Estat´ıstica – Exerc´ıcios – Lista 12
Correla¸ c˜ ao e Regress˜ ao
1. Em um sistema de cultivo estamos particularmente interessados na rela¸c˜ao entre o diˆametro do dorso e o peso dos alevinos cultivados. Na tabela abaixo constam medidas dos diˆametros dos dorsos e o peso de alguns peixes selecionados aleatoriamente. Considere o diˆametro como vari´avel explicativa.
Diˆametro (mm) 5.0 6.2 7.5 7.2 8.0 10.2 Peso (g) 8.0 35.1 40.9 34.8 38.1 60.2
a) Com o aux´ılio de uma calculadora estime o intercepto, a inclina¸c˜ao, o coeficiente de corre- la¸c˜ao e o coeficiente de determina¸c˜ao.
b) O que se pode concluir a partir dos coeficientes de correla¸c˜ao e de determina¸c˜ao estimados?
c) Com o aux´ılio de uma r´egua desenhe um gr´afico representando a reta da regress˜ao estimada indicando nos t´ıtulos dos eixos quais s˜ao as vari´aveis explicativa e resposta (ou dependente e independente). Represente tamb´em o intercepto e indique tamb´em valores nos eixos do gr´afico de tal forma que o leitor tenha uma id´eia de qual ´e a inclina¸c˜ao estimada. Indique ao lado da reta qual ´e a equa¸c˜ao que a descreve.
d) Realize um teste de hip´otese para avaliar a afirmativa de que o coeficiente de correla¸c˜ao populacional (ρ) ´e diferente de zero. Indique quais s˜ao as hip´oteses nula e alternativa, a estat´ıstica de teste calculada, os valores cr´ıticos e escreva uma frase com a conclus˜ao a que se chega ao final do teste.
e) Utilize a equa¸c˜ao de regress˜ao para fazer uma predi¸c˜ao sobre qual seria o peso predito para um peixe cujo diˆametro dorso ´e igual a6.5cm.
2. Na figura 1 abaixo consta o resultado de uma an´alise de regress˜ao entre o esfor¸co de pesca medido em n´umero de anz´ois e a captura obtida em quilos em um determinado sistema de pesca.
a) Qual ´e a propor¸c˜ao da varia¸c˜ao das observa¸c˜oes de captura que pode ser explicada pelo modelo de regress˜ao linear entre o esfor¸co e a captura?
b) Com 95% de confian¸ca que capturas aproximadas poderiam ser esperadas para uma pescaria de 1200anz´ois?
c) Indique quais s˜ao os valores aproximados do intercepto e da inclina¸c˜ao.
Respostas:
1. a) O intercepto ´e a=−29.571, a inclina¸c˜ao ´eb=8.946, o coeficiente de correla¸c˜ao ´er=0.939 e o coeficiente de determina¸c˜ao ´e r2=0.882.
b) O coeficiente de correla¸c˜ao ´e positivo e pr´oximo de 1 o que implica que h´a uma forte correla¸c˜ao linear entre o diˆametro e o peso. Essa correla¸c˜ao ´e positiva, ou seja, maiores diˆametros correspondem a maiores pesos e vice-versa. Aten¸c˜ao! O coeficiente de correla¸c˜ao elevado n˜ao implica que h´a “causa-efeito”. O coeficiente de determina¸c˜ao indica que uma propor¸c˜ao de cerca de 0.882 da varia¸c˜ao das medidas de peso, pode ser explicada pelas varia¸c˜oes das medidas de diˆametro.
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Esforço (anzóis)
Captura (kg)
● observado predito erro (95%)
0 400 800 1200 1600 2000 050150250350 r = 0.97
Figura 1: Rela¸c˜ao entre o esfor¸co de pesca (n´um. de anz´ois) e a captura (kg).
c) Figura.
d) As hip´oteses nula e alternativa s˜ao
H0:ρ=0
H1:ρ6=0 . Para o teste optamos por um n´ıvel de significˆancia de 0.05. Os valores cr´ıticos s˜ao -2.776 e 2.776, enquanto que o valor calculado
´e 5.476. Portanto, rejeitamos a hip´otese de que o coeficiente de determina¸c˜ao (ρ) ´e igual a zero e, portanto, apoiamos a hip´otese de que este coeficiente ´e diferente de zero.
e) A predi¸c˜ao ´e de 28.58 g.
2. a) O coeficiente de correla¸c˜ao ´e r=0.97. Portanto o coeficiente determina¸c˜ao ´e r2=0.972= 0.9409. Este valor corresponde `a propor¸c˜ao da varia¸c˜ao da captura que pode ser explicada pelas varia¸c˜oe do esfor¸co de pesca.
b) A margens indicadas pelas linhas tracejadas d˜ao conta de que o intervalo de confian¸ca para a captura para o caso do uso de 1200anz´ois ´e de 150a250kg.
c) O intercepto deve ser de cerca de −10 enquanto que a inclina¸c˜ao ´e de cerca de 0.17. Note que essa ´e simplesmente uma aproxima¸c˜ao obtida a partir de uma inspe¸c˜ao visual do gr´afico.
Os valores encontrados por vocˆe devem ser similares mas, n˜ao necessariamente idˆenticos aos indicados acima.
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