Daila Silva Seabra de Moura Fonseca
CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES
NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A
CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS
OURO PRETO
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Daila Silva Seabra de Moura Fonseca
CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES
NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A
CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora, como exigência parcial à obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto, sob orientação da Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.
OURO PRETO
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Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br F676c Fonseca, Daila Silva Seabra de Moura
Convergência de sequências numéricas no Cálculo [manuscrito] : um trabalho visando a corporificação dos conceitos / Daila Silva Seabra de Moura Fonseca – 2012.
xx, 208 f.: il. color.; grafs.; tabs.
Orientadora: Profª Drª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Mestrado
Profissional em Educação Matemática.
Área de concentração:Educação Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino - Teses. 2. Séries (Matemática) - Teses. 3. Sequências (Matemática) - Teses. 4. Ciência cognitiva - Corporificação - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente a DEUS, por toda força para perseverar, por toda luz nos momentos de escuridão e por estar ao meu lado em todos os dias da minha vida possibilitando a realização dos meus sonhos.
Ao meu marido ALLAN, por todo amor, carinho e incentivo; por ser um grande companheiro de vida e de estrada, por me ensinar a enxergar todas as grandes dificuldades como pequenas pedras e por todos os momentos de alegria ao longo desses anos juntos.
Aos meus pais, IVANI e GERALDO, por se preocuparem com minha educação ao longo de todos os anos da minha vida, por todo amor que me deram fazendo com que eu me tornasse a pessoa que sou hoje e pelas orações feitas todos os dias pela manhã.
À professora REGINA, por aceitar me orientar depois de quase um ano do começo do mestrado, por me ensinar a ser pesquisadora, por acreditar no meu potencial, pela dedicação ao nosso trabalho e por ser muito mais que orientadora, sendo também um pouco psicóloga e mãe.
Ao professor FREDERICO, pelas sugestões e orientações dadas em momentos de importantes decisões feitas ao longo do mestrado e pelas contribuições neste trabalho.
À professora MÁRCIA, por aceitar nosso convite e pelas considerações feitas após ter passado seu “pente fino”, enriquecendo o trabalho.
À professora ADRIANA TONINI, pela orientação inicial.
Aos PROFESSORES do programa que se dedicam ao nosso crescimento intelectual e possibilitam um ensino de qualidade. Em especial, à professora ANA CRISTINA, por sua dedicação ao programa, pelo apoio e orientação desde o começo da minha caminhada no mestrado.
Aos meus irmãos, RÔNIA e DAVIDSON, por estarem todos os dias ao meu lado, mesmo que somente em pensamento.
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Aos meus sobrinhos, GABRIEL, NATHAN, ALICE, SAMUEL, CAIO, YURI, MARIA EDUARDA e CADU, pelos momentos de fantasia em meio ao caos.
Aos meus “afilhadrinhos”, KELLY e CÉLIO, que me acolheram em sua casa no primeiro ano do mestrado, pela amizade sincera, por cuidarem de mim e pelo consolo e orientações nos momentos de desespero.
Ao grande amigo DAVIDSON, por todos os conselhos e risadas até a madrugada.
À POLLYANNA, amiga que ganhei e conselheira durante as madrugadas em Ouro Preto.
A DÉBORA, NEWTON, LUCIENE, MAÍRA, IVAN, DANIELE, FERNANDA, ROBERTO, MÁRCIA, MARIA ISABEL, WELLINGTON e GUTO, pelo companheirismo neste longo caminho que é o mestrado.
À SULAMITA, amiga que surgiu durante a caminhada, por cuidar de mim.
Aos amigos de Belo Horizonte, Itabira e Congonhas, pelo apoio constante e por compreenderem minhas ausências.
Aos meus alunos da Engenharia de Produção, por aceitarem e se dedicarem à participação na pesquisa.
A coordenação do Instituto Federal em que a pesquisa foi realizada, pela confiança.
