W EIGARTENEM H H IPERSUPERFÍCIES R EGRADASEDE

H IPERSUPERFÍCIES R EGRADAS E DE W EIGARTEN EM H

Alexandre Lymberopoulos

16 de Junho de 2009

Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]). Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹: classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]);

Superfícies regradas e de Weingarten emL³: classificadas em 1999 (Vide [6]).

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹: classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]);

Superfícies regradas e de Weingarten emL³: classificadas em 1999 (Vide [6]).

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹: classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]); Superfícies regradas e de Weingarten emL³: classificadas em 1999 (Vide [6]).

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H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emRⁿ⁺¹:

classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]); Superfícies regradas e de Weingarten emL³: classificadas em 1999 (Vide [6]).

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emRⁿ⁺¹: classificadas em 1989 por Dajczer e Tenenblat (Vide [4]);

Superfícies regradas e de Weingarten emL³: classificadas em 1999 (Vide [6]).

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emRⁿ⁺¹: classificadas em 1989 por Dajczer e Tenenblat (Vide [4]);

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹:

classificadas em 1999 (Vide [6]).

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emRⁿ⁺¹: classificadas em 1989 por Dajczer e Tenenblat (Vide [4]);

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹: classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]);

HISTÓRIA DOPROBLEMA PRELIMINARES PRINCIPAIS RESULTADOS BIBLIOGRAFIA

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emRⁿ⁺¹: classificadas em 1989 por Dajczer e Tenenblat (Vide [4]);

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹: classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]);

Superfícies regradas e de Weingarten emL³:

H ISTÓRIA DO P ROBLEMA

Problema original: classificar superfícies regradas e de Weingarten emR³;

Resolvido por Dini e Beltrami em 1865 (Vide [7, 2]).

Generalizações:

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emRⁿ⁺¹: classificadas em 1989 por Dajczer e Tenenblat (Vide [4]);

Hipersuperfícies regradas e de Weingarten emSⁿ⁺¹: classificadas em 2004 por Valério (Vide [8]);

Superfícies regradas e de Weingarten emL³: classificadas em 1999 (Vide [6]).

E QUAÇÕES DAS I MERSÕES I SOMÉTRICAS

Equação de Gauss:

K(X,Y) =±1+

α(X,X), α(Y,Y)

−

α(X,Y), α(X,Y)

. (1)

Equação de Codazzi:

∇^⊥_Xα

(Y,Z) = ∇^⊥_Yα

(X,Z)ou (2)

∇_YA

(X, ξ) = ∇_XA

(Y, ξ). (3)

Equação de Ricci:

R^⊥(X,Y)ξ=α(X,AξY)−α(AξX,Y). (4)

E QUAÇÕES DAS I MERSÕES I SOMÉTRICAS

Equação de Gauss:

K(X,Y) =±1+

α(X,X), α(Y,Y)

−

α(X,Y), α(X,Y)

. (1)

Equação de Codazzi:

∇^⊥_Xα

(Y,Z) = ∇^⊥_Yα

(X,Z)ou (2)

∇_YA

(X, ξ) = ∇_XA

(Y, ξ). (3)

Equação de Ricci:

R^⊥(X,Y)ξ=α(X,AξY)−α(AξX,Y). (4)

E QUAÇÕES DAS I MERSÕES I SOMÉTRICAS

Equação de Gauss:

K(X,Y) =±1+

α(X,X), α(Y,Y)

−

α(X,Y), α(X,Y)

. (1)

Equação de Codazzi:

∇^⊥_Xα

(Y,Z) = ∇^⊥_Yα

(X,Z)ou (2)

∇_YA

(X, ξ) = ∇_XA

(Y, ξ). (3)

Equação de Ricci:

R^⊥(X,Y)ξ=α(X,AξY)−α(AξX,Y). (4)

E QUAÇÕES DAS I MERSÕES I SOMÉTRICAS

Equação de Gauss:

K(X,Y) =±1+

α(X,X), α(Y,Y)

−

α(X,Y), α(X,Y)

. (1)

Equação de Codazzi:

∇^⊥_Xα

(Y,Z) = ∇^⊥_Yα

(X,Z)ou (2)

∇_YA

(X, ξ) = ∇_XA

(Y, ξ). (3)

Equação de Ricci:

R^⊥(X,Y)ξ=α(X,AξY)−α(AξX,Y). (4)

E QUAÇÕES DAS I MERSÕES I SOMÉTRICAS

Equação de Gauss:

K(X,Y) =±1+

α(X,X), α(Y,Y)

−

α(X,Y), α(X,Y)

. (1)

Equação de Codazzi:

∇^⊥_Xα

(Y,Z) = ∇^⊥_Yα

(X,Z)ou (2)

∇_YA

(X, ξ) = ∇_XA

(Y, ξ). (3)

