Escola Básica do 2º e 3º Ciclo de Santo António Ano Letivo 2014/2015 Tema 1: Números Naturais e Potências. Revisões de 5º Ano

FT_01 Números Naturais e Potências - Mat – 6º ano Página 1

Escola Básica do 2º e 3º Ciclo de Santo António Ano Letivo 2014/2015

Tema 1: Números Naturais e Potências

6º Ano Ficha de trabalho Nº1 Nome:__________________________________________________________ Nº ______ Turma: ______

Revisões de 5º Ano

 Recordar conceitos de 5º ano:

 Múltiplos e divisores (m.d.c. e m.m.c);  Algoritmo de Euclides;

 Critérios de divisibilidade;

 Resolução de problemas envolvendo números racionais não negativas. 1. Indica os primeiros cinco múltiplos de:

1.1. 3 1.2. 4

1.3. 10 1.4. 12

__________________________________________________________________________________________ 2. Indica todos os divisores de:

2.1. 8 2.2. 10

2.3. 14 2.4. 36

__________________________________________________________________________________________ 3. Qual das seguintes afirmações é falsa?

[A] 10 é múltiplo de 2. [B] 1 é múltiplo de 4.

[C] 1 é divisor de qualquer número. [D] 5 é divisor de 45.

__________________________________________________________________________________________ 4. Indica:

4.1. Todos os números que sejam, simultaneamente, divisores de 10 e de 14. 4.2. Todos os múltiplos comuns a 4 e a 6, menores do 48.

__________________________________________________________________________________________ 5. Qual é o número que não é divisível por 3?

5.1. 5136 5.2. 2400 5.3. 2113 5.4. 2004 __________________________________________________________________________________________ 6. Os divisores de 9 são: 6.1. 1; 9 6.2. 1; 2; 9 6.3. 1; 3; 9 6.4. 1; 2; 3; 9 __________________________________________________________________________________________ 7. Calcula pelo método das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides):

7.1. m.d.c.(24; 108) 7.2. m.d.c.(40; 150)

7.3. m.d.c. (126; 42) 7.4. m.d.c. (322; 1682)

__________________________________________________________________________________________ 8. O número 19 é múltiplo de apenas dois números. Quais são esses números?

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9. O número 23 admite apenas dois divisores. Indica – os.

__________________________________________________________________________________________ 10. Copia para o teu caderno e completa os espaços, com algarismos, de forma a tornar as afirmações

verdadeiras. 10.1. 143 _____ é divisível por 4. 10.2. 7 _____ 23 é divisível por 3. 10.3. 6 _____ 41 é divisível por 9 10.4. 126 _____ é divisível simultaneamente por 2 e por 3. 10.5. 824 _____ é divisível simultaneamente por 2, por 3 e por 4.

__________________________________________________________________________________________ 11. Considera os números 57, 969 e 132.

11.1. Algum destes números é divisível por 4? 11.2. Mostra que os números são divisíveis

por 3, mas não divisíveis por 9.

11.3. Sem determinares a diferença, justifica que 969 – 57 é divisível por 3.

__________________________________________________________________________________________ 12. Sem efetuares a multiplicação, mostra que o produto de 1560 por 724 tem o 4 como divisor. Explica o teu

raciocínio.

__________________________________________________________________________________________ 13. Numa vila, a feira realiza-se de sete dias e o mercado de gado de trinta em trinta dias.

No dia 30 de agosto realizaram – se os dois eventos naquela vila. Daqui a quantos dias se voltarão a realizar, em simultâneo, os dois eventos naquela vila?

__________________________________________________________________________________________ 14. O Diogo recebeu um saco com 200 gomas e 300 rebuçados. Decidiu que ia comer a mesma quantidade de

rebuçados em cada dia e a mesma quantidade de gomas em cada dia.

14.1. Será que as gomas e os rebuçados podem durar 25 dias? Justifica a tua resposta.

14.2. Qual é o número máximo de dias que poderão durar as gomas e os rebuçados que o Diogo recebeu? __________________________________________________________________________________________ 15. O Mauro, a Sofia e a Mariana são três

amigos. Num sábado de manhã decidiram ir todos juntos às compras. O Mauro esqueceu-se do dinheiro. A Sofia e a Mariana levavam, cada uma, 50€.

Lê o seguinte diálogo entre a Mariana e a Sofia.

15.1. Com quanto dinheiro ficou cada um dos três amigos?

15.2. Com parte do dinheiro que recebeu das suas amigas, o Mauro comprou um jogo e umas sapatilhas que lhe custaram três vezes mais do que o jogo. Ao todo gastou 32€. Quanto custou o jogo? Mostra como obtiveste a tua resposta.

