UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PROFESSORA: Solange Galiotto Sartor ACADÊMICOS: Andriele C. Biasio, Cassiano Scott Puhl, Emanuele T. Bianchin e Lauriete Michelon
Prática Pedagógica
Caxias do Sul, 14 de abril de 2009
Introdução
Este trabalho tem por objetivo propor uma metodologia dinâmica para o ensino do cálculo das seguintes áreas planas: retângulo, quadrado, triângulo, trapézio, losango e círculo. E também calcular o volume de sólidos que podem ser gerados pela revolução de uma região plana em torno de um eixo: cilindro circular reto, cone reto e a esfera.
Buscaremos trabalhar de forma em que o aluno interaja com o assunto e construa com orientação o seu conhecimento.
Da mesma forma que aprendemos o cálculo de áreas, também aprendemos o cálculo de volume, com simples fórmulas, e apenas fórmulas. Mas não sabíamos bem o que estávamos fazendo, e porque fazíamos, mas decorávamos todas elas.
De nada adiantaria sabermos todas as fórmulas de integral, derivada, se não soubéssemos também para o que podemos utilizar. Mais precisamente no cálculo do volume dos sólidos de revolução podemos perceber o que nunca havíamos percebido que esses sólidos são gerados através da translação da curva de uma função em torno de um dos eixos.
Com esse estudo que faremos no trabalho, vamos dar sentido a toda a parte de volumes que aprendemos anteriormente, mas agora com uma boa base, com todas as explicações, para que possamos saber realmente o que estamos fazendo, e não apenas colocando valores arbitrários dados, em simples fórmulas decoradas.
Área do retângulo e do quadrado
Um retângulo é um paralelogramo cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os outros dois paralelos horizontalmente.
O cálculo da área desses dois tipos de retângulos é calculado da mesma forma.
Como possuem duas dimensões: base e altura, o cálculo da sua área é o produto da base pela altura.
Pra compreender melhor como chegamos à conclusão de que a fórmula do cálculo da área de um retângulo é base x altura, utilizaremos papel quadriculado para desenvolver os passos a seguir:
Considere um retângulo com a superfície dividida em quadradinhos de lados iguais a um centímetro (uma unidade).
Nesse retângulo obtivemos 5 colunas de quadradinhos e 3 linhas de quadradinhos, assim para saber a quantidade de quadrados que essa figura possui em sua superfície basta multiplicarmos 5 x 3 = 15 quadradinhos. Como cada lado do quadradinho é igual a 1centímetro (uma unidade), podemos dizer que as dimensões desse retângulo são iguais a:
Aplicando o mesmo raciocínio do cálculo da quantidade de quadradinhos iremos encontrar a área da superfície desse retângulo da seguinte forma:
A = 5 cm x 3 cm A = 15 cm2
Assim, provamos que o cálculo da área de um retângulo é:
A = base x altura
Representando a base como b e a altura como h, simplificamos a fórmula:
A = b h
Caso esse retângulo seja um quadrado (todos os lados de mesma medida), podemos dizer que a base e a altura terão mesmo valor, assim iremos representá-las como sendo os lados do quadrado, representados pela letra l.
Portanto, a área de um quadrado pode ser indicada da seguinte forma:
A = A =
Aplicação:
Forrar uma mesa.
Revestir um piso com lajota.
Atividades:
1. O preço cobrado por um jornal do interior para publicar anúncios em sua pagina é de R$ 0,75 por centímetro quadrado ao dia. Para vender seu carro, João colocou este anuncio no jornal durante 5 dias. Quanto ele pagou pelo anuncio?
2. A mãe de Adauto está providenciando a compra de lajotas para a reforma de um cômodo de sua casa. Esse cômodo tem a forma quadrada, com lados de 3 m. Quantos metros quadrados de lajota ele deverá comprar?
3. O jardim de Otávio tem a forma retangular com 6 cm de comprimento e 21m² de área. Qual é a sua largura?
Área do paralelogramo
Paralelogramo é todo quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos.