Equação de Ricci:

R^⊥(X,Y)ξ=α(X,AξY)−α(AξX,Y). (4)

E QUAÇÕES DAS I MERSÕES I SOMÉTRICAS

Equação de Gauss:

K(X,Y) =±1+

α(X,X), α(Y,Y)

−

α(X,Y), α(X,Y)

. (1)

Equação de Codazzi:

∇^⊥_Xα

(Y,Z) = ∇^⊥_Yα

(X,Z)ou (2)

∇_YA

(X, ξ) = ∇_XA

(Y, ξ). (3)

Equação de Ricci:

R^⊥(X,Y)ξ=α(X,AξY)−α(AξX,Y). (4)

R EDUÇÃO DE C ODIMENSÃO

Primeiro espaço normal de uma imersão:

N₁^f(p) =

α(X,Y) :X,Y ∈T_pM TEOREMA

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→L^n+k uma imersão isométrica. Suponha que existe L⊂TM^⊥, subfibrado paralelo e não degenerado de posto l, tal que N₁^f(p)⊂L(p)para todo p∈M. Então a codimensão de f pode ser reduzida a l.

COROLÁRIO

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→S^n+k₁ uma imersão isométrica 1-regular. Suponha que N₁^f tem posto k é paralelo e não degenerado. Então f tem codimensão substancial k .

R EDUÇÃO DE C ODIMENSÃO

Primeiro espaço normal de uma imersão:

N₁^f(p) =

α(X,Y) :X,Y ∈T_pM TEOREMA

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→L^n+k uma imersão isométrica. Suponha que existe L⊂TM^⊥, subfibrado paralelo e não degenerado de posto l, tal que N₁^f(p)⊂L(p)para todo p∈M. Então a codimensão de f pode ser reduzida a l.

COROLÁRIO

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→S^n+k₁ uma imersão isométrica 1-regular. Suponha que N₁^f tem posto k é paralelo e não degenerado. Então f tem codimensão substancial k .

R EDUÇÃO DE C ODIMENSÃO

Primeiro espaço normal de uma imersão:

N₁^f(p) =

α(X,Y) :X,Y ∈T_pM TEOREMA

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→L^n+k uma imersão isométrica. Suponha que existe L⊂TM^⊥, subfibrado paralelo e não degenerado de posto l, tal que N₁^f(p)⊂L(p)para todo p∈M. Então a codimensão de f pode ser reduzida a l.

COROLÁRIO

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→S^n+k₁ uma imersão isométrica 1-regular. Suponha que N₁^f tem posto k é paralelo e não degenerado. Então f tem codimensão substancial k .

R EDUÇÃO DE C ODIMENSÃO

Primeiro espaço normal de uma imersão:

N₁^f(p) =

α(X,Y) :X,Y ∈T_pM TEOREMA

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→L^n+k uma imersão isométrica. Suponha que existe L⊂TM^⊥, subfibrado paralelo e não degenerado de posto l, tal que N₁^f(p)⊂L(p)para todo p∈M. Então a codimensão de f pode ser reduzida a l.

COROLÁRIO

Sejam Mⁿuma variedade riemanniana conexa e f :Mⁿ→S^n+k₁ uma imersão isométrica 1-regular. Suponha que N₁^f tem posto k é paralelo e não degenerado. Então f tem codimensão substancial k .

A PLICAÇÃO N ORMAL DE G AUSS

f :Mⁿ→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²uma imersão isométrica de uma variedade riemmaniana conexa e orientada.

Aaplicação normal de Gaussdef é

η:Mⁿ → Sⁿ⁺¹₁ ⊂Lⁿ⁺² p 7→ η(p)

η(p)é o transporte paralelo campo normal unitário que orienta M emHⁿ⁺¹até a origem deLⁿ⁺².

Sef tem índice de nulidade relativa constante então, ao longo das folhasLda distribuição de nulidade relativa, a aplicação normal de Gauss é paralela na conexão do fibrado normal, ou seja,

∇^⊥_Xη=0,∀X ∈TL.

A PLICAÇÃO N ORMAL DE G AUSS

f :Mⁿ→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²uma imersão isométrica de uma variedade riemmaniana conexa e orientada.

Aaplicação normal de Gaussdef é

η:Mⁿ → Sⁿ⁺¹₁ ⊂Lⁿ⁺² p 7→ η(p)

η(p)é o transporte paralelo campo normal unitário que orienta M emHⁿ⁺¹até a origem deLⁿ⁺².

Sef tem índice de nulidade relativa constante então, ao longo das folhasLda distribuição de nulidade relativa, a aplicação normal de Gauss é paralela na conexão do fibrado normal, ou seja,

∇^⊥_Xη=0,∀X ∈TL.

A PLICAÇÃO N ORMAL DE G AUSS

f :Mⁿ→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²uma imersão isométrica de uma variedade riemmaniana conexa e orientada.

