MAE0219 - Introdu¸c˜ao `a Probabilidade e Estat´ıstica I 2o semestre de 2017 Gabarito da Lista de Exerc´ıcios 4 - No¸c˜oes de Probabilidade - CASA

MAE0219 - Introdu¸c˜ao `a Probabilidade e Estat´ıstica I 2^o semestre de 2017

Gabarito da Lista de Exerc´ıcios 4 - No¸c˜oes de Probabilidade - CASA

Exerc´ıcio 1

(a) O espa¸co amostral ´e dado por Ω ={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}.

Tal conjunto possui 3² = 9 elementos.

(b) O espa¸co amostral ´e dado por Ω ={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}. Tal conjunto possui 2² = 4 elementos.

(c) O espa¸co amostral ´e dado por Ω ={K, CK, CCK, CCCK, . . . ,}, em queCrepresenta cara e K representa coroa. Tal conjunto possui um n´umero infinito de elementos.

(d) O espa¸co amostral ´e dado por Ω ={0,1,2, . . . ,50}. Tal conjunto possui 51 elementos.

(e) O espa¸co amostral ´e dado por Ω = {V V, V R, RV, RR}, em que V representa verde e R representa rosa. Tal conjunto possui 2²= 4 elementos.

(f) O espa¸co amostral ´e dado por Ω ={MMMM, MMMF, MMFM, MFMM, FMMM, MMFF, MFMF, MFFM, FMMF, FMFM, FFMM, MFFF, FMFF, FFMF, FFFM, FFFF }. Tal conjunto possui 2⁴ = 16 elementos.

(g) O espa¸co amostral ´e dado por Ω ={(A,A), (A,C), (A, D), (A,J), (A,M), (A,R), (C,A),(C,C), (C,D), (C,J), (C,M), (C,R), (D,A),(D,C), (D,D), (D,J), (D,M), (D,R), (J,A), (J,C), (J,D), (J,J), (J,M), (J,R), (M,A), (M,C), (M,D), (M,J), (M,M), (M,R), (R,A), (R,C), (R,D), (R,J), (R,M), (R,R) }, em que A, C, D, J, M e R representam Ana, Carlos, Daniel, J´ulia, Maria e Roberto, respectivamente. Tal conjunto possui 6²= 36 elementos.

Exerc´ıcio 2

Temos que P(A) = 0,5, P(A∪B) = 0,8 e P(B) =p.

(a) Se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, ent˜ao devemos ter P(A∩B) = 0.

Dessa forma,

P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B) 0,8 = 0,5 +p⇒

p = 0,3.

(b) Se os eventos A e B forem independentes, devemos ter P(A∩B) = P(A)P(B). Assim, P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)

0,8 = 0,5 +p−0,5p⇒ 0,3 = 0,5p⇒

p = 0,6.

(c) Primeiramente vemos que

P(A∩B) = P(A) + P(B)−P(A∪B)

= 0,5 +p−0,8

= p−0,3.

Assim, notamos que p−0,3>0⇒p >0,3 e p−0,3<1⇒p <1,3⇒p <1. Agora, P(A|B) = P(A∩B)

P(B)

= p−0,3 p

= 1−0,3p⁻¹.

Da´ı, 1−0,3p⁻¹ >0⇒ p > 0,3 (j´a sabiamos) e de 1−0,3p⁻¹ <1 n˜ao obtemos nenhuma informa¸c˜ao sobrep.

Tamb´em,

P(B|A) = P(A∩B) P(A)

= p−0,3 0,5

= 2(p−0,3).

Da´ı, notamos que 2(p−0,3)> 0⇒ p > 0,3 (j´a sabiamos) e 2(p−0,3)<1 ⇒p−0,3 <

0,5⇒p <0,8.

Exerc´ıcio 3

Supondo que as preferˆencias de homens e mulheres em assistir em um cinema os filmes:

Homem-Aranha, Homem de Ferro e Capit˜ao Am´erica est˜ao representados na tabela a seguir.

Sexo/Filme Homem-Aranha Homen de Ferro Capit˜ao Am´erica Total

Homem 142 99 79 320

Mulher 101 83 136 320

Total 243 182 215 640

Sorteando-se, ao acaso, um desses cinemas, temos:

(a) A probabilidade de uma mulher ter assistido ao filme Homem-Aranha ´e 101/320 = 0,3156.

(b) A probabilidade do filme assistido ser Homem de Ferro ´e 182/640 = 0,2844.

(c) Defina os eventos A: Mulher assistir um filme e B: O filme escolhido ser Homem de Ferro.

Assim, temos P(A) = 320/640 = e P(B) = 182/640 e P(A∩B) = 83/640. Logo, a probabilidade de uma mulher ter assistido ou o filme escolhido ser Homem de Ferro ´e obtida de

P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)

= 320 + 182−83 640

= 419 640

= 0,6547.

(d) Definamos os eventos C: O filme assistido ser Capit˜ao Am´erica e D: A pessoa ser do sexo masculino. Nosso interesse ´e calcular P(C|D). Assim, temos P(D) = 320/640 e P(C∩D) = 79/640. Dessa forma,

P(C|D) = P(C∩D) P(D)

= 79/640 320/640

= 0,2469.

Exerc´ıcio 4

Definamos D: a pe¸ca ser defeituosa, R: a pe¸ca ser recuper´avel e P: a pe¸ca ser perfeita. Assim, P(D) = 0,1, e P(R) = 0,2 e P(P) = 0,7. De um grande lote, foram sorteadas trˆes pe¸cas com reposi¸c˜ao.

(a) A ´unica configura¸c˜ao poss´ıvel ´e DDD, assim, como as pe¸cas s˜ao retiradas independente- mente, temos que P(trˆes pe¸cas serem defeituosas) = (0,1)³= 0,001.

