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Raciocínio
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
SIMPLES, FÁCIL E PRÁTICO
Geometria e Unidades
PEDRO EVARISTO
2 MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO GERAL
AULA 04
Princípio da Contagem
UNIDADES DE MEDIDAS
INTRODUÇÃO
O mundo como conhecemos certamente não existiria sem que o homem tivesse inventado uma maneira de medir, pois isso o ajudou a con- tabilizar, mensurar, comparar, construir e até mesmo guardar
O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte in- tegrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de me- dida o metro. Apenas três das 203 nações não adotaram oficialmente esse sistema como seu sis-
tema principal ou único de medição: Mianmar, Libéria e Estados Unidos.
O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.
Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.
Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa.
Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas.
Então no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Após isso foi desenvol- vido o sistema métrico decimal.
AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao ho- mem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de com- primentos?
Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar.
Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e ou- tros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços.
Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada.
Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio.
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3 MATEMÁTICA
Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas.
Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”.
Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cor- das, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”.
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4 MATEMÁTICA
SISTEMA IMPERIAL
Embora atualmente não sejam usadas com muita frequência, principalmente no meio científico, podere- mos nos deparar com unidades expressas no Sistema Imperial.
A Tabela a seguir fornece dados para conversão entre os Sistemas Imperial e Internacional de Unidades.
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O METRO
O metro (m) é uma unidade de medida de comprimento padrão do sistema numérico decimal, sendo criado com base nas dimensões da Terra.
O nome “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como signifi- cado “o que mede”.
Inicialmente a medida do “metro” foi definida como a décima mili- onésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo me- ridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado
no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo Atualmente o metro é definido como sendo
"o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo".
Sistema Imperial Sistema Internacional
1 in (polegada) = 2,54 cm
1 ft (pé) = 12 in (polegadas) = 30,48 cm 1 yd (jarda) = 3 ft (pés) = 36 in (polegadas) = 0,9144 m 1 mile (milha) = 1760 yd (jardas) = 1,609 km
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5 MATEMÁTICA
LINK:
NOMES E FUNÇÕES DE ALGUMAS MEDIDAS
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
O Sistema Métrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental do comprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seus múltiplos e submúltiplos. Os nomes prefixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo (k), hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m).
Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúl- tiplos para realizar medição em pequenas distâncias.
Outras unidades foram criadas de forma direta ou indireta a partir de relação com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade específica de volume foi definido que um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm3, seria denominado de litro (L). Para definir uma unidade específica para medidas de massa, foi usada a água como referência, onde exatamente um litro de água pura pesaria o que se conhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram.
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6 MATEMÁTICA
LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vírgula anda uma casa para direita.
EXEMPLOS:
• 4,58 m = 45,8 dm
• 4,58 m = 458 cm
• 4,58 m = 4580 mm
LINK:
MÚLTIPLOS E SUBMÚTIPLOS DO METRO
COMPRIMENTO
O metro é uma das unidades básicas do Sistema Internacional de Unidades. A partir dele são denominadas outras unidades de medida apenas com o uso de prefixos, pois nem sempre ele é prático
Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por outro lado, se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande", daí a necessidade do uso de múltiplos e submúltiplos do metro, que são chamados de unidades secundárias de comprimento.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
10 10 10 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
quilôme- tro
hectôme- tro
decâme- tro
metro decíme- tro
centíme- tro
milíme- tro
x10 x10 x10 x10 x10 x10
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LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vírgula desloca duas casas para direita.
EXEMPLOS:
• 4,58 m2 = 458 dm2
• 4,58 m2 = 45800 cm2
• 4,58 m2 = 4580000 mm2
ÁREA
As unidades de área representam ao mesmo tempo duas dimensões e por isso tem um tratamento particular. Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
100 100 100 100 100 100
km
2hm
2dam
2m
2dm
2cm
2mm
2quilôme- tro quadrado
hectôme- tro quadrado
decâme- tro quadrado
metro qua- drado
decíme- tro quadrado
centíme- tro quadrado
milíme- tro qua- drado
x100 x100 x100 x100 x100 x100
LINK:
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA DUAS CASAS?
Para unidades de área ocorrem duas transformações, nas duas dimensões: largura e comprimento. Por isso, 1 m2
equivale a 100 dm2.
LINK:
SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRÃO PADRÃO?
MATEMÁTICA
O quarteirão padrão é um quadrado de
100m de lado.
QUARTEIRÃO:
100m x 100m 10000m2
1hm x 1hm 1hm2
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LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda três casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vírgula desloca três casas para direita.