Aaplicação normal de Gaussdef é

η:Mⁿ → Sⁿ⁺¹₁ ⊂Lⁿ⁺² p 7→ η(p)

η(p)é o transporte paralelo campo normal unitário que orienta M emHⁿ⁺¹até a origem deLⁿ⁺².

Sef tem índice de nulidade relativa constante então, ao longo das folhasLda distribuição de nulidade relativa, a aplicação normal de Gauss é paralela na conexão do fibrado normal, ou seja,

∇^⊥_Xη=0,∀X ∈TL.

A PLICAÇÃO N ORMAL DE G AUSS

f :Mⁿ→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²uma imersão isométrica de uma variedade riemmaniana conexa e orientada.

Aaplicação normal de Gaussdef é

η:Mⁿ → Sⁿ⁺¹₁ ⊂Lⁿ⁺² p 7→ η(p)

η(p)é o transporte paralelo campo normal unitário que orienta M emHⁿ⁺¹até a origem deLⁿ⁺².

Sef tem índice de nulidade relativa constante então, ao longo das folhasLda distribuição de nulidade relativa, a aplicação normal de Gauss é paralela na conexão do fibrado normal, ou seja,

∇^⊥_Xη=0,∀X ∈TL.

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS I

Sef :Mⁿ→Hⁿ⁺¹tem índice de nulidade relativa constante, sua aplicação normal de Gauss pode parametrizá-la (Vide [5]).

TEOREMA

Sejam V^k uma variedade riemanniana e g:V →Sⁿ⁺¹₁ uma imersão isométrica. SeΛ₁é o fibrado normal unitário de g considere a aplicaçãoΨ : Λ₁→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²dada porΨ(y,w) =w . Então

(I) Se U é aberto dos pontos regulares deΨentãoΨ(U)é uma

hipersuperfície imersa com índice de nulidade relativa constante n−k . (II) Reciprocamente, toda hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade

relativa n−k pode ser localmente parametrizada desta forma.

(III) A imersãoΨtem posto n em(y,w)se e somente se a segunda forma fundamental de g na direção de w , Bw, é não singular. Nesses pontos o operador de Weingarten deΨemHⁿ⁺¹, A=Agtem posto k e, ao longo de∆^⊥, temos A= (Bw)⁻¹.

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS I

Sef :Mⁿ→Hⁿ⁺¹tem índice de nulidade relativa constante, sua aplicação normal de Gauss pode parametrizá-la (Vide [5]).

TEOREMA

Sejam V^k uma variedade riemanniana e g:V →Sⁿ⁺¹₁ uma imersão isométrica. SeΛ₁é o fibrado normal unitário de g considere a aplicaçãoΨ : Λ₁→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²dada porΨ(y,w) =w . Então

(I) Se U é aberto dos pontos regulares deΨentãoΨ(U)é uma

hipersuperfície imersa com índice de nulidade relativa constante n−k . (II) Reciprocamente, toda hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade

relativa n−k pode ser localmente parametrizada desta forma.

(III) A imersãoΨtem posto n em(y,w)se e somente se a segunda forma fundamental de g na direção de w , Bw, é não singular. Nesses pontos o operador de Weingarten deΨemHⁿ⁺¹, A=Agtem posto k e, ao longo de∆^⊥, temos A= (Bw)⁻¹.

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS I

Sef :Mⁿ→Hⁿ⁺¹tem índice de nulidade relativa constante, sua aplicação normal de Gauss pode parametrizá-la (Vide [5]).

TEOREMA

Sejam V^k uma variedade riemanniana e g:V →Sⁿ⁺¹₁ uma imersão isométrica. SeΛ₁é o fibrado normal unitário de g considere a aplicaçãoΨ : Λ₁→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²dada porΨ(y,w) =w . Então

(I) Se U é aberto dos pontos regulares deΨentãoΨ(U)é uma

hipersuperfície imersa com índice de nulidade relativa constante n−k . (II) Reciprocamente, toda hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade

relativa n−k pode ser localmente parametrizada desta forma.

(III) A imersãoΨtem posto n em(y,w)se e somente se a segunda forma fundamental de g na direção de w , Bw, é não singular. Nesses pontos o operador de Weingarten deΨemHⁿ⁺¹, A=Agtem posto k e, ao longo de∆^⊥, temos A= (Bw)⁻¹.

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS I

Sef :Mⁿ→Hⁿ⁺¹tem índice de nulidade relativa constante, sua aplicação normal de Gauss pode parametrizá-la (Vide [5]).

