Prof. Carlos Fernandes

Texto

(1)7.º Ano Unidade 1 – Números racionais Números Naturais =  {números = naturais} {1, 2,3, 4,5,...}. Dividendo. Divisor. ................ Quociente. Resto. Fe rn an de s. Um número natural é divisível por outro se a divisão do primeiro pelo segundo dá sempre resto zero, ou seja, se o resultado da divisão é um número inteiro (  ) .. 105. 9. 119. 7. 15. 11. 49. 17. 0. 6. 112:8 = 14 ∈ . 223:5 = 44,8 ∉ . Nota: Um número é representado por dígitos ou algarismos, por exemplo, os dígitos ou algarismos do número 27 são 2 e 7.. Critérios de divisibilidade Critério de divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se e só se o seu algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: 1000; 2052 e 3124.. ar. lo. s. Critério de divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se e só se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3. Exemplos: 123 (1+2+3 = 6) 2100 (2+1+0+0 = 3) 3147 (3+1+4+7 = 15). of .C. Critério de divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se e só se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for múltiplo de 4. (Repara que se os dois últimos números são iguais a zero, o número é múltiplo de 4) Exemplos: 300; 7412 e 8360.. Pr. Critério de divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se e só se o algarismo das unidades é 0 ou 5. Exemplos: 500; 1215 e 20 425.. Critério de divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se e só se a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. Exemplos: 7857 (7+8+5+7 = 27) 10 485 (1+0+4+8+5 = 18) 21 303 (2+1+3+0+3 = 9). Matemática 7_1-Números Racionais. 1 - 20.

(2) Critério de divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se e só se o algarismo das unidades é 0. Exemplos: 500; 210 e 3980.. Fe rn an de s. Múltiplos Múltiplo de um número natural é todo o número que se obtém multiplicando o número dado por um qualquer número inteiro. Exemplo 1. = M 2 {0, 2, 4, 6,8,...} → Lê-se:"Múltiplos de 2" Todos os múltiplos de 2 são divisíveis por 2. Notas • Zero é múltiplo de todos os números • Todos os números têm infinitos múltiplos • Qualquer número é múltiplo de si próprio Exemplo 2. M 5 = {0,5,10,15, 20, 25,...} • •. O número 15 é múltiplo de 5, porque 15 é divisível por 5. O número 36 não é múltiplo de 5, porque 36 não é divisível por 5.. lo s. Divisores Divisor de um número natural são todos os números naturais que o dividem exactamente. Exercício 1. Quais os divisores de 9?. D9 = {1,3,9} Lê-se "Divisores de 9". ar. Exercício 2. Quais os divisores de 28?. of .C. D28 = {1, 2, 4, 7,14, 28}. Notas • O número 1 é divisor de todos os números • Todos os números têm finitos divisores • Qualquer número é divisor de si próprio. Pr. Números primos Um número primo é um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores naturais: a unidade e ele próprio. Os número primos menores que 100 são:. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Exemplos. = D2 {1, = 2} ; D7 {1, 7} Matemática 7_1-Números Racionais. 2 - 20.

(3) Números compostos Um número composto é um número natural que tem mais que dois divisores naturais distintos Exemplos. = D6 {1, = 2,3, 6} ; D14 {1, 2, 7,14}. Fe rn an de s. Notas • O número 1 é o único número que não é primo nem composto • O número 2 é o único número par que é primo. Decomposição de um número em fatores primos Todo o número composto pode ser escrito como um produto de fatores primos.. Notas: • Um número primo não pode ser escrito na forma de um produto de dois ou mais fatores primos • A decomposição de um número em fatores primos é única. of .C. ar. lo s. Tarefa 1. Decompõe em fatores primos o número 280. Resolução Para decompor o número 280 em fatores primos, podes usar o método da decomposição sequencial.. Mínimo múltiplo comum de dois números. Pr. Tarefa 1. Qual é o menor múltiplo comum entre 5 e 12? Resolução:. { = {0,12, 24,36, 48, 60 , 72,...}. };. M 5 = 0,5,10,15, 20, 25,30,35, 40, 45,50,55, 60 , 65,... M 12. O menor múltiplo comum entre 5 e 12 é 60.. Matemática 7_1-Números Racionais. 3 - 20.

