Revisao matematica

(1)

OSVALDO DOLCE

DAVID DEGENSZAJN

ROBERTO PÉRIGO

MATEMÁTICA

(2)

Seleção de exercícios de vestibulares

1

Conjuntos e conjuntos numéricos ... 1

Respostas ... 5

2

Funções ... 6

Respostas ... 18

3

Progressões ... 19

Respostas ... 24

4

Matemática comercial e financeira ... 25

Respostas ... 32

5

Trigonometria ... 33

Respostas ... 40

6

Matrizes, determinantes e sistemas lineares ... 41

Respostas ... 45

7

Geometria plana ... 46

Respostas ... 54

8

Geometria espacial ... 55

Respostas ... 64

9

Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton ... 65

Respostas ... 72

10

Geometria analítica ... 73

Respostas ... 81

11

Números complexos, polinômios e equações algébricas ... 82

Respostas ... 85

12

Estatística... 86

Respostas ... 92

Coletânea de testes do ENEm

... 93

(3)

Conjuntos e conjuntos numéricos

1.

(Fatec-SP) O número inteiro N 5 1615_{1 2}56_{é divisível} por: a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17

2.

(Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num do-mingo. Três mil dias após essa data, cairá:

a) Numa quinta-feira. b) Numa sexta-feira. c) Num sábado. d) Num domingo. e) Numa segunda-feira.

3.

(U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acen-dem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segun-dos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? Assinale no cartão de respostas o número da alternativa que contém a resposta que você calcular como correta.

01) Oito 02) Dez 04) Doze 08) Quatorze

4.

(U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A  B) 5 8, assinale o que for correto.

01) n(A – B) 5 12 02) n(B) 5 23 04) n(A  B) 5 35

08) n(A  B) – n(A  B) 5 27 16) n(A) – n(B) 5 n(A – B)

5.

(U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto. (Indique a soma dos números obtidos.)

01) O número real representado por 0,5222... é um número racional.

02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional.

04) Se m e n são números irracionais então m ? n pode ser racional.

08) O número real

_√

3 pode ser escrito sob a forma a

b, onde a e b são inteiros e b  0.

16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.

6.

(UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891),

“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”.

Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemá-tico, uma das grandes invenções humanas.

Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:

a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.

d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.

e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

7.

(UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num certo instante, para dois relógios, A e B, que só indi-cam horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos:

“Nessas condições, a dedução lógica é que a defa-sagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel.

“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim.

“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio.

(4)

Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das afirmativas a seguir é verdadeira.

I – Só Manuel está certo II – Só Joaquim está certo III – Só Antônio está certo IV – Os três estão certos V – Os três estão errados

VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo.

8.

(FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respec-tivamente, dos dígitos de um número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x 5 7 e y 5 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N 5 x 1 y, o dígito da unidade de N é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9

9.

(PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais:

DÓ rÉ mi Fá SoL Lá Si DÓ 1 8 9 64 81 3 4 2 3 16 27 128 243 1 2

Para encontrarmos o número 16

27 (relativo à nota LÁ), multiplicamos 2

3 (o correspondente da nota SOL) por 8

9.

Assim, para obtermos 3

4 (relativo à nota FÁ), devemos multiplicar 64

81 (da nota MI) por: a) 8 9 b) 9 8 c) 243 256 d) 256 243 e) 192 324

10.

(ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:

a) 180 d) 165

b) 140 e) 127

c) 210

11.

(Cefet-PR) Se a, b e c são números naturais tais que a – b 5 c, então podemos afirmar que a 1 b 1 c é igual a:

a) 2a d) 5a

b) 3a e) 6a

c) 4a

12.

(Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão algébrica 2x2 2 3xy

√

x2_{1 3y 2 4}, para x 5 21 e y 5 4. a) 10 3 d) 13 7 b) 11 3 e) 14 3 c) 12 7

13.

(Enem-MEC) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na com-petição, tendo como critério de desempate o nú-mero de medalhas de prata seguido do núnú-mero de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir:

Classifica-ção País medalhas de ouro medalhas de prata de bronzemedalhas medalhasTotal de

8º Itália 10 11 11 32 9º Coreia do _Sul 9 12 9 30 10º _BretanhaGrã- 9 9 12 30 11º Cuba 9 7 11 27 12º Ucrânia 9 5 9 23 13º Hungria 8 6 3 17

Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).

(5)

Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?

a) 13º b) 12º c) 11º d) 10º e) 9º

14.

(Enem-MEC) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.

Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras ca-bem dentro de Júpiter?

(UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior. No questionário, pergunta-se sobre a aprovação de: Cotas, Bolsas e ENEM, como modelo de exame vestibular. As respostas dos alunos foram sintetizadas na tabela abaixo:

Política

pública Cotas Bolsas ENEm Cotas e Bolsas Bolsas e ENEm Cotas e ENEm Cotas, Bolsas e ENEm Número de apro-vações 226 147 418 53 85 116 44

Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afirmar que:

a) a quantidade de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 12.

b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é 415.

c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma política é 167.

d) a quantidade de alunos que aprovam as três po-líticas é 45.

e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos que aprovam somente o ENEM.

17.

(UF-PB) Em determinada data, o câmbio, entre as moedas abaixo, apresentava a seguinte equivalência: 1 dólar 5 0,9 euro 1 euro 5 0,7 libra

1 real 5 0,18 libra

De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa data, 1 dólar equivalia a:

a) R$ 3,40 d) R$ 3,55 b) R$ 3,45 e) R$ 3,60 c) R$ 3,50

18.

(UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao intervalo



2

√

10,

√

15



? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Nenhum

19.

