Carolina Blasio
Universidade Estadual de Campinas Departamento de Filosofia Campinas, Brasil
carolblasio@gmail.com Informação sobre o artigo
CDD:115
Recebido: 05.07.2016; Revisado: 02.11.2016; Aceito: 7.11.2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/0100-6045.2017.V40N2.CB
Palavras-chaves / Keywords
Lógica de Dunn-Belnap / Dunn-Belnap’s Logic Relação de consequência / Consequence relation Semânticas multivaloradas / Many-valued semantics RESUMO
O presente artigo apresenta uma semântica baseada nas atitudes cognitivas de aceitação e re-jeição por uma sociedade de agentes para lógicas inspiradas noFirst Degree Entailment(E) de Dunn e Belnap. Diferente das situações epistêmicas originalmente usadas emE, as ati-tudes cognitivas não coincidem com valores-de-verdade e parecem mais adequadas para as lógicas que pretendem considerar o conteúdo informacional de proposições “ditas verdadei-ras” tanto quanto as proposições “ditas falsas” como determinantes da noção de validade das inferências. Após analisar algumas lógicas associadas à semântica proposta, introduzimos a lógicaEBcuja relação de consequência semântica subjacente —oB-entailment— é capaz de expressar diversos tipos de raciocínio em relação às atitudes cognitivas de aceitação e rejeição. Apresentamos também um cálculo de sequentes correto e completo paraEB.
ABSTRACT
In the present work I introduce a semantics based on the cognitive attitudes of acceptation and rejection entertained by a given society of agents for logics inspired on Dunn and Belnap’s ‘First Degree Entailment’ (E). Distinctly from the original epistemic situation ofE, the cog-nitive attitudes do not coincide with truth-values and it seems more suitable for logics that intend to consider the informational content of propositions “said to be true” as well as pro-positions “said to be false” as determinants of the notion of logical validity. After analyzing some logics associated with the proposed semantics, we introduce the logicEB, whose un-derlying semantic entailment relation —theB-entailment— is able to express several kinds of reasoning towards the cognitive attitudes of acceptance and rejection. A correct and complete sequent calculus forEB
1. A lógica de Dunn-Belnap
Em meados da década de 1970, quando as pesquisas sobre inteligência artificial se consolidaram, surge a demanda de que um computador, além de ser capaz de responder questões usando raciocínio dedutivo, lidasse com seus dados mesmo que estes contivessem alguma inconsistência (explícita ou não) ou dados parciais.
A criação de tal raciocinador artificial hipotético inspirou a lógicaFirst Degree Entailmentou lógica de Dunn-BelnapE[4, 2], uma lógica relevante
na qual os clássicos princípio do terceiro excluído e princípio da explosão não são válidos.
A lógicaE, como veremos a seguir, possui uma semântica com quatro
valores-de-verdade não clássicos que permitem, de certa forma, lidar com in-consistências e parcialidades de conteúdos informacionais. Contudo, a ló-gicaE possui uma relação de consequência definida em termos da
preser-vação do conjunto de valores-de-verdade que são atribuídos aos enunciados ditos serem verdadeiros. Esta limitação, própria da estrutura da relação de consequência tarskiana, não parece ser adequada para um raciocínio que pre-tende lidar com enunciados ditos verdadeiros tão bem quanto os ditos falsos, dado que não há complementaridade entre aquilo que é dito ser verdadeiro com aquilo que é dito ser falso.
A lógica de Dunn-Belnap é dada pela estrutura:
E=hS,4i
ondeSé uma linguagem recursivamente formada por símbolos de fórmulas atômicas, pelo conectivo unárionegação(¬) e pelos conectivos lógicos biná-riosdisjunção(∨) econjunção(∧), e4é uma relação de consequência semân-tica.
A lógicaEpossui uma semântica com quatro valores estruturados em
um birreticulado conhecido comoFOUR. Um reticulado é uma estrutura
(⊓), definidos por
x⊓y=x sse x≤y,
x⊔y=x sse y≤x.
Umbirreticuladoé uma estrutura algébricaB = hB,≤t,≤i,−ti, tal que
hB,≤tiehB,≤iisão ambos reticulados, e a inversão−té uma operação
unária que satisfaz as cláusulas que seguem. Para todox, y∈B,
sex≤ty, então −ty≤t−tx,
sex≤i y, então −tx≤i−ty,
x=−t−tx.
A semântica da lógicaEé dada pelo birreticulado
FOUR=h4,≤t, ≤i,−ti,
onde4 = {f, ⊥, ⊤, t}. RepresentamosF OU Rpelo diagrama de Hasse
na Figura 1 abaixo.
t f
⊤
⊥ ≤i
≤t
Figura 1:FOUR
f :={F} seϕdito ser somente falso;
⊥:=∅ seϕnem dito ser verdadeiro e nem dito ser falso;
⊤:={F, T} seϕdito ser verdadeiro e dito ser falso;
t :={T} seϕdito ser somente verdadeiro.
Tabela 1:Valores-de-verdade em termos de situações epistêmicas.
Note que a leitura dos valores-de-verdade dada pela Tabela 1 resulta em si-tuações nas quais um dado enunciado é considerado como “nem dito ser ver-dadeiro e nem dito ser falso”, ou ainda, “dito ser verver-dadeiro e dito ser falso”. Devemos chamar atenção também para o fato de que os valores f e t não são os valores clássicosT eF.
A ordem≤tdeFOURé, assim, conhecida como “ordem lógica” porque
os elementos de4 são ordenados do “dito ser mais falso” para o “dito ser
mais verdadeiro”. A “ordem da informação”≤i, por sua vez, é geralmente
entendida como a ordem que parte da “falta de informação” para o “excesso de informação”1.
Formalmente,
x≤tyssext⊆yt eyf⊆xf,
para cadax, y ∈ 4, dadoat = {T} ∩a(a parte verdadeira dea) eaf = {F} ∩a(a parte falsa dea); e
x≤i yssex⊆y.
Uma valoraçãov4baseada emF OU Ré um homomorfismo da lingua-gemSpara os valores-de-verdade estruturados4,v4:S → 4. A semântica SEMEdeEé formada por todas as valorações baseadas emF OU R.
Usa-remos a seguinte abreviatura para a valoração de um conjunto de fórmulas
Γ∈ S,v4(Γ) ={v4(γ) :γ ∈Γ}.