TEOREMA

Sejam V^k uma variedade riemanniana e g:V →Sⁿ⁺¹₁ uma imersão isométrica. SeΛ₁é o fibrado normal unitário de g considere a aplicaçãoΨ : Λ₁→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²dada porΨ(y,w) =w . Então

(I) Se U é aberto dos pontos regulares deΨentãoΨ(U)é uma

hipersuperfície imersa com índice de nulidade relativa constante n−k . (II) Reciprocamente, toda hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade

relativa n−k pode ser localmente parametrizada desta forma.

(III) A imersãoΨtem posto n em(y,w)se e somente se a segunda forma fundamental de g na direção de w , Bw, é não singular. Nesses pontos o operador de Weingarten deΨemHⁿ⁺¹, A=Agtem posto k e, ao longo de∆^⊥, temos A= (Bw)⁻¹.

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS I

Sef :Mⁿ→Hⁿ⁺¹tem índice de nulidade relativa constante, sua aplicação normal de Gauss pode parametrizá-la (Vide [5]).

TEOREMA

Sejam V^k uma variedade riemanniana e g:V →Sⁿ⁺¹₁ uma imersão isométrica. SeΛ₁é o fibrado normal unitário de g considere a aplicaçãoΨ : Λ₁→Hⁿ⁺¹⊂Lⁿ⁺²dada porΨ(y,w) =w . Então

(I) Se U é aberto dos pontos regulares deΨentãoΨ(U)é uma

hipersuperfície imersa com índice de nulidade relativa constante n−k . (II) Reciprocamente, toda hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade

relativa n−k pode ser localmente parametrizada desta forma.

(III) A imersãoΨtem posto n em(y,w)se e somente se a segunda forma fundamental de g na direção de w , Bw, é não singular. Nesses pontos o operador de Weingarten deΨemHⁿ⁺¹, A=Agtem posto k e, ao longo de∆^⊥, temos A= (Bw)⁻¹.

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS II

Expressões para as curvaturas escalar e média de uma hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade relativa constanten−k parametrizada pelo teorema 2:

H(y,w) = TrB_w(y)

ndetBw(y) (5)

S(y,w) = −1+ 2

n(n−1)det B_w(y)−1

(6)

P ARAMETRIZAÇÃO DE G AUSS II

Expressões para as curvaturas escalar e média de uma hipersuperfície deHⁿ⁺¹com índice de nulidade relativa constanten−k parametrizada pelo teorema 2:

H(y,w) = TrB_w(y)

ndetBw(y) (5)

S(y,w) = −1+ 2

n(n−1)det B_w(y)−1

(6)

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

I

Uma subvariedadeM^m+1deHⁿéregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deHⁿ.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =exp_α(s)

m

X

i=1

tiei(s)

!

, (7)

onde

(I) α(s)é uma curva emM^m+1

(II) {ei(s)},1≤i≤msão campos ortonormais tangentes à folha totalmente geodésica que passa porα(s)satisfazendohe⁰_i,eji=0.

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

I

Uma subvariedadeM^m+1deHⁿéregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deHⁿ.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =exp_α(s)

m

X

i=1

tiei(s)

!

, (7)

onde

(I) α(s)é uma curva emM^m+1

(II) {ei(s)},1≤i≤msão campos ortonormais tangentes à folha totalmente geodésica que passa porα(s)satisfazendohe⁰_i,eji=0.

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

I

Uma subvariedadeM^m+1deHⁿéregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deHⁿ.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =exp_α(s)

m

X

i=1

tiei(s)

!

, (7)

onde

(I) α(s)é uma curva emM^m+1

(II) {ei(s)},1≤i≤msão campos ortonormais tangentes à folha totalmente geodésica que passa porα(s)satisfazendohe⁰_i,eji=0.

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

I

Uma subvariedadeM^m+1deHⁿéregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deHⁿ.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =exp_α(s)

m

X

i=1

tiei(s)

!

, (7)

onde

(I) α(s)é uma curva emM^m+1

(II) {ei(s)},1≤i≤msão campos ortonormais tangentes à folha totalmente geodésica que passa porα(s)satisfazendohe⁰_i,eji=0.

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

II

EmHⁿtemos exp_p(rv) =cosh(r)p+sinh(r)v. Portanto, (7) se escreve

X(s,t₁, . . . ,t_m) =

n

X

i=0

φ_i(t₁, . . . ,t_m)e_i(s), (8) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=−1;

(II) φ0=cosh(r)eφi(t1, . . . ,tm) = sinh(r) r ti; (III) r =

q Pt_i²; (IV) φ0−P

φ²_i =1 (elas parametrizam um aberto deH^m).

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

II

EmHⁿtemos exp_p(rv) =cosh(r)p+sinh(r)v. Portanto, (7) se escreve

X(s,t₁, . . . ,t_m) =

n

X

i=0

φ_i(t₁, . . . ,t_m)e_i(s), (8) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=−1;

(II) φ0=cosh(r)eφi(t1, . . . ,tm) = sinh(r) r ti; (III) r =

q Pt_i²; (IV) φ0−P

φ²_i =1 (elas parametrizam um aberto deH^m).