(b) Para garantir ao menos uma pe¸ca perfeita, podemos ter as seguintes configura¸c˜oes com suas respectivas probabilidades:

• todas perfeitas (PPP) com probabilidade (0,7)³ = 0,343;

• duas perfeitas e

– uma recuper´avel (PPR, PRP, RPP) com probabilidade 3×(0,7)²×0,2;

– uma defeituosa (PPD, PDP, DPP) com probabilidade 3×(0,7)²×0,1;

• uma perfeita e

– duas recuper´aveis (PRR, RPR, RRP) com probabilidade 3×0,7×(0,2)²; – duas defeituosas (PDD, DPD, DDP) com probabilidade 3×0,7×(0,1)²;

– uma recuper´avel e uma defeituosa (PRD, PDR, RPD, RDP, DRP, DPR) com probabilidade 6×0,7×(0,2)×0,1.

Logo, temos que

P(pelo menos uma ser perfeita) = (0,7)³+ (0,7)²(3×0,2 + 3×0,1) + 0,7[3×(0,2)² + 3×(0,1)²+ 6×0,2×0,1]

= 0,973.

Outra forma de resolver este problema, e com menos etapas, ´e utilizando o complementar.

Assim, o complementar de ao menos uma pe¸ca perfeita ´e nenhuma perfeita. Ent˜ao, podemos ter as seguintes configura¸c˜oes com suas respectivas probabilidades:

• todas recuper´aveis (RRR) com probabilidade (0,2)³;

• duas recuper´aveis e uma defeituosa (RRD, RDR, DRR) com probabilidade 3×(0,2)²× 0,1;

• uma recuper´avel e duas defeituosas (RDD, DRD, DDR) com probabilidade 3×(0,1)²× 0,2;

• todas defeituosas (DDD) com probabilidade (0,1)³. Portanto, obtemos

P(pelo menos uma ser perfeita) = 1−P(nenhuma perfeita)

= 1−[(0,2)³+ 3×(0,2)²×0,1 + 3×(0,1)²×0,2 + (0,1)³]

= 0,973.

(c) Para garantir uma pe¸ca recuper´avel e uma perfeita, podemos ter as seguintes configura¸c˜oes com suas respectivas probabilidades:

• uma recuper´avel e duas perfeitas (RPP,PRP,PPR) com probabilidade 3×0,2×(0,7)²;

• duas recuper´aveis e uma perfeita (RRP,RPR,PRR) com probabilidade 3×(0,2)²×0,7;

• uma recuper´avel, uma perfeita e uma defeituosa (RPD,RDP,PRD,PDR,DPR.DRP) com probabilidade 6×0,1×0,2×0,7;

Assim, temos que

P(uma ser recuper´avel e uma ser perfeita) = 3[0,2×(0,7)²+ (0,2)²×0,7]

+ 6×0,1×0,2×0,7

= 0,462.

(d) As suposi¸c˜oes utilizadas para resolver os itens anteriores ´e que as porcentagens de classifica-

¸c˜ao s˜ao iguais `as probabilidades na produ¸c˜ao. Al´em disso, se o sorteio fosse sem reposi¸c˜ao,

´

e necess´ario admitir que temos um lote suficientemente grande de forma que n˜ao haja mudan¸ca significante nas probabilidades de acordo com as retiradas. Caso contr´ario, as probabilidades citadas n˜ao poderiam ser utilizados para o caso sem reposi¸c˜ao.

Exerc´ıcio 5

Temos as seguintes probabilidades

P(A falhe) = 0,20, P(A e B falhem) = 0,15 , P(B falhe sozinho) = P(B falhe e A n˜ao falhe) = 0,15.

(a) Queremos calcular

P(A falhe|B tenha falhado) = P(A falhe e B falhe) P(B falhe)

= 0,15 P(B falhe). Assim,

P(B falhe) = P(A e B falharem) + P(A n˜ao falhar e B falhar)

= 0,15 + 0,15

= 0,30.

Logo,

P(A falhe|B tenha falhado) = 0,15 0,30

= 0,5.

(b) Queremos calcular P(A falhe sozinho) = P(A falhar e B n˜ao falhar). Veja que

P(A falhar) = P(A falhar e B falhar) + P(A falhar e B n˜ao falhar) 0,2 = 0,15 + P(A falhar e B n˜ao falhar)

P(A falhar e B n˜ao falhar) = 0,05.

Exerc´ıcio 6

Definamos os eventos A: o parafuso ser da m´aquina A, B: o parafuso ser da m´aquina B, C:

o parafuso ser da m´aquina C e D: o parafuso ser defeituoso. Logo, nosso interesse ´e calcular P(A|D), P(B|D) e P(C|D). Sabemos que

P(A|D) = P(A∩D) P(D)

= P(D|A)P(A) P(D) .

Dessa forma, notamos que P(A) = 0,25, P(B) = 0,35, P(C) = 0,40, P(D|A) = 0,05, P(D|B) = 0,04 e P(D|C) = 0,02. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total temos que

P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C)

= 0,25×0,05 + 0,35×0,04 + 0,40×0,02

= 0,0345.

Assim, a probabilidade de que o parafuso venha da m´aquina A ´e P(A|D) = P(D|A)P(A)

P(D)

= 0,05×0,25 0,0345

= 0,3623.

A probabilidade de que o parafuso venha da m´aquina B ´e P(B|D) = P(D|B)P(B)

P(D)

= 0,04×0,35 0,0345

= 0,4058.

A probabilidade de que o parafuso venha da m´aquina C ´e P(C|D) = P(D|C)P(C)

P(D)

= 0,02×0,40 0,0345

= 0,2319.