(4) Mínimo múltiplo comum O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois números naturais é o menor dos múltiplos comuns a esses números. Assim,. Fe rn an de s. m.m.c. (5,12) = 60 Máximo divisor comum de dois números Tarefa 2. Qual é o maior divisor comum entre 20 e 24? Resolução:. {. };. {. }. D20 = 1, 2, 4 ,5,10, 20 D24 = 1, 2,3, 4 , 6,8,12, 24 O maior divisor comum entre 20 e 24 é 4.. Máximo divisor comum O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois números naturais é o maior dos divisores comuns a esses números. Assim, m.d.c. (20,24) = 4. lo. s. Exemplo: “Toma de medicamentos” O Vítor precisa de tomar um comprimido de 6 em 6 horas e outro de 8 em 8 horas. Iniciou o tratamento tomando os dois comprimidos juntos às 9h de um certo dia. Quando voltará a tomar novamente os dois comprimidos juntos?. of .C. ar. Resolução: Para resolver o problema podemos fazer um esquema.. Resposta: 24 horas depois das 9h serão 9h do dia seguinte. Também podemos resolver o problema determinando o m.m.c.(6, 8) = 24. Pr. Exemplo: “Distribuição de prémios” Para publicar numa escola o sumo “Five up”, uma empresa dispunha de 72 calendários e 108 autocolantes. A equipa de marketing decidiu que daria a cada estudante selecionado igual número de calendários e de autocolantes. No máximo, quantos estudantes poderão ser contemplados se a empresa distribuir por estes todos os calendários e autocolantes? O que receberá cada um? Resolução: Pretendemos determinar o m.d.c.(72,108). Deste modo, temos que m.d.c.(72,108) = 36. Matemática 7_1-Números Racionais. 4 - 20.

(5) Resposta: Poderão ser contemplados, no máximo, 36 estudantes e receberão cada um 2 calendários (72 : 36 = 2) e 3 autocolantes (108 : 36 = 3) Cálculo do m.m.c. de dois números decompostos em fatores primos Calcula o m.m.c. (10,12). Resolução:. Fe rn an de s. Tarefa. { } = {0,12, 24,36, 48, 60 , 72,...}. M 10 = 0,10, 20,30, 40,50, 60 , 70,... M 12. m.m.c. (10,12) = 60 •. Decompõe os números em fatores primos 12 2 6 2 3 3 1. 10 2 5 5 1 10= 2 × 5. 12= 22 × 3. •. Escolhe os fatores primos comuns e não comuns com maior expoente e efetua o seu produto. lo. s. m.m.c. (10,12 ) = 22 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60. of .C. ar. Mínimo múltiplo comum O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números naturais decompostos em fatores primos é igual ao produto dos fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Cálculo do m.d.c. de dois números decompostos em fatores primos. Tarefa. Calcula o m.d.c. (48,60). Resolução:. { } = {1, 2,3, 4,5, 6,10, 12 ,15, 20,30, 60}. Pr. D48 = 1, 2,3, 4, 6,8, 12 ,16, 24, 48 D60. m.d.c. (60,48) = 12 • Decompõe os números em fatores primos. Matemática 7_1-Números Racionais. 5 - 20.