__________________________________________________________________________________________ 16. A mãe do Vasco comprou 30 garrafas de refrigerantes para as férias. O Vasco

bebeu 2₅ do refrigerante e o irmão bebeu menos um terço do que o Vasco. Quantas garrafas de refrigerantes beberam os 2 irmãos?

16.1. A Maria, prima do Vasco, bebeu 4₉ do refrigerante. Que fração de refrigerante sobrou?

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Múltiplos

 Um múltiplo de um número é o produto desse número por um qualquer número inteiro.

3x0=0; 3x1=3; 3x2=6; 3x3=9; … então os múltiplos de 3 representam-se M3 = { 0, 3, 6, 9, … }

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

 É o menor múltiplo comum a dois ou mais números, diferente de zero.

Para descobrir m.m.c.(2,5) podemos fazer a listagem dos M2 e dos M5 e escolher o menor comum deles

M2 = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … } e M5 = { 0, 5, 10, 15, … } então m.m.c.(2,5)=10

Divisores

 Os divisores de um número natural são todos os números naturais que o dividem exatamente.

6 1 6 2 6 3 6 6

0 6 0 3 0 2 0 1 Então os divisores de 6 são D6 = { 1, 2, 3, 6 }

Máximo divisor comum (m.d.c.)  É o maior divisor comum a dois ou mais números.

Para descobrir m.d.c.(12,18) podemos fazer a listagem dos D12 e dos D18 e escolher o maior comum deles

D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} e D18 = { { 1, 2, 3, 6, 9, 18} então m.d.c.(12,18)=6

Algoritmo de Euclides

 Este processo permite encontrar o m.d.c. entre dois números através de divisões sucessivas. Consiste em dividir o maior número pelo menor, e depois dividir o divisor da divisão anterior pelo seu resto, e assim sucessivamente, até que o resto seja zero. O divisor que conduz à divisão com resto zero é o m.d.c.

Repara como se encontra o m.d.c.(1320,35) através do Algoritmo de Euclides: 1320 35 35 25 25 10 10 5

25 37 10 1 5 2 0 2

mdc(1320,35)=mdc(35,25)=mdc(25,10)=mdc(5,0)=5

Critérios de divisibilidade  Um número é divisível por 2 se for par.

 Um número é divisível por 3 se e só se a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo: 177 é divisível por 3 porque 1 + 7 + 7 = 15 e 15 é divisível por 3.

 Um número é divisível por 4 se e só se a soma do dobro do algarismo das dezenas com o das unidades for divisível por 4.

Exemplo: 152 é divisível por 4 porque 2 x 5 + 2 = 12 e 12 é divisível por 4.

 Um número é divisível por 5 se e só se o algarismo das unidades for 0 ou 5.

 Um número é divisível por 9 se e só se a soma dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo: 945 é divisível por 9 porque 9 + 4 + 5 = 18 e 18 é divisível por 9.

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Potências de expoente natural

 Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de fatores iguais

 Identificar e dar exemplos de quadrados e cubos de um número e de potências de base 10  Calcular potências de um número

1. Escreve as seguintes potências na forma simplificada, com base e expoente.

1.1. 7 x 7 x 7 1.2. 13 x 13 x 13 x 13 x 13 1.3. 10 x 10 x 10 x 10

1.4. 2₅ 𝑥 2₅ 1.5. _{5 𝑥 5 𝑥 5}3 1.6. 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2₇

__________________________________________________________________________________________ 2. Calcula os valores das seguintes potências.

2.1. 34 _{2.2. 5}2 _{2.3. 1}5 _{2.4. 10}4 _{2.5. 17}1

2.6. (7₃)2 2.7. 2₅4 2.8. ₂73 2.9. 0,1

3

2.10. (31₂)3

__________________________________________________________________________________________ 3. Descobre a base ou o expoente de cada potência.

3.1. 81 = 2 _{3.2. 100 000 = }5 _{3.3. 64 = }6

3.4. 8 = 2 _{3.5. 121 = 11} _{3.6. 25 = }1

__________________________________________________________________________________________ 4. Faz corresponder a cada potência o seu valor.

106 ₁₀5 ₁₀2 ₁₀9

Cem milhares Um milhar de milhão Uma centena Um milhão

__________________________________________________________________________________________ 5. Escreve 64 como potência de base 4 e 144 como potência de expoente 2.

__________________________________________________________________________________________ 6. Calcula o valor de cada expressão.

6.1. 62 _{- 2}4 _{6.2. 10}3 _{– 10}2 _{+ 10 6.3. 10}2 _{– 2}6 _{+ (9 – 4)}3

6.4. 25 _{– 2}1 _{6.5. (4 + 5)}2 _{6.6. 4 x 5}2

__________________________________________________________________________________________ 7. Calcula a soma do cubo de três com o cubo de cinco.

Calcula o cubo da soma de três com cinco.

