VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Vamos agora analisar em detalhe algumas variáveis aleatórias discretas, nomeadamente:

• Uniforme

• Bernoulli

• binomial

• binomial negativa (ou de Pascal)

• geométrica • hipergeométrica • poisson • multinomial • hipergeométrica generalizada DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Diz-se que uma v.a. discreta X tem distribuição uniforme se a sua função de probabilidade for dada por:

( )

      ₌ = valores outros 0 N ..., , 3 , 2 , 1 x N 1 x p_X

A v.a. X assume pois um conjunto finito de valores equiprováveis.

O parâmetro que caracteriza esta distribuição é N, um valor inteiro positivo qualquer.

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( )

2 1 N ... x p x X E N _X _i 1 i x i + = = ⋅ ∑ = =

( )

=

( )

2 −

[

( )

]

2 = X E X E X Var =       + − ⋅ ∑ = = 2 N 1 i x 2 i 2 1 N N 1 x

(

)(

) (

)

4 1 N 6 1 N 2 1 N N N 1 _⋅ + + ₋ + 2 = 12 1 N2 − = DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

Sucessão de provas de Bernoulli

Dá-se o nome de provas de Bernoulli a um processo ou experiência caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições:

• em cada prova só há dois resultados possíveis, mutuamente exclusivos, denominados sucesso e insucesso.

• a probabilidade de sucesso, designada por p,

mantém-se constante de prova para prova. A probabilidade de

insucesso é designada por q =1− p.

• as provas são independentes, isto é, os resultados obtidos numa certa prova ou sequência de provas não afectam os resultados da(s) prova(s) subsequente(s).

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Existem muitas situações reais que respeitam, embora muitas vezes de forma aproximada, as hipóteses subjacentes a um processo de Bernoulli.

Considere-se uma prova de Bernoulli e uma v.a. X que só assume dois valores: o valor 0 quando o resultado da prova é insucesso e o valor 1 quando o resultado da prova

é sucesso. Ao sucesso está associada a probabilidade p e

ao insucesso a probabilidade 1− p = q, fixas.

Diz-se que a v.a. discreta X tem distribuição de Bernoulli se a sua função de probabilidade for dada por:

( )

(

)

     _⋅ ₋ ₌ = − valores outros 0 1 , 0 x p 1 p x p x 1 x X

Esta distribuição tem um só parâmetro p que satisfaz a condição: 0 < p <1 .

O valor esperado e a variância são respectivamente:

( )

X p

E =

( )

X p q

Var = ⋅

Nestas condições a v.a. X com distribuição de Bernoulli pode definir-se em termos genéricos como:

X – número de sucessos numa prova de Bernoulli DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

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A distribuição binomial assenta também no conceito de provas de Bernoulli e é sem dúvida uma das distribuições de probabilidade discretas mais largamente utilizada como modelo teórico adequado a uma grande variedade de situações observáveis na prática.

Esta distribuição é também importante na teoria da amostragem.

A distribuição binomial aparece associada ao seguinte tipo de problema: determinar a probabilidade de, em n provas de Bernoulli, serem obtidos x sucessos (correspondendo à realização de um certo acontecimento A) e portanto

((((

n −−−− x

))))

insucessos (não realização de A).

A seguinte sucessão de n provas de Bernoulli é uma sucessão favorável ao objectivo em causa:

provas n insucessos x n sucessos x A ... A ... A A A A ... A ... A A A −

A probabilidade associada a esta sucessão é px qn −x. Reconhece-se facilmente que todas as sucessões favoráveis são equiprováveis e o seu número é 

     x n

(as diferentes maneiras de obter x sucessos – e portanto

(

n − x

)

insucessos – em n provas de Bernoulli).

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X – número de sucessos em n provas de Bernoulli tem distribuição binomial e escreve-se: X ~ b (n,p) se a sua função de probabilidade for dada por:

( )

(

)

       = −       = − valores outros 0 n ..., , 2 , 1 , 0 x p 1 p x n x p x n x X

Os parâmetros que caracterizam esta distribuição são n e p. O parâmetro n corresponde ao número de provas de Bernoulli a efectuar, sendo n um inteiro positivo qualquer. O parâmetro p corresponde à probabilidade associada ao sucesso e 0 < p <1 . Notar que se X ~ b (n,p) então Y = n – X é também binomial mas, Y ~ b (n,q).