(6) 48 2 24 2 12 2. 60 2 30 2 15 3 5 5 1. 2 3. Fe rn an de s. 6 3 1. 60 = 22 × 3 × 5. 48 = 24 × 3. •. Escolhe os fatores primos comuns com menor expoente e efetua o seu produto. m.d.c. ( 60, 48 ) = 22 × 3 = 4 × 3 = 12. Máximo divisor comum O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números naturais decompostos em fatores primos é o produto dos fatores comuns de menor expoente. Relação interessante entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números. O produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de dois números naturais é igual ao produto desses números, isto é, m.d.c. (a,b) × m.m.c. (a,b) = a × b. s. Redução de frações ao mesmo denominador utilizando o m.m.c. 5 3 procedes do seguinte modo: + 24 20 Calcula o m.m.c. dos denominadores das frações: m.m.c. (24,20) Resposta: m.m.c. (24,20) = 120 Substituis as frações dadas por outras equivalentes, em que o denominador seja o m.m.c. calculado; 5 3 25 18 43 + = + = 24(×5) 20 (×6) 120 120 120. of .C. •. ar. Para calcular •. lo. Tarefa. Nota: Não te esqueças de simplificar a fração obtida. Pr. Números inteiros Conjunto dos números inteiros: Z = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. Notas 1. O símbolo  é utilizado por correspondência à primeira letra da palavra alemã Zahl, que significa número. 2. Qualquer número natural é um número inteiro mas um número inteiro pode não ser um número natural. Matemática 7_1-Números Racionais. ⊆ 6 - 20.

(7) Subconjuntos notáveis de . − = = +. {números inteiros negativos}= {..., − 3, − 2, −1} números inteiros positivos} {1, 2,3,...} {=. {números inteiros não positivos}= {..., − 3, − 2, −1, 0}.  +0. números inteiros não negativos} {0,1, 2,3,...} {=. Fe rn an de s.  −0 =. Reta numérica. Numa representação usual da reta numérica (reta-suporte de uma semirreta para. representar números inteiros fixada a unidade), os números negativos representam-se à esquerda do zero.. Notas. O zero não é um número positivo nem negativo.. •. A cada ponto da reta associamos um número inteiro que é a abcissa do ponto.. •. Dá-se o nome de origem ao ponto de abcissa zero.. •. Para simplificação da escrita passamos a escrever os números positivos omitindo o símbolo +.. lo. s. •. of .C. ar. Exemplo Na reta numérica estão assinalados os pontos A, B, C, D e O:. a. A origem é o ponto O. b. A abcissa do ponto A é +4, e escreve-se A. Pr. c. A abcissa do ponto C é -5, ou seja, C. +4. -5.. Valor absoluto de um número. Observa os pontos A, O e B assinalados na seguinte reta numérica.. Matemática 7_1-Números Racionais. 7 - 20.

(8) Diz-se que: •. A abcissa do ponto A é -3 e representa-se por. •. A abcissa do ponto O é 0 e representa-se por. •. A abcissa do ponto B é +3 e representa-se por. ; ; .. Fe rn an de s. A distância do ponto A à origem (ponto de abcissa zero) é igual à distância do ponto B à. origem e é igual a 3. Por isso, diz-se que -3 e +3 têm o mesmo valor absoluto e escreve-se: |-3| = |+3| = 3.. Valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto que representa esse número na reta numérica à origem.. Nota que o valor absoluto de 0 é 0, ou seja, |0| = 0.. Números simétricos. Dado um número positivo a, existem na reta numérica exatamente dois pontos cuja. distância à origem é igual a a unidades: um pertence à semirreta dos números positivos (o ponto que representa a) e o outro à semirreta oposta (o que representa – a).. Os pontos B e C estão à mesma distância da origem, pois:. ar. •. lo. s. Observa a figura seguinte.. Os pontos – 1 e + 1 são números simétricos. Os pontos A e D estão à mesma distância da origem, pois:. of .C. •. Os pontos – 4 e + 4 são números simétricos.. Dois números não nulos são números simétricos se e só se têm o mesmo valor. absoluto e sinais contrários.. Pr. O número 0 é o simétrico de si próprio. Notas • • •. O simétrico de um número positivo é um número negativo. O simétrico de um número negativo é número positivo. O simétrico do simétrico de um número é o próprio número.. Matemática 7_1-Números Racionais. 8 - 20.

