Distribuição de frequências de variáveis discretas

Distribuição de Frequências

Conceitos fundamentais

População – conjunto de indivíduos, elementos ou objectos que apresentam uma ou mais características (atributos) em comum.

Amostra – subconjunto da população que deve ser representativa da mesma.

Características ou atributos – estes podem ser:

Qualitativos – se as suas diferentes modalidades não são mensuráveis, isto é não podem ser expressos em números;

Quantitativos – se as suas diferentes modalidades são mensuráveis, isto é, po-dem ser expressos em números;

Dicotómicos – quando tomam apenas dois valores possíveis.

Variável – Símbolo que representa determinada característica da população ou da amostra. As variáveis podem ser

Discretas – tomam um número finito ou infinito numerável de valores; Contínuas – tomam um número infinito não numerável de valores.

Distribuição de frequências de variáveis discretas

Conjunto de todos os valores de uma variável e das frequências absolutas ou relativas correspondentes.

Dimensão da população – N Dimensão da amostra – n

Valores de uma variável - X₁, X₂,X₃,, X_p

Frequência absoluta - F _i

Frequência relativa - f_i =F N_i ; f_i =F n_i

Frequências absolutas acumuladas – cum F _i

Distribuição de frequências de variáveis contínuas

Número de classes – K – que pode ser determinado da seguinte forma: 5 para 25 e para 25

K = n< K ≈ n n≥ ou 1 3.22 log

K = + n

o número de classes deve ser 4< <K 14 e nenhuma classe deverá ter frequência nula, e as classes são da forma

[

l l _i, _s

[

Amplitude das classes – max min

i X X R a K K − = =

Ponto médio da classe –

2 i s i l l C = + Frequência normalizada – h_i =F a_{i i}

Medidas de Localização

Média Aritmética

População - µ Amostra - X Dados Desagregados ₁ N i i X N =

∑

n X n i i

∑

₌₁ Dados Agregados

∑

∑

= = ₌ k i i i k i i i f X N F X 1 1

∑

∑

= = ₌ k i i i k i i i f X n F X 1 1

Dados Agregados em classes

∑

∑

= = ₌ k i i i k i i i f C N F C 1 1

∑

∑

= = ₌ k i i i k i i i f C n F C 1 1

Média Geométrica

Dados Desagregados 1 1

Dados Agregados em classes    

∑

₌ i i i C f 1 log log ant

Média Harmónica

Dados Agregados 1 1 1 1 1 N N i i i i i i N F f X X = = =

∑

∑

Mediana

• Dados Discretos 1 2 2 ; se n par 2 1 ; se n impar 2 n n obs obs Me n obs   ₊  ₊       _{   }  =_  _{ + }  _{ }     • Dados Contínuos Frequências absolutas

( )

(

)

( )

( )

2 cum 1 N F Me Me li Me a Me F Me − − = + × Frequências relativas

( )

(

)

( )

( )

0, 5 cum 1f Me Me li Me a Me f Me − − = + × com:

( )

li Me - limite inferior da classe mediana

(

)

(

)

cum 1 ; cum 1F Me− f Me− - frequência acumulada absoluta e relativa da classe anterior à classe mediana

( ) ( )

;

F Me f Me - frequência absoluta e relativa da classe à classe mediana

( )

a Me - amplitude da classe mediana

Moda

Frequências absolutas

( )

(

)

(

)

(

)

i

( )

o o i i o i i o i i o i o a M M a F M a F M a F M l M × + + − + + = 1 1 1

( )

o i M

l limite inferior da classe modal

(

_o −1

)

i i M a F

frequência absoluta normalizada da classe anterior à classe modal

(

_o +1

)

i i M a F

frequência absoluta normalizada da classe posterior à classe modal

( )

o

i M

a amplitude da classe modal

Percentil

p relativo à percentagem x é dado por:

( )

_{( )}

(

)

a

( )

P P f P f x P l P _i i i i × − − + = Cum 1 com:

( )

P

l_i - limite inferior da classe onde se situa o percentil

(

1

)

Cum fi P− _{- frequência relativa acumulada da classe anterior à classe}

onde se situa o percentil

( )

P

f_i

- frequência relativa da classe onde se situa o percentil

( )

P

a_i

- amplitude da classe onde se situa o percentil

Dados Desagregados 1 i i X N µ = −

∑

Dados Agregados

∑

−µ = i K i i X f 1

Dados Agregados em classes

∑

−µ

= i K i i C f 1

Variância

População - σ2 Amostra - S2 Dados Desagregados

(

)

2 ₂ 2 1 1 N N i i i i X X N N µ µ = = − = −

∑

∑

(

)

2 ₂ 2 1 1 n n i i i i X X X X n n = = − = −

∑

∑

Dados Agregados

(

)

2 _{2 2} i i i i f X −µ = f X −µ

∑

∑

(

)

2 _{2 2} i i i i f X −X = f X −X

∑

∑

Dados Agregados em classes

(

)

2 _{2 2} i i i i f C −µ = f C −µ

∑

∑

(

)

2 1 2 1 2 2 X C f X C f s k i i i k i i i − = − =

∑

∑

= =

Desvio padrão

População Amostra 2 σ = + σ 2 S = + S

Coeficiente de variação

População Amostra 100 CV σ µ = × CV S 100 X = × Me Mo= = µ ⇒ Distribuição Simétrica Me Mo≤ ≤

µ ⇒ Distribuição assimétrica positiva ou enviesada à esquerda

Me Mo≥

≥

Medidas de Concentração

Índice de Gini

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 Cum Cum 1 ; , n n i i i i i i i i i n n i i i i i i p q q F Y IG p q F Y p p − − = = − − = = − =

∑

= −

∑

= =

∑

∑

∑

∑

, i i

Y F - Característica e frequência absoluta para cada classe i.

Medidas de Assimetria

Grau de Assimetria

População Amostra

(

)

3 Me G µ σ − = G 3 X

(

Me

)

S − =

Coeficiente de Pearson

1 Mo G µ σ − = se: 1 0

G < ⇒ distribuição assimétrica negativa

1 0

G = ⇒ distribuição simétrica

1 0

G > ⇒ distribuição assimétrica positiva

3 1 2 3 1 2 Q Q Me G Q Q + − = −

Números Índices

Definição

0 0 100 t t V I V = ×

Índices de Laspeyres

Preços 100 0 0 0 × ∑ ∑ = Q P Q P L i pi Quantidades 100 0 0 × ∑ ∑ = Q P Q P L i i qi

Índices de Paasche

Preços 100 0 × ∑ ∑ = i i i pi Q P Q P P Quantidades 100 0 × ∑ ∑ = Q P Q P P i i i qi

Índices de Valor

100 0 0 × ∑ ∑ = Q P Q P I i i vi

Índices Compósitos ou Sintéticos

100 0 × ∑ ∑ = WX WX I i ci

Regressão Linear Simples

Recta de regressão

a Y = +a b X

Coeficientes de regressão

a= −Y b X

(

)

2 2 i i i i i i n X Y X Y b n X X − = −

∑

∑ ∑

∑

∑

Coeficiente de determinação

(

)(

)

(

)

2 2 2 variaçao explicada de Y variaçao total de Y i i i i i i b X X Y Y b x y R y Y Y − − = = = −

∑

∑

∑

∑

 

Coeficiente de correlação linear de Pearson