Sistemas Dinâmicos em dimensão um

Sistemas Dinˆ

amicos em dimens˜

ao um

IMPA-Rio de Janeiro

Artur Avila, Marco Martens e Welington de Melo

Dinˆ

amica Unidimensional real e complexa

Fluxo de Teichmuller, transforma¸c˜

oes de

intercˆ

ambio de intervalos, bilhares poligonais.

Teoria Espectral dos operadores de Schrodinger

Sistemas Dinˆ

amicos conservativos.

Dinˆ

amica Unidimensional real e complexa

Fluxo de Teichmuller, transforma¸c˜

oes de

intercˆ

ambio de intervalos, bilhares poligonais.

Teoria Espectral dos operadores de Schrodinger

Sistemas Dinˆ

amicos conservativos.

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Dinˆ

amica Unidimensional real e complexa

Fluxo de Teichmuller, transforma¸c˜

oes de

intercˆ

ambio de intervalos, bilhares poligonais.

Teoria Espectral dos operadores de Schrodinger

Sistemas Dinˆ

amicos conservativos.

Dinˆ

amica Unidimensional real e complexa

Fluxo de Teichmuller, transforma¸c˜

oes de

intercˆ

ambio de intervalos, bilhares poligonais.

Teoria Espectral dos operadores de Schrodinger

Sistemas Dinˆ

amicos conservativos.

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Sistemas Dinˆ

amicos

Modelar fenˆ

omenos evolutivos e deterministicos.

Espa¸

co de fase: Um conjunto X tal que um

ponto de X descreve completamente a condi¸c˜

ao

do sistema.

A lei de evolu¸

c˜

ao: uma fun¸c˜

ao f : X

_{→ X que}

descreve a evolu¸c˜

ao do sistema. Se no instante

inicial o sistema estava descrito por x

0

∈ X no

instante 1 est´

a descrito pelo ponto x

1

= f (x

0

).

Objetivo: descrever x

n

= f (x

n

₋₁

) quando

n

_{→ ∞ para quase toda condi¸c˜ao inicial x}

0

e

Sistemas Dinˆ

amicos

Modelar fenˆ

omenos evolutivos e deterministicos.

Espa¸

co de fase: Um conjunto X tal que um

ponto de X descreve completamente a condi¸c˜

ao

do sistema.

A lei de evolu¸

c˜

ao: uma fun¸c˜

ao f : X

_{→ X que}

descreve a evolu¸c˜

ao do sistema. Se no instante

inicial o sistema estava descrito por x

0

∈ X no

instante 1 est´

a descrito pelo ponto x

1

= f (x

0

).

Objetivo: descrever x

n

= f (x

n

₋₁

) quando

n

_{→ ∞ para quase toda condi¸c˜ao inicial x}

0

e

para quase toda lei de evolu¸c˜

ao f .

Sistemas Dinˆ

amicos

Modelar fenˆ

omenos evolutivos e deterministicos.

Espa¸

co de fase: Um conjunto X tal que um

ponto de X descreve completamente a condi¸c˜

ao

do sistema.

A lei de evolu¸

c˜

ao: uma fun¸c˜

ao f : X

_{→ X que}

descreve a evolu¸c˜

ao do sistema. Se no instante

inicial o sistema estava descrito por x

0

∈ X no

instante 1 est´

a descrito pelo ponto x

1

= f (x

0

).

Objetivo: descrever x

n

= f (x

n

₋₁

) quando

n

_{→ ∞ para quase toda condi¸c˜ao inicial x}

0

e

Sistemas Dinˆ

amicos

Modelar fenˆ

omenos evolutivos e deterministicos.

Espa¸

co de fase: Um conjunto X tal que um

ponto de X descreve completamente a condi¸c˜

ao

do sistema.

A lei de evolu¸

c˜

ao: uma fun¸c˜

ao f : X

_{→ X que}

descreve a evolu¸c˜

ao do sistema. Se no instante

inicial o sistema estava descrito por x

0

∈ X no

instante 1 est´

a descrito pelo ponto x

1

= f (x

0

).