(9) Comparação e ordenação de números inteiros Na figura seguinte está representada a reta numérica e nela estão marcados cinco pontos. Fe rn an de s. A, B, C, D e E, de abcissas, respetivamente a, b, c, d e e.. Dada uma reta numérica, b > a se o ponto B de abcissa b está à direita do ponto A de abcissa a. Assim, na reta numérica da figura acima, tem-se: b > a,. c > b,. Notas •. e>d. Na reta numérica, dados dois números inteiros distintos o maior deles está colocado à direita do outro.. •. d>c e. Dados dois números positivos, o maior é o que tem maior valor absoluto +3 > +2 porque |+3| > |+2|. •. Dados dois números negativos, o maior é o que tem menor valor absoluto.. s. - 3 > - 5 porque |-3| < |-5|. lo. Adição de números inteiros a+b. soma. of .C. ar. parcelas sinal operacional. (-3) + (+9) sinais posicionais. Imagina que: • O sinal + corresponde a um ganho • O sinal – corresponde a uma perda. Pr. Regras da adição de números inteiros. Para somar dois números com o mesmo sinal  Somam-se os valores absolutos das parcelas  Mantém-se o sinal Exemplos (+2) + (+5)= +7 (–3) + (–5) = –8; 4 + 10 = 14. Matemática 7_1-Números Racionais. 9 - 20.

(10) Nota Vimos assim, que a soma de dois números positivos é um número positivo e a soma de dois números negativos é um número negativo.. Fe rn an de s. Para somar dois números com sinais contrários  Considerando os valores absolutos das parcelas, ao maior subtrai-se o menor  Dá-se o sinal do que tiver maior valor absoluto. Exemplos a. –2 + 7 = +5=5 b. 8+ (–10) = –2 c. (–4)+(+3)= –1 d. (–7)+5= –2 e. (+5)+( –8) = –3 f. (+7)+( –4)=+3 = 3 g. (–3)+(+5) = +2 = 2 Nota. A soma de dois números simétricos é zero. Exemplos a. 3 + (–3) = 0. b. –55 + 55 = 0. Para subtrair dois números inteiros  Adiciona-se ao aditivo (primeira parcela) o simétrico do subtrativo (segunda parcela), isto é, transforma-se a subtração numa adição trocando os sinais consecutivos.. lo. s. Exemplos a. (+5) – (+3) = (+5) + (–3) = 2 b. (–5) – (–3) = (–5) + (+3) = –2 c. (+5) – (–3) = (+5) + (+3) = 8 d. (–5) – (+3) = (–5) + (–3) = –8. of .C. ar. Simplificação da escrita Na adição sucessiva, para simplificar a escrita, suprime-se os sinais de adição e todos os parênteses. Exemplo 1 (-4) + (-2) + (-1) + (+3) = –4 – 2 – 1 + 3 = -7 + 3 = -4 Tarefa 1 Para calcular o valor de:. Pr. (+2) + (-1) – (+3) – (-18) + (+2). Temos de reescrever a expressão, tendo em atenção às regras: • Se o sinal da primeira parcela é positivo, pode-se omitir; • Dois sinais diferentes seguidos dão origem a um sinal – ; • Dois sinais +, ou dois sinais – , dão origem a um sinal +. Ou seja,. Matemática 7_1-Números Racionais. 10 - 20.

(11) Fe rn an de s. (+2) + (-1) – (+3) – (-18) + (+2) = = 2 -1 -3 + 18 + 2 = 2 +18 + 2 -1 -3 = 22 – 4 = + 18 = 18 Á expressão inicial anterior chama-se soma algébrica. Regra prática para a simplificação da escrita Repara que: -(-3) + (-2) – (-7) – (+5) = =3–2+7–5 =3+7–2–5 = 10 – 7 =3. lo. s. Simplificação da escrita Tirar os parênteses. → Se os parênteses forem precedidos do sinal “+”, elimina-se este sinal e os parênteses, mantendo os sinais que estão dentro dos parênteses → Se os parênteses forem precedidos do sinal “–”, elimina-se este sinal e os parênteses, trocando todos os sinais que estão dentro dos parênteses. of .C. ar. Exemplo 2 2 – (3 – 5 + 2) + ( 2 – 3) = =2–3+5–2+2–3 =2+5–3–3 =7–6 =1. Quando numa expressão numérica aparecem parênteses retos, podes começar por eliminar os parênteses curvos (tendo atenção às regras anteriores) e os retos passam a curvos e no passo seguinte eliminas os novos curvos.. Pr. Exemplo 3 10 – [-3 – (9 – 6)] = = 10 – (-3 – 9 + 6) = 10 + 3 + 9 – 6 = 22 – 6 = 16. Matemática 7_1-Números Racionais. 11 - 20.