O símbolo4representa a relação de consequência semântica deE,
de-finida como4 ⊆℘(S)×S, tal que, para todoα ∈Se todoΓ⊆S,
Γ4α sse para todav4 ∈SEME, ⊓tv4(Γ)≤tv4(α),
onde⊓tv4(Γ)é o ínfimo do conjunto de valores-de-verdades atribuídos às
fórmulas deΓem relação a ordem≤t. Podemos entender a definição de
va-lidade de4como: a inferênciaΓ4 αé válida se, e somente se,αé dito ser tão ou mais verdadeiro do que todos os enunciados deΓ.
Uma maneira equivalente2de se definir 4 é a partir da matriz lógica
M = h4,F,Oi, onde4é o conjunto de valores definido anteriormente, F é o conjunto de valores designados corresponde ao bifiltro (primo)3 de
FOUR, a saberF = {⊤,t}, e o conjuntoO = {⊓t,⊔t,−t}contém as
operações deF OU Rinversão, ínfimo e supremo da ordem≤t, que
corres-pondem às funções de verdade de cada conectivo da linguagemS, definidas abaixo:
v4(¬α) =−tv4(α)
v4(α∧β) =v4(α)⊓tv4(β)
v4(α∨β) =v4(α)⊔tv4(β)
A relação de consequência4associada aMé tal que para todoα∈Se todoΓ⊆S,
Γ4 αsse não existev4 ∈SEMEtal quev4(Γ)⊆ Fev4(α)∈4− F.
2A equivalência entre estas definições de relação de consequência para
Eé demonstrada em [1], Proposição 4.14.
3ObifiltrodeFOURé o subconjuntoF⊂
4, tal que para cadax, y∈4, x⊓ty∈Fssex∈Fey∈F, e
x⊓iy∈Fssex∈Fey∈F. O bifiltroFdeFOURé ditoprimose
x⊔ty∈Fssex∈Fouy∈F, e
Como toda relação de consequência tarskiana,4respeita as proprieda-des de Reflexividade, Monotonicidade e Transitividade. Sejamα, β ∈ Se
∆, Γ⊆S,
Reflexividade
• ∆∪ {α}4 α
Monotonicidade
• Se∆4 αentão∆∪Γ4 α
Transitividade
• Se∆4 αe, para todoβ ∈∆,Γ4 βentãoΓ4 α
Observe que, na relação de consequência4 associada aM, apenas os valores que possuemT, ou seja, os valores que possuem “a verdade”, são pre-servados das premissas para a conclusão. Isto evidencia também o fato de que apenas a ordem lógica≤tdetermina a relação de consequência deE.
Sustento contudo que uma lógica que pretende lidar com o conteúdo informacional dos enunciados, mesmo havendo inconsistência ou parciali-dade, não deveria eleger somente os enunciados “ditos serem verdadeiros” em detrimento dos enunciados “ditos serem falsos” como determinantes da noção de validade das inferências. A semântica deEé definida de tal forma
que os enunciados “ditos serem falsos” não são o complemento dos enunci-ados “ditos serem verdadeiros”, e ambos são igualmente importantes para o raciocínio proposto pela lógicaE. Desta maneira, a noção de validade deE
deveria também levar em consideração aquilo que é “dito ser falso”. Proponho, assim, uma leitura alternativa baseada em
2. Atitudes cognitivas
Vimos na seção anterior que a semântica da lógica de Dunn-BelnapE
identifica cada valor-de-verdade com uma situação epistêmica (cf. Tabela 1). Tal identificação gera leituras de enunciados que nem são ditos serem verda-deiros e nem são ditos serem falsos e enunciados que são, ao mesmo tempo, ditos serem verdadeiros e serem falsos, apesar da noção de validade ser defi-nida em termos da preservação daquilo que é apenas dito ser verdadeiro.
Como uma alternativa, propomos uma semântica formada por uma socie-dade de agentes que, ao invés de diretamente atribuir valores-de-versocie-dade aos enunciados, apresentam atitudes cognitivas em relação ao conteúdo informa-cional dos enunciados consultados: as atitudes de aceitação e rejeição.
EmE, a atitude cognitiva de um agente pode ser “aceitar” (Y),
“não-aceitar” ( Y ), “rejeitar” (N) ou “não-rejeitar” ( N ) o conteúdo informacional de um determinado enunciadoϕ. No caso da lógicaE, as atitudes dos agentes
são de aceitar e rejeitar, mas em outros casos, as atitudes poderiam ser votar contra, dizer que é bom, gostar, etc.
SejaSa linguagem da lógicaEe COG o conjunto de atitudes cognitivas, COG={Y, Y ,N, N }, um agentesé um homomorfismo da linguagemS
emCOG. Embora os valores-de-verdade deixam de ser objetos primitivos da semântica, eles podem ser definidos a partir da noção de atitudes cognitivas. Apresentamos abaixo a definição canônica dos valores-de-verdade a partir das atitudes cognitivas. Dado um agentes,C ∈ COGeϕ ∈ S, “Cs:ϕ” lê-se como “O agentesapresenta a atitude cognitivaCem relação aϕ”. Ao consultar um agentes∈ SOCsobre o conteúdo informacional deϕ∈S, o valor-de-verdade atribuído aϕserá:
f :se Y s:ϕeNs:ϕ
⊥:se Y s:ϕe N s:ϕ
⊤:seYs:ϕeNs:ϕ
t :seYs:ϕe N s:ϕ
Tabela 2:Valores-de-verdade em termos de atitudes cognitivas.
Ys:ϕ sse T ∈s(ϕ) sse s(ϕ)∈ {⊤,t} Y
s:ϕ sse T /∈s(ϕ) sse s(ϕ)∈ {f,⊥}
Ns:ϕ sse F ∈s(ϕ) sse s(ϕ)∈ {f,⊤}
N
s:ϕ sse F /∈s(ϕ) sse s(ϕ)∈ {⊥,t}
Tabela 3:Atitudes cognitivas em termos de valores-de-verdade
A um conteúdo informacional aceito por um agente pode ser atribuído um valor-de-verdade estruturado que contémTe a um conteúdo informa-cional rejeitado algum valor-de-verdade estruturado que contémF. A um conteúdo informacional não-aceito será atribuído um valor-de-verdade es-truturado que não contémT e a um conteúdo informacional não-rejeitado um valor-de-verdade estruturado que não contémF. Note que, em termos de valores-de-verdade, a semântica cujo objeto primitivo são atitudes cogni-tivas é em princípio não-determinística, ou seja, pode ser atribuído mais de um valor-de-verdade a um enunciado.