(UF-PE) Antônio nasceu no século XX, e seu pai, que tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha X anos no ano X2_{. Considerando estas informações, analise} as afirmações seguintes:

0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte. 1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936. 2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936. 3-3) Antônio nasceu em 1922.

4-4) Antônio nasceu em 1936.

20.

(UE-PI) Júnior tem três álbuns de figuras. No primeiro, estão três décimos do total de figuras; no segundo, estão alguns oitavos do total de figuras e, no terceiro álbum, estão 15 figuras. Quantas figuras estão no segundo álbum?

a) 110 d) 125

b) 115 e) 130

(6)

21.

23.

(Uneb-BA) Considerem-se as proposições I – p é um número racional.

II – Existe um número racional cujo quadrado é 2. III – Se a . 0, então 2a , 0.

IV – Todo número primo é impar. Com base nelas, é correto afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira.

04) As proposições I, II e IV são verdadeiras. 05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.

24.

(UE-PI) Uma mercearia tem, em estoque, uma quantidade de canetas, de determinada marca, em número inferior a 60 e superior a 1, que pretende oferecer em liquidação. Na liquidação, todas as

ca-netas foram vendidas, e obteve-se um faturamento de exatamente R$ 37,63 com a sua venda. Se cada uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço, qual foi este preço?

a) R$ 0,73 b) R$ 0,72 c) R$ 0,71 d) R$ 0,70 e) R$ 0,69

25.

(UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/,. Quando essa concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de deduzi-la é adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análi-se feita na água de um reanáli-servatório de 12 000 , constatou a presença de nitrato na concentração de 15 mg/,.

Com base em tais informações, a quantidade míni-ma de litros de água que se deve acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é:

a) 6 000 , b) 4 000 , c) 12 000 , d) 18 000 ,

26.

(UF-PA) A Orquestra Sinfônica do Theatro da Paz (OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de instrumentos distintos: cordas, sopro de metais, sopro de madeiras e percussão. Ela conta com 27 músicos de cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão. No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de instrumentos mantenham a mesma proporção entre eles, o número de músicos de cordas e o número de músicos de metais passariam a ser respectivamente: a) 54 e 22

b) 60 e 30 c) 50 e 20 d) 82 e 40 e) 81 e 33

(7)

respostas

1. e 2. a 3. 04 4. 01, 02, 04, 08 5. 01 1 04 5 05 6. d 7. Opção V 8. e 9. c 10. b 11. a 12. e 13. b 14. b 15. x 5 22 16. b 17. c 18. b

Conjuntos e conjuntos numéricos

19. F, F, V, V, F 20. d 21. e 22. a 23. 03 24. c 25. a 26. e

(8)

Funções

1.

(UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). Indi-que a soma dos valores:

01) Dentre todos os retângulos com 40 m de períme-tro, o de maior área é aquele com lado de 20 m e área de 400 m2_.

02) Uma cidade é servida por três empresas de telefo-nia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas.

04) Em certa fábrica, durante o horário de traba-lho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) 5 x2_{1 x 1 500 reais. Num dia normal de} trabalho, durante as t primeiras horas de pro-dução, são fabricadas x(t) 5 15t unidades. O gasto na produção, ao final da segunda hora, é de R$ 1 430,00.

08) Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada, após t anos, dada pela equação M(t) 5 M₀ ? 22 20t onde M

0 representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não desin-tegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M₀ é de, aproximadamente, 50%. 16) O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro

pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados. 1980 2 042 2 082 2 006 2 594 3 269 4 160 R$ 1 000 R$ 1 500 R$ 2 000 R$ 2 500 R$ 3 000 R$ 3 500 R$ 4 000 R$ 4 500 1985 1990 1995 2000 2005

Veja, São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995.

2.

(U.F. Lavras-MG) A solução da equação log(x) 2 10(log(0,5) 1 log(8)) 5 log 1

x satisfaz: a) log(log2(x)) 5 1

b) x 5 10

c) log₂(log(x)) 5 1 d) x 5 10log(4)

3.

(UE-CE) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coorde-nados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) 5 log₂ x, x . 0.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

y

f(x) 5 log2x

A soma das áreas dos seis retângulos é igual a: a) 2 unidades de área

b) 3 unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área

4.

(UF-TO) Seja f: ]2, 2] → [21, [ definida por f(x) 5 x2_{2 4x 1 3}

Então a função inversa f21_é: a) f21_{(x) 5 2} b) f21_{(x) 5}1 2 c) f21_{(x) 5 2}115 3 d) f21_{(x) 5 2 1}55 6

5.

(U.E. Londrina-PR) Considere a função real definida por f(x) 5 ax2_{1 bx 1 c, cujo gráfico é o seguinte:}

(9)

y

x

Com base na situação exposta e nos conhecimentos sobre o tema, considere as seguintes afirmativas: I. D 5 b2_{2 4ac . 0} II. a(b 1 c) . 0 III. f 2b 2 2a 2a 5 f 2b 1 2a 2a IV. a

√

D . 0

Assinale a alternativa que contém todas as afirma-ções corretas.

a) I e III. b) III e IV. c) I, II e III. d) I, II e IV. e) II, III e IV.

6.

(UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax2_{1 bx 1 c é o} ponto (22, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que: a) a . 1, b , 1 e c , 4 b) a . 2, b . 3 e c . 4 c) a , 1, b , 1 e c . 4 d) a , 1, b . 1 e c . 4 e) a , 1, b , 1 e c , 4

7.

(PUC-RS) A representação: y 4 2 0 2 x 22 22 24 24 4

é da função dada por y 5 f(x) 5 log_n (x). O valor de log_n (n3_{1 8) é} a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8.