(12) Multiplicação de números inteiros com sinais diferentes O produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo. O valor absoluto do produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores.. 2 × (-5) = -10. -3 × 5 = -15. -2 × (+12) = -24. Fe rn an de s. Exemplos +3 × (-3) = -9. Multiplicação de números inteiros com sinais iguais. O produto de dois números com o mesmo sinal é um número positivo. O valor absoluto do produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores. Exemplos +3 × (+5) = +15 = 15; 3 × 12 = 36 Nota. -2 × (-5) = +10 = 10 (-2) × (-12) = +24 = 24. O produto de dois números inteiros em que um deles é zero, é igual a zero. Multiplicação de números inteiros. ar. lo. s. Prioridade das operações Nas operações com números inteiros mantêm-se as regras de prioridade que aprendeste para as operações com números naturais. Se existirem parênteses entre as várias operações: • Efetua em primeiro lugar os cálculos dentro de parênteses. Dentro dos parênteses, efetuam-se em primeiro lugar as multiplicações, por último, as adições e subtrações.. Pr. of .C. Divisão de números inteiros A divisão é a operação inversa da multiplicação.. As regras dos sinais da divisão de números inteiros são, portanto, as mesmas da multiplicação.. Matemática 7_1-Números Racionais. 12 - 20.

(13) Fe rn an de s. Divisão por zero O João tem zero balões e vai dividi-los por 3 meninos. Quantos balões dá a cada menino? 0:3=0 Agora imagina que o João tem 3 balões e que os meninos já foram para casa. O João quer dividir mas não pode. 3 : 0 é impossível. A divisão por zero é impossível porque não existe o inverso de zero Expressões numéricas. lo. s. Observação No cálculo de uma expressão numérica, deves começar por: • Observar a expressão na sua totalidade. • Em seguida identificar as operações envolvidas. • Se as expressões têm parênteses deves efetuar primeiro as operações dentro dos parênteses. • A multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e a subtração. • Se numa expressão aparecerem a divisão e a multiplicação deves efetuar os cálculos pela ordem indicada. Números racionais não negativos 2 7 16 7 , , e … chamam-se frações. 5 3 2 4 → numerador 2  2:5 = 5  → denominador. of .C. ar. Representações como. Vimos assim que,. Uma fração é uma forma de representar o quociente exato entre dois números inteiros, sendo o denominador sempre diferente de zero.. Pr. Uma fração pode representar: • Um número inteiro quando o numerador é múltiplo do denominador, como por 16 exemplo =8 2 • Um número não inteiro, ou seja, número fracionário, quando o numerador 2 7 7 não é múltiplo do denominador, como por exemplo , e . 5 3 4. Matemática 7_1-Números Racionais. 13 - 20.