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

II

EmHⁿtemos exp_p(rv) =cosh(r)p+sinh(r)v. Portanto, (7) se escreve

X(s,t₁, . . . ,t_m) =

n

X

i=0

φ_i(t₁, . . . ,t_m)e_i(s), (8) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=−1;

(II) φ0=cosh(r)eφi(t1, . . . ,tm) = sinh(r) r ti; (III) r =

q Pt_i²; (IV) φ0−P

φ²_i =1 (elas parametrizam um aberto deH^m).

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

II

EmHⁿtemos exp_p(rv) =cosh(r)p+sinh(r)v. Portanto, (7) se escreve

X(s,t₁, . . . ,t_m) =

n

X

i=0

φ_i(t₁, . . . ,t_m)e_i(s), (8) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=−1;

(II) φ0=cosh(r)eφi(t1, . . . ,tm) = sinh(r) r ti; (III) r =

q Pt_i²; (IV) φ0−P

φ²_i =1 (elas parametrizam um aberto deH^m).

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

II

EmHⁿtemos exp_p(rv) =cosh(r)p+sinh(r)v. Portanto, (7) se escreve

X(s,t₁, . . . ,t_m) =

n

X

i=0

φ_i(t₁, . . . ,t_m)e_i(s), (8) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=−1;

(II) φ0=cosh(r)eφi(t1, . . . ,tm) = sinh(r) r ti; (III) r =

q Pt_i²; (IV) φ0−P

φ²_i =1 (elas parametrizam um aberto deH^m).

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM H

II

EmHⁿtemos exp_p(rv) =cosh(r)p+sinh(r)v. Portanto, (7) se escreve

X(s,t₁, . . . ,t_m) =

n

X

i=0

φ_i(t₁, . . . ,t_m)e_i(s), (8) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=−1;

(II) φ0=cosh(r)eφi(t1, . . . ,tm) = sinh(r) r ti; (III) r =

q Pt_i²; (IV) φ0−P

φ²_i =1 (elas parametrizam um aberto deH^m).

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

S UBVARIEDADES R EGRADAS EM S

Uma subvariedadeM^m+1deSⁿ₁éregradase admite uma folheação por subvariedadesm-dimensionais totalmente geodésicas deSⁿ₁.

Subvariedades com tipo causal não definido.

Parametrização local para subvariedades regradas:

X(s,t1, . . . ,tm) =

n

X

i=0

φ_i(t1, . . . ,tm)ei(s), (9) onde

(I) e0(s) =α(s)⇒ he0,e0i=1;

(II) M^m+1é de tipo espaço:φ0=cos(r) e φi= ^sin(r)_r ti; (III) M^m+1é de tipo tempo:φ0=sinh(r) e φi=^cosh(r)_r ti; (IV) M^m+1é de tipo luz:φ0=1 e φi =^t_rⁱ;

H IPERSUPERFÍCIES DE W EINGARTEN

Uma hipersuperfícieMⁿ⊂Hⁿ⁺¹éde Weingartense existe um função diferenciávelF :R²→R, não nula, tal queF(H,S) =0 ondeHeSsão respectivamente as curvaturas média e escalar deM.

PROPOSIÇÃO

Se Mⁿ⊂Hⁿ⁺¹é de Weingarten então dH∧dS=0.

H IPERSUPERFÍCIES DE W EINGARTEN

Uma hipersuperfícieMⁿ⊂Hⁿ⁺¹éde Weingartense existe um função diferenciávelF :R²→R, não nula, tal queF(H,S) =0 ondeHeSsão respectivamente as curvaturas média e escalar deM.

PROPOSIÇÃO

Se Mⁿ⊂Hⁿ⁺¹é de Weingarten então dH∧dS=0.

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

I

Parametrização local:

X(s,t) =exp_e0(s) te1(s)

=e0(s)cost+e1(s)sint. (10) As curvase0ee1emS³podem ser supostas satisfazendo

e⁰₀(s),e⁰₀(s)

= 1 e0(s),e1(s)

= 0 e⁰₀(s),e1(s)

= 0 Métrica:

hX_s,Xsi = cos²t+2he⁰₀,e⁰₁isintcost+he₁⁰,e⁰₁isin²t hX_t,X_ti = 1

hX_t,Xsi = 0

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

I

Parametrização local:

X(s,t) =exp_e0(s) te1(s)

=e0(s)cost+e1(s)sint. (10) As curvase0ee1emS³podem ser supostas satisfazendo

e⁰₀(s),e⁰₀(s)

= 1 e0(s),e1(s)

= 0 e⁰₀(s),e1(s)

= 0 Métrica:

hX_s,Xsi = cos²t+2he⁰₀,e⁰₁isintcost+he₁⁰,e⁰₁isin²t hX_t,X_ti = 1

hX_t,Xsi = 0

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

I

Parametrização local:

X(s,t) =exp_e0(s) te1(s)

=e0(s)cost+e1(s)sint. (10) As curvase0ee1emS³podem ser supostas satisfazendo

e⁰₀(s),e⁰₀(s)

= 1 e0(s),e1(s)

= 0 e⁰₀(s),e1(s)

= 0 Métrica:

hX_s,Xsi = cos²t+2he⁰₀,e⁰₁isintcost+he₁⁰,e⁰₁isin²t hX_t,X_ti = 1

hX_t,Xsi = 0

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

II

Referencial deR⁴adaptado:

X_t,X_s,X_t∧X_s∧X,X (11) Curvaturas:

K =1− Q²(s)

A⁴(s,t) e H= h²(s,t)

4A⁶(s,t), (12) ondeA,Qehestão definidas na tese, páginas 22 a 24.

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

II

Referencial deR⁴adaptado:

X_t,X_s,X_t∧X_s∧X,X (11) Curvaturas:

K =1− Q²(s)

A⁴(s,t) e H= h²(s,t)

4A⁶(s,t), (12) ondeA,Qehestão definidas na tese, páginas 22 a 24.

S UPERFÍCIES R EGRADAS M ÍNIMAS EM S

Equação das superfícies regradas mínimas emS³: 1

AX_ss+ At

2AX_t− As

2A²X_s =−X, (13) ondeA=hX_s,Xsi.

TEOREMA

Toda superfície mínima regrada emS³pode ser localmente parametrizada por

X(s,t) = (cosαscost,sinαscost,cosssint,sinssint), ondeαé uma constante real.

S UPERFÍCIES R EGRADAS M ÍNIMAS EM S

Equação das superfícies regradas mínimas emS³: 1

AX_ss+ At

2AX_t− As

2A²X_s =−X, (13) ondeA=hX_s,Xsi.

TEOREMA

Toda superfície mínima regrada emS³pode ser localmente parametrizada por

X(s,t) = (cosαscost,sinαscost,cosssint,sinssint), ondeαé uma constante real.

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

I

Parametrização local:

X(s,t) =exp_e0(s) te1(s)

=e0(s)cost+e1(s)sint. (14) As curvase₀ee₁de tipo espaço emS³₁podem ser supostas satisfazendo

e⁰₀(s),e⁰₀(s)

= 1 e0(s),e1(s)

= 0 e⁰₀(s),e₁(s)

= 0 Métrica:

hX_s,X_si = cos²t+2he⁰₀,e⁰₁isintcost+he₁⁰,e⁰₁isin²t hX_t,Xti = 1

hX_t,X_si = 0

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

I

Parametrização local:

X(s,t) =exp_e0(s) te1(s)

=e0(s)cost+e1(s)sint. (14) As curvase₀ee₁de tipo espaço emS³₁podem ser supostas satisfazendo

e⁰₀(s),e⁰₀(s)

= 1 e0(s),e1(s)

= 0 e⁰₀(s),e₁(s)

= 0 Métrica:

hX_s,X_si = cos²t+2he⁰₀,e⁰₁isintcost+he₁⁰,e⁰₁isin²t hX_t,Xti = 1

hX_t,X_si = 0

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

I

Parametrização local:

X(s,t) =exp_e0(s) te1(s)

=e0(s)cost+e1(s)sint. (14) As curvase₀ee₁de tipo espaço emS³₁podem ser supostas satisfazendo

e⁰₀(s),e⁰₀(s)

= 1 e0(s),e1(s)

= 0 e⁰₀(s),e₁(s)

= 0 Métrica:

hX_s,X_si = cos²t+2he⁰₀,e⁰₁isintcost+he₁⁰,e⁰₁isin²t hX_t,Xti = 1

hX_t,X_si = 0

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

II

Referencial deL⁴adaptado:

X_t,X_s,X_t∧X_s∧X,X (15) Curvaturas:

K =1+ Q²(s)

A²(s,t) e H=−h²(s,t)

4A³(s,t), (16) ondeA,Qehsão as mesmas do caso esférico

S UPERFÍCIES R EGRADAS EM S

II

Referencial deL⁴adaptado:

X_t,X_s,X_t∧X_s∧X,X (15) Curvaturas:

K =1+ Q²(s)

A²(s,t) e H=−h²(s,t)

4A³(s,t), (16) ondeA,Qehsão as mesmas do caso esférico

S UPERFÍCIES R EGRADAS M ÍNIMAS EM S

Equação das superfícies regradas mínimas emS³₁: 1

AX_ss+ A_t

2AX_t− A_s

2A²X_s =−X, (17) ondeA=hX_s,X_si.

TEOREMA

Toda superfície mínima regrada emS³₁pode ser localmente parametrizada por

X(s,t) = (sinhαssint,coshαssint,cosscost,sinscost), ondeαé uma constante real.

S UPERFÍCIES R EGRADAS M ÍNIMAS EM S

Equação das superfícies regradas mínimas emS³₁: 1

AX_ss+ A_t

2AX_t− A_s

2A²X_s =−X, (17) ondeA=hX_s,X_si.

TEOREMA

Toda superfície mínima regrada emS³₁pode ser localmente parametrizada por

X(s,t) = (sinhαssint,coshαssint,cosscost,sinscost), ondeαé uma constante real.

O BSERVAÇÕES I NICIAIS

SeMⁿé hipersuperfície regrada deHⁿ⁺¹ep∈Msatisfaz S(p)6=−1 entãoν(p) =n−2.

Para cadapdesses, existe um abertoUdeM, contendop, que pode ser parametrizado usando-se o teorema 2 por

g:V²→Sⁿ⁺¹₁ .

Essa aplicação parametriza a aplicação normal de Gauss restrita aU.

O BSERVAÇÕES I NICIAIS

SeMⁿé hipersuperfície regrada deHⁿ⁺¹ep∈Msatisfaz S(p)6=−1 entãoν(p) =n−2.

Para cadapdesses, existe um abertoUdeM, contendop, que pode ser parametrizado usando-se o teorema 2 por

g:V²→Sⁿ⁺¹₁ .

Essa aplicação parametriza a aplicação normal de Gauss restrita aU.

O BSERVAÇÕES I NICIAIS

SeMⁿé hipersuperfície regrada deHⁿ⁺¹ep∈Msatisfaz S(p)6=−1 entãoν(p) =n−2.

Para cadapdesses, existe um abertoUdeM, contendop, que pode ser parametrizado usando-se o teorema 2 por

g:V²→Sⁿ⁺¹₁ .

Essa aplicação parametriza a aplicação normal de Gauss restrita aU.

P ROPRIEDADES DA I MERSÃO g I

PROPOSIÇÃO

Sejam Mⁿ⊂Hⁿ⁺¹é uma hipersuperfície conexa, regrada e orientada com índice de nulidade relativaν =n−2e g:V²→Sⁿ⁺¹₁ a imersão riemanniana descrita acima. Então g(V)é uma superfície regrada de tipo espaço emSⁿ⁺¹₁ .

LEMA

Seja g:V²→Sⁿ⁺¹₁ uma superfície regrada tipo espaço que parametriza Mⁿ⊂Hⁿ⁺¹, uma hipersuperfície regrada e de Weingarten com índice de nulidade relativa constanteν=n−2.

EntãodimN₁^g ≡1.

P ROPRIEDADES DA I MERSÃO g I

PROPOSIÇÃO

Sejam Mⁿ⊂Hⁿ⁺¹é uma hipersuperfície conexa, regrada e orientada com índice de nulidade relativaν =n−2e g:V²→Sⁿ⁺¹₁ a imersão riemanniana descrita acima. Então g(V)é uma superfície regrada de tipo espaço emSⁿ⁺¹₁ .

LEMA

Seja g:V²→Sⁿ⁺¹₁ uma superfície regrada tipo espaço que parametriza Mⁿ⊂Hⁿ⁺¹, uma hipersuperfície regrada e de Weingarten com índice de nulidade relativa constanteν=n−2.

EntãodimN₁^g ≡1.

P ROPRIEDADES DA I MERSÃO g II

LEMA

Seja g:V²→Sⁿ⁺¹₁ uma imersão como acima. Então N₁^g(y)tem o mesmo tipo causal para todo y ∈V².

LEMA

O primeiro espaço normal da imersão g:V²→Sⁿ⁺¹₁ acima, N₁^g, define um subfibrado paralelo de TV^⊥.

P ROPRIEDADES DA I MERSÃO g II

LEMA

Seja g:V²→Sⁿ⁺¹₁ uma imersão como acima. Então N₁^g(y)tem o mesmo tipo causal para todo y ∈V².

LEMA

O primeiro espaço normal da imersão g:V²→Sⁿ⁺¹₁ acima, N₁^g, define um subfibrado paralelo de TV^⊥.

P ROPRIEDADES DA I MERSÃO g III

PROPOSIÇÃO

Seja g:V²→Sⁿ⁺¹₁ uma imersão de tipo espaço e regrada que paramentriza a aplicação normal de Gauss de uma hipersuperfície regrada e de Weingarten MⁿdeHⁿ⁺¹, com N₁^gde tipo espaço ou tempo. Então existe subvariedadeM˜³, totalmente geodésica em Sⁿ⁺¹₁ , tal que g(V)⊂M é regrada e não desenvolvível. Além disso,˜ se K e H são as curvaturas gaussiana e média de g então

4H+a²(K−1) =0, onde a∈Ré constante eH=hH,Hi.

