Introdu¸c˜ao `a probabilidade e estat´ıstica II

Introdu¸c˜ ao ` a probabilidade e estat´ıstica II

Testes de hip´oteses para duas m´edias populacionais

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/∼patriota

Testes de hip´ oteses para duas M´ edias populacionais

SejamX e Y duas vari´aveis de interesse. Estaremos interessados em testar se a m´edia deX ´e igual a m´edia deY.

I testar se o efeito m´edio do rem´edio proposto ´e maior do que o efeito m´edio do placebo

I testar se um determinado m´etodo de ensino ´e mais eficaz que outro.

H´a dois casos:

I as vari´aveis X e Y s˜ao dependentes (dados pareados). A mesma unidade amostral ´e medida duas vezes.

I as vari´aveis X e Y s˜ao independentes (dados n˜ao pareados).

Todas as unidades amostrais s˜ao medidas apenas uma vez.

Exemplo de dados pareados (dependentes)

Uma nutricionista propˆos um novo complemento alimentar para aumentar o rendimento de jogadores de futebol.

A vari´avel de interesse: tempo de corrida na esteira a 15km/h at´e a fadiga.

A pesquisadora selecionou 20 atletas com caracter´ısticas similares (peso, altura, idade, etc).

Na primeira semana a pesquisadora mediu o tempo de corrida sem utilizar a dieta (X), na segunda semana a pesquisadora mediu o tempo de corrida utilizando a dieta (Y) dos mesmos atletas.

Interesse: verificar se em m´edia houve um aumento no tempo m´edio na segunda semana em rela¸c˜ao a primeira. Note que as vari´aveisX eY referem-se ao mesmo atleta.

Exemplo de dados n˜ ao pareados (independentes)

Uma nutricionista propˆos um novo complemento alimentar para aumentar o rendimento de jogadores de futebol.

A vari´avel de interesse: tempo de corrida na esteira a 15km/h at´e a fadiga.

A pesquisadora selecionou 40 atletas com caracter´ısticas similares (peso, altura, idade, etc).

Dentre os 40 atletas, 20 utilizaram o novo complemento (X) e 20 n˜ao utilizaram (Y).

Interesse: verificar se em m´edia os atletas que utilizaram o novo complemente tiverem o tempo de corrida aumentado. Note que as vari´aveisX eY referem-se a atletas diferentes.

Testes para duas m´ edias populacionais – Distribui¸c˜ ao normal

SejamX ∼N(µ_x, σ²_x) e Y ∼N(µ_y, σ_y²) duas vari´aveis de interesse.

As hip´oteses de interesse (tanto para dados pareados como n˜ao-pareados) ser˜ao:

(1)

H₀ : µ_x ≤µ_y H1 : µx > µy

, (2)

H₀: µ_x ≥µ_y H1: µx < µy

e (3)

H0: µx =µy

H₁: µ_x 6=µ_y

Podemos definirµ_D =µx−µy e teremos de maneira equivalente:

(1)

H0 : µD ≤0 H₁ : µ_D >0 , (2)

H0: µD ≥0 H₁: µ_D <0

e (3)

H₀: µ_D = 0 H1: µD 6= 0

Caso pareado e n˜ ao-pareado

No caso pareado, as vari´aveis s˜ao dependentes e observamos (X₁,Y₁),(X₂,Y₂), . . . ,(X_n,Y_n)

em que (X_i,Y_i) ´e o par de vari´aveis doi-´esimo indiv´ıduo,X_i referente ao tratamento inicial eY_i referente ao tratamento final.

No caso n˜ao-pareado, as vari´aveis s˜ao independentes e observamos dois conjuntos de dados

(X₁,X₂, . . . ,X_n1),(Y₁,Y₂, . . . ,Y_n2).

o primeiro referente a um tipo de tratamento e o segundo referente a outro tipo de tratamento.

Caso pareado e n˜ ao-pareado

No caso pareado, utilizamos a m´edia das diferen¸cas D_i =X_i−Y_i para fazer o teste de hip´oteses, ou seja,

D¯par = 1 n

n

X

i=1

d_i.

