1.
(UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura: A P H G B Q C D R E F SEntão, é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é:
a) 1 1 2
√
2 dm2 b) 1 1√
2 dm2 c) 3 1 2√
2 dm2 d) 3 1√
2 dm22.
(UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que fo- ram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que DX 5 PQ; em seguida, ligam-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE.A E B F G C X D S R P Q
Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m, calcule a área da região sombreada ABGFE.
3.
(Fuvest-SP) A F G C x E BO triângulo ABC da figura acima é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x.
Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x.
b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é reto.
4.
(Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a 36 cm2. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm2, vale:A P N C B M a) 10 d) 16 b) 12 e) 18 c) 14
5.
(PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de la- drilho: um desses modelos é um quadrado de 64 cm2 e outro, um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida do lado do quadrado. Nessas condições, pode-se afirmar que a medida da área do modelo retangular, em centímetros quadrados, é igual a:a) 60 c) 72
6.
(Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triân- gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência.Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é: a) 9
(
2√
3)
2 p 6 cm2 b) 9 (√
3)
2 p 18 cm2 c) 9[(√
3)
2 p]
cm2 d) 9 (√
3)
2 p 3 cm2 e) 9 (√
3)
2 p 6 cm27.
(U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na figura a seguir.A área de chapa que resta após a operação é de aproximadamente: Dado: considere p 5 3,14. a) 7,45 m2 c) 26,30 m2 e) 56 m2 b) 13,76 m2 d) 48 m2
8.
(Mackenzie-SP) 2x 50 90 4 4 x 160Considerando p 5 3, a área da figura vale:
a) 1 176 d) 978
b) 1 124 e) 1 232
c) 1 096
9.
(UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas, certa comunidade utilizava uma unidade de área singular, que consistia em um círculo, cujo raio media 1 cm, e a que se dava o nome de anelar.Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar que a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é: a) 1
p anelar c) 1 anelar b) 1
2p anelar d) p anelares
10.
(Vunesp-SP) A figura representa uma chapa de alu- mínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB.Dado:
√
11 3,32 A E D B C r a) 88,6 d) 66,4 b) 81,2 e) 44,0 c) 74,811.
(UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma peça quadrada, uma peça em forma de paralelogramo e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado de lado ,, como indica a figura a seguir.1 5 6 3 2 4 7 , 2 , , 2
Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa área é: a) ,2 16 b) , 2 12 c) , 2 8 d) , 2 6 e) , 2 4
a) 4 c) 6
b) 5 d) 7
14.
(Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a no- roeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta.No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem.
a) Indique a localização das cidades A, B e C num esquema.
b) Calcule a distância em cada um dos trechos per- pendiculares do caminho. (Considere a aproxima- ção
√
2 5 1,4.)c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.
d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabe- leça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.
Norte
15.
(PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a mesma velocidade.12.
(UF-GO) Uma folha de papel retangular, de lados a e b, com a . b2, foi dobrada duas vezes, conforme as figuras a seguir e as seguintes instruções: – dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepon- do o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2); – dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).
Figura 1 b a Figura 2 Q P a Figura 3 A B C a
A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em função de a e b, é: a) A 5 2a2 1 2ab 1 b2 2 b) A 5 ab 2 c) A 5 a2 2 2ab 1 b2 d) A 5 a2 2 b2 4 e) A 5 a2 2 ab 1 b2 4
13.
(PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm2, foi recortada uma peça conforme indicado na figura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:Qual a distância entre as duas formigas às 14 h? a)
√
17 km d)√
117 kmb) 17 km e) 117 km
c)
√
51 km16.
(Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura, serão utilizados pisos de 25 cm 3 25 cm. Cada caixa contém 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?a) 17 caixas d) 15 caixas b) 16 caixas e) 12 caixas c) 20 caixas
17.
(CP2-MEC-RJ) Na figura abaixo, os quatro círculos são tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD mede 12 cm.A
D E C
B
a) Simbolizando o raio da circunferência maior por x, determine esse valor, aplicando o Teorema de Pitágoras aos lados do triângulo ADE.
b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD.
18.
(UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimen- sões , 3 3,, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância3,
2 do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e raio 2, (veja figura).
R B C porção irrigada tubo condutor de água 2, 3, , 3, 2
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C.
b) Admitindo que o raio da região irrigada seja in- versamente proporcional à distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R.
19.
(Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. O segmento MN mede 6 cm. A N C M BA área do triângulo ABC mede: a) 18
√
3 cm2b) 24
√
2 cm2 c) 30√
2 cm2 d) 30√
3 cm2 e) 36√
3 cm220.
(ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. De acordo com as me- didas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a:4 cm 6 cm a) 24 cm2 b) 25 cm2 c) 28 cm2 d) 35 cm2 e) 36 cm2
21.
(UE-CE) Se a medida, em metros, de cada um dos lados de um triângulo equilátero é x, seja S(x) a ex- pressão da área deste triângulo em função de x. O valor, em m², de S 1 3 1 S(3) é: a) 17√
3 18 b) 35√
3 18 c) 49√
3 18 d) 41√
3 1822.
(UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo equilátero intercepta os outros dois lados determinando um triângulo menor e um trapézio, os quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo menor e a área do trapézio é:a) 6 4 c) 8 6 b) 7 5 d) 9 7
23.
(Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 3 100 cm).
O valor da segunda encomenda será:
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas
não o dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda,
mas não a metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
24.
(Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma enco- menda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cme 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser va- zada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.
