INTRODUÇÃO. O Autor. Adaptado de Programa e Metas Curriculares de Matemática A do Ensino Secundário

(1)

INTRODUÇÃO

«…O Programa e as Metas Curriculares respeitam a estrutura cumulativa que é

característica da disciplina de Matemática, apoiando-se os novos

conhecimen-tos em outros previamente estudados e adquiridos.

A memorização, da compreensão cumulativa de conceitos e do

desenvolvi-mento do raciocínio abstrato são capacidades indispensáveis a um bom

per-curso escolar ou profissional, em qualquer área do conhecimento. O

desenvol-vimento do raciocínio abstrato deve ser considerado como uma finalidade em

si. Apenas a memorização e a compreensão cumulativa de conceitos, técnicas e

relações matemáticas permitem alcançar conhecimentos progressivamente

mais complexos e resolver problemas progressivamente mais exigentes.

As rotinas e automatismos são essenciais à atividade matemática. Os

procedi-mentos formam uma ponte entre os conheciprocedi-mentos elementares e a utilização

da Matemática para a resolução de problemas rotineiros.»

Adaptado de Programa e Metas Curriculares de Matemática A do Ensino Secundário

Este livro vai ao encontro do que preconizam o Programa e as Metas Curriculares

e pretende ser uma ferramenta essencial para a consolidação de conhecimentos.

A estrutura do livro respeita a distribuição dos Domínios e Subdomínios do

Pro-grama.

Cada subdomínio ou grupo de dois subdomínios está organizado em duas partes:

• Exercícios resolvidos

• Exercícios para resolver

As resoluções dos Exercícios para resolver estão disponíveis em www.escola

virtual.pt.

Pretende-se com este livro proporcionar aos alunos mais um instrumento que

permita complementar o estudo e que contribua para uma eficaz preparação

para os diversos momentos de avaliação a que será sujeito durante o ano e uma

efetiva preparação para o Exame Nacional.

(2)

ÍNDICE

FORMULÁRIO

... 5

TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos ... 8 Razões trigonométricas dos ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos

Orientação de ângulos num plano e rotações ... 13 Ângulo orientados e as respetivas medidas de amplitude

Rotações segundo ângulos orientados Ângulos generalizados

Razões trigonométricas de ângulos generalizados Medidas de ângulos em radianos

Funções trigonométricas e propriedades Funções trigonométricas inversas

Resolução de problemas ... 33

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER

Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos ... 37 Razões trigonométricas dos ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos

Orientação de ângulos num plano e rotações ... 39 Ângulo orientados e as respetivas medidas de amplitude

Rotações segundo ângulos orientados Ângulos generalizados

Razões trigonométricas de ângulos generalizados Medidas de ângulos em radianos

Funções trigonométricas e propriedades Funções trigonométricas inversas

GEOMETRIA ANALÍTICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Declive e inclinação de uma reta ... 54 Inclinação de uma reta

Produto escalar ... 58 Propriedades do produto escalar de vetores

Equações de planos no espaço

Resolução de problemas ... 68 _EXMAT11 © R

AIZ EDIT OR A EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A

(3)

3 EXERCÍCIOS PARA RESOLVER

Declive e inclinação de uma reta ... 79 Inclinação de uma reta

Produto escalar ... 81 Propriedades do produto escalar de vetores

Equações de planos no espaço

SUCESSÕES

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Generalidades sobre sucessões ... 94 Majorantes e minorantes de um conjunto de números reais

Propriedades elementares de sucessões reais

Princípio de indução matemática ... 109 Utilizar o princípio de indução matemática na demonstração de propriedades

Progressões aritméticas e geométricas ... 112 Termo geral de uma progressão aritmética

Termo geral de uma progressão geométrica

Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética ou geométrica

Limites de sucessões ... 122 Limite de uma sucessão

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER

Generalidades sobre sucessões ... 147 Majorantes e minorantes de um conjunto de números reais

Propriedades elementares de sucessões reais

Princípio de indução matemática ... 151 Utilizar o princípio de indução matemática na demonstração de propriedades

Progressões aritméticas e geométricas ... 152 Termo geral de uma progressão aritmética

Termo geral de uma progressão geométrica

Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética ou geométrica

Limites de sucessões ... 156 Limite de uma sucessão

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Funções racionais ... 162 Limite segundo Heine de funções reais de variável real ... 167

