An´alise de Dados e Simula¸c˜ao

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An´alise de Dados e Simula¸c˜ao

M´arcia D’Elia Branco

Universidade de S˜ao Paulo Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica

http:www.ime.usp.br/ mbranco

Simula¸cão de Variáveis Aleatórias Cont´ınuas.

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O m´etodo da Transformada Inversa

TeoremaSejaU ∼U_(0,1). Para qualquer fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumuladaF cont´ınua, a v.a. X definida por

X=F⁻¹(U) tem distribui¸c˜aoF.

Prova: (em aula).

Exemplo 1: F(x) =x^a , 0< x <1 ,com aum n´umero natural.

Ent˜ao

X=F⁻¹(U) =U^1/a tem distribui¸c˜aoF.

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O m´etodo da Transformada Inversa

Exemplo 2: Distribui¸c˜ao exponencial X∼Exp(λ) Sua f.d.p. ´e dada por

f(x) =λe^−λx, x >0, λ >0.

Sua f.d.acumulada ´e F(x) =

x

Z

0

λe^−λtdt= 1−e^−λx.

Portanto,

X= −ln(1−U)

λ = −lnU^∗ λ comU^∗ ∼U_(0,1).

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O m´etodo da Transformada Inversa

Exemplo 3: Simular da Poisson a partir da Exponencial N(t) n´umero de eventos at´e o instantet.

X_i tempo entre os eventos (i−1)ei.

SeN(t)é Poisson entãoX₁, X₂, . . . são ind. Exponenciais.

Fa¸cat= 1 e N(1) =max{n:Pⁿ

i=1

X_i ≤1}. Usando o exemplo anterior temos que

N(1) =max{n:

n

X

i=1

ln(U_i)≥ −λ}

N(1) =max{n:U₁×U₂× · · · ×U_n≥e^−λ}

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O m´etodo da Transformada Inversa

Exemplo 4: Distribui¸c˜ao GamaX ∼Gama(n, λ).

Sua f.d.p. ´e

λⁿ

Γ(n)xⁿ⁻¹e^−λx.

A f.d.a. da Gama n˜ao pode ser obtida analiticamente.

Sen´e um n´umero natural temos queX pode ser escrita como uma soma de exponencias.

Ent˜ao,

X=

n

X

i=1

−1

λln(U_i) =−1

λln(U₁×. . . ,×U_n).

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

Sejamf(x) uma f.d.p. de interesse eg(x) uma f.d.p. proposta.

Considere que exista uma constanteC tal que f(x)

g(x) ≤C , ∀x.

O algoritmo consiste em:

(i)Simular x^∗ da densidade g(x).

(ii) Simular um n´umero aleat´oriou.

(iii) Seu≤ _Cg(x)^f(x) ent˜ao fa¸ca x=x^∗. Caso contr´ario, volte a (i).

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

Observa¸c˜oes:

A probabilidade de aceita¸c˜ao de um particular valor x deX ´e

f(x) Cg(x) .

E importante garantir a existência da constante´ C. Pode não existir e então o método não deverá ser aplicado.

Os valores simulados usando o algoritmo formam uma amostra da distribui¸c˜ao de X (provar!).

O número de itera¸cões necessárias para a simula¸cão de uma unidade amostral é uma v.a. com distribui¸cão geométrica com médiaC (provar!) .

1

C é denominada probabilidade de aceita¸cão do algoritmo (média ).

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

Exemplo 5: Distribui¸cão Gama com parâmetro não natural X∼Gama(3/2,1).

Sua f.d.p. ´e

f(x) = 2

√πx^3/2−1e^−x , x >0.

Vamos considerar com proposta umaExp(²₃)com g(x) = 2

3e⁻^2x³ , x >0.

Note que

f(x) g(x) = 3

√πx^1/2e^−x/3. ExisteC ?

Maximizando a raz˜ao acima obtemosC= 1.257.

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

No exemplo 5, a probabilidade de aceita¸c˜ao ´e0.795e o algor´ıtmo consiste em

(i)Simular dois n´umeros aleat´orios u1 e u2. (ii) Fa¸cax^∗=−³₂ln(u₁) e α= 0.795^f(x_g(x_∗^∗⁾₎

(iii) Seu2< α fa¸cax=x^∗ e pare. Caso contr´ario, volte a(i).