Dada a atitude cognitiva que um dado agentesapresenta em relação a um átomo proposicional da lógicaE, os enunciados compostos são
interpre-tados pelas seguintescláusulas recursivas. Sejaϕ, ψ∈S, 2.1 Ys:¬ϕ, seNs:ϕ
2.2 Ns:¬ϕ, seYs:ϕ
2.4 N s:¬ϕ, se Y s:ϕ
2.5 Ys:ϕ∧ψ, seYs:ϕeYs:ψ
2.6 Ns:ϕ∧ψ,seNs:ϕouNs:ψ
2.7 Y s:ϕ∧ψ, se Y s:ϕou Y s:ψ
2.8 N s:ϕ∧ψ,se N s:ϕe N s:ψ
2.9 Ys:ϕ∨ψ, seYs:ϕouYs:ψ
2.10 Ns:ϕ∨ψ,seNs:ϕeNs:ψ
2.11 Y s:ϕ∨ψ, se Y s:ϕe Y s:ψ
2.12 N s:ϕ∨ψ,se N s:ϕou N s:ψ
Note que a definição da atitude cognitiva de aceitaçãoYem termos de valores-de-verdade coincide com o bifiltroF deF OU R(cf. Figura 1). Te-mos, desta forma, queM = h4,Y,Oi. Logo, apenas a atitude cognitiva Ye seu complemento4−Y = Y definem a noção de validade deE. Seja Cs:Φ = {Cs:ϕ|para todoϕ ∈ Φ}, ondeC ∈ COGeΦ ⊆ S. A soci-edade de agentesSOCdeEé o conjunto de agentes baseados emM. Para todoα∈Se todoΓ⊆S:
Γ4 αsse não existes∈SOCtal queYs:Γe Y s:α.
Dada a relação4, dizemos queαé consequência deΓse nenhum agente da sociedade consultada aceita todas as premissas e não-aceita a conclusão.
Considerando também a atitude cognitiva de rejeição, notamos queN em termos de valores-de-verdade é o bifiltro (primo) do birreticulado
F OU R−
, formado pela ordem informacional≤ie a inversa da ordem lógica
≤−
t (cf. Figura 2).
A partir deF OU R−
podemos definir a lógicaE−
=hS,4−
i, em que a noção de validade é definida com base nas atitudes cognitivas de rejeiçãoN e, seu complemento, não-rejeição N . A sociedade de agentesSOC−
f t
⊤
⊥ ≤i
≤−
t
Figura 2: FOUR−
é o conjunto de agentes baseados na matrizM−
= h4,N,Oi. Para todo α∈Se todoΓ⊆S,
Γ4−αsse não existes∈SOC−
tal que N s:ΓeNs:α.
Dada a relação4−
, dizemos queαé consequência deΓse não existe um agente da sociedade consultada que não-rejeita todas as premissas e rejeita a conclusão.
Como forma de efetivar que o conteúdo informacional rejeitado tenha a mesma importância que o conteúdo informacional aceito em uma lógica baseada emF OU R, adotaremos uma matriz semântica alternativa criada em [8] e generalizada em [10]. A chamada matriz simétrica possui dois conjuntos de valores-de-verdade designados, que correspondem às atitudes cognitivas de aceitação e de rejeição.
Seja a matriz simétrica
M∗ =h4, Y, N, Oi,
tal que,4={f,⊥,⊤,t}, Y={⊤,t}, N={f,⊤}e O={⊓t,⊔t,−t}.
A aceitação e a rejeição do conteúdo informacional por um determinado agen-te é representado emM∗
respectivamente porYeN. Note que⊤ ∈Y∩N e ⊥ ∈ 4 −Y ∪N(cf. Figura 3), logo, é possível que o conteúdo
t f
4 ⊥
⊤
Y N
Figura 3:Matriz SimétricaM∗ .
Comparada às matrizesMeM−
, a matrizM∗
pode ser associada a no-vas definições de relações de consequência semântica, e consequentemente, a diferentes lógicas multivalentes relacionadas aF OU R, algumas das quais são apresentadas na próxima seção.
3. Como um computador poderia pensar
Dada a matrizM∗
=h4, Y, N, Oi, definimos uma lógica que possui
duas relações de consequência tarskianas. Tal lógica segue a proposta de [9, 10] chamada lógica tarskianak-dimensional. Uma lógica tarskianak -dimen-sional possuikrelações de consequência tarskianas independentes, ondek∈N ek>1. Uma relação de consequência é dita independente das demais quando ela não pode ser definida a partir de outra relação de consequência presente na lógicak-dimensional.
Neste sentido, definimos a lógica 2-dimensionalE2D associada a M∗ como:
E2D =hS,t,fi,
ondeSé a mesma linguagem deE,SOC∗
é a sociedade de agente baseado em
M∗
e as relações de consequência são definidas comot=4ef =4− . A lógicaE2D contém uma relação de consequência tarskiana que lida
aceita-ção e a rejeiaceita-ção dos enunciados.
As relações de consequência tarskianas, contudo, não são as únicas de-finições de relação de consequência que podem ser associadas à matrizM∗
. Shramko e Wansing [9, 10] notam ainda a possibilidade de definir outras re-lações de consequência para lógicas associadas a matrizes com mais de um conjunto de valores designados, como é o caso da matriz simétrica:
Aparentemente, a mera multiplicação de valores semânticos [estruturados] não apenas abre espaço para a definição de várias relações de consequência, como também permite a definição de relações semânticas que diferem em importantes aspectos da noção familiar de consequência semântica (cf. [10, p. 208], tradução livre).
Uma das definições de relação de consequência semântica que pode ser associada aM∗
é oq-entailment—qdequase—, proposto por Malinowski juntamente com aq-matriz [8]. O raciocínio dado pelo q-entailmentestá relacionado com o raciocínio por hipóteses, amplamente adotado nas ciên-cias empíricas. Um inferência doq-entailment é válida quando se todas as premissas foremnão-rejeitadas, a conclusão éaceita, e, caso a conclusão seja não-aceita, alguma das premissas deve ser rejeitada. Para todo todoΓ⊆Se
α∈S,
Γq αsse não existe um agentes∈SOC∗
tal que N s:Γe Y s:α.