__________________________________________________________________________________________ RESUMO

Noção de potência

 Uma potência é uma representação de uma multiplicação de fatores iguais em que a base é o fator que se repete e o expoente é o número de vezes que esse fator se repete.

Termos de potências

expoente

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Multiplicação e Divisão de Potências com a mesma base ou o mesmo expoente. Regras

 Determinar o produto e o quociente de potências com a mesma base e/ou o mesmo expoente  Calcular potências de um número

8. Verifica se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.

8.1. 53 _{x 5}4 _{= 5}7 _{8.2. 2}4 _{x 2}2 _{= 2}4x2

8.3. 35 _{: 3}2 _{= 3}7 _{8.4. 11}9 _{: 11}6 _{= 11}9-6

__________________________________________________________________________________________ 9. Escreve cada uma das expressões seguintes na forma de uma única potência.

9.1. 0,33 _{x 0,3}4 _{9.2. 4}5 _{x 3}5 _{9.3. 12}3 _{: 4}3

9.4. (13₃)7 ∶ (13₃)5 9.5. 304 : 54 9.6. 33 x 23 x 612

__________________________________________________________________________________________ 10. Escreve cada uma das expressões seguintes na forma de uma potência de base 2.

10.1. 2 x 2 10.2. 23 _{x 2}4

10.3. 223 x 25

10.4. 4 x 23 _{10.5. 2}12 _{: (2}2₎3 _{10.6. 22}13 _{: 11}13

__________________________________________________________________________________________ 11. Calcula, usando as regras de operações com potências, e apresenta a resposta na forma de potência

simplificada, com base e expoente.

11.1. 93 _{x 9}2 _{11.2. 10}5 _{: 10}2 _{11.3. 5}7 _{x 5}2 _{: 5}6 _{11.4. 25}25 _{: 25}23 _{11.5. 10}8 _{x 10}2 11.6. 7x73_x75 _{11.7. 8}6 _{: 8}2 _{11.8. 6}5 _{: 6}2 _{11.9. 9}7 _{: 9}4 _{: 9}2 _{11.10. 2}13 _{: 2}12 _{x 2}5 11.11. 0,72_{x 0,7 11.12. (}2 7) 7 : (2₇)4 11.13. (5₆)10: (5₆)7 11.14. 0,15x (₁₀1) __________________________________________________________________________________________ 12. Substitui os  por números, de forma a obteres afirmações verdadeiras.

12.1. 57 _{= 5}5 _{x 5} _{12.2. 15}2+5 _{= }2 _{x }3 _{12.3. 5}7 _{: } _{= 5}2 _{12.4. 9}9 _{: 9}_{: 9}3 _{= 9}2 12.5. 83 _{= 8}2 _{x  12.6. 4}3 _{x }_{= 4}5 _{12.7. 10}5 _{x }_{= 100 12.8. 10}5 _{= 10}7 _{: 10} 12.9. 2,33_{x }_=2,37 _{12.10. (}𝟏 𝟐) 𝟑 x  = (𝟏_𝟐)𝟓 12.11. (𝟐_𝟑)𝟖:  = (𝟐_𝟑)𝟑 12.12. (𝟏_𝟐)𝟓= x 0,52 __________________________________________________________________________________________ 13. Quais das afirmações são falsas? Justifica a tua resposta.

13.1. 72 _{+ 7}3 _{= 7}5 _{13.2. 10}4 _{: 10}2 _{: 10 = 10 13.3. (2}3 _{: 2}2_{) > (2}3 _{- 2}2_{) 13.4. 7}2 _{x 7}5 _{= 7}7 13.5. 102 _{: 1}99 _{= 10 13.6. 3}3 _{: 3}3 _{> 1 13.7. (}1 2) 3 > 0,54_{: 0,5 13.8. 0,25}4_{: 0,25 = (}1 4) 3 __________________________________________________________________________________________ 14. Escreve:

14.1. 75 _{como um produto de potências com a mesma base;}

14.2. 94 _{como o quociente de potências com a mesma base;}

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__________________________________________________________________________________________ 15. Utiliza as regras operatórias de potências para calcular a área de cada uma das seguintes figuras.

Apresenta a resposta sob a forma de potência.

15.1. 15.2.

__________________________________________________________________________________________ 16. Substitui os  por números, de forma a obteres afirmações verdadeiras.