N

DE TIPO ESPAÇO

PROPOSIÇÃO

Seja g:V²→S³uma superfície regrada conexa não desenvolvível satisfazendo4H+a²(K−1) =0. Então H =0ouH=a²/4e K =0.

Neste segundo caso a superfície está contida num produto de dois círculos.

PROPOSIÇÃO

Seja Mⁿuma hipersuperfície orientada, conexa, regrada e de Weingarten emHⁿ⁺¹com índice de nulidade relativaν=n−2. Se a imagem de sua aplicação normal de Gauss, g:V²→S³, é uma superfície mínima emS³então Mⁿé uma superfície mínima emHⁿ⁺¹.

N

DE TIPO ESPAÇO

PROPOSIÇÃO

Seja g:V²→S³uma superfície regrada conexa não desenvolvível satisfazendo4H+a²(K−1) =0. Então H =0ouH=a²/4e K =0.

Neste segundo caso a superfície está contida num produto de dois círculos.

PROPOSIÇÃO

Seja Mⁿuma hipersuperfície orientada, conexa, regrada e de Weingarten emHⁿ⁺¹com índice de nulidade relativaν=n−2. Se a imagem de sua aplicação normal de Gauss, g:V²→S³, é uma superfície mínima emS³então Mⁿé uma superfície mínima emHⁿ⁺¹.

H IPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS REGRADAS EM H

São interseção de helicóides generalizados deLⁿ⁺²(Vide [1]).

Parametrização local X(s,t₁, . . . ,t_n) =

k

X

i=1

t_ie_i(s) +

n−k

X

i=1

t_k+iV_2k+i+sbV_n+k+1ou

X(s,t₁, . . . ,t_n) =

n−k

X

i=1

t_iV_i+

k

X

i=1

tn−k+ien−k+i(s) +sbV_n+k+1,

V1, . . . ,Vn+2base ortonormal deLⁿ⁺²; Os campose_i,1≤i ≤nsão

e1(s) = cosh(a1s)V1+sinh(a1s)V2

ei(s) = cos(ais)V2i−1+sin(ais)V2i,i =2, . . . ,n ea₁, . . . ,anebsão constante reais.

H IPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS REGRADAS EM H

São interseção de helicóides generalizados deLⁿ⁺²(Vide [1]).

Parametrização local X(s,t₁, . . . ,t_n) =

k

X

i=1

t_ie_i(s) +

n−k

X

i=1

t_k+iV_2k+i+sbV_n+k+1ou

X(s,t₁, . . . ,t_n) =

n−k

X

i=1

t_iV_i+

k

X

i=1

tn−k+ien−k+i(s) +sbV_n+k+1,

V1, . . . ,Vn+2base ortonormal deLⁿ⁺²; Os campose_i,1≤i ≤nsão

e1(s) = cosh(a1s)V1+sinh(a1s)V2

ei(s) = cos(ais)V2i−1+sin(ais)V2i,i =2, . . . ,n ea₁, . . . ,anebsão constante reais.

H IPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS REGRADAS EM H

São interseção de helicóides generalizados deLⁿ⁺²(Vide [1]).

Parametrização local X(s,t₁, . . . ,t_n) =

k

X

i=1

t_ie_i(s) +

n−k

X

i=1

t_k+iV_2k+i+sbV_n+k+1ou

X(s,t₁, . . . ,t_n) =

n−k

X

i=1

t_iV_i+

k

X

i=1

tn−k+ien−k+i(s) +sbV_n+k+1,

V1, . . . ,Vn+2base ortonormal deLⁿ⁺²; Os campose_i,1≤i ≤nsão

e1(s) = cosh(a1s)V1+sinh(a1s)V2

ei(s) = cos(ais)V2i−1+sin(ais)V2i,i =2, . . . ,n ea₁, . . . ,anebsão constante reais.

H IPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS REGRADAS EM H

São interseção de helicóides generalizados deLⁿ⁺²(Vide [1]).

Parametrização local X(s,t₁, . . . ,t_n) =

k

X

i=1

t_ie_i(s) +

n−k

X

i=1

t_k+iV_2k+i+sbV_n+k+1ou

X(s,t₁, . . . ,t_n) =

n−k

X

i=1

t_iV_i+

k

X

i=1

tn−k+ien−k+i(s) +sbV_n+k+1,

V1, . . . ,Vn+2base ortonormal deLⁿ⁺²; Os campose_i,1≤i ≤nsão

e1(s) = cosh(a1s)V1+sinh(a1s)V2

ei(s) = cos(ais)V2i−1+sin(ais)V2i,i =2, . . . ,n ea₁, . . . ,anebsão constante reais.