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RESUMO
A presente pesquisa buscou verificar se a aplicação de atividades, com o auxílio do
software GeoGebra, favoreceu a corporificação dos conceitos de convergência de
sequências e séries e a transição entre os mundo corporificado e simbólico, levando a uma compreensão desses conceitos. Também teve por objetivo investigar se a transição entre os mundos corporificado e simbólico contribuiu para a construção da base do mundo formal,
levando à passagem do pensamento matemático elementar para o avançado. A metodologia de pesquisa utilizada foi a qualitativa. Como instrumentos de coleta de dados foram utilizados: registros dos alunos das resoluções das atividades; gravação de áudio; gravações das telas dos computadores; notas de campo da pesquisadora. Para alcançarmos nosso objetivo, utilizamos como referência dois quadros teóricos – Pensamento
Matemático Avançado e Três Mundos da Matemática –, para dar oportunidade ao aluno de
experimentar aspectos diversos de um conceito, antes de apresentar sua definição formal. As atividades estão separadas em: atividade introdutória, atividades exploratórias e atividades de avaliação. A pesquisa foi realizada com um grupo de alunos do curso de Engenharia de Produção de um Instituto Federal de Ensino que cursava a disciplina de Cálculo II, sob a responsabilidade da pesquisadora. Foram realizadas aulas de laboratório, com a aplicação das atividades exploratórias, para os alunos trabalharem a corporificação por meio da experimentação e formulação de conjecturas que foram discutidas, refutadas e/ou confirmadas nas aulas teóricas. Os dados coletados nos levam a crer que as atividades promoveram a corporificação do conceito de convergência na maioria dos alunos. Além disso, as atividades possuem potencial para a transição entre os três mundos da Matemática, proporcionando ao aluno a passagem do pensamento matemático elementar para o avançado. Por fim, foi elaborado um produto educacional intitulado “Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um proposta utilizando o
software GeoGebra”, que está disponível na página do programa e tem por objetivo
auxiliar professores que desejam trabalhar o conteúdo de sequências e séries de maneira diferenciada.
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ABSTRACT
This study aimed to verify whether the implementation of activities, with the help of software GeoGebra, favored the embodiment of convergence concepts of sequences and series and the transition between the embodied and symbolic world, leading to an understanding of these concepts. It also aimed to investigate if the transition between the embodied and symbolic worlds contributed to build the base of the formal world, leading to the changeover of mathematical thinking from elementary to advanced. The research methodology was the qualitative one. Student records of their activities resolutions; audio recording of some classes; recordings of computer screens and researcher’s field notes were used as instruments of data collection. In order to achieve our goal, we used two theoretical frameworks – Advanced Mathematical Thinking and Three Worlds of
Mathematics – as reference, to give the student an opportunity to experience different
aspects of a concept, before submitting its formal definition. The activities are organized into: introductory activity, exploratory activities and assessment activities. The survey was conducted with a group of Production Engineering students from a Federal Education Institute who was studying the subject Calculus II, under the responsibility of the researcher. Laboratory classes were held, with the application of exploratory activities, for students to work the embodiment through experimentation and conjectures which have been discussed, refuted, and / or confirmed in the lectures. The collected data lead us to believe the activities promoted the embodiment of the convergence concept in the majority of students. Moreover, the activities have the potential for the transition between the three worlds of Mathematics, providing the student with the changeover of mathematical thinking from elementary to advanced. Finally, it was designed an educational product titled "Study of numerical sequences and series convergence in Calculus: a proposal using the software GeoGebra", which is available on the program site and aims to help teachers who want to work content and sequence series in a different way.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 01: Números triangulares ... 34
Figura 02: Números quadrados ... 34
Figura 03: Visualização geométrica da convergência da série geométrica de razão 2 1 ... 47