(14) 23 , logo 2,3 é um número fracionário. 10 Acabamos de ver que tanto os números inteiros como os números fracionários (positivos ou negativos) podem ser representados na forma de fração.. Exemplo: 2,3 =. Fe rn an de s. Todo o número que pode ser representado na forma de fração (com numerador e denominador inteiros) chama-se número racional. Um número racional é, então qualquer número inteiro ou fracionário.  Números inteiros Números racionais   Números fracionários O conjunto dos números racionais representa-se por Q.. Q = {números racionais} = Z ∪ {números fracionários} Fração decimal. Pr. of .C. ar. lo. s. Uma fração diz-se decimal se o seu denominador é 10, 100, 1000,…, isto é, se o denominador é uma potência de base 10. 12 5362 823 são exemplos de frações decimais. ; e 10 100 1000 2 7 Também há frações, como ou , que não tendo à partida denominador 10 ou 100 ou 5 4 2 4 7 175 1000… são equivalentes a frações decimais: = e = . 5 10 4 100 Representações As frações cujo numerador é igual ao denominador representam 1. Exemplo: 13 =1. 13 As frações cujo numerador é menor do que o denominador (sendo este positivo) representam números menores que 1. Designam-se por frações próprias. Exemplo: 4 = 0,8 . 5 As frações cujo numerador é maior do que o denominador (sendo este positivo) representam números maiores que 1. Designam-se por frações impróprias. Exemplo: 9 = 1,8 . 5 Frações equivalentes Para se obter uma fração equivalente a outra, multiplica-se ou divide-se o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número natural. Matemática 7_1-Números Racionais. 14 - 20.

(15) Exemplos: 3(× ) 12 = 4(×4) 16 4. 20( ) 4 = 35(:5) 7 :5. e. Fe rn an de s. Adição e subtração de números racionais Para adicionar (ou subtrair) números representados por frações com o mesmo denominador, adicionam-se (ou subtraem-se) os numeradores e mantem-se o mesmo denominador. Exemplos: 9 3 6 2 7 9 e − = + = 5 5 5 5 5 5 Para adicionar (ou subtrair) frações com denominadores diferentes deves: • Substituir as frações dadas por outras equivalentes com o mesmo denominador; • Adicionar (ou subtrair) os numeradores e manter o denominador. Exemplos: 3 2 9 4 5 3 1 3 2 5 e − = − = + = + = 2(×3) 3(×2) 6 6 6 4 2( ×2 ) 4 4 4 Multiplicação e divisão de números racionais não negativos. lo. s. Para multiplicar duas frações, multiplicam-se os numeradores e os denominadores das duas frações. Exemplo: 3 2 3× 2 6 ×= = 5 7 5 × 7 35. of .C. ar. Para dividir dois números representados por frações, multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: 3 2 3 7 3 × 7 21 : = × = = 5 7 5 2 5 × 2 10. Recorda = IN {= números naturais}. Pr. =. = . Conjunto dos números racionais. {1, 2,3, 4,...}. {números inteiros}= {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4,...} a   ,sendo a e b ∈  e b ≠ 0  b  +  = {números racionais positivos}. = {números racionais }. +0 = {números racionais não negativos} − = {números racionais negativos} −0 = {números racionais não positivos}. Matemática 7_1-Números Racionais. 15 - 20.

(16) Na reta numérica. Fe rn an de s. Repara que todo o número natural é um número inteiro e que todo o número inteiro é um número racional. Simbolicamente, podemos escrever: ⊂⊂. Nota histórica Porquê os símbolos IN, Z e Q? - IN vem da palavra Natural. - Z tem origem na palavra alemã Zahl que significa número. - Q vem da palavra Quociente já que qualquer número racional se pode representar como um quociente ou razão entre dois números inteiros.. s. Significado de símbolos ∈ - pertence a ou é elemento de ∉ - não pertence a ou não é elemento de ⊂ - está contido em ∪ - reunião ∩ - interseção. ar. lo. Adição algébrica de números racionais Nota Na adição e subtração de números racionais mantém-se válidas as regras operatórias definidas em Z e para os números racionais positivos, bem como as propriedades da adição e da subtração em Z.. of .C. As propriedades comutativa, associativa e existência do elemento neutro da adição estudadas em Z são extensivas à adição em Q. •. •. a + b = b + a , a, b ∈ . Propriedade associativa da adição Na adição com mais de duas parcelas, podemos associar as parcelas de forma diferente que a soma não se altera.. Pr. •. Propriedade comutativa da adição Na adição, podemos trocar a ordem das parcelas que a soma não se altera.. (a + b) + c = a + (b + c) , a, b, c ∈ . Propriedade de existência de elemento neutro da adição A soma de 0 (zero) com qualquer número racional a é igual a esse número racional. Dizemos que o 0 é o elemento neutro da adição.. Matemática 7_1-Números Racionais. 16 - 20.