(U.F. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que definem uma rela-ção de igualdade. Dessa forma, dadas as funções f(x) 5 1

(9x 2 1₎ e h(x) 5 3

x 1 1_{, para que seus gráficos} tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas funções, coincidam. Isso ocorre no ponto:

a) (1, 21) b) (21, 1) c) (3, 81) d) 1 3, 4 3 e) 1 3, 33

√

3

9.

(U.F. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve ne-cessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal lumino-so é dada por h(t) 5 30t 2 3t2_{, onde h é a altura do} sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, respectivamente: a) 75 m e 10 s b) 75 m e 5 s c) 74 m e 10 s d) 74 m e 5 s e) 70 m e 5 s

10.

(Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de:

(3 2 x) ? (x2_{2 1)}

x 1 2 > 0 é igual a: a) 13

(10)

b) 14 c) 15 d) 19 e) 20

11.

(PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a:

a) 100 b) 125 c) 150 d) 180

12.

(PUC-PR) O prazo de validade, V, medido em uma escala de 0% (vencido) a 100% (fresco), de um produto em conserva, segue a seguinte função de tempo, t, em meses:

V 5 e2t_{, t > 0} Onde: e 5 2,7183 É CORRETO afirmar:

I. Um mês após a produção, t 5 1, a validade cor-responde a 36,79%.

II. Seis meses após a produção, t 5 6, a validade corresponde a 0,25%.

III. Quanto mais próximo do dia da produção maior o frescor.

a) Somente a alternativa III está correta. b) As alternativas I e III estão corretas. c) As três alternativas, I, II e III, estão corretas. d) As alternativas II e III estão corretas. e) Nenhuma das alternativas está correta.

13.

(Udesc-SC) O conjunto solução da inequação:



(23 x 2 2₎



x 1 3_{. 4}x é: a) S 5 {x   | 21 , x , 6} b) S 5 {x   | x , 26 ou x . 1} c) S 5 {x   | x , 21 ou x . 6} d) S 5 {x   | 26 , x , 1} e) S 5

{

x   | x , 2

√

6 ou x .

√

6

}

14.

(Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é: a) y 4 3 2 1 x 2 1 0 22 21 23 b) y 4 3 2 1 x 4 3 2 0 1 21 c) y 2 1 x 1 0 22 21 23 d) y 4 3 2 1 x 2 3 1 0 22 21 23 24 e) y 3 2 1 x 2 3 1 0 22 21 21 22 23

15.

(Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis ofere-cem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60.

(11)

a) Para cada locadora, represente no gráfico a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia.

b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indi-que qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.

16.

(Fuvest-SP) A função f:  →  tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: a) 11 6 b) 7 6 c) 5 6 d) 0 e) 2 5 6

17.

(U.E. Ponta Grossa-PR) Sobre as funções f(x) 5 2x 1 1

x 2 1 e g(x) 5 3x 2 5, assinale o que for correto. Indique a soma dos valores.

01) O domínio da função f é {x   | x . 1} 02) A função f assume valores estritamente positivos

para x , 2 1

2 ou x . 1 04) g(f(2)) 5 10

08) A função inversa de g é definida por g21_{(x) 5} 5 x 1 5

3 16) f 1

x 5 2f(x)

18.

(U.E. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de  em  definida por f(x) 5 3x_{1 2, assinale o que for} correto.

Indique a soma dos valores. 01) f(f(0)) 5 29

02) Sua imagem é o conjunto ]2, 1 [ 04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b)

08) A função é decrescente 16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3x

19.

(Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H1_. Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das gran-dezas envolvidas.

II. A concentração de íons H1_{de uma solução ácida} com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em: a) I

b) II c) III d) I e II e) I e III

20.

(UFF-RJ) A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm2_. A Q D B N C P M Determine:

a) as medidas de AM e MB para que a área do qua-drado MNPQ seja igual a 9 cm2_.

b) as medidas de AM e MB para que a área do qua-drado MNPQ seja a menor possível.

Justifique suas respostas.

21.

(FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencial-mente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V 5 Ae2kx_{, em que e 5 2,7182… . Hoje,} o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00.

(12)

Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será: a) R$ 17 500,00 b) R$ 20 000,00 c) R$ 22 500,00 d) R$ 25 000,00 e) R$ 27 500,00

22.

(Enem cancelado e modificado-MEC) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto, cujo custo de fabricação de x unidades é dado por 3x2_{1 232, e o seu valor de venda é expresso pela} função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem vendi-das pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é:

a) 10 d) 116

b) 30 e) 232

c) 58

23.

(UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Por-tuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses im-postos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,125 contos de réis por arroba de peso.

O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII.

1 700 0 50 000 100 000 150 000 200 000

250 000 (Em Contos de Réis)

Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais

1 720 1 740 1 760 1 780 1 800

Entradas Dízimos

Revista de História da Biblioteca Nacional, Rio de Janeiro, ano 2, n. 23, ago. 2007 [Adaptado].

Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias,

sobre as quais foram cobradas entradas, foi de apro-ximadamente: a) 1 000 b) 60 000 c) 80 000 d) 100 000 e) 750 000

24.

(UF-GO) A distância que um automóvel percorre até parar, após ter os freios acionados, depende de inú-meros fatores. Essa distância em metros pode ser cal-culada aproximadamente pela expressão D 5 V2

250 , onde V é a velocidade em km/h no momento inicial da frenagem e  é um coeficiente adimensional que depende das características dos pneus e do asfalto. Considere que o tempo de reação de um condutor é de um segundo, do instante em que vê um obstáculo até acionar os freios. Com base nessas informações, e considerando  5 0,8, qual é a distância aproximada percorrida por um automóvel do instante em que o condutor vê um obstáculo, até parar completamente, se estiver trafegando com velocidade constante de 90 km/h? a) 25,0 m b) 40,5 m c) 65,5 m d) 72,0 m e) 105,5 m

25.

(PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x). Se o gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o conjunto: 4 3 2 1 2 3 4 1 0 22 21 21 22 23 24 a) {x   | x > 0} b) {x   | x < 22 ou x > 2} c) {x   | 0 < x < 2} d) {x   | 22 < x < 2}

(13)

26.

(PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 22 t

15, onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a:

a) R$ 3 750,00 c) R$ 10 000,00 b) R$ 7 500,00 d) R$ 20 000,00

27.

(PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x4_{2 40x}2_{1 144} e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4)

a) Para quais valores de x temos f(x) , 0? b) Para quais valores de x temos g(x) , 0? c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) . 0?

28.

(PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola de equação y 5 x2_{2 x 2 6, a área do triângulo ABC} é:

B C

A

a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

29.

(Cefet-SC) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo:

t(h) V(m3₎

3 1

Para encher este reservatório de água com 2 500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio?

a) 7h b) 6h50min c) 6h30min d) 7h30min e) 7h50min

30.

(UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depen-de da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade v (em metros por segundo) com a tempe-ratura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é v 5 20 t 1 273. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:

a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 °C? (Sugestão: use 3 5 1,73)

b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a que temperatura?

31.

(UE-MG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro de 2008, esses internau-tas somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões, ou 57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada”.

Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, Ed. Abril.

Baseando-se nessa informação, observe o gráfico a seguir: (mês) 22 JAN/08 FEV/08 14 (milhões de usuários)

Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o número de usuários residenciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a:

a) 178 3 106 b) 174 3 105 c) 182 3 107 d) 198 3 106

(14)

32.

(UE-RJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de ob-servação.

Admita um filtro que deixe passar 4

5 da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.

Considerando log 2 5 0,301, o menor valor de n é igual a:

a) 9 c) 11

b) 10 d) 12

33.

(UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: x (m) y (m) A 35 B 0 C D

Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.

A equação de uma dessas parábolas é y 5 2x2 75 1

2x 5 . Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:

a) 38 b) 40 c) 45 d) 50

34.

(PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1,3 e log 5 5 0,7, é correto afirmar que log₅ 20 corresponde a: a) Exatamente 2.

b) Exatamente 0,6.

c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6. d) Um valor entre 1,8 e 1,9.

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

35.

(UE-CE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade

x2_{2 32x 1 252 , 0. O número que representa a} idade de Paulo pertence ao conjunto

a) {12, 13, 14} b) {15, 16, 17} c) {18, 19, 20} d) {21, 22, 23}

36.

(FGV-SP) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:

O vértice é o ponto (4, 21).

Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). O ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas é: a) (0, 14) b) (0, 15) c) (0, 16) d) (0, 17) e) (0, 18)

37.

(FGV-SP) Nos últimos anos, o salário mínimo tem cres-cido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. y R$ 300,00 R$ 510,00 Salário Mínimo Cesta Básica R$ 184,00 R$ 154,00 2005 2006 2007 2008 2009 2010 x 0 1 2 3 4 5

Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproxi-mados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) 5 ax 1 b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.

a) Determine as funções que expressam os cresci-mentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b) Em que ano, aproximadamente, um salário

míni-mo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.

(15)

38.

(Enem-MEC) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

372

1980 1992 2004 573

750

Favela tem memória. Época, nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado).

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:

a) menor que 1 150.

b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1 150 e menor que 1 200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1 200.

39.

(Enem-MEC) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa tempe-ratura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função:

7 5 t 1 20, para 0 < t < 100 T(t) 5 ₂ 125 t2 2 16 5 t 1 320, para t > 100 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a tempe-ratura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:

a) 100 d) 130

b) 108 e) 150

c) 128

40.

(UF-RJ) Considere o programa representado pelo seguinte fluxograma: Entre com o valor de x Calcule √ x 2 1 Calcule 2x22 Calcule (x 1 2)1/3 Verifique: √ x 2 1 . 1? SIM NÃO

a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse programa.

b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9.

41.

(U. F. Juiz de Fora-MG) Os gráficos I, II e III, a seguir, esboçados em uma mesma escala, ilustram modelos teóricos que descrevem a população de três espécies de pássaros ao longo do tempo.

tempo população I tempo população II tempo população III

Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20% ao ano, que a população da espécie B aumenta 100 pássaros ao ano e que a população da espécie C permanece estável ao longo dos anos.

Assim, a evolução das populações das espécies A, B e C, ao longo do tempo, correspondem, respectiva-mente, aos gráficos

a) I, III e II. d) III, I e II. b) II, I e III. e) III, II e I. c) II, III e I.

42.

(UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta nume-rada, e sua posição (em metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t.

2

8 P(t)

a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t 5 0).

(16)

b) Determine a medida do segmento de reta corres-pondente ao conjunto dos pontos obtidos pela variação de t no intervalo



0, 3

2



.

43.

(UF-PR) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus deter-minou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula: P 5 (100 2 a) ? bt_{1 a,}

sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a 5 20 e b 5 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será:

a) entre uma e duas semanas. b) entre duas e três semanas. c) entre três e quatro semanas. d) entre quatro e cinco semanas. e) entre cinco e seis semanas.

44.

(Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x2_{1 5x 1 3.} A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) 5 g(x) é igual a:

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

45.

(U.F. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quan-tia inicial em um determinado fundo de investimento. Suponha que a função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: F(t) 5 100(1,2)t_.