Objetivo: descrever x

n

= f (x

n

₋₁

) quando

n

_{→ ∞ para quase toda condi¸c˜ao inicial x}

0

e

para quase toda lei de evolu¸c˜

ao f .

Dinˆ

amica Unidimensional

f : [0, 1]

_{→ [0, 1] fun¸c˜ao diferenci´avel.}

f (x

0

) = x

0

e

|f

0

(x

0

)

| < 1 =⇒ x

0

´

e ponto fixo

atrator: f

n

(x )

_{→ x}

0

para todo x pr´

oximo a x

0

.

f (x

0

) = x

0

e

|f

0

(x

0

)

| > 1 =⇒ x

0

´

e ponto fixo

repulsor: a ´

orbita de todo ponto x

_{6= x}

0

pr´

oximo

de x

0

escapa de uma vizinhan¸ca de x

0

.

f

0

(x

0

) =

±1: bifurca¸c˜ao, a dinˆamica local muda

A fam´ılia quadr´

atica

f

a

(x ) = ax(1

− x)

Suponhamos x

₂

< x

₀

< x

₁

I

0

= [x

2

, x

0

], I

1

= [x

0

, x

1

]

Ent˜

ao f (I

0

)

⊃ I

1

e

f (I

₁

)

_{⊃ I}

₀

_{∪ I}

₁

Um Lema elementar

f (I)

K

=)

9K

0

_{⇢ I t.q.}

f (K

0

) = K

K

K

0

per´ıod 3 =

_{⇒ qualquer per´ıodo}

per´ıodo 3 =

_{⇒ qualquer itiner´ario =⇒ ´orbita cujo}

fecho n˜

ao cont´

em pontos peri´

odicos =

_{⇒ ´orbita}

recorrente n˜

ao peri´

odica.

Sensibilidade com respeito a condi¸c˜

oes

iniciais.

pequenas perturba¸c˜

oes das condi¸c˜

oes

iniciais s˜

ao ampliadas exponencialmente

com a itera¸c˜

ao.

caos: a sensibilidade ocorre em um

conjunto grande de condi¸c˜

oes iniciais (

medida de Lebesgue positiva).

Teoria da Medida

C fam´ılia de subconjuntos de [0,1] com as

propriedades:

1

C cont´em todos os intervalos;

2

se A

∈ C ent˜ao o complementar de A pertence a C;

3

Se A

_i

, i = 1

.2. . . . pertencem a

C ent˜ao a uni˜ao ∪

_i

A

_i

pertence

a

_C.

Uma medida de probabilidade ´

e uma fun¸c˜

ao

µ :

_{C → [0, 1] tal que µ(∪}

i

A

i

) =

P

i

µ(A

i

) se os

A

i

s˜

ao dois a dois disjuntos

A medida de Lebesgue ´

e a medida m em

_{C que}

associa a cada intervalo o seu comprimento.

Outras medidas

Medidas atˆ

omicas: C

_{⊂ [0, 1] conjuto k pontos,.}

µ(A) =

_k

1

_{× n´umero de pontos emA ∩ C .}

Medida absolutamente cont´ınua (com respeito a

Lebesgue): µ(A) = 0 sempre que m(A) = 0.

⇓

µ(A) =

Z

A

d (x )dx ,

d (x )

_{≥ 0.}

per´ıodo 3

_{6⇒ caos}

f

a

(x ) = ax (1

− x) com atrator peri´odico de

per´ıodo 3;

B bacia de atra¸c˜

ao do atrator peri´

odico;

fato: o complementar de B tem medida de

Lebesgue zero;

µ medida atˆ

omica com massa 1/3 em cada

ponto do atrator peri´

odico ent˜

ao

1

n

#

{f

j

_{(x )}

∈ A; j ≤ n} → µ(A)

para todo x

_{∈ B.}

Dinˆ

amica estoc´

astica

f : [0, 1]

_{→ [0, 1] exibe sensibilidade com rela¸c˜ao}

a condi¸c˜

oes iniciais.

exite uma medida de probabilidade µ

absolutamente cont´ınua com respeito a

Lebesgue tal que

1

n

#

{f

j

_{(x )}

∈ A; 0 ≤ j ≤ n} → µ(A)

para quase toda condi¸c˜

ao inicial x .