EXEMPLOS:
• 4,58 m3 = 4580 dm3
• 4,58 m3 = 4580000 cm3
• 4,58 m3 = 4580000000 mm3
LINK:
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA TRÊS CASAS?
Para unidades de volume ocorrem três transformações, nas três dimensões: largura, comprimento e altura.
Por isso, 1 m3 equivale a 1000 dm3.
VOLUME
O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tama- nho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.).
Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A seguinte tabela mostra a equi- valência entre volume e capacidade. Contudo, não é considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado através dos comprimentos. A unidade mais comum utilizada é o litro.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
1000 1000 1000 1000 1000 1000
km
3hm
3dam
3m
3dm
3cm
3mm
3quilôme- tro cúbico
hectôme- tro cúbico
decâme- tro cúbico
metro cúbico
decíme- tro cúbico
centíme- tro cúbico
milíme- tro cúbico
x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000
LINK:
LITRO
MATEMÁTICA
O litro é uma unidade de medida de volume ou capacidade que equivale a um cubo de 1 dm de aresta.
1 L = 1 dm3
1 kL (m3) = 1000 L (dm3) 1 L (dm3) = 1000 mL (cm3)
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9 MATEMÁTICA
LINK:
DENSIDADE DA ÁGUA
1 g/cm3 (g/mL) = 1 kg/dm3 (kg/L) = 1 t/m3 (1000 kg/m3) PREFIXOS
lente:
As abreviações das unidades derivadas do metro estão expressas na Tabela 1, bem como a medida equiva-
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 10³ = 1 000
hecto h 10² = 100
deca da 10
deci d 10-1 = 0,1
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro µ 10-6 = 0,000 001
nano n 10-9 = 0,000 000 001
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001 yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001
DENSIDADE
A densidade de um corpo pode ser dita como o quociente entre a massa e o volume desse corpo. Dessa forma, podemos dizer que a densidade mede o grau de concentração de massa em determinado volume.
A água é referencial, sua densidade à pressão normal e à temperatura de 25 °C, é de 1,00 g/cm³.
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10 MATEMÁTICA
UNIDADES DE BASE
As unidades de base do SI são sete, consideradas independentes do ponto de vista dimensional, definidas para as grandezas e simbolizadas de acordo com o seguinte quadro:
GRANDEZA UNIDADE SI SÍMBOLO
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Intensidade de corrente eléctrica ampere A Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria Mole mol
Intensidade luminosa candela cd
UNIDADES DERIVADAS
São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades deriva- das, de acordo com as relações algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes.
Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais.
ALGUMAS UNIDADES SI DERIVADAS SIMPLES EM TERMOS DAS UNIDADES DE BASE
Grandeza Unidade Símbolo
área metro quadrado m2
volume metro cúbico m3
velocidade metro por segundo m/s
aceleração metro por segundo quadrado m/s2
número de onda metro recíproco m-1
densidade quilograma por metro cúbico kg/m3
UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL
Grandeza Unidade Símbolo Conversão
tempominuto hora
dia
mim h d
1 min = 60s 1h = 60 min = 3600s
1d = 24h = 86400 s volume litro(a) l, L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
massa tonelada(b) t 1 t = 103 kg
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11 MATEMÁTICA
TEMPO
Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados.
LINK:
POR QUE DIVIDIRAM A HORA E O MI- NUTO EM 60 PARTES?
O número 60 é interessante porque é fácil de fracionar, uma vez que é divisí-
vel por 2, 3, 4, 5 e 6. Observe:
1/2 hora
(30 min)
1/3 hora
(20 min)
1/4 hora
(15 min)
1/5 hora
(12 min)
1/6 hora
(10 min)
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RACIOCÍNIO LÓGICO 12
EXERCÍCIOS
01. Durante todo o mês de março, o relógio de um técnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava
a)7h05min b)7h06min c)7h15min d) 7h30min e) 6h54min
02. Uma torneira despeja 180.000 cm3 de água em 9 minutos. Quantos litros serão despejados em 2 horas e um quarto?
a) 600L;
b) 1200L;
c) 1800L;
d) 2100L;
e) 2700L
03. Uma máquina, operando ininterruptamente por 2 horas diárias, levou 5 dias para tirar um certo número de cópias de um texto. Pretende-se que essa mesma máquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possível, ela deverá operar ininterruptamente por um período diário de a) 3 horas.
b) 3 horas e 10 minutos.
c) 3 horas e 15 minutos.
d)3 horas e 20 minutos.
e)3 horas e 45 minutos.