(17) a + 0 = 0 + a = a, a ∈  •. Propriedade de existência de elemento simétrico da adição Para qualquer número racional a existe um número racional –a tal que: a + (- a) = - a + a = 0, a ∈ . Fe rn an de s. Nota. Para adicionares (ou subtraíres) frações com denominadores diferentes podes substituir as frações dadas por outras equivalentes com o mesmo denominador, determinando o denominador comum entre duas ou mais frações, isto é, procurando o m.m.c. . Exemplo 1. 2  4 1 2 4 1 2 5 3 − −  −  + =− + + =− + = = 1 3  3 3 3 3 3 3 3 3 Como todas as frações envolvidas têm o mesmo denominador, limitamo-nos a operar os numeradores, utilizando as regras estudadas anteriormente para números inteiros. Exemplo 2. 5 1 2 5 1 12 15 2 27 2 25 2+ − = + − = + − = − = 2 3 1 (×6) 2 (×3) 3(×2) 6 6 6 6 6 6. lo. s. Neste caso, a operação envolve números inteiros e frações. Primeiro, escrevemos o número inteiro na forma de fração; depois, reduzimos as frações ao mesmo denominador e operamos os numeradores. Exemplo 3. 9 2 1 7 9 4 5 35 49 4 45(:5) 9  2  1 −0,9 −  −  +  −  − 3,5 = − + − − = − + − − = − + = − = − 10 5 (×2) 2 (×5) 2 (×5) 10 10 10 10 10 10 10(:5) 2  5  2. ar. Neste exemplo, houve necessidade de escrever os números decimais na forma de fração. Os restantes procedimentos são análogos aos anteriores. Não te esqueças de apresentar o resultado na forma de uma fração irredutível.. of .C. Notas Números decimais especiais. 1 1 3 = 0,5 = 0, 25 = 0, 75 2 4 4 1 3 7 = 0, 2 = 1,5 = 3,5 5 2 2. = 4,5. 9 2. Pr. Simétrico da soma e da diferença de números racionais. Para adicionarmos ou subtrairmos números racionais, utilizamos as propriedades da adição algébrica já tuas conhecidas, das quais te recordamos quatro:. Propriedade 1 Dado um qualquer número racional q, o simétrico de q, que simbolizamos por –q, é igual à diferença 0 – q e é o número racional cuja soma com q é igual a 0, ou seja, q + (–q) = 0. Tem-se ainda, – (–q) = q.. Matemática 7_1-Números Racionais. 17 - 20.

(18) Fe rn an de s. Exemplos a. O simétrico de 13 é –13, pois 13 + (–13) = 0. 5 5  5 5 b. O simétrico de − é , ou seja, −  −  = . 3 3  3 3 Propriedade 2 Dados dois números racionais quaisquer, q e r, q – r = q + (–r) Vejamos agora duas outras propriedades importantes:. Propriedade 3 O simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos desses números racionais. Sendo q e r dois quaisquer números racionais: – ( q + r ) = (–q) + (–r) Propriedade 4 O simétrico da diferença é igual à soma do simétrico do aditivo com o subtrativo: – (q – r) = (–q) + r Exemplos: 1 2 5 6 11 1 2 − − = − − = − a. −  +  = 3(×5) 5(×3) 15 15 15 3 5. 1 2 5 6 1 1 2 − + = − + = b. −  −  = 3(×5) 5(×3) 15 15 15 3 5. s. Multiplicação de números racionais. lo. A multiplicação de números racionais é uma ampliação da multiplicação de números inteiros, de modo a conservar todas as propriedades. a×b. produto. ar. fatores. of .C. As regras operatórias mantém-se: • Para multiplicar dois números representados por frações multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores; • O produto de dois números racionais com sinais contrários é um número negativo; •. O produto de dois números racionais com o mesmo sinal é um número positivo;. •. O produto de dois números racionais em que um deles é zero, é igual a zero.. Pr. Propriedades da multiplicação de números racionais Já conheces as propriedades da multiplicação de números inteiros (7.º ano) e de números racionais positivos (2.º ciclo). Essas propriedades mantêm-se nos números racionais. •. Propriedade comutativa da multiplicação O produto não se altera se trocarmos a ordem dos fatores a × b = b × a , a, b ∈ Q. Matemática 7_1-Números Racionais. 18 - 20.