Temos que ¯D_par ∼N

µ_x−µ_y,^σ_n^2D

, em queσ²_D est´a embutida as variˆancias deX,Y e a covariˆancia. A estimativa paraσ²_D ser´a a variˆancia amostral ˜S_D² (denominador (n-1))

No caso n˜ao-pareado, utilizamos a diferen¸ca das m´edias ¯X −Y¯ para fazer o teste de hip´oteses, ou seja,

D¯_npar = ¯X −Y¯. Temos que ¯D_npar ∼N

µ_x−µ_y,^σ_n^x2

1 +^σ_n^y2

2

.

Testes para duas m´ edias para o caso pareado – Distribui¸c˜ ao normal

Aqui sobH₀ (na igualdade), ¯D_par ∼N(0, σ_D²/n), assumimos que a variˆancia σ_D² ´e desconhecida (pois cont´em informa¸c˜oes da

covariˆancia que n˜ao conhecemos).

A regi˜ao de rejei¸c˜ao para cada teste ´e dada por

I Para o Teste (1): RC ={D¯_par >d_c}, com d_c =t_α q_˜

S_D² n

I Para o Teste (2): RC ={D¯par <dc}, com dc =−t_α q_˜

S_D² n I Para o Teste (3): RC ={D¯par <d1c ou ¯Dpar >d2c}, com

d_1c =−t^α

2

q_˜

S_D²

n e d_2c =t^α

2

q_˜

S_D² n .

Como anteriormente,tα e t_α/2 s˜ao os 1−α e 1−α/2 quantis, respectivamente, de uma t-Student com n-1 graus de liberdade.

Intervalo de confian¸ca para a diferen¸ca das m´ edias para o caso pareado – Distribui¸c˜ ao normal

IC(µ_x−µ_y, γ) =

D¯_par −t_α/2 s

S˜_D²

n ; ¯D_par+t_α/2 s

S˜_D² n

Lembrando que

P(−t^α

2 <T <t^α

2) =γ = 1−α

sendoT uma vari´avel com distribui¸c˜ao t-Student com n−1 graus de liberdade

Foram coletados os tempos antes a ap´os a aplica¸c˜ao do

complemento alimentar e os seguintes dados foram obtidos para 12 atletas. Sabe-se que estes tempos se distribuem conforme a distribui¸c˜ao normal. Deseja-se verificar se o complemento aumenta o desempenho dos atletas.

Ind Antes (horas) Depois (horas) di

1 2,4 3,2 - 0,8

2 2,8 3,4 -0,6

3 4,6 3,2 1,4

4 3,1 3,3 -0,2

5 3,1 3,3 -0,2

6 4,7 3,0 1,7

7 3,5 3,8 -0,3

8 1,7 3,5 -1,8

9 2,3 3,2 -0,9

10 2,6 3,9 -1,3

11 4,2 3,6 0,6

12 3,4 3,4 0,0

Observou-se ¯dpar = -0,35 e ˜S_D² = 1,07. Defina as hip´oteses e a regi˜ao de rejei¸c˜ao paraα= 0,05.

Testes para duas m´ edias para o caso n˜ ao-pareado – Distribui¸c˜ ao normal

QuandoX ∼N(µx, σ²_x) e Y ∼N(µy, σ_y²) s˜ao vari´aveis independentes temos que

D¯_npar ∼N

µ_x−µ_y,σ_x² n1

+σ_y² n2

.

Sob a hip´otese nula (na igualdade), temos que µ_D =µ_x−µ_y = 0 Temos trˆes casos:

I As variˆanciasσ²_x e σ²_y s˜ao conhecidas.

I As variˆancias s˜ao desconhecidas e iguais.

I As variˆancias s˜ao desconhecidas e diferentes.

Regi˜ oes cr´ıticas quando as variˆ ancias s˜ ao conhecidas (n˜ ao-pareado)

I Para o Teste (1): RC ={D¯_npar >d_c}, comd_c =z_α qσ²_x

n1 + ^σ_n^2y

2

I Para o Teste (2): RC ={D¯_npar <d_c}, com d_c =−z_α

qσ²_x n1 + ^σ_n^2y

2

I Para o Teste (3): RC ={D¯npar <d1c ou ¯Dnpar >d2c}, com d1c =−z^α

2

qσ²_x n1 + ^σ_n^2y

2 e d2c =z^α

2

qσ²_x n1 +^σ_n^2y

2.