Dentre as propriedades da noção tarskiana de relação de consequência, a Reflexividade não é garantida peloq-entailment, pois uma informação pode ser não-aceita e não-rejeitada pelos agentes de uma dada sociedade.
Oq-entailment associada aM∗
também não respeita a propriedade de Transitividade4. Com efeito, suponha que exista um agentesda sociedade, tal que N s:Γ,Ns:∆e Y s:α. Temos queΓ q δ, para todoδ ∈ ∆e∆ q
α. Como existe um agentesque não-rejeita o conteúdo informacional das
proposições deΓe não-aceita o conteúdo informacional deα, por definição, temos queΓ6qα.
Outra relação de consequência não-tarskiana possível de ser definida com base emM∗
é op-entailment —pdeplausible— cf. [7]. O raciocínio ex-presso pelop-entailmentpermite que haja um decréscimo de certeza a partir das premissas para a conclusão. Uma inferência na forma de ump-entailment
é válida quando, sendo as premissas aceitas, a conclusão não é rejeitada. Para todoΓ⊆Se todoα∈S,
Γpαsse não existe um agentes∈SOC∗
, tal queYs:ΓeNs:α.
Op-entailmentassociada aM∗
não respeita as propriedades de Reflexivi-dade e TransitiviReflexivi-dade. A ReflexiviReflexivi-dade falha considerando uma situação em queαé aceito e rejeitado por um agente de uma dada sociedade5.
Assuma queΓ p δpara todoδ ∈ ∆e assuma também que∆ p α.
Suponha que exista um agentes ∈ SOC∗
tal queYs:Γ, Y s:∆eNs:α. Então,Γ6p α, poissaceita o conteúdo informacional das proposições deΓ
e rejeita o conteúdo informacional das proposições deα.
Considerando as relações de consequência semânticaq- ep-entailment, definimos a lógicaE4baseada emM∗
com quatro relações de consequência semântica, de acordo com [9, 10]:
E4 =hS,t,f,q,pi.
De acordo com Shramko e Wansing ([9], p. 140) estas quatro relações de consequência podem ser representadas em um birreticulado tais como os valores-de-verdade de4. Esta estrutura de relações de consequência
semân-tica levam os autores a supor, sem entrar em muitos detalhes, que cada uma das relação de consequência parecem representar um valor-de-verdade de4.
Tal ideia, contudo, é problematizada pelos próprios autores, uma vez que as quatro relações de consequência não são independentes e podem ser
das a apenas duas, de acordo com o seguinte resultado:
Proposição3.1 ([9], pp. 137-8). Dada a matriz simétricaM∗
, se introduzir-mos em sua estrutura as quatro relações de consequência semântica definidas anteriormente, temos que,t =f eq =p. E ainda,t(ouf)6=p
(ouq).
Demonstração. O resultadot =f é demonstrado em [5, Proposição 4]. Em termos de uma sociedade de agentes, é definido para cada agentesum agentes∗
tal que N s∗
:ϕsseYs:ϕ;Ys∗
:ϕsse N s:ϕ; Y s∗
:ϕsseNs:ϕ; eNs∗
:ϕ
sse Y s:ϕ. Assuma queΓtψe considere um agentestal queNs:ψ. Então,
Y s∗
:ψ. Desta maneira, para todoγ ∈ Γ Y s∗
:γobtemos Y s∗
:Γ, e assim, Ns:Γ, desta forma,Γf ψ. A demonstração da recíproca é similar.
O resultadoq = p demonstrado em [9, Proposição 1] se verifica da seguinte maneira:
p⊆q. Suponha que∆6q α. Por definição, existe um agentestal que
Y
s:∆e N s:α. Queremos mostrar que∆6p α, isto é, que existe um agente
s′
tal queYs′
:∆eNs′
:α. Tomes′
=s∗
. Note queYs∗
:∆eNs∗
:α. Logo,
∆6p α.
q⊆p. Suponha que∆6p α. Por definição, existe um agentestal que Ys:∆eNs:α. Queremos mostrar que∆6q α, isto é, que existe um agente
s′
, tal que Y s′
:∆e N s′
:α. Tomes′
=s∗
. Note que N s∗
:∆e Y s∗
:α. Logo,
∆6qα
A definição deq(ou, igualmente dep) não coincide comt(ou, igual-mente, comf) quando estas estão associadas aM∗
, pois a primeira não é tarskiana, pois não é reflexiva nem transitiva e a última é.
Uma lógica que pretende lidar com o conteúdo informacional, mesmo havendo inconsistência ou parcialidade, não deveria eleger somente os enun-ciados “ditos serem verdadeiros” em detrimento dos enunenun-ciados “ditos serem falsos” como determinantes da noção de validade de uma inferência. Além do raciocínio que se baseia na aceitação, diferentes tipos de raciocínio podem emergir a partir de enunciados aceitos e rejeitados, como o raciocínio por hi-póteses expresso peloq-entailment, o raciocínio pragmático dop-entailment
O primeiro passo dado para definir uma lógica que lida com conteúdos informacional foi mudar algumas definições na noção de consequência. Ao invés de situações epistêmicas, que coincidem com valores-de-verdade, como objetos primitivos que definem as inferências, damos lugar às atitudes cogni-tivas de aceitação e rejeição de um dado conteúdo informacional por agentes. Seguindo este caminho, adotamos a matriz simétrica que possibilita novas ex-pressões do raciocínio lógico, incluindo aqueles que dão origem a noções de consequência não-tarskianas.
A matrizM∗
permite a definição de relações de consequência semân-tica não só em termos da preservação da aceitação ou rejeição do conteúdo informacional dos enunciados —característica das relações de consequência tarskianas—, mas também em termos da interação entre as atitudes cogniti-vas de aceitação e rejeição do conteúdo informacional dos enunciados.
Apresentamos, a seguir, uma lógica cuja relação de consequência semân-tica associada, oB-entailment, consegue efetivamente expressar os diversos tipos de raciocínio envolvendo conteúdos informacionais aceitos e rejeitados. Esta relação de consequência generaliza em uma única estrutura as relações de consequênciat,f,qep.