O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do investimento inicial.

a) Qual foi a quantia inicial aplicada?

b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial?

c) Utilizando os valores aproximados log₁₀ 2 5 0,3 e log₁₀ 3 5 0,48, quantos meses, a partir do instante do investimento inicial, seriam necessários para que essa pessoa possuísse, no fundo de investi-mento, uma quantia igual a R$ 2 700,00?

46.

(UF-PI) Sejam a, b  , a  0, b  0, satisfazendo a equação 23a 1 b_{5 3a.Considerando log 2 5 0,30 e} log 3 5 0,48, é correto afirmar que

a) b a 5 2 7 5 b) se 3a 2 b 5 1, então a 5 8 5 c) a 5 2b d) b a 5 2 e) a 5 b 5 log 3

47.

(UF-PI) Sobre o domínio da função f: D   → , definida pela lei f(x) 5 3 2 |x 1 2| , pode-se afirmar que

a) contém somente seis números inteiros. b) possui dois inteiros positivos.

c) é um intervalo de comprimento igual a seis uni-dades.

d) não possui números racionais. e) é um conjunto finito.

48.

(UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. Quan-do colocada em meio de cultura, sua população mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua quantidade a cada 8 horas.

Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura.

Considerando essas informações,

1. CALCULE a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura.

2. DETERMINE a expressão da população P, de bac-térias, em função do tempo t em dias.

3. CALCULE o tempo necessário para que a popu-lação de bactérias se torne 30 vezes a popupopu-lação inicial.

(Em seus cálculos, use log 2 5 0,3 e log 3 5 0,47.)

49.

(UF-RN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria-prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) 5 10x. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas, 0 < t < 8, por sua vez, é dada por Q(t) 5 6t 2 1

2 t2. a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a

10, 16 e 18, e uma tabela com valores de Q(t) para t igual a 2, 4 e 6, explicite os cálculos efetuados. b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)),

(17)

50.

(UF-AM) O produto dos números naturais que satis-fazem a inequação x x 2 5 < x 2 5 x é: a) 12 d) 2 b) 2 e) 1 c) 60

51.

(Uneb-BA) Considerando-se as funções reais f(x) 5 log₃(x 1 1), g(x) 5 log₂ x e h(x) 5 log 4x, pode-se afimar que o valor de f(26) 2 g(0,125) 1 h(25) é

01) 8 04) 22

02) 2 05) 23

03) 0

52.

(UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa, mas parece que o número de acidentes nas rodovias e estradas não está sendo suficiente para convencer os motoristas a abandonarem o volante depois de umas doses de álcool. Então, para evitar essa combinação perigosa, foi criada a chamada Lei 13, que determina a punição muito mais rigorosa para os condutores bêbados.

Sobre a concentração de álcool (etanol) no organis-mo, um recente estudo científico concluiu que essa decai linearmente em função do tempo. Em outros termos, a concentração pode ser descrita por uma função do tipo

C(t) 5 a ? t 1 b

Após o consumo de certa quantidade de álcool, verifica-se que a concentração de álcool no sangue de uma pessoa, após uma hora e meia da ingestão, é de 113,9 mg/d,, e, após duas horas e meia da ingestão, é de 96,9 mg/d,. Sabendo-se que essa pessoa, cons-ciente de suas responsabilidades, só voltará a dirigir quando a concentração de álcool em seu sangue for zero, quanto tempo após o consumo, no mínimo, ela deve esperar para voltar a dirigir?

a) 8,2 horas d) 7,9 horas b) 2,0 horas e) 8,6 horas c) 9,7 horas

53.

(UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica sob a resistência de uma força de atrito. O decaimen-to da energia decaimen-total é descridecaimen-to pela função E(t) 5 E₀e2at_, onde: t é o tempo, medido em segundos, a partir do instante inicial t₀ 5 0; a . 0 é uma constante real; e E₀ é a energia inicial da corda. Considerando que em 7 segundos, a partir de t₀, a energia da corda cai pela metade, o tempo necessário, para que a energia seja reduzida a 20% de E₀, é: Use: e0,7_{5 2; e}1,6_{5 5} a) 16 s d) 18 s b) 15 s e) 19 s c) 14 s

54.

(UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é R 5 log₁₀(I/I₀), com I₀ sendo a intensidade de um abalo quase im-perceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I₀. Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I₀, qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo.

Dado: use a aproximação log₁₀ 2  0,30.

a) 3,0 d) 4,5

b) 3,5 e) 5,0

c) 4,0

55.

(UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto somente por encomenda de, no mínimo, 500 uni-dades e, no máximo, 3 000 uniuni-dades.

O preço P, em reais, de cada unidade desse produto é fixado, de acordo com o número x de unidades encomendadas, por meio desta equação:

P 5 90, se 500 < x < 1 000. 100 2 0,01x, se 1 000 , x < 3 000.

O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades desse produto é calculado pela equação

C 5 60x 1 10 000

O lucro L apurado com a venda de x unidades desse produto corresponde à diferença entre a receita apurada com a venda dessa quantidade e o custo relativo à sua produção.

Considerando essas informações,

1. ESCREVA a expressão do lucro L corresponden-te à venda de x unidades desse produto para 500 < x < 1 000 e para 1 000 , x , 3 000. 2. CALCULE o preço da unidade desse produto

cor-respondente à encomenda que maximiza o lucro. 3. CALCULE o número mínimo de unidades que uma

encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo menos, R$ 26 400,00.

56.

(UF-AL) Associe aos gráficos a seguir, enumerados de 1 a 4, as funções correspondentes, que têm como

(18)

domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, e assinale a sequência obtida, de cima para baixo. 1) 2) 3) 4) ( ) y 5 |22x_{2 1|} ( ) y 5 |x2_{2 3x 1 2|} ( ) y 5 2 2 |x 1 1| ( ) y 5 |x| A sequência correta é: a) 3, 4, 1, 2 d) 1, 4, 3, 2 b) 3, 2, 1, 4 e) 4, 1, 3, 2 c) 2, 3, 4, 1

57.

(UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das ár-vores de grande porte da floresta amazônica é medir a quantidade do isótopo radioativo C14_{presente no} centro dos troncos. Ao tirar uma amostra de uma castanheira, verificou-se que a quantidade de C14 presente era de 84% da quantidade existente na atmosfera. Sabendo-se que o C14_{tem decaimento} exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e considerando os valores de In(0.50) 5 20.69 e In(0.84) 5 20.17, podemos afirmar que a idade, em anos, da castanheira é aproximadamente

a) 420 d) 1 430

b) 750 e) 1 700

c) 1 030

58.

(UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido, de modo que a pressão P no seu interior varia com o tempo e a partir de um determinado valor,

con-1 1,5 2 20,5 21 1 2 0 22 21 23 24 0,5 1 1,5 2 1 2 3 0 22 21 23 0,5 2 3 4 5 6 7 1 2 3 0 22 21 23 1 2 3 4 5 6 3 4 2 0 1 21 1

forme o gráfico a seguir. A função que representa a pressão P no interior do reservatório em um instante t (minutos) tem lei de correspondência:

t 6 P(t) 5 4 3 0 2 4 6 a) y 5 2 3 x 1 3 b) y 5 x 1 3 c) y 5 1 2 x 1 2 d) y 5 1 2 x 1 3 e) y 5 2 1 2 x 1 3

59.

(UF-AM) Considere a função f:  →  dada por f(x) 5 |3x 2 2|.

Com relação à função acima considere as afirmações: I. f é injetora.

II. O valor mínimo assumido por f é zero.

III. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 22).

IV. O gráfico de f é uma reta. V. f é uma função par. Então:

a) Somente V é verdadeira. b) Somente I e II são falsas. c) Somente II é verdadeira. d) Somente III é verdadeira. e) Todas são falsas.

60.

(UE-PI) As populações das cidades A e B crescem exponencialmente, com taxas anuais de crescimento de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de 11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de hoje, as populações das duas cidades serão iguais? Dados: use as aproximações In(1,03/1,02)  0,01 e In(11/9)  0,20.

a) 2 anos d) 15 anos b) 6 anos e) 20 anos c) 10 anos

(19)

61.

(UnB-DF) Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x2_{1 x 1 41, obtém-se uma lista de 40} nú-meros primos. No plano de coordenadas cartesianas xOy considerando y 5 g(x) 5 x2_{1 x 1 41, conclui-se} que os pares (N, g(N)), para 0 < N < 39, pertencem a uma parábola que:

a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto.

b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39]. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números

primos.

d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler.

62.

(UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa da variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio externo. Nesse sentido, suponha que, na investigação de um homicídio, a temperatura do cadáver encontrado, em °C, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função T 5 T(t) 5 22 1 10 e2kt_{, em que: t}

0 5 0 representa o instante em que o corpo foi encontrado; t , 0 corresponde, em módulo, à quantidade de horas decorridas antes da descoberta do cadáver; t . 0 representa a quantidade de horas decorridas desde a descoberta do corpo; e k é uma constante positiva. Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do óbito, a temperatura do corpo era de 37 °C e que, duas horas após a descoberta do corpo, a temperatu-ra do corpo etemperatu-ra de 25 °C e considetemperatu-rando In 2 5 0,7, In 3 5 1,1, In 5 5 1,6, julgue os itens seguintes. a) No instante em que o corpo foi descoberto, sua

temperatura era inferior a 30 °C.

b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada por t 5 t(T) 5 1 k In 10 T 2 22 . c) O valor de k, em h21_{é superior a}5 8.

d) Com base nos dados, conclui-se que o óbito ocor-reu 40 minutos antes da descoberta do cadáver. e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT, o

gráfico de T 5 T(t), válido a partir do momento em que o indivíduo morre, representa uma função decrescente que se inicia no 1º quadrante. f) À medida que t aumenta, T 5 T(t) tende a se

aproximar da temperatura de 22 °C, mas nunca chega a atingi-la.

63.

(UE-PI) Um fio de comprimento c deve ser dividido em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar o contorno de um quadrado e o de um hexágono regular.

Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas do quadrado e do hexágono regular seja a menor possível, qual o perímetro do hexágono?

a) (2 3 2 3)c d) 3 c 6 b) c 2 e) 2c 5 c) 2 c 3

64.

(UF-SE) Sejam f e g funções de  em  tais que f é do primeiro grau e g é definida por g(x) 5 x2_{2 4x 2 5.} A figura abaixo apresenta um esboço gráfico de f e g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais.

0 9 16

7 x

y

Use as informações dadas para analisar as sentenças seguintes.

a) O vértice da parábola é o ponto (2, 23). b) Os gráficos de f e g interceptam o eixo das

abs-cissas nos pontos (29, 0), (21, 0) e (5, 0). c) Em , o conjunto solução da inequação g(x) <

< f(x) é [22, 7].

d) O coeficiente angular da reta que representa f é igual a 1.

e) Os gráficos das funções definidas por y 5 |f(x)| e y 5 |g(x)| têm três pontos comuns.

65.