Figura 04: Igualdade de integrais de uma função, e seu intervalo de integração, transladados ... 53
Figura 05: Prova corporificada da soma do n primeiros inteiros positivos ... 58
Figura 06: Os três modos de representação de Bruner ... 60
Figura 07: Três mundos de representação e suas ligações com outros pontos de vista .... 61
Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação ... 65
Figura 09: Arrastando a janela de visualização ao longo de um gráfico para ver a inclinação mudando e a linearidade local ... 67
Figura 10: Exploração do conceito de derivada por meio de retas secantes ... 70
Figura 11: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização gráfica e planilha ... 86
Figura 12: Representação da sequência n an 5 = , com n variando de 1 até 12, como uma função discreta. ... 93
Figura 13: Representação da sequência n an = 5, com n variando de 1 até 40, como uma função discreta. ... 94
Figura 14: Representação da sequência n an 5 = , com n variando de 1 até 15, como uma função discreta e como pontos de uma reta ... 95
Figura 15: Distância entre termos consecutivos da sequência 1 + = n n an ... 96
Figura 16: Sequências do termo geral e das somas parciais da série −1 2 1 n ... 99
Figura 17: Resposta do aluno A12 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória ... 101
Figura 18: Resposta do aluno A08 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória ... 102
Figura 19: Resposta do aluno A12 à questão 1.a da atividade introdutória ... 102
xvi
Figura 21: Resposta do aluno A13 à questão 5 da atividade introdutória ... 103
Figura 22: Resposta do aluno A12 à questão 5 da atividade introdutória ... 103
Figura 23: Resposta da aluna A14 à questão 5 da atividade introdutória ... 103
Figura 24: Resposta do aluno A12 à questão 7 da atividade introdutória ... 104
Figura 25: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 01 ... 106
Figura 26: Gráfico da função f (n) = 2n, com n Z+* ... 106
Figura 27: Resposta dos alunos A05 e A12 à atividade 02 ... 108
Figura 28: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 02 ... 108
Figura 29: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 02 ... 108
Figura 30: Resposta da aluna A11 à prova de sequências ... 109
Figura 31: Resposta do aluno A22 à prova de sequências ... 110
Figura 32: Resposta do aluno A12 à prova de sequências ... 110
Figura 33: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.a da atividade 04 ... 111
Figura 34: Resposta dos alunos A22 e A29 ao item 4.1.a da atividade 04 ... 111
Figura 35: Resposta das alunas A27 e A30 ao item 4.1.a da atividade 04 ... 111
Figura 36: Resposta dos alunos A10 e A13 ao item 4.1.b da atividade 04 ... 111
Figura 37: Resposta das alunas A07 e A20 ao item 4.1.b da atividade 04 ... 111
Figura 38: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.c da atividade 04 ... 112
Figura 39: Resposta dos alunos A03e A04 ao item 4.2.a da atividade 04 ... 113
Figura 40: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.b da atividade 04 ... 113
Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04 ... 113
Figura 42: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.c da atividade 04 ... 114
Figura 43: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.2.c da atividade 04 ... 114
Figura 44: Resposta dos alunos A25 e A32 à atividade 05 ... 115
Figura 45: Resposta dos alunos A06 e A23 à atividade 05 ... 115
Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06 ... 116
Figura 47: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 06 ... 116
Figura 48: Resposta da aluna A11 à atividade 06 ... 118
Figura 49: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 07 ... 119
Figura 50: Resposta da aluna A11 à atividade 07 ... 121
Figura 51: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1a e 8.1b da atividade 08 ... 122
Figura 52: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1.c da atividade 08 ... 122
xvii
Figura 54: Resposta da aluna A20 à questão 1 da atividade de séries ... 126
Figura 55: Resposta do aluno A09 à questão 2 da atividade de séries ... 126
Figura 56: Resposta das alunas A21 e A31 à questão 3.a da atividade de séries ... 128
Figura 57: Resposta da aluna A02 à questão 3.c da atividade de séries ... 129
Figura 58: Tela do computador da aluna A30 durante a resolução da questão 3.d da atividade de séries ... 129
Figura 59: Resposta da aluna A30 à questão 3.d da atividade de séries ... 130
Figura 60: Resolução do aluno A12 à série harmônica na atividade de séries ... 131
Figura 61: Resolução da aluna A20 à série harmônica na atividade de séries ... 131
Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries ... 131
Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries ... 132
Figura 64: Conclusão da aluna A02 sobre a convergência de séries ... 132
Figura 65: Conclusão da aluna A21 sobre a convergência de séries ... 132
Figura 66: Corporificação da convergência da sequência n n an = 4 −3 ... 135
Figura 67: Duas representações gráficas da sequência da atividade 04 ... 139
Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04... 141
Figura 69: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.b da atividade 04 ... 142
Figura 70: Tela da resolução da atividade 04 dos alunos A05 e A12 ... 144
Figura 71: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.b da atividade 04 ... 145
Figura 72: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.c da atividade 04 ... 146
Figura 73: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 05 ... 148
Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries ... 149
Figura 75: Resposta da aluna A11 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries ... 149
Figura 76: Resposta do aluno A25 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries ... 150
Figura 77: Resposta do aluno A25 sobre a convergência de três sequências na atividade avaliativa ... 151
Figura 78: Resposta do aluno A15 sobre a convergência de uma sequência na atividade avaliativa ... 151
Figura 79: Resposta do aluno A01 à questão 5.a da atividade avaliativa de séries ... 152
Figura 80: Resposta do aluno A25 às questões 2.b e 3.a da atividade avaliativa de séries ... 153
xviii
Figura 82: Resposta da aluna A02 sobre a definição formal da convergência de
sequência na atividade avaliativa ... 157
Figura 83: Resposta do aluno A13 sobre a divergência de uma sequência na atividade avaliativa ... 157
Figura 84: Resposta da aluna A20 à questão 3.a da atividade avaliativa de séries ... 161
Figura 85: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.1.a da atividade 04 ... 163
Figura 86: Resposta dos alunos A09 e A16 ao item 4.1.a da atividade 04 ... 163
Figura 87: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.b da atividade 04... 163
Figura 88: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.c da atividade 04 ... 163
Figura 89: Representação da sequência n an = 5 , com n variando de 1 até 15, como uma função discreta e como pontos sobre o eixo dos x’s ... 165
Figura 90: Resposta da aluna A14 para a questão 4.2.a da atividade 04 ... 166
Figura 91: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.b da atividade 04 ... 166
Figura 92: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.c da atividade 04 ... 167
Figura 93: Resposta do aluno A01 à questão 2 da atividade de séries ... 168
Figura 94: Resposta da aluna A14 à questão 2 da atividade de séries ... 169
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LISTA DE QUADROS
Quadro 01: Enunciado da primeira questão da atividade introdutória ... 88
Quadro 02: Enunciado da segunda questão da atividade introdutória ... 88
Quadro 03: Enunciado da terceira questão da atividade introdutória ... 88
Quadro 04: Enunciado da quarta questão da atividade introdutória ... 88
Quadro 05: Enunciado da quinta questão da atividade introdutória ... 89
Quadro 06: Enunciado da sexta questão da atividade introdutória ... 89
Quadro 07: Enunciado da sétima questão da atividade introdutória ... 90
207
APÊNDICE F – TRABALHO SOBRE SÉRIES
INSTITUTO FEDERAL
Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
TRABALHO EM GRUPO
Este é um trabalho sobre Séries que tem por objetivo estudar parte do assunto que não foi possível de ser estudado em sala de aula.
- Trabalho para ser realizado em grupo de quatro ou cinco pessoas.
- O trabalho deverá ser entregue, impreterivelmente, no dia 23 de janeiro de 2012. - Esse trabalho valerá 10 pontos extras.
- Os assuntos abordados estão no livro: STEWART, James. Cálculo. Vol 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
PARA CADA UM DOS ITENS ABAIXO FAÇA:
• Estude o assunto abordado, faça um resumo da matéria estudada e escreva seu
entendimento.
• Resolva os exercícios selecionados.
1) (1 ponto)Estimando a soma de uma série (páginas 664 a 666). Exercícios 32 ao 37
(página 668).
2) (1 ponto) Teste da Comparação (páginas 668 a 672). Exercícios 1, 2, 3, 11 e 35
(página 672).
3) (1 ponto) Estimativa de soma (página 676). Exercícios 1, 21, 23, 25 e 27 (página
677).
4) (1 ponto) Estratégia para testar as séries (páginas 684 e 685). Exercícios 2, 4, 8, 13
e 21 (página 686).
5) (1 pontos) Séries de Potência (páginas 687 a 691). Exercícios 1, 2, 3, 5 e 7 (página
691).
6) (1 pontos) Representações de funções como séries de potências (páginas 692 a
208
7) (1 pontos) Série de Taylor e de MacLaurin (páginas 698 a 708). Exercícios 1, 3, 7,
13 e 15 (página 709).