O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:

( )

X n p

E = ⋅

( )

X n p q

Var = ⋅ ⋅

Estas expressões podem ser obtidas pela definição ou recorrendo à função geradora de momentos, G_X

( )

t :

( )

n x

(

)

n x 0 x x t x t X p 1 p x n e e E t G − = − ∑       = =

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(

_t

)

n q e

p⋅ +

= em que q =1− p

ASPECTO GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (em função dos parâmetros n e p)

• para p = 0,5 a distribuição binomial é simétrica, qualquer que seja o valor de n.

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• para p < 0,5 a distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.

• para p > 0,5 a distribuição binomial é assimétrica negativa ou enviesada à direita.

• quanto mais afastado estiver p de 0,5 mais enviesada é a distribuição.

• Mesmo para valores de p diferentes de 0,5 quanto maior for n, mais próxima da simetria estará a distribuição.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA

Considere-se uma sucessão de provas de Bernoulli. Seja a v.a. X – número de provas a realizar, até se obterem k sucessos.

Admitamos então que se realizam x provas em que ocorrem k sucessos e portanto (x – k) insucessos; a x-ésima prova é sempre um sucesso. Representando o sucesso por A e o insucesso por A temos o seguinte esquema:

( ) ( ) A A A ... A A A A A A provas 1 x sucessos 1 k − −

que salienta o facto de nas primeiras (x – 1) provas ocorrerem ( k – 1 ) sucessos e na x-ésima prova ocorrer sempre o último sucesso pretendido. Este esquema representa apenas uma das maneiras de obter ( k – 1 ) sucessos em ( x – 1 ) provas.

O número de maneiras diferentes de obter ( k – 1 ) sucessos em ( x – 1 ) provas é dado por:

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(

)

(

k 1

) (

! x k

)

! ! 1 x 1 k 1 x − − − =       − −

As probabilidades associadas ao sucesso e ao insucesso são respectivamente:

P(A) = p e P( A ) = 1 – p = q

Em resumo, diz-se que a v.a. discreta X definida como:

X – número de provas a realizar até se obterem k sucessos

tem distribuição binomial negativa e escreve-se: X ~ bn (k,p) se a sua função de probabilidade for dada por:

( )

(

)

       + = −       − − = − valores outros 0 ... , 1 k , k x p 1 p 1 k 1 x x p k x k X

Os parâmetros que caracterizam esta distribuição são k e p. O parâmetro k é um inteiro positivo fixado à partida e corresponde ao número de sucessos pretendidos. O parâmetro p corresponde à probabilidade associada ao sucesso e 0 < p <1 . O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:

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( )

p k X E =

( )

(

₂

)

₂ p q k p p 1 k X Var = ⋅ − = ⋅

( )

t :

( )

k

(

)

x 0 x x t k t x t X p 1 p x 1 k x e e e E t G ∑  −      + − = = ∞ =

(

)

( ) (

)

k t k t k t t e q 1 e p p 1 e 1 e p ₌ _⋅ _⋅ ₋ _⋅ −       − ⋅ − ⋅ = em que q =1− p (demonstração ...) DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA

Esta distribuição é um caso particular da binomial negativa quando k = 1, isto é, considere-se uma sucessão de provas de Bernoulli e seja a v.a. X – número de provas a realizar, até se obter o primeiro sucesso.

Então a caracterização desta variável obtém-se a partir da anterior fazendo k = 1.

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X – número de provas a realizar até se obter o primeiro sucesso

tem distribuição geométrica e escreve-se: X ~ g (p) se a sua função de probabilidade for dada por:

( ) (

x 1 p

)

p x 1,2,...

p_X = − x−1 ⋅ =

O parâmetro p corresponde à probabilidade associada ao sucesso e 0 < p <1 .

O valor esperado e a variância para esta distribuição são respectivamente:

( )

p 1 X E =

( ) (

₂

)

₂ p q p p 1 X Var = − =

( )

t :

( )

(

)

x 1 1 x x t x t X t E e e p 1 p G ∞ − = − ∑ = =

(

)

t t t t e q 1 e p p 1 e 1 e p ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = em que q =1− p (demonstração ...)