16.1. 63 _{= 6}_{: 6}2 _{16.2. 8}_{x 2}6 _{= 16}6 _{16.3. } _{: 7}6 _{= 7}6 _{16.4. }7 _{: 7}7 _{= 4}7 16.5. 1209_{: }9 ₌₁₂9 _{16.6. 13}5 _{x }_{= 39}5 _{16.7. } _{: 11}5 _{= 11}2 _{16.8. 2}8 _{x }8 _{x 3}8 _{= 48}8 16.9. 157_:(67_:27_)= _{16.10. (}5 3) 4 :  = 54 _{16.11. 0,6}3 _{: 0,2}3 _{= } 16.12.(𝟏_𝟕)𝟑: (₁₄1)3 =  __________________________________________________________________________________________ 17. Comenta a afirmação: “A potência de base 5 e expoente 2 tem o mesmo valor numérico que a potência de

base 2 e expoente 5”.

__________________________________________________________________________________________ 18. Num laranjal existem 210 _{laranjeiras. Cada laranjeira tem 2}3 _{ramos e cada ramo tem 2}4

laranjas. Quantas laranjas existem no laranjal?

Nota: Apresenta a resposta sob a forma de potência

__________________________________________________________________________________________ RESUMO

Regras operatórias de potências

situação exemplo regra

Produto de potências com a mesma base 3

4 _{x 3}2 _{= 3}4+2 O produto de duas potências com a mesma base é igual a uma potência

com a mesma base e expoente igual à soma dos expoentes dos factores

Produto de potências com o mesmo expoente 6

4 _{x 2}4 _{= (6x2)}4 O produto de duas potências com o mesmo expoente é igual a uma

potência com o mesmo expoente e base igual ao produto das bases

Quociente de potências com a mesma base 3

4 _{: 3}2 _{= 3}4-2 O quociente de duas potências com a mesma base é igual a uma potência

com a mesma base e expoente igual à diferença dos expoentes dos factores

Quociente de potências com o mesmo expoente 6

4 _{: 2}4 _{= (6:2)}4 O quociente de duas potências com o mesmo expoente é igual a uma

potência com o mesmo expoente e base igual ao quociente das bases

Potência de potência

 Representar (𝒂𝒎)𝒏 _{e reconhecer que é igual a uma potência de base 𝒂 e expoente igual ao produto}

dos expoentes

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19. Mostra que (35)2 = 310 recorrendo à definição de potência de expoente natural.

__________________________________________________________________________________________ 20. Aplica a propriedade de potência de potência (não calcules).

20.1. (35)2 20.2. (24)3 20.3. (25)7 20.4. (𝑎4)2 20.5. (1,25)3

__________________________________________________________________________________________ 21. Escreve em linguagem simbólica e calcula:

21.1. o cubo do quadrado de um meio; 21.2. o quadrado da quinta potência de dez;

__________________________________________________________________________________________ 22. Escreve a leitura de:

22.1. (72)3 20.2. (114)3 20.3. (1,72)2

__________________________________________________________________________________________ 23. Observa atentamente e calcula:

23.1. 223 23.2. (22)3 23.3. (0,13)2 23.4. 0,132 __________________________________________________________________________________________ 24. Verdadeiro ou falso? 24.1. 242 = 28 24.2. (52)3 ≠ 56 24.3. 124 = 116 24.4. (12)5≠ 110 24.5. [(2₅)2] 3 = 0,46 24.6. 0,213 = 0,2 __________________________________________________________________________________________ 25. Calcula, utilizando quando possível as regras operatórias das potências.

25.1. (23)2+ 44 ∶ 42 25.2. (0,12)2+ 0,512 ∶ 0,511 25.3. 123+ (1₃) x (1₃)

2

25.4. 42 ∶ 22− (110)3 25.5. 4₍₄23 x 4₂₎₅2 25.6. 62+ 32

__________________________________________________________________________________________ 26. Numa cidade moram 230pessoas. Em média, cada pessoa tem (23)2 livros de matemática. Quantos livros

de matemática há nessa cidade? (Nota: Apresenta a resposta sob a forma de potência)

__________________________________________________________________________________________

RESUMO

Potência de potência

situação exemplo regra

Potência de potência (43₎2 _{= 4}3x2 Uma potência em que a base é uma potência é uma potência com a mesma

base e expoente igual ao produto dos dois expoentes Repara que:

𝟐𝟑𝟐 _{≠ (𝟐}𝟑₎𝟐

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Números primos e números compostos

 Identificar e dar exemplos de números primos  Distinguir números primos de números compostos 27. Considera os números 4, 9, 17, 21 29 e 100.

Quais destes números são primos? Porquê?

__________________________________________________________________________________________ 28. Para chegar à cenoura, o coelho só passa pelas casas com número primos. Descobre o caminho do coelho.

9

25

6

36

66

11

22

47

29

83

8

5

3

23

40

7

15

33

16

27

35

97

93

17

14

13

2

1

100

31

103

43

28

49

29.1. O maior número primo que se representa com um algarismo é … 29.2. O maio número primo de dois algarismos é …

29.3. O único número primo par é … 29.4. O menor número composto é …

29.5. O maior número composto menor do que 50 é …

__________________________________________________________________________________________ 30. O número 68 é primo ou composto?