Limite de uma função num ponto e propriedades

EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A

(4)

Continuidade e propriedades Assíntotas ao gráfico de uma função

Derivadas de funções reais de variável real e aplicações ... 190 Noção de derivada

Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto Operar com derivadas

Aplicação da noção de derivada ao estudo de funções

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER

Funções racionais ... 207 Limite segundo Heine de funções reais de variável real ... 209

Limite de uma função num ponto e propriedades Continuidade e propriedades

Assíntotas ao gráfico de uma função

Derivadas de funções reais de variável real e aplicações ... 217 Noção de derivada

Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto Operar com derivadas

Aplicação da noção de derivada ao estudo de funções

ESTATÍSTICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Reta de mínimos quadrados, amostras bivariadas e coeficiente de correlação ... 230 Parâmetros da reta de mínimos quadrados

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER

Reta de mínimos quadrados, amostras bivariadas e coeficiente de correlação ... 239 Parâmetros da reta de mínimos quadrados

TESTE GLOBAL I

... 245

TESTE GLOBAL II

... 250

SOLUÇÕES

... 255 EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A

(5)

14

ORIENTAÇÃO DE ÂNGULOS NUM PLANO E ROTAÇÕES

8 Indica o ângulo generalizado de amplitude:

8.1 1500º

8.2 2910º

8.3 3655º

8.4 _{− 1880º}

8.5 _{− 4725º}

8.6 _{− 4340º}

RESOLUÇÃO

8.1 1500º

_{= 60º + 4 × 360º}

Logo, tem-se,

(

60º , 4

)

.

8.2 2910º

_{= 30º + 8 × 360º}

Logo, tem-se,

(

30º , 8

)

.

8.3 3655º

= 55º + 10 × 360º

Logo, tem-se,

₍

55º , 10

₎

.

8.4 _{− 1880º = − 80º − 5 × 360º}

Logo, tem-se,

(

_{− 80º , − 5}

)

.

8.5 _{− 4725º = − 45º − 13 × 360º}

Logo, tem-se,

(

− 45º , − 13

)

.

8.6 − 4340º = − 20º − 12 × 360º

Logo, tem-se,

₍

_{− 20º , − 12}

₎

.

9 Na figura, está representado um hexágono

regular

_{[ABCDEF] , inscrito numa}

circunfe-rência de centro O e raio 6 cm .

9.1 Utilizando letras da figura, indica o

lado extremidade do ângulo orientado com

lado origem O

̇

A e amplitude:

9.1.1 480º

9.1.2 600º

9.1.3 _{− 720º}

9.1.4 _{− 1200º}

9.2 Indica a imagem do ponto E por uma

rotação de centro O e amplitude:

9.2.1 60º

_{+ 4 × 360º}

9.2.2 _{− 120º − 4 × 360º}

9.2.3 2760º

9.2.4 _{− 3360º}

9.3 Determina as imagens de F pelas rotações de centro O e ângulos

generali-zados:

9.3.1 (

120º , 4

)

9.3.2 (

_{− 240º , − 6}

)

9.3.3 (

60º , 11

)

9.3.4 (

_{− 180º , − 10}

)

RESOLUÇÃO

9.1.1 O

̇

E

9.1.2 O

̇

C

9.1.3 O

̇

A

9.1.4 O

̇

C

9.2.1 D

9.2.2 A

9.2.3 A 2760

_{= 240º + 7 × 360º}

9.2.4 A

_{− 3360 = − 120º − 9 × 360º}

9.3.1 D

9.3.2 D

9.3.3 E

9.3.4 C

A C O B E F D EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A

(6)

10 Na figura, está representado um

referen-cial o. n. xOy e nele a circunferência

tri-gonométrica.

Considera os pontos A , P , Q , R e S

que estão sobre a circunferência.

Sabe-se que:

• as coordenadas do ponto A são

(

1 ; 0

)

;

• A O

̂

P

_{= 30º}

• A O

̂

Q

_{= 120º}

• A O

̂

R

_{= 225º}

• A O

̂

S

_{= 300º}

Determina as coordenadas dos pontos P , Q , R e S .