(UF-AM) Sejam f:  →  e g:  →  funções de fi ni das respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e g(x) 5 ax 1 b. Se (g  f)(x) 5 (f  g)(x), então, pode-mos concluir que:

a) b 5 a 2 2 d) b 5 a 1 1 b) b 5 a 2 1 e) b 5 a 1 2 c) b 5 a

(20)

respostas

1. 02 1 04 5 06 8. e 2. c 9. a 3. a 10. b 4. a 11. b 5. c 12. c 6. d 13. c 7. b 14. a 15. a) C (x) 5 0,4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e C (x) 90, se 0 < x < 200 0,6 ? x 2 30, se x . 200 (locadora Mercúrio) x: número de quilômetros percorridos.

30 90 190 210 Distância percorrida (km) Custo de locação (R$) 200 400 Cm C_s b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300 Mercúrio: 150 < x < 300 R$ 0,30 por quilômetro rodado.

16. c 18. 01 1 02 1 16 5 19 17. 02 1 04 1 08 5 14 19. d 20. a) AM 5 2 2

√

2 2 e MB 5 2 1

√

2 2 b) AM 5 MB 5 2 21. c 23. d 25. d 22. b 24. c 26. b 27. a) S 5 {x   | x , 24 ou 0 , x , 4} b) S 5 {x   | 26 , x , 22 ou 2 , x , 6} c) S 5 {x   | 26 , x , 24 ou 22 , x , 0 ou 2 , x , 4 ou x . 6} 28. c 29. d 30. a) 346 m/s b) 16 °C 31. d 34. d 32. c 35. b 33. b 36. b 37. a) Salário: S(x) 5 42x 1 300 Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154 b) Em 2012 38. c 39. d

Funções

40. a) x > 0 b) x 5 0 → 3

_√

2 x 5 4 → 3

_√

6 x 5 9 → 2 81 41. e 42. a) 2 m b) 9 m 43. c 44. d 45. a) 100 reais b) aproximadamente R$ 249,00 c) 18 meses 46. a 47. c 48. 1) 4 096 bactérias 2) P(t) 5 1 000; se 0 < t < 2 1 000 ? 23(t 2 2)_{; se t . 2} 3) 3,63 dias 49. a) x C t Q 10 100 2 10 16 160 4 16 18 180 6 18 b) 180 6 0 12 50. a 53. a 51. 01 54. d 52. a 55. 1) L(x) 5 30x 2 10 000; se 500 < x < 1 000 20,01x2_{1 40x 2 10 000; se 1 000 , x < 3 000} 2) 80 reais 3) 1400 unidades 56. a 59. c 57. d 60. e 58. d 61. b 62. a) F b) V c) F d) V e) F f) V 63. a 65. b 64. São verdadeiras: b, c, d.

(21)

a) 8 termos b) 6 termos c) 10 termos d) 9 termos e) 7 termos

2.

(UF-RS) Considere o padrão de construção represen-tado pelos desenhos a seguir.

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro qua-drados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.

Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de: a) 100 1 4 5 b) 100 1 3 6 c) 100 1 3 5 d) 100 3 4 6 e) 100 3 4 5

3.

(FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é:

a) 1024 _{d) 10}21

b) 1023 _{e) 1}

c) 1022

Progressões

4.

(PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último in-verno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados.

Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apre-sentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384

b) 192 c) 168 d) 92 e) 80

5.

(UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como mostra a sequência de figuras abaixo:

quadrado original passo 1

passo 2 passo 3

No passo 1, metade do quadrado original é preen-chido. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida, e assim por diante.

a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido?

b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preen-chido?

6.

(UF-BA) Considerando-se as sequências (a_n) e (b_n) definidas por: a_n 5 (21)n n2 n2_{1 1} e b₁ 5 1 b_{n 1 1} 5 n 1 2 n 1 1 bn

(22)

01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a_n) é um número negativo. 02) Para qualquer n, tem-se 21 , a_n , 1. 04) A sequência (b_n) é crescente.

08) Existe n tal que a_n 5 1 2.

16) A sequência (b_n) é uma progressão aritmética. 32) A sequência (a_n) é uma progressão geométrica

de razão negativa.

7.

(Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estraté-gias agressivas de propaganda.

O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um pe-ríodo de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.

a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?

b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros?

8.

(Unemat-MT) Dada uma PA cujo a₁ é o quádruplo de sua razão e a₂₀ é igual a 69, sua razão será:

a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3

9.

(Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

Figura I Figura II Figura III

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C 5 4Q d) C 5 Q 1 3

b) C 5 3Q 1 1 e) C 5 4Q 2 2 c) C 5 4Q 2 1

10.

(UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história.

Nesse papiro encontramos o seguinte problema:

“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.”

AGB PHOTO/TPG

(23)

Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de

a) 115 3 pães b) 55 6 pães c) 20 pães d) 65 6 pães e) 35 pães

11.

(UEL-PR) A solução da equação logarítmica: log₃x 1 log₃x2_{1 ... 1 log}

3x 49_{1 log} 3x 50_{5 2 550} é: a) x 5 1 b) x 5 3 c) x 5 9 d) x 5 log 3 1 275 e) x 5 log 3 2 550

12.

(UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é: a) 211_{2 1} b) 211_{1 1} c) 212_{2 1} d) 212_{1 1} e) 213_{2 1}

13.

(UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infi-nitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:

Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tarta-ruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tarta-ruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartatarta-ruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre

esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.

Fazendo a conversão para metros, a distância percor-rida por Aquiles nessa fábula é igual a

d 5 10 1 1 1 1 10 1 1 102 1 ...5 10 1 

∑

n50 1 10 n

É correto afirmar que: a) d 5 1 b) d 5 11,11 c) d 5 91 9 d) d 5 12 e) d 5 100 9

14.

(CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência abaixo?

18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____

15.

(Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 1

2 da altura anterior.

A soma de todos os deslocamentos (medidos ver-ticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) 12 m b) 6 m c) 8 m d) 4 m e) 16 m

16.