Intervalo de confian¸ca para a diferen¸ca das m´ edias para o caso n˜ ao-pareado com variˆ ancias conhecidas – Distribui¸c˜ ao normal

IC(µ_x−µ_y, γ) =

D¯_npar −z^α

2

s σ_x² n1

+σ²_y n2

; ¯D_npar+z^α

2

s σ²_x n1

+σ_y² n2

Lembrando que

P(−z^α

2 <Z <z^α

2) =γ = 1−α sendoZ uma vari´avel com distribui¸c˜ao normal padr˜ao.

Uma f´abrica de embalagens para produtos qu´ımicos est´a estudando dois processos para combater a corros˜ao de suas latas especiais.

Para verificar o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados est˜ao no quadro abaixo (em porcentagem de corros˜ao eliminada).

M´etodo A M´etodo B

M´edia amostral 48 53

Variˆancia populacional 10 15

Amostra 15 12

Assuma distribui¸c˜oes normais independentes para as vari´aveis de interesse. Verifique se os efeitos m´edios dos m´etodos s˜ao diferentes considerandoα= 0,05.

Fa¸ca um intervalo de confian¸ca considerandoγ = 0,95.

Regi˜ oes cr´ıticas quando as variˆ ancias s˜ ao desconhecidas e iguais (n˜ ao-pareado)

I Para o Teste (1): RC ={D¯npar >dc}, comdc =t_α^∗ qs_p²

n1 +^s_n^p2

2

I Para o Teste (2): RC ={D¯npar <dc}, com d_c =−t_α^∗

qs_p² n1 +_n^sp2

2

I Para o Teste (3): RC ={D¯_npar <d_1c ou ¯D_npar >d_2c}, com d1c =−t^∗α

2

qs_p² n1 + ^s

p2

n2 ed2c =t^∗α

2

qs_p² n1 + ^s

p2

n2. em quet_α^∗ e t^∗α

2 s˜ao os quantis 1−α e 1−^α₂, respectivamente de uma t-Student comn^∗ =n1+n2−2 graus de liberdade e

s_p²= (n1−1)˜S_X² + (n2−1)˜S_Y²

n^∗ .

Intervalo de confian¸ca para a diferen¸ca das m´ edias para o caso n˜ ao-pareado com variˆ ancias desconhecidas e iguais – Distribui¸c˜ ao normal

IC(µ_x −µ_y, γ) =

D¯_npar −t^∗α

2

s s_p² n₁ + s_p²

n₂; ¯D_npar +t^∗α

2

s s_p² n₁ +s_p²

n₂

Lembrando que

P(−t^∗α

2 <T^∗<t^∗α

2) =γ = 1−α

sendoT^∗ uma vari´avel com distribui¸c˜ao t-Student comn^∗ graus de liberdade (n^∗=n1+n2−2).

Duas t´ecnicas de venda s˜ao aplicadas por dois grupos de

vendedores: a t´ecnica A, por 12 vendedores, e a t´ecnica B, por 15 vendedores. Espera-se que a t´ecnica B produza melhores

resultados. No final de um mˆes, obtiveram-se os resultados (em porcentagem de vendas):

T´ecnica A T´ecnica B

M´edia amostral 68 76

Variˆancia amostral 50 52

Assuma distribui¸c˜ao normal para as vari´aveis de interesse. Sabe-se, por estudos anteriores, que a variˆancia populacional das duas t´ecnicas s˜ao iguais. Conduza os testes apropriados e fa¸ca intervalos de confian¸ca para a diferen¸ca de m´edias populacionais.

