
Depois basta procurar na pasta pelo executável e clicar nele duas vezes.
O arquivo gerado é um executável, não precisa de instalação e pode ser utilizado mesmo em um computador de rede, onde normalmente é proibido a instalação de programas por usuários que não possuem as senhas de administradores.
O programa inicia abrindo a janela
onde é possível se escolher gráficos em duas ou três dimensões.
Neste curso mostraremos um pouco dos dois, mas nos familiarizaremos com os gráficos em duas dimensões.
3) Gráficos em 2D
Ao iniciar o programa selecione no menu principal a opção de gráficos em duas dimensões
“2-dim” ou pressione a tecla F2 do teclado.
3.1 Inserção de Pontos:
Para inserir um ponto de coordenadas cartesianas na tela acione Equação, Ponto, (x,y)... e entre com as coordenadas do ponto.
A opção “tamanho do ponto” define o “tamanho” do ponto e as opções “sólido ... círculo”
definem a forma de mostrar o ponto: “cheio” ou “oco”. A opção “âncoras” coloca segmentos unindo o ponto às suas projeções nos eixos cartesianos.
Inserindo os pontos (2,3) sólido, (1,1) sólido e (4,2) oco, obtemos
Observação:
O Winplot por si só, ou seja, automaticamente, já plota os pontos, segmentos, retas, funções e superfícies consecutivas de cores diferentes.
3.2 Inserção de Segmentos:
Para inserir um segmento de coordenadas cartesianas acione Equação, Segmento, (x,y)... e entre com as coordenadas iniciais e finais do mesmo.
É possível se mudar a espessura do segmento, se ele é sólido, pontilhado ou tracejado; inserir vetores (basta escolher qual ponto ficará com a seta: p1 – ponto 1 ou p2 – ponto 2); mudar as cores e tamanhos das seta.
Inserindo segmentos que unem os pontos (2,3) sólido, (1,1) sólido e (4,2) oco, obtemos
3.3 Gráfico de uma Função, y = f(x):
Esta opção é usada para inserir funções e não equações como: circunferências, hipérboles, e-lipses ou ciclóides, por exemplo.
Entrando com o gráfico da parábola , obtemos o gráfico:
3.4 Sintaxe das Funções:
O interpretador de funções do Winplot foi projetado para reconhecer a maioria das funções elementares, tais como:
pi ,
ln , log , exp ,
sin , cos , tan , csc , sec , cot ,
sinh , cosh , tanh , coth , sech , csch ,
arcsin , arccos , arctan , arccot , arcsec , arccsc , sqr = sqrt [ = raiz quadrada ] ,
abs(x) = |x| , e ! ,
assim como as funções não tão elementares:
iter(n,f(x)) = n-iterado de f(x) , abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y) ,
abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z) , max(a,b,..) e min(a,b,..) ,
sgn(x) = x/abs(x) , binom(n,r) = n!/r!/(n-r)! ,
rnd(x) = valor aleatório entre -x e x , log(b,x) = ln(x)/ln(b) ,
e a função definida por várias sentenças...
joinx(f|c,g|d,...,h)
que significa
As constantes ninf (negative infinit) e pinf (positive infinit) representam menos infinito e mais infinito.
O valor da constante deg é pi/180, o fator de conversão de radianos para graus. Exem-plificando, y = sin(x deg) produz o gráfico do seno em função do ângulo em graus.
Os sinais usuais da álgebra são usados. Exponenciação é representado por ^. Exemplos: x2é
representado por x^2. O símbolo multiplicativo * pode geralmente ser dispensado. Por exemplo, 2x é interpretado para significar 2*x. Não use pix ao invés de pi*x, contudo.
Vale esclarecer que x^n é calculado através o uso de logaritmos, pela fórmula exp(n*ln(x)), a qual requer que x seja positivo. Usando o power(n,x) se evita esta convenção, porque aqui n é sempre avaliado como um inteiro (que se arredonda, se necessário).
A constante e tem como valor padrão 2.718281828459045..., a base do sistema de logaritmos naturais (ou neperianos).
Maiúsculas e minúsculas não são diferenciadas. Colchetes, chaves e parênteses podem ser usados como símbolos de agrupamento. Espaços serão ignorados.