Justifica a tua resposta.

__________________________________________________________________________________________ 31. Verifica se:

31.1. a soma de dois números primos ímpares pode ser um número primo. Justifica. 31.2. o produto de dois número primos é um número primo. Explica.

__________________________________________________________________________________________ RESUMO

Números primos

 Números primos são todos os números naturais que têm exatamente dois divisores, sendo estes o 1 e o próprio número. Exemplo: 3 é primo porque D3={1, 3} e 37 é primo porque D37={1, 37}

Números compostos

 Números compostos são todos os números naturais que têm mais de dois divisores.

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Decomposição de um número em fatores primos

 Decompor um número natural em fatores primos (divisões sucessivas, árvore, …) 32. Mentalmente, decompõe num produto de fatores primos os seguintes números.

32.1. 4 32.2. 9 32.3. 15

32.4. 6 32.5. 10 32.6. 21

__________________________________________________________________________________________ 33. Completa os esquemas seguintes, depois de os copiares para o teu caderno.

33.1. 33.2. 33.3. 33.4. 30  45  24 26 15 3 15 3  x 12  x   5  5  x 2 x  26 =  x  1 1  x  x 2 x   =  x 3 x 5 45 =  x 3 x 5 24 = 2 x  x 2 x  __________________________________________________________________________________________ 34. Completa, com fatores primos, as seguintes decomposições.

34.1. 12 34.2. 18 34.3. 28

12 = 22 _{x  18 =  x }2 _{28 = 2}2 _{x }

__________________________________________________________________________________________ 35. Decompões em fatores primos, cada um dos seguintes números.

35.1. 18 35.2. 56 35.3. 120

35.4. 2310 35.5. 10 x 16 35.6. 5 x 20 x 18

__________________________________________________________________________________________ 36. Decompões em fatores primos 8, 27 e 125.

O que podes afirmar sobre as potências que obtiveste?

__________________________________________________________________________________________ 37. A turma da professora Beatriz tem 26 alunos. Para a realização de um determinado trabalho a professora pretende que os alunos se organizem em grupos com o mesmo número de elementos, sem que nenhum fique de fora. Quantos elementos poderá ter cada grupo? Explica o teu raciocínio.

FT_01 Números Naturais e Potências - Mat – 6º ano Página 10 RESUMO

Decomposição de um número em fatores primos

 Decompor um número em fatores primos significa escrevê-lo como um produto de fatores primos. Processo 1 (árvore)

54 Número a ser fatorizado

2 x 27 Decompor num produto de 2 números

2 x 3 x 9 Decompor cada n.º não primo num produto de 2 números

2 x 3 x 3 x 3 Acaba quando todos os fatores forem primos

54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33

Processo 2 (divisões sucessivas)

54 2 Dividir o número fatorizado por um número primo

27 3 Repetir o processo

9 3 Repetir o processo

3 3 Acaba quando o quociente der 1

1

54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e Máximo divisor comum (m.d.c.)

 Compreender a noção de mínimo múltiplo comum de dois números  Compreender a noção de máximo divisor comum de dois números  Determinar o valor do mínimo múltiplo comum de dois números  Determinar o valor do máximo divisor comum de dois números

 Resolver problemas que envolvam a determinação do m.m.c. ou do m.d.c de dois números 38. Quais os múltiplos naturais de 4 menores do que 60? E de 7 menores do que 60?

38.1. Quais os múltiplos naturais comuns a 4 e 7 menores que 60? 38.2. Qual o mínimo múltiplo comum de 4 e 7?

__________________________________________________________________________________________ 39. Calcula, recorrendo à decomposição em fatores primos.

39.1. m.m.c.(12,18) 39.2. m.m.c.(88,66) 39.3. m.m.c.(100,120)

39.4. m.m.c.(20,25) 39.5. m.m.c.(32,54) 39.6. m.m.c.(120,144)

39.7. m.m.c.(20,72) 39.8. m.m.c.(8,125) 39.9. m.m.c.(76,114)

FT_01 Números Naturais e Potências - Mat – 6º ano Página 11

40. A Ana e o Zé visitam os avós com frequência. No dia 1 de janeiro estiveram os dois juntos em casa dos avós. A Ana visita-os de 6 em 6 dias e o Zé de 8 em 8 dias. Quantos dias depois se voltarão a encontrar em casa dos avós?

__________________________________________________________________________________________ 41. Quais os divisores de 18, 27, 36 e 45?

41.1. Quais os divisores comuns a 18 e 27? Quais os divisores comuns a 36 e 45? 41.2. Qual o máximo divisor comum de 18 e 27? E de 36 e 45?

__________________________________________________________________________________________ 42. Calcula, recorrendo à decomposição em fatores primos.