Jakobson (1981): o conjunto dos parˆ

ametros

a

_{∈ (0, 4] tal que f}

a

´

e estoc´

astico tem medida de

Lebesgue positiva.

Theorem (Avila-de Melo-Lyubich+ Avila-Moreira,)

Em uma fam´ılia t´ıpica de transforma¸c˜

oes unimodais,

o conjunto dos parˆ

ametros para os quais a dinˆ

amica

´

e ou regular ou estoc´

astica tem medida de Lebesgue

total no espa¸co de parˆ

ametros

Observa¸

c˜

ao: o complementar dos regulares+

estoc´

asticos tem medida de Hausdorff positiva.

Problema aberto: estender teorema anterior para

fam´ılias t´ıpicas a dois parˆ

ametros de transforma¸c˜

oes

bimodais, mais geralmente, para fam´ılias t´ıpicas a k

parˆ

ametros de transforma¸c˜

oes com k pontos

Renormaliza¸

c˜

ao : dinˆ

amica no espa¸co dos

sistemas dinˆ

amicos.

Milnor-Thurston

5

1

3

4

8

2

0

0

1

3

4

5

10

2

1

2

3

10 0

5

4

5

4

2

3

0

6

1

3

2

0

4

1

1

2

5

0

10

3

4

2

3

4

1

5

6

7

8

2

3

0

6

4

1

5

2

0

1

4

3

PARAMETER SPACE

PHASE SPACE

Dinˆ

amica do operador de

renormaliza¸

c˜

ao: Horse Shoe

Go to my frame

Transforma¸c˜

oes de intercˆ

ambio de intervalos

f : [0, 1]

_{→ [0, 1] bije¸c˜ao com d pontos de}

descontinuidade cuja restri¸c˜

ao a cada um dos d

intervalos ´

e uma transla¸c˜

ao.

f = f (σ, λ), σ permuta¸c˜

ao dos d intervalos,

λ

_{∈ R}

d

₊

vetor dos comprimentos dos intervalos.

Espa¸co de dimens˜

ao finita de sistemas

Operadores de Schr”odinger quasi-peri´

odicos

Espa¸co de Hilbert

H = {u = (u

n

); n

∈ Z, u

n

∈ C,

X

n

|u

n

|

2

| < ∞}

Potencial:

V : R/Z

→ R

O operador:

(H(u))

n

= u

n+1

+ u

n

₋₁

+ V (nα)u

n

α irracional.

Operador ”almost Mathieu”

Teoria Espectral

Espectro de um operador H :

_{H → H}

σ(H) =

_{{λ ∈ C; H − λI real nao tem inversa}

cont´ınua

_}

H auto-adjunto

_{⇒ σ(H) ⊂ R.}

medidas espectrais: a cada h

_{H est´a associado}

uma medida µ

h

no espectro de H tal que

medidas espectrais absolutamente continuas:

part´ıcula quˆ

antica se movimenta livremente

como os el´

etrons em um metal.

medidas espectrais discretas: estado ligado

como um el´

etron em um material isolante.

medidas espectrais cont´ınuas singulares: sem

interpreta¸c˜

ao f´ısica.

Theorem (Avila)

Em uma fam´ılia t´ıpica a um parˆ

ametro de

operado-res de Schrodinger, para todo valor do parˆ

ametro

ou as medidas espectrais s˜

ao todas absolutamente

cont´ınuas ou s˜

ao todas discretas.

OBRIGADO