6 cm 8 cm
10 cm
O raio da perfuração da peça é igual a:
a) 1 cm d) 4 cm
b) 2 cm e) 5 cm
c) 3 cm
25.
(UF-RJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L.Figura 1 Figura 2
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta.
26.
(UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os suportes nas extremidades A e C medem, respecti- vamente, 4 metros e 6 metros de altura.12 m
A B C
4 m
8 m
6 m
A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros d) 5,2 metros b) 4,5 metros e) 5,5 metros c) 5 metros
27.
(Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale:A B F G H I D E C a) 1 1
√
3 b) 2 1√
3 c) 3 1√
3 d) 3 1 2√
3 e) 3 1 3√
328.
(UF-MG) Considere esta figura:A C B E F D Nesta figura,
• o triângulo ABC é equilátero, de lado 3; • o triângulo CDE é equilátero, de lado 2; • os pontos A, C e D estão alinhados; e
• o segmento BD intersecta o segmento CE no ponto F.
Com base nessas informações,
1. DETERMINE o comprimento do segmento BD. 2. DETERMINE o comprimento do segmento CF. 3. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF.
29.
(UF-PI) Conforme ilustrado na figura a seguir, um trem saiu da cidade A com destino à cidade B, deslocando- se com a mesma velocidade com que um outro trem ia da cidade C para a cidade D. Sabendo-se que a distância do ponto M às cidades C e A é a mesma, e que, por um atraso, as locomotivas partiram no mesmo instante, é correto afirmar que:M 90° Cidade D Cidade B Cidade C Cidade A Distância em km Cidade D Cidade A 1 200 Cidade C 1 600
a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km. b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km. c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km. d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km. e) não haverá o choque dos trens.
30.
(UF-RN) Para comemorar o aniversário de indepen- dência, o Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1 representa a bandeira e a Figura 2, as características geométricas desta. Figura 1 A B D C E F Figura 2Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção das diagonais do retângulo ABCD, justifique por que a quantidade de tecido utilizada na confecção da bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero AFDE.
31.
(UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difun- didas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins,campos de futebol, etc. Em certa loja de jardina- gem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais regulares, cada um com 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50. Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, em toda a volta do tapete. E, em relação às margens do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura a seguir.
Plantio de tapetes segundo as recomendações 2 cm 2 cm 1,25 m 2 cm 1 cm 1 cm 0,40 m
O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem ser cortado e seguindo as recomendações acima, qual será o custo total com os tapetes de grama- esmeralda?
32.
(UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua apa- rência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica a seguir foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB 5 3, AC 5 4 e CB 5 5, e de quadrados construídos so- bre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos Cˆ, Fˆ, e Iˆ , são con- gruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente. A E D H G I F B CCom base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.
33.
(UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três cincunfe- rências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm.Calcule a área A da região do triângulo, em cm2, limitada pelas três circunferências e indique 10A. Dado: use as aproximações:
p 3,14 e arctg 0,75 0,64.
34.
(UF-PE) Na figura abaixo, AB 5 AD 5 25, BC 5 15 e DE 5 7. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. Determine AF.35.
(UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada para confeccionar um outdoor com a sigla RN, con- forme as medidas determinadas na figura a seguir.Fer
nando Monteir
Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras. Sabendo que as medidas acima estão em centímetros, determine, em metros quadrados, a área de cada uma das letras.
36.
(UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é pro- porcional ao seu comprimento inicial (L0) e à variação da temperatura a que é submetido (DT), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coe- ficiente de dilatação linear (a) depende do material utilizado.Um fio de alumínio (a 5 25 3 1026 °C21) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 °C, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser conside- rado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 °C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros?
37.
(UF-MA) Em uma planta residencial, em escala, ao utilizar-se uma régua convencional, nota-se que os lados da sala retangular medem, exatamente, 16 cm e 9 cm. Se a área real da sala em questão é igual a 36 m2, então o perímetro real da sala é igual a:a) 21 m d) 25 m
b) 19 m e) 22 m
c) 20 m
38.
A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até a posição B.
Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente,
a) 1 333. b) 750. c) 945. d) 3 000.
39.
(UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um retângulo ABCD são marcados, respectivamente, os pontos P e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do retângulo ABCD é igual a:a) 360 u.a. d) 200 u.a. b) 120 u.a. e) 300 u.a. c) 240 u.a.
40.
(UF-MG) Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR:Considerando essas informações,
a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF. b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF. c) DETERMINE o raio da circunferência que passa
pelos vértices do hexágono ABCDEF.
Ilustrações: Fer
nando Monteir
respostas
1. c 2. 9 m2 3. a) Área 5(
x22√
3)
b) 1 5 4. b 5. a 6. e 7. b 8. a 9. a 10. d 11. c 12. e 13. c 14. a) A C B b) 59,5 km c) 34 km d) R$ 106,86 15. d 16. b 17. a) x 5 9 b) 156 cm2 18. a) A 5 ,2 6(
2p 1 3√
3)
b) R 5 6 ? , 5Geometria plana
19. e 20. b 21. d 22. d 23. b 24. b25. As áreas são iguais.
26. d 27. c 28. 1)
√
19 2) 6 5 3) 9√
3 10 29. a30. Note que área ADF 5 1
2 ? área ADE. 31. R$ 3 750,00 32. 2,4576 cm2 33. 1,9 cm2 34. 15 35. letra R ⇒ 0,64 m2 letra N ⇒ 0,64 m2 36. Aproximadamente 5