42.1. m.d.c.(28,42) 42.2. m.d.c.(60,72) 42.3. m.d.c.(175,105)

42.4. m.d.c.(16,40) 42.5. m.d.c.(30,100) 42.6. m.d.c.(75,90)

42.7. m.d.c.(12,20) 42.8. m.d.c.(72,96) 42.9. m.d.c.(84,270)

__________________________________________________________________________________________ 43. Temos 77 gomas e 165 caramelos e queremos dividi-los pelo maior número possível de crianças de forma que cada uma receba o mesmo número de gomas e de caramelos. Por quantas crianças se podem distribuir aquelas gomas e caramelos? Quantas gomas e caramelos recebe cada uma?

__________________________________________________________________________________________ 44. Calcula, recorrendo à decomposição em fatores primos.

44.1. m.d.c.(12,18) 44.2. m.m.c.(4,5) 44.3. m.d.c.(4,24)

44.4. m.m.c.(7,28) 44.5. m.d.c.(26,39) 44.6. m.m.c.(16,28)

__________________________________________________________________________________________ 45. Qual é o mínimo múltiplo comum entre 18 e 32? (Escolhe a opção correta).

[A] 25 _{x 3}2 _{[B] 2 x 3}2 _{[C] 2 x 3 [D] 2}5 _{x 3}

__________________________________________________________________________________________ 46. Qual é o mínimo múltiplo comum entre dois números primos diferentes?

__________________________________________________________________________________________ 47. Qual é o máximo divisor comum entre dois números primos diferentes?

__________________________________________________________________________________________ 48. A Filipa pretende encontrar um número que seja divisível por 18 e 42. Qual é o menor número que serve à

Filipa? Explica o teu raciocínio.

__________________________________________________________________________________________ 49. A Carolina está a preparar ramos de flores. Ela tem à sua disposição 140 rosas, 120 tulipas e 180 margaridas, e pretende criar ramos com a mesma constituição. Qual é o número máximo de ramos que a Carolina que a Carolina pode fazer e qual a sua constituição?

__________________________________________________________________________________________ 50. Todos os dias, a Maria e a Aurora fazem a sua corrida matinal. O percurso é sempre o mesmo, várias voltas ao quarteirão onde vivem. Apesar de saírem de casa à mesma hora, a Aurora é mais rápida, completando uma volta a cada 12 minutos, enquanto a Maria precisa de 15 minutos para fazer o mesmo percurso. Quanto tempo será necessário para que ambas terminem uma volta ao mesmo tempo?

__________________________________________________________________________________________ 51. A lista A é candidata às eleições para a associação de estudantes de uma escola. Para a campanha dispõe de 276 pins, 112 esferográficas e 400 rebuçados, que pretende dividir, de forma equitativa, pelas várias turmas da escola. Qual é o número máximo de turmas que a escola pode ter? Nesse caso, quantos rebuçados irá receber cada turma?

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52. Num laboratório de biologia são utilizados dois sinais luminosos: o sinal A, que pisca de 105 em 105 segundos, e o sinal B, que pisca de 195 em 195 segundos.

Os dois sinais piscam simultaneamente no instante em que se inicia uma certa experiência de laboratório. Ao fim de quantos segundos é que os dois sinais voltam a piscar simultaneamente?

Mostra como chegaste à tua resposta.

__________________________________________________________________________________________ 53. O Tiago é o responsável pela preparação da sala de conferências do hotel onde trabalha e onde irá decorrer um comício político. Na sala estarão 39 VIPs, que deverão ficar sentados junto ao palco, 65 membros da comissão política do partido, que deverão ficar a meio da sala e 130 membros da juventude do partido, que deverão ficar na zona mais afastada do palco. O Tiago pretende fazer o menor número de filas possível, todas com o mesmo número de lugares, sem misturar membros dos vários grupos. Cumprindo as condições, quantas filas serão necessárias para sentar os membros da juventude do partido? Explica o teu raciocínio.

__________________________________________________________________________________________ RESUMO

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

 Como vimo antes, podemos determinar o m.m.c. de dois números pela listagem dos múltiplos.  Pela decomposição em fatores primos, o m.m.c. de dois números é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns das respetivas decomposições elevados ao maior expoente.

Exemplo: m.m.c.(12,18) 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 12=22_{x3 18=2x3}2 m.m.c.(12,18)= 22 _{x 3}3 _{= 36}

Máximo divisor comum (m.d.c.)

 Como vimo antes, podemos determinar o m.d.c. de dois números pela listagem dos divisores.  Pela decomposição em fatores primos, o m.d.c. de dois números é igual ao produto dos fatores primos comuns das respetivas decomposições elevados ao menor expoente.