Para determinar a formula que expressa à área da região limitada por um paralelogramo, vamos transformar esse problema em outro do qual já conhecemos a solução. Isso é muito comum em Matemática.
Usando papel quadriculado desenhamos um paralelogramo. Em seguida transladamos a parte destacada na figura abaixo do paralelogramo e obtemos um a região retangular com áreas equivalente, com comprimento de medida b e largura de medida a.
Assim, a área da região limitada por um paralelogramo de base medindo b e altura medindo a é dado por:
Aplicação:
Medir um terreno.
Atividades:
1. Os lados de um paralelogramo medem 9 cm e 6 cm. Um dos seus ângulos mede 150º. Qual é a sua área?
2. Calcular a área das regiões planas que tem um paralelogramo como contorno:
Área do triângulo
Triangulo é um polígono de três ângulos e três lados.
Observe as figuras abaixo. Por elas vemos que a partir de uma região triangular podemos obter uma região com a forma de um paralelogramo de mesma base e mesma altura, de modo que a área da região triangular seja a metade da área da região obtida.
Como a figura da direita tem área obtida fazendo , então a região triangular
da esquerda tem área .
Indicamos assim:
Vejamos mais dois exemplos:
A área da figura toda é igual a (base x altura). Por isso, a área da região triangular é a metade de , ou seja: .
Aplicação:
Medição de quantidade de telhas num telhado de forma triangular Atividades:
1. Usar papel quadriculado e construir os triângulos solicitados. Depois pintar a região triangular, recortar tudo e colar no caderno.
a) Um triângulo retângulo com região triangular de área igual a 12cm².
b) Um triângulo acutângulo com área correspondente a 8cm².
c) Um triângulo obtusângulo com região de área igual a 6cm².
2. Estimativa:
a) Qual das velas você acha que tem maio área?
b) Confira sua estimativa calculando a área de cada uma das velas.
3. Um triângulo tem base 7 cm e área de 17,5cm² (subentende-se que é a área da região triangular). Qual é a sua altura?
Área do trapézio
Trapézio é um quadrilátero com um só par de lados paralelos (bases)
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: (b = base e h = altura). Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:
Primeiro: completamos as alturas no trapézio:
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos ( CFD e CEF). Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.
Cálculo da área do CEF:
Cálculo da área do CFD:
Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:
colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores.
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:
onde: h = altura; B = base maior do trapézio; b = base menor do trapézio
Atividades:
1- Usar os valores indicados nas figuras abaixo e calcular a área das regiões determinadas pelos trapézios.
2- As duas bases de um trapézio isósceles medem 18 cm e 2 cm. O perímetro de trapézio é igual a 54 cm. Qual é sua área?
Área do losango
Losango é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais e ângulos iguais dois a dois.
Imagine uma região determinada por um losango (amarela) e outra igual a ela (cinza). Com as duas podemos obter uma região retangular:
A seqüência das figuras acima mostra que a área da região determinada pelo losango de diagonais mediando D e d corresponde à metade da área de uma região retangular de comprimento D e largura d.
Assim, a área da região determinada pelo losango é dada por:
Atividades:
1- A figura abaixo mostra uma região plana cujo contorno é um losango com as seguintes medidas: AB= 13 cm, AC= 24 cm e BD= 10 cm. Determine em seu caderno:
a) As medidas dos lados BC, CD e DA.
b) A medida da diagonal menor.
c) A medida da diagonal maior.
d) A área do losango.
Área do círculo
Círculo é a união da circunferência e do seu interior.
Para compreendermos a fórmula utilizada no cálculo da área de um círculo temos que imaginar uma circunferência:
E dentro dela circunscrito um polígono regular:
Os seguimentos de reta que partem do centro da circunferência e que vão até o vértice do polígono regular são os raios do círculo. Assim, formando n triângulos no polígono regular, com base no cálculo da área de um hexágono regular, podemos dizer que a área de um polígono regular de n lados seria:
