Algoritmos de Aproximação para o Problema do Caixeiro Viajante

(1)

Algoritmos de Aproximação para o Problema do Caixeiro Viajante

24 de agosto de 2004

TSP – p.1/19

(2)

Problema do Caixeiro Viajante

Dados

grafo

comprimento da aresta ( )

Circuito hamiltoniano: circuito que passa por todos os vértices

Problema (TSP): Dados e , encontrar circuito

hamiltoniano em de comprimento mínimo.

TSP – p.2/19

(3)

Problema do Caixeiro Viajante

Dados

grafo

TSP – p.2/19

(4)

Problema do Caixeiro Viajante

Dados

grafo

TSP – p.2/19

(5)

Variantes do Caixeiro Viajante

TSP métrico

grafo completo

função comprimento satisfaz

desigualdade triangular:

j i

k

TSP euclideano

Caso particular do métrico Vértices são pontos no plano

(ou num espaço euclideano qq de dimensão fixa)

é a distância euclideana entre e

TSP – p.3/19

(6)

Variantes do Caixeiro Viajante

TSP métrico

grafo completo

função comprimento satisfaz

desigualdade triangular:

j i

k

TSP euclideano

Caso particular do métrico Vértices são pontos no plano

(ou num espaço euclideano qq de dimensão fixa)

é a distância euclideana entre e

TSP – p.3/19

(7)

Resultados Conhecidos

NP-difícil mesmo se para toda aresta [GJ79]

Difícil de aproximar [SG76]

-aproximação para o caso métrico [C76]

PTAS para o caso euclideano [A98,M99]

Nesta aula:

-aproximação para o caso métrico [RSL77]

-aproximação para o caso métrico

Comentários sobre o PTAS do caso euclideano TSP é difícil de aproximar

TSP – p.4/19

(8)

Resultados Conhecidos

NP-difícil mesmo se para toda aresta [GJ79]

Difícil de aproximar [SG76]

-aproximação para o caso métrico [C76]

PTAS para o caso euclideano [A98,M99]

Nesta aula:

-aproximação para o caso métrico [RSL77]

-aproximação para o caso métrico

Comentários sobre o PTAS do caso euclideano TSP é difícil de aproximar

TSP – p.4/19

(9)

-aproximação p/o TSP Métrico

(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial)

(2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par)

(3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa

exatamente uma vez por cada aresta

(4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva

TSP – p.5/19

(10)

-aproximação p/o TSP Métrico

TSP – p.5/19

(11)

TSP – p.5/19

(22)

-Aproximação p/o TSP Métrico

Algoritmo TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis

MST

EULER

ATALHO

devolve Tempo de execução:

: o número de vértices de : o número de arestas de

TSP – p.6/19

(23)

-Aproximação p/o TSP Métrico

Algoritmo TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis

MST

EULER

ATALHO

devolve

Tempo de execução:

: o número de vértices de : o número de arestas de

TSP – p.6/19

(24)

-Aproximação p/o TSP Métrico

Delimitação inferior para opt: opt

onde é árvore geradora de comprimento mínimo Prova:

: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : aresta de

é árvore geradora opt

Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma -aproximação polinomial para o TSP métrico.

Prova: opt

TSP – p.7/19

(25)

-Aproximação p/o TSP Métrico

: circuito hamiltoniano de comprimento mínimo

: aresta de

é árvore geradora opt

Prova: opt

TSP – p.7/19

(26)

-Aproximação p/o TSP Métrico

: aresta de

é árvore geradora

opt

Prova: opt

TSP – p.7/19

(27)

-Aproximação p/o TSP Métrico

: aresta de

é árvore geradora

opt

Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma

-aproximação polinomial para o TSP métrico.

Prova: opt

TSP – p.7/19

(28)

-Aproximação p/o TSP Métrico

: aresta de

é árvore geradora

opt

Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma

-aproximação polinomial para o TSP métrico.

Prova:

opt

TSP – p.7/19

(29)

Algoritmo de Christofides

(1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no

subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)

(3) Junte os dois obtendo euleriano (4) Obtenha ciclo euleriano de

TSP – p.8/19

(30)

Algoritmo de Christofides

(1) Árvore geradora de comprimento mínimo

(2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)

TSP – p.8/19

(31)

Algoritmo de Christofides

TSP – p.8/19

(32)

Algoritmo de Christofides

(3) Junte os dois obtendo

euleriano (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no

subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)

TSP – p.8/19

(33)

Algoritmo de Christofides

euleriano (4) Obtenha ciclo euleriano de

TSP – p.8/19

(34)

Algoritmo de Christofides

TSP – p.8/19

(35)

Algoritmo de Christofides

TSP – p.8/19

(36)

Algoritmo de Christofides

Algoritmo TSPM-Christofides

MST

conjunto de vértices de grau ímpar de

EDMONDS

EULER

ATALHO

devolve

( : subgrafo de induzido por ) Tempo de execução:

( : o número de vértices de )

TSP – p.9/19

(37)