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Exercícios de Consolidação – Preparação para a Ficha de Avaliação

[A] 3625 [B] 3492 [C] 2256 [D] 1674

__________________________________________________________________________________________ 55. Considera o número 2 x 32 _{x 7. Qual dos seguintes números é divisor do número dado?}

[A] 5 [B] 9 [C] 12 [D] 27

__________________________________________________________________________________________ 56. Calcula o máximo divisor comum entre os números:

56.1. 25 e 35 56.2. 24 e 18 56.3. 48 e 54 56.4. 75 e 90

__________________________________________________________________________________________ 57. Calcula, através do algoritmo de Euclides, o máximo divisor comum entre os números 42 e 63.

__________________________________________________________________________________________ 58. Considera os números: A = 2 x 32 _{x 5}2 _{x 7 e B = 2}3 _{x 3}3 _{x 7.}

Qual a decomposição que representa m.d.c.(A,B)?

[A] 23 _{x 3}3 _{x 7 [B] 2 x 3}2 _{x 7 [C] 2 x 3}2 _{x 5}2 _{x 7 [D] 2}3 _{x 3}3 _{x 5}2 _{x 7}

__________________________________________________________________________________________ 59. O senhor José compra, todas as semanas, uma cautela da lotaria e uma raspadinha cujo preço é dado por

um número natural. Ao fim de algumas semanas, gastou 210 € nas cautelas e 140 € nas raspadinhas. 59.1. Poderá ter comparado cautelas e raspadinhas durante 12 semanas? Justifica a tua resposta. 59.2. Qual o preço de cada cautela e de cada raspadinha, sabendo que o dinheiro que gastou permitiu

ao Sr. José jogar no número máximo de semanas possível?

__________________________________________________________________________________________ 60. Alguns dos alunos da turma do Vasco participaram numa atividade de recolha de

materiais para reciclar. Cada um dos alunos que participou na atividade recolheu o mesmo número de latas, o mesmo número de quilogramas de papel e o mesmo número de garrafas de vidro. Ao todo, recolheram 108 latas, 90 quilogramas de papel e 72 garrafas de vidro.

60.1. Qual pode ter sido o maior número de alunos a participar na atividade?

60.2. Quantas latas, quilogramas de papel e garrafas de vidro recolheu cada um dos alunos?

__________________________________________________________________________________________ 61. Calcula o mínimo múltiplo comum entre os números:

61.1. 25 e 35 61.2. 48 e 54 61.3. 24 e 18 61.4. 75 e 90

__________________________________________________________________________________________ 62. Duas famílias vizinhas vão frequentemente fazer compras no minimercado do bairro

onde residem. A família do Pedro vai às compras a cada 10 dias e gasta 25 euros. Com a mesma quantia, a família da Joana consegue fazer compras para 8 dias.

62.1. As duas famílias cruzaram-se no minimercado num sábado. Ao fim de quantos dias vão voltar a encontrar-se no minimercado?

62.2. Nessa altura, quanto terá gasto cada uma das famílias em compras naquele minimercado?

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63. Decompõe os números 45, 80 e 420 em fatores primos.

__________________________________________________________________________________________ 64. Justifica, através de um exemplo, que as afirmações seguintes são falsas.

64.1. Todos os números primos são ímpares. 64.2. O número 9 é um número primo.

64.3. O produto de dois número primos é um número primo.

__________________________________________________________________________________________ 65. Utilizando o máximo divisor comum entre dois números, torna irredutíveis as frações:

65.1. 112₄₈₄ 65.2. 154₃₃ 65.3. 210₂₃₁

__________________________________________________________________________________________ 66. O Cristiano e o Sérgio praticam futebol no mesmo clube. No mês de janeiro, o Cristiano

treinou nos dias ímpares e o Sérgio treinou nos dias múltiplos de 3. Nesse mês, qual o número de vezes que ambos treinaram no mesmo dia?

__________________________________________________________________________________________ 67. O maior número primo, inferior a 100 é:

[A] 93 [B] 97 [C] 98 [D] 99

__________________________________________________________________________________________ 68. Calcula, recorrendo à decomposição em fatores primos.

68.1. m.m.c.(120,168) 68.2. m.d.c.(144,192)

__________________________________________________________________________________________ 69. Calcula o valor das potências:

69.1. 53 69.2. 44 69.3. (1₃) 4 69.4. (7₃)2 69.5. 0,52 69.6. 0,23 69.7. 2 5 3 69.8. 5 32 __________________________________________________________________________________________ 70. Utiliza as regras operatórias das potências e apresenta o resultado sob a forma de uma única potência.

70.1. 727 x 731 ∶ (78)7 70.2. 63 x 6 x 62 70.3. 248 ∶ 38 ∶ 86

__________________________________________________________________________________________ 71. Calcula o valor das expressões numéricas seguintes:

71.1. 45 ∶ 32 x 10 − 7 71.2. 52+ 28 ∶ 4 − 33 71.3. (₅3+ 7₅)4 ∶ 8₅+ 1

__________________________________________________________________________________________ 72. Completa com o número que torna verdadeira cada uma das expressões seguintes:

72.1. 74 x 72 = 7 72.2. 43 x 53 = 3 72.3. 5 ∶ 52 = 56 72.4. 3 ∶ 83 = 23 _{72.5. (3}₎4 _{= 3}8 _{72.6. (5}2₎6 _{= }12

__________________________________________________________________________________________ 73. Qual a expressão que é igual a 56_?

[A] 54 _{+ 5}2 _{[B] 5}4 _{x 5}2 _{[C] 5}8 _{- 5}2 _{[D] 5}12 _{: 5}2

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74. Calcula o valor numérico das expressões, utilizando, sempre que possível, as regras das operações com potências. 74.1. 35 x 34 x 38 74.2. 82 ∶ 42 x 2 74.3. 93 ∶ 35 74.4. 410∶ (43)2 x 23 _{74.5. (}3 5) 3 ∶ (3₅)2 x (3₅)2 _{74.6. (}460: 458𝑥 26 109_{∶ 5}9 ) 3 __________________________________________________________________________________________ 75. O Filipe tem uma secretária com quatro gavetas. Em cada uma delas, guarda quatro

caixas, cada uma com quatro esferográficas. Quantas esferográficas tem o Filipe?

__________________________________________________________________________________________ 76. No início de cada treino de futebol, os jogadores correm à volta do campo. O Miguel demora 30 segundos a dar volta ao campo e o João demora 40 segundos. Os dois irmãos partem em simultâneo do mesmo local do campo.

Ao fim de quantos segundos os dois irmãos voltam a passar juntos no ponto de partida, pela primeira vez? Mostra como chegaste à tua resposta.

__________________________________________________________________________________________ 77. A Margarida está a arranjar o álbum de fotografias da sua

festa de aniversário, onde pretende colar 24 fotos a cores e 18 fotos a preto e branco. Cada página do álbum deve ficar com a mesma constituição, ou seja, com o mesmo número de fotos de ambos os tipos. Sabendo que nenhuma das fotos fica por colar, determina o número máximo de páginas que o álbum da Margarida pode ter.

__________________________________________________________________________________________ 78. Quantas pessoas da família Costa se juntaram hoje ao pequeno – almoço, sabendo que distribuíram

igualmente, por todos, 14 pãezinhos e 21 cubinhos de açúcar? Mostra como obtiveste a tua resposta. __________________________________________________________________________________________ 79. No âmbito de um projeto sobre multiculturalidade, o professor de Educação Visual da escola da Andreia vai dividir o recreio em quadrados iguais e pintar, em cada um deles, a bandeira de um país diferente. Sabendo que o recreio é um espaço com a forma de um retângulo, de 16 m por 24 m, e que o professor pretende utilizar, para cada bandeira, o maior quadrado possível, quantas bandeiras vão ser pintadas?

__________________________________________________________________________________________ 80. O canteiro de flores da mãe do Ricardo tem a forma de um quadrado

cujo lado mede 3 metros de comprimento. Escreve sob a forma de uma potência e, em seguida, calcula a área do canteiro de flores da mãe do Ricardo.

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81. Na cidade do professor Armindo há três lojas de animais. Em cada loja há três aquários marinhos em cada aquário marinho há três pedras de coral e em cada pedra de coral vivem três peixinhos. Escreve sob a forma de potência e calcula o número total de peixinhos que estão nas três lojas de animais.

__________________________________________________________________________________________ 82. Uma cadeia internacional de produtos eletrónicos EletroÁs tem

(22₎3 _{lojas abertas em Portugal. Em cada loja existem 2}4 _{LCD e 3}3

computadores portáteis para venda ao público.

82.1. Escreve sob a forma de uma única potência o número de LCD que as lojas EletroÁs têm à venda em Portugal.

82.2. Escreve sob a forma de uma única potência o número de

computadores portáteis que as lojas EletroÁs têm à venda em Portugal.

82.3. Determina o número total de LCD e computadores portáteis que a cadeia de lojas EletroÁs tem à venda em Portugal.

__________________________________________________________________________________________ 83. Calcula o máximo divisor comum de 120 e 66 e obtém uma fração equivalente a 12o

66

cujos termos sejam

__________________________________________________________________________________________

Bibliografia:

 PI 6º Ano , Carlos Oliveira, Fátima Cerqueira Magro, Fernando Fidalgo e Pedro Louçano

 Matemática 6º Ano, Elza Gouveia Durão e Maria Margarida Baldaque

 ASES da Matemática 6º Ano- Porto Editora