Regi˜ oes cr´ıticas quando as variˆ ancias s˜ ao desconhecidas e diferentes (n˜ ao-pareado)

I Para o Teste (1): RC ={D¯_npar >d_c}, com dc =t_α^∗∗

q_˜

S_X² n1 +^S˜_n^Y2

2

I Para o Teste (2): RC ={D¯npar <dc}, com dc =−t_α^∗∗

q_˜

S_X² n1 +^S˜

2 Y

n2

I Para o Teste (3): RC ={D¯npar <d1c ou ¯Dnpar >d2c}, com d1c =−t^∗∗α

2

q_˜

S_X² n1 + ^˜S

2 Y

n2 ed2c =t^∗∗α

2

q_˜

S_X² n1 +^S˜

2 Y

n2. em que em quet_α^∗∗ et^∗∗α

2 s˜ao os quantis 1−αe 1−^α₂, respectivamente de uma t-Student com

n^∗∗= S˜_X²

n₁ + S˜_Y²

n₂

!2





 S˜_X²

n1

² n₁−1 +

S˜_Y² n2

² n₂−1







graus de liberdade.

Intervalo de confian¸ca para a diferen¸ca das m´ edias para o caso n˜ ao-pareado com variˆ ancias desconhecidas e

diferentes – Distribui¸c˜ ao normal

IC(µx−µ_y, γ) =

D¯npar−t_n^∗∗_,^α

2

s s_X² n₁ +s_Y²

n₂; ¯Dnpar+t_n^∗∗_,^α

2

s s_X² n₁ +s_Y²

n₂

Lembrando que

P(−t^∗∗α

2 <T^∗∗<t^∗∗α

2 ) =γ = 1−α

sendoT^∗∗ uma vari´avel com distribui¸c˜ao t-Student com n^∗∗ graus de liberdade, sendo

n^∗∗= _s2

X

n1 +^s_n^Y2

2

2

s2 X n1

2

n1−1 +

s2 Y n2

2

n2−1

Queremos verificar se as resistˆencias de dois tipos de vigas de a¸co, A e B, s˜ao diferentes. Aplicam-se cargas (emkN/cm²) at´e que a viga se rompa. Considere que foram testadasn₁ = 15 vigas do tipo A en₂ = 20 vigas do tipo B, obtemos os valores:

T´ecnica A T´ecnica B M´edia amostral 71,5 85,3 Variˆancia amostral 82,6 220,8

Assuma distribui¸c˜ao normal para as vari´aveis de interesse. Conduza os testes apropriados e fa¸ca intervalos de confian¸ca para a

diferen¸ca de m´edias populacionais.

Compara¸c˜ oes de m´ edias populacionais para distribui¸c˜ oes n˜ ao-normais

SejamX e Y vari´aveis aleat´orias independentes com E(X) =µ_x, VAR(X) =σ²_x,E(Y) =µy eVAR(Y) =σ_y².

Sejam (X₁, . . . ,X_n1) e (Y₁, . . . ,Y_n2) amostras deX eY, respectivamente.

Sabemos pelo teorema do limite central que X¯ −µ_x

qσ_x² n1

≈N(0,1) e Y¯ −µy

qσ²_y n2

≈N(0,1).

paran1 e n2 forem grandes.

Compara¸c˜ oes de m´ edias populacionais para distribui¸c˜ oes n˜ ao-normais

Combinando os dois resultados temos X¯ −Y¯ qσ²_x

n1 +^σ_n^2y

2

≈N(0,1)

Substituindo as variˆancias desconhecidas por estimadores consistentes, temos

X¯ −Y¯ qˆσ²_x

n1 +^σˆ_n^2y

2

≈N(0,1)

Regi˜ oes cr´ıticas aproximadas

I Para o Teste (1): RC ={D¯npar >dc}, comdc =zα

qˆσ²_x n1 + ^ˆσ_n^2y

2

I Para o Teste (2): RC ={D¯_npar <d_c}, com d_c =−z_α

qˆσ²_x n1 + ^ˆσ_n^2y

2

I Para o Teste (3): RC ={D¯_npar <d_1c ou ¯D_npar >d_2c}, com d1c =−z^α

2

qˆσ²_x n1 + ^ˆσ_n^2y

2 e d2c =z^α

2

qˆσ²_x n1 +^σˆ_n^2y

2.

Exemplo: Compara¸c˜ oes de propor¸c˜ oes

SejamX e Y vari´aveis Bernoulli independentes com P(X = 1) =px e P(Y = 1) =py.

Note queµ_x =p_x,σ_x² =p_x(1−p_x),µ_y =p_y e σ_y² =p_y(1−p_y).

Note portanto que testar as m´edias ´e equivalente a testar as propor¸c˜oes.

Utilizamos o teste para vari´aveis n˜ao-normais usando:

ˆ

σ_x²= ¯x(1−x)¯ e σˆ_y² = ¯y(1−¯y)

O n´ıvel descritivo do teste (valor-p)

O n´ıvel descritivo do teste (valor-p) ´e definido como o menor n´ıvel de significˆancia em que a hip´otese nula ´e rejeitada. ´E calculado substitiundodc pela m´edia ¯D observada.

I Para o Teste (1): α^∗ =P( ¯D >d¯ quandoµD = 0)

I Para o Teste (2): α^∗ =P( ¯D <d¯ quandoµD = 0)

I Para o Teste (3):

α^∗= 2P( ¯D <d¯ quando µD = 0) se ¯d <0 ou α^∗= 2P( ¯D >d¯ quando µ= 0) se ¯d >0.

A distribui¸c˜ao utilizada depende da situa¸c˜ao: caso pareado ou n˜ao-pareado (variˆancias conhecidas ou desconhecidas).

Testes para duas variˆ ancias populacionais

Observe que para fazer as compara¸c˜oes de duas m´edias

populacionais (no caso n˜ao pareado de variˆancias desconhecidas) precisamos saber se as variˆancias s˜ao iguais ou diferentes.

Veremos a seguir como fazer testes de hip´oteses para duas variˆancias populacionais de vari´aveis com distribui¸c˜ao normal.

Ou seja, seX ∼N(µx, σ_x²) e Y ∼N(µy, σ²_y) com (X₁,X₂, . . . ,X_n1),(Y₁,Y₂, . . . ,Y_n2)

as respectivas amostras. Queremos testar as seguintes hip´oteses H0: σ_x²=σ²_y

H₁: σ_x²6=σ²_y

Testes para duas variˆ ancias populacionais

Sejam

(X1,X2, . . . ,Xn1) e (Y1,Y2, . . . ,Yn2) as duas amostras das vari´aveis de interesse (com distribui¸c˜ao normal). Sabemos que

U₁= (n1−1)˜S_X² σ²_x ∼χ²_(n

1−1)

e

U₂= (n2−1)˜S_Y² σ_y² ∼χ²_(n

2−1)

Vimos que

U1

n1−1 U2

n2−1

∼F_{(n1−1,n2−1)}

Testes para duas variˆ ancias populacionais

Portanto,

S˜_X² S˜_Y²

σ_Y²

σ_X² ∼F_{(n1−1,n2−1)}

Sob a hip´otese nulaσ²_X =σ_Y², temos que W = S˜_X²

S˜_Y² ∼F_{(n1−1,n2−1)}

Regi˜ ao cr´ıtica para o testes de duas variˆ ancias populacionais

A regi˜ao cr´ıtica para o teste ´e dada por

RC ={W <F₁ ou W >F₂}

sendo que os valoresF₁ eF₂ s˜ao obtidos da tabela da distribui¸c˜ao F de Snedecor comn₁−1 graus de liberdade no numerador e n2−1 graus de liberdade no denominador.

P(W <F₁) =P(W >F₂) =α 2 lembrando que, sob a hip´otese nula,W ∼F_{(n1−1,n2−1)}.

Distribui¸c˜ ao F

O valorF₂ ´e obtido diretamente usandoF_{(n1−1,n2−1)} P(F_(n1−1,n₂−1) >F2) = α

2

O valorF₁ = 1/F˜₂ em que ˜F₂ ´e obtido da tabelaF_{(n2−1,n1−1)}. P(F_{(n1−1,n2−1)}<F₁) =P(F_{(n2−1,n1−1)} >F˜₂) = α

2

Exemplo

Duas t´ecnicas de venda s˜ao aplicadas por dois grupos de

vendedores: a t´ecnica A, por 12 vendedores, e a t´ecnica B, por 15 vendedores. Espera-se que a t´ecnica B produza melhores

resultados. No final de um mˆes, obtiveram-se os resultados:

T´ecnica A T´ecnica B

M´edia amostral 68 76

Variˆancia amostral 50 52 Verifique se as variˆancias populacionais s˜ao iguais a 5% de significˆancia estat´ıstica.