Algoritmo de Christofides

Algoritmo TSPM-Christofides

MST

conjunto de vértices de grau ímpar de

EDMONDS

EULER

ATALHO

devolve

( : subgrafo de induzido por ) Tempo de execução:

( : o número de vértices de )

TSP – p.9/19

(38)

Algoritmo de Christofides

Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em Pr: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo

: conj. vért. de grau ímpar de ( é par) : circuito induzido por em

determina dois e. p. em : e

TSP – p.10/19

(39)

Algoritmo de Christofides

Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em

Pr: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : conj. vért. de grau ímpar de ( é par)

: circuito induzido por em : circuito induzido por em

determina dois e. p. em : e

TSP – p.10/19

(40)

Algoritmo de Christofides

: circuito induzido por em determina dois e. p. em : e

TSP – p.10/19

(41)

Algoritmo de Christofides

: circuito induzido por em

determina dois e. p. em

: e

TSP – p.10/19

(42)

Algoritmo de Christofides

Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em . Prova:

(pela desigualdade triangular) opt

TSP – p.11/19

(43)

Algoritmo de Christofides

Teorema: TSPM-Christofides é uma -aproximação polinomial para o TSP métrico.

Prova:

opt opt opt

Melhor algoritmo de aproximação conhecido para o TSP métrico.

TSP – p.12/19

(44)

Algoritmo de Christofides

Prova:

opt

TSP – p.12/19

(45)

Algoritmo de Christofides

Prova:

opt

TSP – p.12/19

(46)

Algoritmo de Christofides

A análise é justa.

Christofides

vértices Comprimento:

Circuito ótimo

Comprimento:

TSP – p.13/19

(47)

Algoritmo de Christofides

Christofides

vértices Christofides

Circuito ótimo

Comprimento:

TSP – p.13/19

(48)

Algoritmo de Christofides

Christofides

vértices vértices

Comprimento:

Circuito ótimo

Comprimento:

TSP – p.13/19

(49)

Algoritmo de Christofides

Christofides

Circuito ótimo

Comprimento:

TSP – p.13/19

(50)

Algoritmo de Christofides

Christofides

Circuito ótimo

Comprimento:

TSP – p.13/19

(51)

TSP Euclideano

PTAS: esquema de aproximação polinomial

-aproximação polinomial para todo fixo

Arora’96 e Mitchel’96: PTAS para o TSP euclideano Idéia:

TSP – p.14/19

(52)

TSP Euclideano

PSfrag replacements

portal

TSP – p.14/19

(53)

TSP Euclideano

PSfrag replacements

portal

TSP – p.14/19

(54)

TSP Euclideano

PSfrag replacements portal

TSP – p.14/19

(55)

TSP Euclideano

PSfrag replacements portal

TSP – p.14/19

(56)

TSP Euclideano

Circuito que respeita portal: entra e sai dos quadrados da dissecção através de portais.

Algoritmo: Encontra um circuito hamiltoniano mais curto que respeita os portais por programação dinâmica.

Tal circuito está tão próximo quando se queira de um TSP tour.

TSP – p.15/19

(57)

Resultado de Inaproximabilidade

função polinomialmente computável Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir

-aproximação polinomial p/o TSP

, onde , então P=NP.

Problema HC: Dado , decidir se tem ou não um circuito hamiltoniano.

NP-completo [K72]

TSP – p.16/19

(58)

Resultado de Inaproximabilidade

função polinomialmente computável Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir

, onde , então P=NP.

Problema HC: Dado , decidir se tem ou não um circuito hamiltoniano.

NP-completo [K72]

TSP – p.16/19

(59)

Resultado de Inaproximabilidade

Teorema (Sahni e Gonzalez ’76): Se existir

-aproximação polinomial p/o TSP , onde , então P=NP.

Pr:

algoritmo polinomial p/o HC -aproximação polinomial p/o TSP

algoritmo polinomial p/o HC

Algoritmo

grafo completo em para cada em faça

para cada em faça

se

então devolva “Sim”

então devolva “Não”

TSP – p.17/19

(60)

Resultado de Inaproximabilidade

Pr:

Algoritmo

grafo completo em para cada em faça

para cada em faça

se

TSP – p.17/19

(61)

Resultado de Inaproximabilidade

Pr:

Algoritmo

grafo completo em

para cada em faça para cada em

faça

se

TSP – p.17/19

(62)

Resultado de Inaproximabilidade

polinomial polinomial se existe circuito hamiltoniano em ,

então opt e

opt

se não existe circuito hamiltoniano em , então

pois qq circ. hamilt. usa

(i.e., ).

TSP – p.18/19

(63)

Resultado de Inaproximabilidade

polinomial polinomial

se existe circuito hamiltoniano em , então opt e

opt

pois qq circ. hamilt. usa

(i.e., ).

TSP – p.18/19

(64)

Resultado de Inaproximabilidade

polinomial polinomial

se existe circuito hamiltoniano em , então opt e

opt

pois qq circ. hamilt. usa (i.e.,

).

TSP – p.18/19

(65)

Para completar...

Blabla

PSfrag replacements

FPTAS PO PTAS APX NPO

TSP

TSP Métrico

TSP Euclideano

TSP – p.19/19