MNE 736: Introdução aos Métodos Aprox. para Engenharia RELATÓRIO II

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MNE 736: Introdu¸

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ao aos M´

etodos Aprox. para Engenharia

RELAT ´

ORIO II

discente: Sara Coelho da Silva

docente: Dr. Jos´e Antonio Marques Carrer

PPGMNE: Programa de Pós Gradua¸cão em Métodos Numéricos, UFPR. sarasilva@utfpr.edu.br

O PROBLEMA DA VIGA COM CARGA EM UMA DAS EXTREMIDADES 07 de Setembro de 2014

INTRODUC¸ ˜AO

Como já citado no relatório I, a equa¸cão da onda governa uma grande variedade de fenômenos ondulatórios. Como exemplo, podemos citar ondas eletromagnéticas, ondas de água, fluxo su-persônico, acústica, ondas elásticas em cordas vibrantes e membranas.

Neste estudo analisaremos a equa¸cão da onda que rege a vibra¸cão de uma viga engastada na sua extremidade inferior(ou à direita) com uma carga de apoio em sua extremidade superior(ou `

a esquerda.)

Figura 1: Problema da viga engastada em uma extremidade

A amplitude da vibra¸c˜ao sofrida por este viga ser´a descrita por:

∂u ∂x2 = 1 c2 ∂u ∂t2 (1)

satisfazendo as condi¸c˜oes:

        

u(0, t) = 0 (a) : A viga está engastada na extremidade à direita. u(x, 0) = 0 (b) : No instante inicial n~ao há nenhuma oscila¸c~ao. ut(x, 0) = 0 (c) : A velocidade inicial é nula, uma vez que u(x, 0) = 0.

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onde:

• u(x, t) é a amplitude de oscila¸cão da viga na posi¸cão x e no instante t;

• c é a velocidade de propaga¸cão da onda(vibra¸cão) causada pela carga p(L, t) = 1.

• L ´e o comprimento da corda.

A dedu¸cão da equa¸cão da onda, aplicando as leis de Newton ao movimento de um segmento de corda, já foi apresentada no RELAT ÓRIO I.

Portanto, neste trabalho somente explicitaremos a solu¸cão anal´ıtica do problema proposto e obteremos pelo M.D.F implementando em Fortran, a solu¸cão numérica.

Por fim faremos uma análise gráfica comparativa (2d e 3d) da solu¸cão numérica obtida com a solu¸cão anal´ıtica descrita na literatura.

1. A solu¸c˜ao anal´ıtica para o problema proposto

Para o problema já proposto e modelado pela equa¸cão (1) desejarmos obter u(x, t), ou seja, saber como se comporta a viga em cada instante t, usando as condi¸cões impostas anteriormente.

A solu¸cão anal´ıtica para este problema está descrita nas disserta¸cões [9] e [8] e é dada por:

u(x, t) = x + 8L π2 ∞ X n=1,3,5,7,... (−1)n n2 .sen _nπx 2L . cos _nπct 2L (2)

Conforme [5] podemos utilizar o Método da Separa¸cão das Variáveis explicitado no RE-LAT ÓRIO I para obtermos a solu¸cão dada pela Equa¸cão (2).

2.1 Implementa¸c˜ao Computacional da Solu¸c˜ao Anal´ıtica

Para implementa¸cão da solu¸cão anal´ıtica da Equa¸cão da Onda renomeamos u(x, t) para f (x, t) e utilizamos Fortran 90.

Resumidamente realizou-se os seguintes procedimentos:

1- Abertura de arquivo de dados:

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2- C´alculo dos incrementos: dx = L/(1.0d0 ∗ n) e dt = T /(1.0d0 ∗ m)

3- C´alculo das constantes adimensionais: ρ = cdt

dx, k1= ρ

2_{, k}

2 = 2.(1 − k1).

4- C´alculo do n´umero de linhas e colunas a serem considerados: x = n + 1 e y = m + 1.

5- Aloca¸c˜ao da matriz que abriga os termos da s´erie que representa f (x, t):

allocate(termo(x, y))

6- Aloca¸c˜ao da matriz que abriga a soma dos termos da s´erie que representa f (x, t):

allocate(soma(x, y))

7- Aloca¸c˜ao da matriz que abriga a solu¸c˜ao anal´ıtica f (x, t): allocate(f(x,y))

8- Chamar a subrotina que calcula a solu¸c˜ao anal´ıtica f (x, t) : CALL SOLUCAO.ANALITICA

9- Implementa¸c˜ao da subrotina SOLUCAO.ANALITICA:

Da equa¸c˜ao (2) temos: u(x, t) = x + 8L π2 ∞ X n=1,3,5,7,... (−1)n n2 .sen _nπx 2L . cos _nπct 2L (2)