4. A lógicaEB
Dada a semântica baseada em uma sociedade de agentes que possuem atitudes cognitivas de aceitação ou rejeição de um dado conteúdo informaci-onal dos enunciados consultados, adotaremos uma relação de consequência semântica, chamadaB-entailment, para definir a lógicaEB. A definição de B-entailmenté capaz de cobrir todos aspectos relativos a aceitação e rejeição, incluindo, em particular, os raciocínios expressos pelas quatro noções de con-sequência já definidas anteriormente de forma a não confundirtcomf e qcomp. Chamamos a lógica associada a umB-entailmentdeB-lógica.
SejaEBaB-lógica
EB=hS,
·
·i tal queSé a mesma linguagem deEe
·
que, dado um conjunto de agentesSOC∗
baseado na matrizM∗
, para todo
Γ,∆,Φ,Ψ⊆ S,
Ψ Γ
∆
Φ sse não existes∈SOC
∗
tal queYs:Γe Y s:∆eNs:Φe N s:Ψ.
isto é, uma inferência ΨΓ ∆
Φ deE
B é válida se, não existe um agente s ∈
SOC∗
tal quesaceita todas as sentenças deΓ, não-aceita todas as senten-ças de∆, rejeita todas as sentenças deΦe não-rejeita todas as sentenças de
Ψ.
Uma inferência na forma doB-entailmenté inválida quando,
Ψ Γ×
∆
Φ sse existes∈SOC
∗
tal queYs:Γe Y s:∆eNs:Φe N s:Ψ.
OB-entailmenté capaz de expressar diferentes tipos de raciocínio em re-lação à aceitação e à rejeição tais como os dados pelas relações de consequência t,f,qep, como mostra a Tabela 4 a seguir. SejaΓ,Ψ⊆Seϕ, δ∈S,
Γtδ sse não existe um agentestal queYs:Γe Y s:δ sse Γ
δ
Ψf ϕsse não existe um agentestal que N
s:ΨeNs:ϕ sse Ψ
ϕ Ψqδ sse não existe um agentestal que N s:Ψe Y s:δ sse Ψ
δ
Γpϕ sse não existe um agentestal queYs:ΓeNs:ϕ sse Γ
ϕ
Tabela 4: Alguns tipos de raciocínio expressáveis com o uso doB-entailment.
Embora oB-entailment6não seja uma relação de consequência tarski-ana, suas duas dimensões nos permitem observar propriedades relacionadas a Reflexividade, Monotonicidade e Transitividade.
6[3] define uma relação de consequência similar aoB-entailmentdenominada
Proposição4.1. Para todo α ∈ S eΓ,∆,Φ,Ψ, Γ′
,∆′
,Φ′
,Ψ′
⊆ S, o B-entailmentrespeita as seguintes propriedades:
B-reflexividades (t) α
α
(f) α α
B-monotonicidade Se ΨΓ
∆
Φ, então
Ψ,Ψ′
Γ,Γ′
∆,∆′
Φ,Φ′
B-transitividades (t) Se α,ΨΓ
∆ Φ e Ψ Γ ∆,α
Φ , então Ψ Γ
∆
Φ
(f) Se α,ΓΨ ∆ Φ e Ψ Γ ∆
Φ,α, então
Ψ Γ
∆
Φ
Demonstração. B-reflexividade (t). Suponha queα×
α. Então existe ums∈
SOC∗
tal queYs:αe Y s:α. Isto significa ques(α) ∈Y∩ Y =∅, o que é um absurdo.
B-reflexividade (f). Suponha que α×
α. Então existe ums ∈ SOC
∗
tal que N s:αeNs:α. Isto significa ques(α) ∈ N ∩N = ∅, o que é um absurdo.
B-monotonicidade. Suponha, por contraposição, que ΨΓ′′,,ΨΓ′′′′×
∆′,∆′′
Φ′,Φ′′ .
Então, existe ums∈SOC∗
tal queYs:Γ′ ,Ys:Γ′′
, Y s:∆′
, Y s:∆′′ ,Ns:Φ′
, Ns:Φ′′
, N s:Ψ′
e N s:Ψ′′
. Note quesé tal queYs:Γ′ , Y s:∆′
,Ns:Φ′
e N s:Ψ′ . Logo,ΨΓ′′×
∆
′
Φ′.
B-transitividade (t). Sejaα,ΨΓ ∆ Φ e Ψ Γ ∆,α
Φ . Então, não existe um agente s ∈ SOC∗
tal queYs:Γ,Ys:α, Y s:∆,Ns:Φ, N s:Ψ. Também não existe
um agentes ∈ SOC∗
tal queYs:Γ, Y s:∆, Y s:α,Ns:Φ, N s:Ψ. Logo,
temos que não hás ∈ SOC∗
, tal queYs:Γ, Y s:∆,Ns:Φ, N s:Ψ, e desta maneira ΨΓ
∆
Φ.
Os dois aspectos da Reflexividade válidos emEBcorrespondem às
for-mas de raciocínio das relações de consequência tarskianatef. Por outro lado há outras formas não válidas doB-entailmentque expressam outros as-pectos da Reflexividade comoα
αe α α.
Proposição4.2. 1. α×
α
2. α× α
Demonstração. 1.Suponha ques(α) =⊤. Então, existes∈SOC∗ tal que
Y
s:αe N s:α. Logo,α×
α.
2. Suponha, agora ques(α) = ⊥. Então, existes ∈ SOC∗ tal que Ys:αeNs:α. Logo,α×
α.
Os aspectos da Reflexividade não válidos coincidem com as formas do qe dopem que a Reflexividade também não é valida quando associadas à matrizBE. Além disso, quandoα
αé válido, a semântica “perde” o valor-de-verdade⊤e quandoα
αé válido, a semântica “perde” o valor-de-verdade ⊥.
Vejamos agora alguns exemplos de inferências válidas e inválidas deE
comparando-os comEB.
Introdução da Conjunção: α, β 4 α∧β
Neste caso, há oito maneiras de expressar a introdução da conjunção usando oB-entailment, mas somente α, β
α∧β e α, β
α∧β são váli-das. Estas inferências expressam, respectivamente, raciocínios das rela-ções de consequência padrãotef(cf. Tabela 4).
Não são válidas emEB, por exemplo, as seguintes formas:
α, β
α∧β
. Considere um agentes′
∈ SOC∗
tal que Y s′
:α, N s′
:αe
N
s′
:β(isto é,s′
(α) = ⊤es′
(β) ∈ {⊤,t}). A inferência é inválida pois N s′
:αe N s′
:βe Y s′
:α∧β(pela cláusula recursiva 2.7).