(UE-RJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obe-dece às seguintes regras:

– antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo “cara” ou “coroa”;

– quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;

– em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.

(24)

Veja o quadro que ilustra o jogo:

ordem de erro Letras escritas

1º UERJ 2º UERJUERJ 3º UERJUERJUERJ 4º UERJUERJUERJUERJ -nº UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ

O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro.

Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.

17.

(Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “ra-zão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r.

a) Considere uma PA genérica finita (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a₁, n e r.

b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (2224, 2220, 216, ...) seja positiva?

18.

(UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima, foram extraídos 39 960 barris de petróleo, em um pe-ríodo de 24 horas. Essa extração foi feita de maneira que, na primeira hora, foram extraídos x barris e, a partir da segunda hora, r barris a mais do que na hora anterior. Sabendo-se que, nas últimas 9 horas desse período, foram extraídos 18 360 barris, o número de barris extraídos, na primeira hora, foi:

a) 1 180 d) 1 190

b) 1 020 e) 1 090

c) 1 065

19.

(UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infinita de números reais da forma a₁, a₂, a₃,... com razão r. Formando a sequência b₁, b₂, b₃,... na qual b_n 5 a_4n, n 5 1, 2, 3,..., é CORRETO afirmar que, necessaria-mente,

a) b₁, b₂, b₃,... forma uma progressão geométrica de razão 4r.

b) b₁, b₂, b₃,... forma uma progressão aritmética de razão 4r.

c) b₁, b₂, b₃,... forma uma progressão aritmética cuja razão não depende de r.

d) b₁, b₂, b₃,... não forma, necessariamente, nem uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica.

e) b₁, b₂, b₃,... independentemente do valor de r, for-mam uma sequência que é tanto uma progressão aritmética quanto uma progressão geométrica.

20.

(UF-RN) A corrida de São Silvestre, realizada em São Paulo, é uma das mais importantes provas de rua disputadas no Brasil. Seu percurso mede 15 km. João, que treina em uma pista circular de 400 m, pretende participar dessa corrida. Para isso, ele estabeleceu a seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na primeira semana; depois, a cada semana, aumentará 2 voltas na pista, até atingir a distância exigida na prova. a) A sequência numérica formada pela estratégia

adotada por João é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética? Justifique sua resposta.

b) Determine em que semana do treinamento João atingirá a distância exigida na prova.

21.

(UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12, então o valor de b

a 21

está no intervalo real: a) [2, 4[ d) ]21, 0] b) [1, 3[ e) ]0, 2[ c) [4, 6]

22.

(UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em uma sequência infinita de “quadrados” formados por quatro linhas e quatro colunas, representados a seguir: 1 2 3 4 17 18 19 20 ... 5 6 7 8 21 22 23 24 9 10 11 12 25 26 27 28 13 14 15 16 29 30 31 32

Em qual linha e coluna de um determinado quadrado desta sequência está localizado o número 2009? a) 1ª linha e 3ª coluna

(25)

c) 4ª linha e 2ª coluna d) 2ª linha e 4ª coluna e) 4ª linha e 1ª coluna

23.

(UE-PI) Três números reais positivos formam uma pro-gressão aritmética, e outros três formam uma progres- são geométrica. Multiplicando os termos da pro-gressão geométrica obtém-se 123_{. Adicionando} os termos correspondentes nas duas progressões obtemos a sequência 50, 17 e 11. Qual a razão da progressão aritmética? a) 1 3 d) 3 b) 2 e) 1 5 c) 1 2

24.

(UnB-DF) nível I nível II nível III

A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da construção de um fractal utilizando-se como ponto de partida um triminó – nível I –, que consiste em uma peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos dos lados de seus quadradinhos adequadamente ajustados à situa-ção, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefinida-mente, obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... . Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

a) No fractal de nível n, há 3n

quadradinhos som-breados.

b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual a 8 cm.

c) A área do fractal de nível V correspondente aos quadradinhos sombreados é superior a 1 cm2_. d) À medida que n cresce, a área do fractal de nível

n correspondente aos quadradinhos sombreados aproxima-se cada vez mais de 1 cm2_.

e) No quarto passo da construção, será obtido o fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir:

f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de uma reta que bissecta o ângulo interno inferior esquerdo do quadradinho localizado no canto inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão congruentes, o que mostra ser essa estrutura simétrica em relação a essa reta.

g) O fractal de nível II pode ser considerado uma planificação de um poliedro convexo de 9 faces.

25.

(UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m sobre uma superfície plana, observa-se que, devido a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera apenas 3

8 da altura anterior. Admitindo-se que o deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo?

a) 6 m d) 18 m

b) 11 m e) 19 m

c) 15 m

26.

(UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na análise de relações entre progressões aritméticas e progressões geométricas. Considerando que a tabela abaixo, incompleta, apresenta uma PA e uma PG com o mesmo número de termos, determine o último termo, X, da PG. PA 0 0,5 1 1,5  6 PG 1 2 4 8  X A alternativa correta é: a) 500 b) 1 024 c) 3 216 d) 4 096 e) 10 128

(26)

respostas

1. a 2. e 3. c 4. b 5. a) 93,75% b) n 5 10 6. 01 1 02 1 04 1 16 5 23

7. a) 3 200 novos participantes e no total 6 450. b) 12 semanas. 8. e 9. b 10. a 11. c 12. e 13. e 14. 48 15. a 16. 760 letras

Progressões

17. a) n 4 (n ? r 1 2 a1) b) 114 termos 18. e 19. b 20. a) PA de razão 800 b) 11ª semana 21. a 22. b 23. d 24. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) F 25. b 26. d