(19) Exemplo: 1  5 5 ×  −  =− 4  2 8 Logo,. 1  5  5 1 × −  =  − × 4  2  2 4. Propriedade associativa da multiplicação O produto de três ou mais fatores não depende do modo como se agrupam.. Fe rn an de s. •. 5  5 1 −  − × = 8  2 4. (a × b) × c = a × (b × c) , a, b, c ∈ Q. •. Exemplo: -5 × (2 × 3) = -5 × 6 = -30 (-5 × 2) × 3 = -10 × 3 = -30 Logo, -5 × (2 × 3) = (-5 × 2) × 3 Propriedade de existência de elemento neutro da multiplicação Quando se multiplica um número por 1 obtém-se o próprio número. a × 1 = 1 × a = a, a ∈ Q 1 diz-se o elemento neutro da multiplicação. Exemplo:. Propriedade de existência de elemento absorvente da multiplicação Qualquer número multiplicado por zero dá zero.. lo. •. 2 2 − ×1 =− 3 3. s. 2  2 1×  −  =− 3  3 2 2  2 Logo, 1×  −  =− ×1 =− 3 3  3. ar. a × 0 = 0 × a = 0, a ∈ Q 0 diz-se o elemento absorvente da multiplicação.. of .C. Exemplo: -1,2 × 0 = 0 0 × (-1,2) = 0 Logo, -1,2 × 0 = 0 × (-1,2) = 0 Propriedade de existência de elemento inverso da multiplicação Dois números cujo produto seja 1 dizem-se números inversos. Qualquer um deles é inverso do outro.. Pr. •. 1 1 = × a = 1, a ∈ Q e a ≠ 0 a a Repara que o número zero não tem inverso porque qualquer número multiplicado por 0 dá 0. a×. Exemplos: 4  5  20 − ×  − = = 1 5  4  20 Matemática 7_1-Números Racionais.  1 3 −3 ×  −  = = 1  3 3 19 - 20.

(20) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição a × (b + c) = a × b + a × c , a, b, c ∈ Q Exemplo: (10 + 0,2) × 5 = 10 × 5 + 0,2 × 5 = 50 + 1 = 51. •. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração a × (b - c) = a × b - a × c , a, b, c ∈ Q Exemplo: (10 – 0,2) × 5 = 10 × 5 – 0,2 × 5 = 50 - 1 = 49 Divisão. Fe rn an de s. •. Já sabes que ao dividir dois números inteiros (com divisor diferente de zero) nem sempre se obtém um número inteiro. Os números racionais vieram tornar a divisão sempre possível, desde que o divisor seja diferente de zero.. lo. s. Exemplo: 7 3 7 5 35 : = × = 2 5 2 3 6 Regras - Para dividir dois números racionais, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor a c a d  (divisor diferente de zero)  : = ×  b d b c  - As regras de sinais da divisão são as mesmas da multiplicação. Expressões numéricas. ar. No cálculo de uma expressão numérica, habitualmente, seguem-se os seguintes passos: 1.º - Efetuam-se as operações dentro de parênteses;. of .C. 2.º - A multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e subtração;. Pr. 3.º - Sempre que na expressão surgem operações da multiplicação e divisão, estas devem-se efetuar pela ordem indicada.. Matemática 7_1-Números Racionais. 20 - 20.

(21)