α β
α∧β
. Considere um agentes′′
∈ SOC∗
tal que Y s′′
:αe N s′′
:α
(isto é,s′′
(α) =⊥) eYs′′
:β(isto és′′
(β) ∈ {⊤,t}). A inferência é inválida poisYs′′
:β, N s′′
:αe Y s′′
Contramodelos para α, β×
α∧β, α β×
α∧β, β α×
α∧β e β α×
α∧β
podem ser definidos de forma similar.
Princípio de explosão: α∧ ¬α64β
O princípio de explosão é inválido em qualquer forma doB-entailment:
α∧¬α×
β
, α∧¬α ×
β, α∧¬α
×
β
e α∧¬α×
β. Mostraremos um
contramo-delo para α∧¬α
β
. Considere um agentes, tal queYs:α,Ns:α(isto é,s(α) =⊤) e Y s:β. Pela cláusula 2.1,Ys:αeYs:¬αe pela cláusula 2.5,Ys:α∧ ¬α. Assim, existe um agentes, tal que,Ys:α∧ ¬αe
Y
s:β. Logo,α∧¬α×
β
. Note que o princípio de explosão ser inválido tem a ver com o fato deEBser uma lógica relevante.
Princípio do terceiro excluído: β 64¬α∨α
O princípio do terceiro excluído também é sempre inválido na forma doB-entailment: β×
¬α∨α
,β× ¬α∨α,
β
×
¬α∨α e β×
¬α∨α. Mostrare-mos um contramodelo para β
¬α∨α
. Considere um agentes, tal que
Y
s:αe N s:α(ou seja,s(α) =⊥). Pela cláusula 2.3, Y s:αe Y s:¬α, e pela cláusula 2.6 Y s:¬α∨α. Assim, existe um agentes, tal que,
N
s:βe Y s:¬α∨α. Logo, β×
¬α∨α
. Note que o princípio do ter-ceiro excluído ser inválido tem a ver com o fato deEBser uma lógica
relevante.
A seguir propomos um cálculo de sequentes e demonstraremos os resul-tados de caracterização deEB.
Cálculo de sequentes paraEB .
DenominamosB-sequentes as expressões da forma ΨΓ ∆
Φ em que ·
· é um símbolo de sequente com quatro posições eΓ,Ψ,∆,Φ ⊆ Ssão con-juntos finitos de fórmulas da linguagem. SejaΛ = {λ1, ..., λn}, n ∈ Ne
W
Cs:Λa abreviatura para “o agentesapresenta a atitude cognitivaCem re-lação aλ1ou ... ou aλn”. Para todos∈SOC∗, o significado doB-sequente
Ψ Γ
∆
Φ é dado por:
_
Para toda fórmula atômicaα ∈ Se quaisquer conjuntos finitos de fór-mulasΓ,∆,Φ,Ψ,Γ′
,∆′
,Φ′
,Ψ′
⊆ S, o sistema deB-sequentes paraEB
possui as seguintes regras:
Regras Estruturais:
B-sequentes iniciais
α
α
int α α inf B-enfraquecimento Ψ Γ ∆ Φ
Ψ′,Ψ
Γ′,Γ
∆,∆
′
Φ,Φ′
weak B-cortes Ψ α,Γ ∆
Φ ΨΓ
∆ ,α Φ Ψ Γ ∆ Φ cutt α,Ψ Γ ∆
Φ ΨΓ
∆ Φ,α Ψ Γ ∆ Φ cutf
Regras Lógicas: Conjunção Ψ Γ ∆ Φ,α Ψ Γ ∆ Φ,β Ψ Γ ∆
Φ,α∧β
⇒f ∧
Ψ Γ
∆,α
Φ ΨΓ
∆,β Φ Ψ Γ ∆,α ∧β Φ
⇒t∧
α,β,Ψ Γ
∆
Φ
α∧β,Ψ Γ
∆
Φ
∧ ⇒f
Ψ α,β,Γ ∆ Φ Ψ
α∧β,Γ
∆
Φ
Disjunção
Ψ
α,Γ
∆
Φ β,ΨΓ
∆
Φ Ψ
α∨β,Γ ∆
Φ
∨ ⇒t
α,Ψ Γ ∆ Φ β,Ψ Γ ∆ Φ
α∨β,Ψ
Γ
∆
Φ
∨ ⇒f
Ψ Γ ∆,α,β Φ Ψ Γ ∆,α ∨β Φ
⇒t ∨
Ψ Γ ∆ Φ,α,β Ψ Γ ∆
Φ,α∨β
⇒f ∨
Negação Ψ Γ ∆,α Φ
¬α,Ψ
Γ
∆
Φ
¬ ⇒f
Ψ Γ ∆ Φ,α Ψ
¬α,Γ ∆
Φ
¬ ⇒t
α,Ψ Γ ∆ Φ Ψ Γ ∆, ¬α Φ
⇒t¬
Ψ α,Γ ∆ Φ Ψ Γ ∆
Φ,¬α
⇒f ¬
Tomemos dois exemplos de derivações usando o sistema deB-sequentes deEB,
¬(α∨β)
¬α∧¬β
e(α∧β)∨γ
(α∨γ)∧(β∨γ):
α α inf α α,β weak ¬α α,β
⇒t¬
β β inf β α,β weak ¬β α,β
⇒t¬
¬α∧¬β α,β
⇒t∧
¬α∧¬β α∨β
⇒f ∨
¬(α∨β)
α α inf α,β α weak
α∧β
α
∧ ⇒f
γ
γ
inf
(α∧β)∨γ
α,γ
∨ ⇒f
(α∧β)∨γ
α∨γ ⇒f∨
β β inf α,β β weak
α∧β
β
∧ ⇒f
γ
γ
inf
(α∧β)∨γ
β,γ
∨ ⇒f
(α∧β)∨γ
β∨γ ⇒f∨
(α∧β)∨γ
(α∨γ)∧(β∨γ)
⇒t∧
Escrevemos ∗ Ψ Γ Φ
∆ , para denotar que oB-sequenteΨΓ
Φ
∆tem uma
deri-vação usando as regras apresentadas.
Teorema4.1 (Correção). TodoB-sequente derivável é válido emEB. Demonstração. Indução no número de regras deB-sequentes aplicadas.
Caso Base: OB-sequente é da forma α α int ouα α inf . Por um lado,α
αsignifica que não existe um agentes∈SOCtal queYs:α e Y s:α. Logo,α
αé válido. Por outro lado,α
αsignifica que não existe um agentes∈SOCtal que N s:αeNs:α. Logo, α
α é válido.
Hipótese Indutiva: Para todoB-sequente ∗
Ψ Γ
∆
Φ cuja derivação tenha
atékaplicações de regras, temos queΨΓ ∆
Φ é válido.
Passo indutivo: Suponha umB-sequente derivado pork+ 1aplicações de regras.
Caso [weak]. OB-sequente é da forma ∗ Ψ Γ ∆ Φ
Ψ′,Ψ
Γ′,Γ
∆,∆
′
Φ,Φ′
weak
. Por hipótese indutivaΨΓ
∆
Φ é válido e, porB-monotonicidade,Ψ ′,Ψ
Γ′,Γ
∆,∆
Φ,Φ′ é válido.
Caso [cutt]. OB-sequente é da forma ∗′ Ψ α,Γ ∆ Φ ∗′′ Ψ Γ ∆,α Φ Ψ Γ ∆ Φ cutt
. Por hipótese indutiva α,ΨΓ
∆ Φ e Ψ Γ ∆,α
Ψ Γ
∆
Φ é válido. O caso [cutf] é similar.
Caso[⇒t ∧] OB-sequente é da forma ∗′ Ψ Γ ∆,α Φ ∗′′ Ψ Γ ∆,β Φ Ψ Γ ∆,α ∧β Φ
⇒t∧
. Dada a hipótese indutiva temos queΨΓ
∆,α
Φ eΨΓ
∆,β
Φ são válidos, o que significa que
não existe um agentestal que Y s:αe Y s:β, desta forma, pela cláusula recur-siva 2.7, não existe um agentestal que Y s:α∧β. Logo,ΨΓ
∆
,α∧β
Φ é válido.
Caso[⇒f ∨] OB-sequente é da forma ∗ Ψ Γ ∆ Φ,α,β Ψ Γ ∆
Φ,α∨β
⇒f∨
. Dada a hipótese in-dutiva temos queΨΓ
∆
Φ,α,β é válido, o que significa que não existe um agente
stal queNs:αouNs:β, desta forma, pela cláusula recursiva 2.10, não existe um agentestal queNs:α∨β. Logo,ΨΓ
∆
Φ,α∨β é válido.
Caso[¬ ⇒t] OB-sequente é da forma ∗ Ψ Γ ∆ Φ,α Ψ
¬α,Γ
∆
Φ
¬ ⇒t
. Dada a hipótese indutiva temos que ΨΓ
∆
Φ,α é válido. Isto significa que não existe um agente
stal queNs:α, desta forma, pela cláusula recursiva 2.1, não existe um agente
stal queYs:¬α. Logo, ¬α,ΨΓ ∆
Φ é válido.
Os outros casos são demonstrados de forma similar.
Dada uma derivação arbitrária deB-sequentes ∗
Ψ Γ
∆
Φ. Chamamos deB -sequente anteriortodosB-sequentes da derivação que geram ΨΓ
∆
Φ.
Para o resultado de completude demonstraremos primeiro que se dado umB-sequente é válido, todos osB-sequentes anteriores de derivação são válidos.
Teorema4.2 (Teorema de inversão). SejaIuma regra de derivação distinta do B-enfraquecimento. Se a conclusão da aplicação de I é umB-sequente válido, então todos osB-sequentes anteriores à aplicação deIsão válidos.
Caso Base: OB-sequente ΨΓ ∆
Φ é derivado das regrasint ouinf, logo
não háB-sequentes anteriores a ΨΓ ∆
Φ pela aplicação de uma regra que não
seja oB-enfraquecimento.
Hipótese Indutiva: Todos osB-sequentes anteriores de um dadoB -sequente válidoΨΓ
∆
Φ, cuja derivação tenha atékaplicações de regras exceto
o enfraquecimento, são válidos. Passo indutivo: Seja ΨΓ
∆
Φ umB-sequente válido cuja derivação tenha k+ 1aplicações de regras exceto oB-enfraquecimento.
Caso [cutt]. OB-sequente válido possui uma derivação da forma ∗′ Ψ α,Γ ∆ Φ ∗′′ Ψ Γ ∆ ,α Φ Ψ Γ ∆ Φ cutt
. ComoΨΓ ∆
Φ é válido, não existe um agentestal que
Ys:Γe Y s:∆eNs:Φe N s:Ψ. PorB-monotonicidade, temos que não existe um agentestal queYs:α,Γe Y s:∆eNs:Φe N s:Ψ. Da mesma forma, não existe um agentestal queYs:Γe Y s:∆, αeNs:Φe N s:Ψ. Logo, α,ΨΓ
∆ Φ e Ψ Γ ∆,α
Φ são válidos e, por hipótese indutiva, todos seus osB-sequentes
ante-riores são válidos. O caso [cutf] é similar.
Caso[⇒t∧] OB-sequente válido possui uma derivação da forma ∗′ Ψ Γ ∆,α Φ ∗′′ Ψ Γ ∆,β Φ Ψ Γ ∆
,α∧β
Φ
⇒t∧
. Dado queΨΓ ∆
,α∧β
Φ é válido, não existe um agente stal queYs:Γe Y s:∆, α∧βeNs:Φe N s:Ψ. Pela cláusula recursiva 2.7, temos que não existe um agentestal que Y s:α∧βuma vez que não existe um agentestal que Y s:αe Y s:β. Desta forma, não existe um agentes, tal queYs:Γe Y s:∆, αeNs:Φe N s:Ψ, nem existe um agentestal queYs:Γe
Y
s:∆, βeNs:Φe N s:Ψ. Logo,ΨΓ ∆,α
Φ e ΨΓ
∆,β
Φ são válidos e, por hipótese
indutiva, todos seus osB-sequentes anteriores são válidos. Caso[⇒f∨] OB-sequente válido possui uma derivação da forma
∗ Ψ Γ ∆ Φ,α,β Ψ Γ ∆
Φ,α∨β
⇒f∨
. Dado que ΨΓ ∆
existe um agentestal queNs:α∨βseNs:αouNs:β, logoΨΓ ∆
Φ,α,βé válido,
e por hipótese indutiva todos seus sequentes anteriores são válidos. Caso[¬ ⇒t] OB-sequente válido possui uma derivação da forma
∗
Ψ Γ
∆
Φ,α
Ψ
¬α,Γ ∆
Φ
¬ ⇒t
. Dado que¬α,ΨΓ ∆
Φ é válido, não existe um agentes, tal que
Ys:¬α,Γe Y s:∆eNs:Φe N s:Ψ. Pela cláusula recursiva 2.1, não existe um
stal queYs:¬αseNs:α. Desta formaΨΓ ∆
Φ,αé válido.