Exemplos:
Função Sintaxe
y = abs(x)
y = abs(3x+51)
y = (3x)^(1/2) ou y = sqrt(3x)
y = 1/x
y = 1/(9x-8)
y = x^2–4x+4
y = root(5,x)
y = cos(x^2)+tan(pi*x)
Para encontrar como se digita outras funções use: Equação → Biblioteca.
Você pode adicionar novas funções à biblioteca. A cada entrada deverá ser dada um nome e depois definida, como uma função de x, ou como uma função de x e y. Marque o botão apropriado antes de pressionar Enter. O programa checa se o nome é novo e se a fórmula faz sentido, depois adiciona ele à lista.
Você também pode desenhar quantos gráficos quiser simultaneamente, basta repetir o proce-dimento de plotar gráficos várias vezes.
Por exemplo, para as funções x^2–4x+4, sqrt(3x) e cos(x^2), temos
Caso queira desenhar várias funções separadamente, antes de iniciar um novo item, apague todas as funções digitadas no item anterior no inventário.
3.5 Inventário Funções:
O gráfico de uma função é exibido de forma bem simplificada. Alguns detalhes podem ser adicionados ao editá-lo e ao modificar algumas opções de visualização do gráfico. Para editá-lo é necessário acessar o “inventário de funções”.
No inventário nós temos acesso à:
1. Editar: Nesta opção é possível modificar a fórmula da função, determinar um novo intervalo a ser plotado, alterar a cor e espessura do traço.
2. Apagar: Elimina uma equação selecionada (e todas que dependem dela) do inventário. Não
existe uma opção “voltar” para esta operação.
3. Dupl: Duplica a função selecionada. Útil para não ter que escrever uma função similar a uma que já esteja no inventário.
4. Copiar: Copia a fórmula da equação para a área de transferência do sistema. 5. Derivar: O programa gera o gráfico da derivada da função.
6. Nome: Útil quando se trabalha com muitas funções.
7. Mostrar gráfico: Ao clicar uma vez, oculta o gráfico. Para exibi-lo clique outra vez. 8. Mostrar equação: Exibe a sentença da função no gráfico.
9. Família: Converte a equação em uma família de curvas (ou pontos). Para que funcione, o exemplo deve ser definido por uma equação que tem um parâmetro extra. Indique o parâmetro extra na caixa "parâmetro", coloque o intervalo dos nas caixas "min" e "max" e indique quantas curvas devem estar na família na caixa "passo". Clique em "definir" para completar o processo e ver o gráfico.
3.6 Configurando a Tela:
Para visualizar, esconder ou configurar a aparência dos eixos acione Ver e Eixos. Acione, na barra de menu, Ver, Grade... para abrir a janela abaixo:
1. eixos: mostrar eixos cartesianos ou polar 2. marcas: marcas nos eixos
3. setas: seta nos eixos
4. pontos: pontos do reticulado cartesiano 5. rótulos: letras x e y nos eixos
6. tamanho da marca: comprimento das marcas nos eixos 7. intervalo: intervalo para as marcas nos eixos
8. escala: para enumerar as marcas dos eixos
9. decimais: número de casas decimais após a vírgula para a numeração dos eixos 10. freq: freqüência com que a numeração aparece nos eixos
11. pi: para colocar a numeração em múltiplos de pi 12. grade: grade polar ou retangular
13. escala sobre: coloca a escala sobre o eixo ou nas laterais
14. grade: para mostrar a grade retangular (nos quadrantes) ou polar 15. aplicar: para aplicar alterações realizadas nesta janela
É possível também ver uma lista com todos os pares cartesianos que compõem o gráfico da função, usando o menu Outros, Tabelas ...
3.7 Zoom nos Gráficos:
Para dar zoom nos gráficos, podemos usar o menu Ver, Zoom, ou usar consecutivamente as
teclas de atalho “Page Up” (para aproximar) e “Page Down” (para afastar).
Page Up
Normal
Page Down
Para voltar à plotagem original basta acessar o menu Ver, Restaurar ou usar o atalho de seu
3.8 Interseções, Zeros e Extremos:
Acione na barra de menu Um e Extremos... para vizualizar a janela a seguir:
Depois clique consecutivamente no botão “próximo extremo” para ir percorrendo os seus respectivos valores. Ao chegar ao fim ele retorna ao primeiro extremo e repete tudo novamente. Os extremos também são marcados no gráfico, um por vez.
De forma análoga aos extremos, podemos marcar os zeros (ou seja, as raízes) de um função, pelo menu Um, Zeros, ...
E marcar os pontos de interseção entre dois gráficos, porém neste caso, teremos que ter pelo menos duas funções presentes no inventário.
Para tal usamos o menu Dois, Interseções...
3.9 Funções Implícitas ou Equações:
Para desenhar no Winplot a equação da circunferência x2+y2=4, de raio 2 e centro na
ori-gem, podemos utilizar dois procedimentos:
2) No menu Equação, escolher a opção Implicita... e entrar com a equação reduzida da cir-cunferência x^2+y^2 = 4. Nesta opção de gráfico não é possível realizar alguns procedimentos como, por exemplo, encontrar extremos e interseções. Além disso, o traçado do gráfico fica um pouco mais lento.
Obtendo o gráfico:
3.10 Mouse no Winplot:
Com uma tela aberta clique com o botão direito (seleção) do mouse em qualquer ponto para fazê-lo como o centro do gráfico e clique com o botão esquerdo (ação) do mouse para mostrar as coordenadas cartesianas do ponto sobre o qual o cursor está.
3.11 Animações:
Numa equação, podemos utilizar letras (de A a W, com exceção de x, y e z), chamadas parâ-metros, em lugar de números e fazer variar tais parâmetros. Isto nos possibilitará criar animações. Por exemplo: entrando com a equação y = ax+b, (o Winplot faz os parâmetros começarem valendo zero) podemos variar os parâmetros a e b, da seguinte forma:
No menu Anim escolha a opção A para variar o parâmetro a.
Na barra de rolagem é feita a variação manual do parâmetro através do mouse
Os botões def L (Left, esquerdo, inferior) e def R (right, direito, superior) definem o intervalo de variação do parâmetro a: escreva o limite inferior do intervalo e clique no botão “def L”; escreva o limite superior e clique no botão “def R”
Os botões auto rev e auto cícl fazem a variação automática no intervalo definido, indo e voltando ou indo até o final do intervalo e começando novamente do início. Para parar a animação acione a tecla S (no teclado).
Para desenhar todos os gráficos da animação de uma vez, termine a animação com a tecla S e
abra o inventário. Depois clique no botão “família” e escolha os valores de máximo e mínimo que o
O resultado será:
3.12 Translações:
Transladar um gráfico significa mudar sua posição no plano cartesiano, fazendo um deslo-camentos na horizontal e/ou na vertical. Para isso basta trocar, na equação em que se está traba-lhando, x por (x+a) e fazendo uma translação horizontal e/ou y por (y+b) e fazendo uma translação vertical, onde a e b são números reais.
Podemos tomar também “a” e “b” como parâmetros e fazer suas variações.
Procure colocar um gráfico de cada vez na tela, para evitar que o computador fique muito lento e para observar melhor cada caso.
1) y = sin(x+a) trocando x por x+a
Ainda é possível se trabalhar com coordenadas polares, parametrizações, fazer derivadas, in-tegrais, integrais de linha, se calcular volume de sólidos de revolução e comprimento de arcos; somar, subtrair, multiplicar e dividir funções; plotar evolutas e ciclóides sobre o gráfico e etc...
Porém não veremos aqui dado o objetivo ser a matemática do ensino básico.
3.13 Salvando e Exportando Imagens:
Para salvar um gráfico ou uma tela com vários gráficos e poder continuar trabalhando neles posteriormente acessamos o menu Arquivo, Salvar Como,...
Para exportar uma imagem .bmp ou colar seu gráfico no Word, por exemplo, acesse o menu Arquivo, Copiar Bitmap, ...
4) Gráficos em 3D (Superfícies):
Ao iniciar o programa selecione no menu principal a opção de gráficos em duas dimensões
“3-dim” ou pressione a tecla F3 do teclado.
que automaticamente será executada uma nova janela para o desenho de gráficos
4.1 Gráfico de uma Função, z = f(x,y):
Esta opção é usada para inserir funções e não equações como: esferas, hiperbolóides, super-fícies, cones, cilindros e etc...