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RACIOCÍNIO LÓGICO 13
LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vírgula desloca duas casas para direita.
EXEMPLOS:
• 4,58 m2 = 458 dm2
• 4,58 m2 = 45800 cm2
• 4,58 m2 = 4580000 mm2
LINK:
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA DUAS CASAS?
Para unidades de área ocorrem duas transformações, nas duas dimensões: largura e comprimento. Por isso, 1 m2
equivale a 100 dm2.
ÁREA
As unidades de área representam ao mesmo tempo duas dimensões e por isso tem um tratamento particular. Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
100 100 100 100 100 100
km
2hm
2dam
2m
2dm
2cm
2mm
2quilômetro quadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
x100 x100 x100 x100 x100 x100
GEOMETRIA
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RACIOCÍNIO LÓGICO 14
RETÂNGULOS
QUADRADOS
TRAPÉZIO
TRIANGULO
PAPALELOGRAMOS
LOSANGO
TRIANGULO RETANGULO
CÍRCULO
EXERCÍCIOS
04. Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. Qual área de cada lote, em m2? A) 1.000.000 m2
B) 500.000 m2 C) 200.000 m2 D) 100.000 m2 E) 2.000 m2
05. Qual a área de um terreno retangular que mede 0,3 km de largura por 500 m de comprimento?
a) 0,15 ha b) 1,5 ha c) 15 ha d)150 ha e)1500 ha
06. Quantas cerâmicas quadradas, medindo 20 cm de lado, são necessárias para revestir o piso de uma sala de aula retangular, medindo 8 m de comprimento por 6 m de largura?
a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200
07. Se largura de um retângulo aumenta 20% e o comprimento aumenta 30%, então sua área total aumenta:
a) 60%
b) 56%
c) 50%
d) 46%
08. (FGV) Um imóvel comercial é composto por uma sala retangular, medindo 3m de largura e 6m de comprimento, e um banheiro, medindo 1,5m de largura e 2m de comprimento. Qual a área total, em m2, do imóvel?
A) 12,5;
B) 16,5;
C) 18;
D) 21;
E) 36.
09. (FGV) Uma folha de papel retangular com largura de 24 cm e comprimento de 30 cm foi toda dividida em quadrados de lados 2 cm. Qual o número de quadrados obtidos?
A) 27.
B) 54.
C) 120.
D) 180.
E) 720.
10. (FGV) A Figura 1 mostra uma placa retangular com 10 cm de base e 4 cm de altura. Dessa placa foram retirados quatro triângulos equiláteros de 2 cm de lado cada um, formando a Figura 2.
O perímetro da Figura 2, em cm, é:
A) 28;
B) 32;
C) 36;
D) 42;
E) 54.
11. Observe a figura a seguir:
10 m
6 m 10 m
6 m
Sabendo-se que todos os ângulos dos vértices do terreno ilustrado na figura acima medem 90º e que o metro quadrado do terreno custa R$ 600,00, é correto afirmar que o preço desse terreno é
a) inferior a R$ 40.000,00.
b) superior a R$ 40.000,00 e inferior a R$ 45.000,00.
c) superior a R$ 45.000,00 e inferior a R$ 50.000,00.
d)superior a R$ 50.000,00 e inferior a R$ 55.000,00.
e)superior a R$ 55.000,00.
12. Uma nova unidade modelo de agência franqueada dos Correios foi inaugurada em fevereiro, em Ourinhos, no interior do estado de São Paulo. A nova agência, com 200 metros quadrados de área, situa-se na Vila Recreio.
17 m 8 m
x
Considerando que essa nova agência seja composta de 2 salas, uma retangular, com lados medindo 17 m e 8 m e outra, quadrada, com lados medindo x metros, conforme ilustrado na figura acima, é correto afirmar que o valor de x é
a) inferior a 3.
b)superior a 3 e inferior a 5.
c) superior a 5 e inferior a 7.
d) superior a 7 e inferior a 9.
e) superior a 9.
x
6 m
2 m
13. Um retângulo tem área igual a 120 dm2. Esse retângulo sofre redução de 20% em sua altura. A fim de que a área do retângulo permaneça inalterada, a base sofre acréscimo.
É correto afirmar que esse acréscimo corresponde a:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
14. Um terreno de 72m2 de área é formado por 8 quadrados congruentes (veja figura a seguir). A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede:
a) 51m b)36m c) 48m d) 27m
GABARITO
01. B 03.D 05.C 07.B 09.D 11.C 13.C 02.E 04.C 06.D 08.D 10.C 12.D 14.C