Os outros casos possuem demonstrações similares.
Teorema4.3 (Completude). SeΨΓ ∆
Φ é umB-sequente válido emEB, então existe uma derivação de ΨΓ
∆
Φ.
Demonstração. Indução no número de conectivos doB-sequenteΨΓ ∆
Φ.
Caso Base:ΨΓ ∆
Φ não possui conectivos lógicos. Neste caso, todas
fórmu-las são variáveis proposicionais. Dado que ΨΓ ∆
Φ é válido, deve haver alguma
variável proposicionalαtal queα∈Γ∩∆, (ouα∈Φ∩Ψ). Assim,ΨΓ ∆
Φ
pode ser derivado por α α
int
(ou α
α
inf
) e, eventualmente, aplicações da regra deB-enfraquecimento.
Hipótese Indutiva: SejaΨΓ ∆
Φ umB-sequente válido que possui atém∈
Nocorrências de conectivos lógicos. Então, existe uma *-derivação de Ψ
Γ
∆
Φ
livre de regras deB-cortes.
O passo indutivo,m+ 1, é obtido por casos de acordo com o conectivo mais externo das fórmulas doB-sequente.
Primeiro, suponha que existe uma fórmula da forma¬α ∈ Γ. SejaΓ′ o conjunto de fórmulas obtido deΓao remover todas ocorrências de¬α,
podemos derivarΨΓ ∆
Φ por:
∗
Ψ
Γ′
∆
Φ,α
Ψ
¬α,Γ′ Φ
∆
¬f ⇒
Ψ Γ
∆
Φ , onde a linha dupla indica uma
Pelo teorema de inversãoΓΨ′ ∆
Φ,αé válido, e, como este possui no máximo
mconectivos lógicos, pela hipótese indutiva implica que existe uma derivação sem o uso de regras deB-cortes. Com a aplicação da regra [¬ ⇒f], temos
Ψ
¬α,Γ′ Φ
∆cuja derivação é livre de regras do corte. As demonstrações para os
casos em que uma fórmula da forma¬αocorrem em∆,ΦeΨsão similares a este primeiro caso.
Em segundo lugar, considere uma fórmula da formaα ∧β ∈ Γ. Seja
Γ′
o conjunto de fórmulas obtido deΓao remover todas ocorrências deα∧
β. Podemos derivarΨΓ ∆
Φ por:
∗
Ψ
α,β,Γ′ ∆
Φ Ψ
α∧β,Γ′ ∆
Φ
∧ ⇒t
Ψ Γ
∆
Φ . Pelo teorema de inversão
Ψ
α,β,Γ′ ∆
Φ é válido e como possui no máximomconectivos lógicos, pela
hi-pótese indutiva, existe uma derivação livre deB-cortes. Com a aplicação da regra [∧ ⇒t], temos α∧Ψβ,Γ
∆
Φ. As demonstrações para os casos da forma α∧β ∈Ψ,α∨β ∈Φeα∨β∈∆são similares a este segundo caso.
Em terceiro lugar, considere uma fórmula da formaα∨β ∈Γ. SejaΓ′ o conjunto de fórmulas obtido deΓao remover todas ocorrências deα∨β,
po-demos inferirΨΓ ∆
Φ por:
∗′
Ψ
α,Γ′ ∆
Φ
∗′′
Ψ
β,Γ′ ∆
Φ Ψ
α∨β,Γ′ ∆
Φ
∨ ⇒t
Ψ Γ
∆
Φ . Pelo teorema de inversão
Ψ
α,Γ′ ∆
Φ eβ,ΨΓ′
∆
Φ são válidos e como a soma de seus conectivos é menor que m, pela hipótese de indução, existe uma derivação livre deB-cortes. Com a aplicação da regra [∨ ⇒t], temosα∨Ψβ,Γ
∆
Φ cuja derivação é livre de regras de B-cortes. As demonstrações para os casos da formaα∨β∈Ψ,α∧β ∈Φ
eα∧β ∈∆são similares a este terceiro caso.
A lógicaEBinspirada noFirst Degree Entailmentpossui associada um
EB, definimos uma lógica que expressa as diferentes formas de raciocínio em
termos da aceitação (ou não) e rejeição (ou não) dos enunciados, sem que a verdade seja, de alguma forma, privilegiada sobre a falsidade em suas inferên-cias. Este privilégio ocorre na lógica original de Dunn-BelnapE, cuja relação
de consequência tarskiana é definida apenas em termos da preservação dos valores-de-verdade que contêm a verdade. Acreditamos, com isto, que esta nova definição de relação de consequência seja mais adequada para um for-malismo que pretende lidar com conteúdos informacionais inconsistentes e parciais.
Referências
[1] Arieli, O.; Avron, A. “The value of the four values”,Artificial Intelli-gence, v. 102, n. 1, p. 97–141, 1998.
[2] Belnap, N. “How a computer should think”, In: RYLE, G. (Ed.). Con-temporary Aspects of Philosophy. Stockfield: Oriel Press, 1977. p. 30– 56.
[3] Bochman, A. “Biconsequence relations: A four-valued formalism of re-asoning with inconsistency and incompleteness”,Notre Dame Journal of Formal Logic, v. 39, p. 131–143, 1998.
[4] Dunn, J. M. “Intuitive semantics for first-degree entailment and ‘cou-pled trees’ ”,Philosophical Studies, v. 29, p. 149–168, 1976.
[5] Dunn, J. M. “Partiality and its dual”,Studia Logica, 66(1): 5–40, 2000.
[6] Fitting, M. “Bilattices are nice things”, In: Bolander, T.; Hendricks, V.; Pedersen, S. A. (Ed.).Self-Reference. Coli Publications, 2006.
[7] Frankowski, S. “Formalization of a plausible inference”,Bulletin of the Section of Logic, v. 33, p. 41–52, 2004.
[9] Shramko, Y.; Wansing, H. “Entailment relations and/as truth values”,
Bulletin of the Section of Logic, v. 36, p. 131–143, 2007.