Clicando em “OK”, o resultado plotado será a superfície:
Para girar a superfície na horizontal (ou na vertical) acione as setas do teclado ( . Estas informações se encontram acionando na barra de menu, Ver e, em seguida, Observador.
Também podemos aproximar (Page Up) e afastar (Page Down) uma superfície com o teclado.
4.1 Curvas no espaço:
Para fazer o gráfico de uma reta no espaço, precisamos de suas equações paramétricas. Acione Equação e a opção Curva x = f(t)... para entrar com as equações paramétricas. Esta opção também é utilizada para fazer gráficos de curvas no espaço.
Por exemplo, ao acionar esta opção é sugerida as equações de uma espiral: x = cos(7t) ; y = sin(7t) ; z = t.
Atividades 1:
O objetivo destas atividades é de familiarização com o programa WINPLOT, ao mesmo tempo que propicia melhor fixação da Matemática envolvida.
1. Trace os gráficos das funções y = x, y = x +1, y = x –3. Faça o mesmo com as funções y = 2x, y = 2x +2 e y = 2x –3
2. Trace os gráficos de y = x^2, y = x^2 - 3 e y = x^2 + 4. O que ocorreu? Faça o mesmo com os gráficos das funções y = -x^2, y = -x^2 + 1 e y = -x^2 + 3 .
3. Compare os gráficos da função y = abs(x) com y = abs(x -1) e y = abs(x -5). Compare agora com os gráficos de y = abs(x+1) e y = abs(x+3) .
4. Trace os gráficos de y = x^2 - 5x + 6 e y = abs (x^2 - 5x + 6). Qual a diferença entre eles?
5. Em uma mesma tela trace os gráficos de y = x, y = x^2 e y = sqr(x). Observe a simetria desses dois últimos gráficos com relação a y = x, quando 0 x e comente.
Atividades 2:
O objetivo destas atividades é de aprofundamento do conceito de função quadrática com o uso do programa WINPLOT.
1. Comparação da função y = x2 com as funções da forma y = x2 + p, sendo p real.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
1.1 y = x^2 1.2 y = x^2 + 2 1.3 y = x^2 + 4 1.4 y = x^2 – 3 1.5 y = x^2 – 1
b) Determine agora visualizando o gráfico as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.
1.1 __________________________________ 1.2 __________________________________ 1.3 __________________________________ 1.4 __________________________________ 1.5___________________________________
c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = x2 + p.
Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro p, das funções da forma y = x2 + p, causa sobre o gráfico da função y = x2 ?
2. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = (x + h)2 sendo h número real.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
2.1 y = x^2 2.2 y = (x + 1)^2 2.3 y = (x - 1)^2 2.4 y = (x - 3)^2 2.5 y = (x + 4)^2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.
2 1 _______________________________ 2.2 _______________________________ 2.3 _______________________________ 2.4_______________________________ 2.5_______________________________
c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = (x + h)2.
Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.
d) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro h, das funções da forma y = (x + h)2, causa sobre o gráfico da função y = x2 ?
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
3. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a 0
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
3.1 y = x^2 3.2 y = 2x^2 3.3 y = 3x^2 3.4 y = (1/2)x^2 3.5 y = (3/2)x^2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas. 3.1 ________________________________ 3.2 ________________________________ 3.3 ________________________________ 3.4 ________________________________ 3.5_________________________________
c) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 causa sobre o gráfico da função y = x2?
4. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a não-nulo e real.
a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.
4.1 y = x^2 4.3 y = - 2x^2 4.2 y = - x^2 4.4 y = - 2x^2 4.5 y = 3x^2
b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas. 4.1 ________________________________ 4.2 ________________________________ 4.3 ________________________________ 4.4 ________________________________ 4.5 ________________________________
c) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2, causa sobre o gráfico da função y = x2?
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
5. Determine o que se pede em cada item :
a) utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir; b) determine as coordenadas do vértice de cada parábola;
c) indique as transformações que ocorreram em relação à função y = x2.
5.1 y = (x – 3)2 + 2
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
5.2 y = (x + 1)2 – 4
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
5.3 y = 2(x + 1)2 + 1
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
5.4 y = -4(x – 2)2 + 3