8) (3 pontos) Parte prática de Séries de Taylor. Siga as instruções das páginas
seguintes.
TRABALHO PRÁTICO DE SÉRIE DE TAYLOR57
Neste trabalho prático iremos analisar em que condições é possível utilizar o polinômio de Taylor para aproximar funções.
Antes de iniciar a análise siga os passos:
1) Instale o programa GeoGebra 4.0 em um computador. Disponível em: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/installers
2) Crie um valor do centro (a). Inicialmente digite a = 0.
3) Crie um Controle Deslizante para ser o possível valor do grau do polinômio (n).
Para isso coloque as configurações com nome n e que esteja definido no intervalo de 0 a 10 com incremento 1.
4) Troque o Arredondamento para 10 casas decimais.
Observação: Para cada passo escreva o resultado encontrado. Salve o arquivo do GeoGebra e envie para o meu e-mail.
Atividade 01: Série de Taylor em torno do ponto zero.
1) Insira a função f(x) = cos(x). Troque a cor do gráfico.
2) Crie o polinômio de Taylor utilizando a função pré-definida PolinômioDeTaylor[ <Função>, <Centro>, <Ordem> ]. Troque por PolinômioDeTaylor[f(x), a, n]. Troque a cor do gráfico gerado.
3) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=cos(x), em torno do ponto zero, considerando os termos até ordem 4.
209
4) Utilize a Planilha. Na célula A1 digite valores para x, na célula B1 digite f(x) e na
célula C1 digite g(x).
5) Calcule cos(π/10) usando a função cosseno pré-definida pelo software e também
usando o polinômio de Taylor definido no item 3 (na célula A2 digite pi/10, na célula B2 digite f(A2) e na célula C2 digite g(A2)). Compare os resultados.
6) Calcule cos(2π/3) usando a função cosseno pré-definida pelo software e também
usando o polinômio de Taylor definido no item 3 (Faça o mesmo que o item anterior utilizando a terceira linha da planilha). Compare os resultados.
7) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=cos(x), em torno do ponto zero, considerando os termos até ordem 20. Enquanto você varia a ordem para chegar em 20, escreva o que está acontecendo com o gráfico do polinômio de Taylor.
8) Verifique novamente cos(2π/3) usando a função cosseno pré-definida pelo software
e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 20) definido no item anterior. Compare os resultados.
9) Visualize os gráficos da função cosseno e dos polinômios de Taylor obtidos para a função cosseno com termos até ordem 4 e com termos até ordem 20. Use os gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.
10)Escreva o seu entendimento sobre a utilização de séries de Taylor, em torno do ponto zero, para aproximação de funções transcendentes.
Atividade 2: Série de Taylor em torno do ponto a.
1) Troque o valor do centro para a = . E a função f(x) para sem(x).
2) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=sen(x), em torno do ponto π,
considerando os termos até ordem 3.
3) Na linha 2 da Planilha, calcule sen(π/10) usando a função seno pré-definida pelo
software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os resultados.
4) Na linha 2 da Planilha, calcule sen(2π/3) usando a função seno pré-definida pelo
software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os resultados.
5) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=sen(x), em torno do ponto π,
210
6) Verifique novamente sen(π/10) usando a função cosseno pré-definida pelo software
e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 19) definido no item anterior. Compare os resultados.
7) Visualize os gráficos da função seno e dos polinômios de Taylor obtidos para a função seno com termos até ordem 3 e com termos até ordem 19. Use os gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.
Atividade 3: Série de Taylor em torno do ponto a.
1) Calcule a expansão em série de Taylor da função y=ln(x), em torno do ponto 1, considerando os termos até ordem 3.
2) Calcule ln(0,9) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os resultados.
3) Calcule ln(30) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os resultados.
4) Calcule a expansão em série de Taylor da função y=ln(x), em torno do ponto 1, considerando os termos até ordem 10.
5) Calcule novamente ln(30) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 10) definido no item anterior. Compare os resultados
6) Visualize os gráficos da função logaritmo natural e dos polinômios de Taylor obtidos para a função logaritmo natural com termos até ordem 3 e com termos até ordem 10. Use os gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.