O número médio de itera¸cões necessarias para obten¸cão de um valor deX é 1.257.

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

Exemplo 6: Simulando da Normal via algoritmo de rejei¸c˜ao.

ConsidereZ ∼N(0,1)com f.d.p.

f(z) = 1

√2πe^−x²^/2 SeX =|Z|(modulo) ent˜ao

f(x) = 2

√2πe^−x²^/2 , x >0.

Essa distribui¸c˜ao ´e denominada normal positiva ouhalf-normal. Se soubermos simular deX usamos o esquema abaixo para obter amostras deZ

Z =X com probabilidade 1/2 Z =−X com probabilidade 1/2

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

Usamos o algoritmo de rejei¸cão para simular deX com proposta Exponencial com média 1, então

g(x) =e^−x e

f(x) g(x) =

r2

πe^x−x²^/2. O ponto de m´aximo ´e obtido quandox= 1 e

C = f(1) g(1) =

r2e

π = 1.31.

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O método da Rejei¸cão/aceita¸cão

Algoritmo

(i) Simuleu₁ eu₂ da U_(0,1)

(ii) Calculex^∗ =−lnu1. Seu2> e⁻¹²^(x^∗⁻¹⁾² volte para (i).

Caso contr´ario, fa¸ca x=x^∗ e siga.

(iii) Simuleu₃ da U_(0,1). Se u₃ <1/2fa¸ca z=x.

Caso contr´ario, fa¸ca z=−x.

A probabilidade de aceita¸cão do algoritmo é 0.76 e o número esperado de itera¸cões é 1.31.

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O m´etodo de Box-Muller para simular da Normal

O método usa a idéia de transforma¸cão de variáveis bidimensional.

Considere duas v.a. X e Y com distribui¸cão normal padrão N(0,1)e a seguinte transforma¸cão de variáveis:

D=X²+Y² e θ=arctg Y

X

. Usando o m´etodo Jacobiano obtemos a f.d.p. de(D, θ)

f(d, θ) = 1

2e^−d/2 1

2πI_(0,2π)(θ) d >0, em queIA representa a fun¸c˜ao indicadora.

Portanto,θ tem distribui¸c˜ao Uniforme em(0,2π) e Dtem distribui¸c˜ao exponencial comλ= 1/2.

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O m´etodo de Box-Muller para simular da Normal

Lembrando queD=−2lnU₁ eθ= 2πU₂ comU1 e U2 v.a. Uniformes no(0,1).

O algoritmo consiste em

(i)Simular u₁, u₂ n´umeros aleat´orios independentes.

(ii) Calcularx=√

−2lnu₁Cos(2πu₂) ey =√

−2lnu₁Sen(2πu₂) Se desejamos simular de uma normal qualquer com médiaµ e variânciaσ² basta considerar a transforma¸cão

W =µ+σX.

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O m´etodo da Composi¸c˜ao

1. Mistura Finita

Suponha que seja poss´ıvel decompor uma f.d.a. como uma mistura finita de outras f.d.a

F(x) =

n

X

i=1

p_iF_i(x)

com Pⁿ

i=1

p_i = 1.

Podemos ent˜ao considerar o seguinte esquema de simula¸c˜ao:

(i)Ordenar os p_i´s tal que p⁽¹⁾≤p⁽²⁾≤ · · · ≤p⁽ⁿ⁾.

(ii) Simular um n´umero aleat´oriou. Seu < p⁽¹⁾ simula X deF1 e para.

Caso contr´ario, sep⁽¹⁾+· · ·+p^(j−1) ≤u < p⁽¹⁾+· · ·+p^(j) simula X deF e para.

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O m´etodo da Composi¸c˜ao

2. Mistura Infinita F(x) =

∞

Z

−∞

F_X_|Y_=y(x|y)fY(y)dy

ComfY a f.d.p. de uma v.a. Y e

F_X|Y_=y a f.d.a. condicional da v.a. X dadoY =y

O algoritmo consiste em simulary deY e depois simularx de X|Y =y.

A rela¸cão acima pode ser escrita em fun¸cão das fun¸cões densidades.

f(x) = Z∞

−∞

f_X_|Y_=y(x|y)f_Y(y)dy.