RESOLUÇÃO

Ponto P

Seja P

′

_{a projeção do ponto P sobre o eixo Ox .}

sin

(

30º

)

₌

___

‾

P P

′

‾

OP

⇔ 1

__

2 =

‾

P P

′

___

₁

_{⇔ ‾}

P P

′

_{= 1}

__

₂

cos

(

30º

)

₌

___

‾

O P

′

‾

OP

⇔

√

_{__}

__

₃

2 =

‾

O P

′

___

₁

_{⇔ ‾}

O P

′

₌

√

__

3 __

₂

Logo, P

₍

√

__

3 __

₂

; 1

__

₂

₎

.

Ponto Q

Seja Q

′

_{a projeção do ponto Q sobre o eixo Ox .}

sin

₍

60º

₎

₌

___

‾

Q Q

′

‾

OQ

⇔

√

_{__}

__

₃

2 =

‾

Q Q

′

___

₁

_{⇔ ‾}

Q Q

′

=

√

__

3 __

₂

cos

(

60º

)

₌

___

‾

O Q

′

‾

OQ

⇔ 1

__

2 =

‾

O Q

′

___

₁

_{⇔ ‾}

O Q

′

_{= 1}

__

₂

Logo, P

₍

_{− 1}

__

₂

;

√

__

3 __

₂

₎

.

A x y O P P’ A x y O Q Q’ A x y O S Q P R EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A EXMA T11 © R AIZ EDIT OR A EXERCÍCIOS RESOL VIDOS

(7)

212

16 Calcula, caso existam, os limites seguintes:

16.1 lim

x → + ∞

− x

3

− x

2

+ 2

_________

2 x

3

− x

2

− 1

16.2 lim

x → + ∞

4 x

3

+ 3x − 5

_________

_2x

− 1

16.3 lim

x → − ∞

− x

5

_{+ x}

2

− x + 2

___________

− 3 x

2

+ 2x − 2

16.4 lim

x → − ∞

− 4 x

6

_{− 4 x}

3

_{+ x}

2

___________

4 x

7

− 4 x

2

− 1

16.5 lim

x → + ∞

√

__

x

2

_____

x

_{+ x}

√

__

x

17 Determina, caso existam, os limites seguintes:

17.1 lim

x → + ∞

2x +

√

__

x

2

______

x

+

√

__

x

17.2 lim

x → + ∞

√

________

2 x

2

+ x + 5

________

_2x

+ 2

18 Determina, caso existam, os limites seguintes:

18.1 lim

x → 1

(

1 − x

2₎

× 1

____

_x

_{− 1}

₎

18.2 lim

x → 3

(

x

2

− 3x

)

_{× 2x}

______

(

x

− 3)

2

)

18.3 lim

x → 4

((

x

2

_{− 16}

₎

_×

_____________

2 x

3

− 7 x

2

+ 8x + 16

)

19 Considera as funções f e g , reais de variável real.

Sabe-se que:

• f

(

x

)

=

______

(

x

− 3)

2

√

___

3x

_{− 3}

• g é uma função limitada de domínio

_{ℝ .}

O valor de lim

x → 3

(

f

(

x

)

× g

(

x

)

é :

A.

3

B. _{+ ∞}

C. Não existe.

D.

0

LIMITES SEGUNDO HEINE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

(8)

20 Considera as funções f e g , reais de variável real.

Sabe-se que:

• f

₍

x

)

₌

√

_____

x

2

_{+ 8}

• g

(

x

)

_{= x + 2}

Calcula, justificando:

20.1 lim

x → − 1

g

(

x

)

; lim

x → 1

f

(

x

)

; lim

x → − 1

(

f

∘ g

)

(

x

)

20.2 lim

x → − 1

f

(

x

)

; lim

x → 3

g

(

x

)

; lim

x → − 1

(

g

∘ f

)

(

x

)

21 Considera as funções f e g , reais de variável real, representadas abaixo.

O 2 2 3 y x f 3 4 O 3 2 1 2 1 1 3 -1 -3 y g x

Mostra que a função f é descontínua em x

= 2 e que a função g é contínua em

x

_{= − 1}

22 Considera a função f , real de variável real, definida por

f

₍

x

)

₌

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

x

2

− 8

_____

₇

− x

se x

≤ 3

1 __

₄

se x

_{≤ 3}

√

_{______}

____

x

_{+ 1 − 2}

x

_{− 3}

se x

> 3

Mostra que a função f é contínua em x

_{= 3 .}