Como discretizamos x e t faremos: 1 ≤ i ≤ x e 1 ≤ j ≤ y para obtermos f (x, t) = u(x, t) somente nos pontos da malha. Ou seja,

u(x, t) = u((i − 1)dx, (j − 1)dt) = u(i, j) = f (i, j) (3) Aproximaremos (2) utilizando uma soma de 500 termos, da seguinte maneira:

• 1 ≤ i ≤ x : do i = 1, x • 1 ≤ j ≤ y : do j = 1, y • 1 ≤ k ≤ 1000, s = (2k − 1) = 1, 3, 5, 7, . . .. e faremos: termo(i, j) = (−1) s s2 .sen _{sπ(i − 1)dx} 2L . cos _{sπc(j − 1)dt} 2L (4)

soma(i, j)=soma(i, j)+termo(i, j)

Assim, iniciamos um ciclo duplo(do i = 1, x; do j = 1, y), para explorar cada ponto (i, j) que representa um ponto (x, t) da malha. Em seguida, executamos um ciclo interno (s = 1, 1000, 2) e obtemos:

f (i, j) = (i − 1)dx +8L

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10 - Implementa¸c˜ao da subrotina IMPRIME-RESULTADOS:

Com esta subrotina, os valores obtidos na subrotina SOLUCAO.ANALITICA, são armaze-nados em um arquivo, para posterior visualiza¸cão geométrica tridimensional:

(i − 1) ∗ DX, (j − 1) ∗ DT, f (i, j)

Para possibilitar a visualiza¸cão gráfica necessitamos de um aplicativo construtor de gráficos. Neste trabalho, utilizamos o gnuplot 4.6.

Usaremos um “script” apropriado editado no bloco de notas que possibilitará ao aplicativo gráfico a representa¸cão geométrica dos pontos já armazenados:

Figura 3: “Script” para visualiza¸c˜ao 3d da solu¸c˜ao anal´ıtica

Este “script” ´e chamado no programa implementado em FORTRAN, usando a seguinte des-cri¸c˜ao:

VER = SYSTEM (”Wgnuplot comandosanalitica3d.txt”)

Obtemos assim, a representa¸cão 3d da solu¸cão anal´ıtica, que será comparada com a solu¸cão numérica na se¸cão posterior.

No anexo ao relatório segue a implementa¸cão completa e sequencial em FORTRAN, das solu¸cões anal´ıtica e numérica.

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Figura 4: Solu¸c˜ao Anal´ıtica da Equa¸c˜ao da Onda

3. Solu¸cão Numérica da Equa¸cão da Onda

Para obten¸cão da solu¸cão numérica da Equa¸cão da Onda aplicaremos o Método das Di-feren¸cas Finitas (M.D.F)já descrito no RELAT ÓRIO I.

Nosso objetivo é obter a discretiza¸cão do problema modelado pela Equa¸cão (1):

∂2u ∂x2 = 1 c2 ∂2u ∂t2

satisfazendo as condi¸c˜oes:

         u(0, t) = 0 (a) u(x, 0) = 0 (b) ut(x, 0) = 0 (c) ux(L, t) = 1 = p(L, t) (d) 3.1 Discretiza¸c˜ao

Vamos subdividir o trecho considerado no eixo x, o intervalo [0, L] = [0, 1], em se¸c˜oes espa¸cadas de 0.2 m, (∆x = 0.2) e para an´alise temporal utilizaremos T = 8 s seccionado em 800 subintervalos de comprimento ∆t = 0.01.

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Obtemos assim, n = 5 subintervalos no eixo x e m = 800 subintervalos no eixo t e o nosso dom´ınio deixa de ser cont´ınuo (x, t) e passa a ser discreto, constitu´ıdo somente dos x.y = (n + 1).(m + 1) = 6 × 801 = 4806 pontos da malha.

Figura 5: Discretiza¸c˜ao do Dom´ınio em malha de 4806 n´os.

Deste modo, cada ponto (x, t) da malha ´e descrito por um n´o (i, j) : 1 ≤ i ≤ n + 1, 1 ≤ j ≤ n + 1. Ou seja,

(x, t) = ((i − 1)∆x, (j − 1)∆y).

3.2 Esquema Expl´ıcito

Para simplificarmos a nota¸c˜ao, adotaremos:

u(xi, tj) = ui,j, u(xi+ ∆x, tj) = ui+1,j, u(xi− ∆x, tj) = ui−1,j

E de maneira an´aloga,

u(xi, tj+ ∆t) = ui,j+1, u(xi, yj− ∆t) = ui,j−1

Assim, aplicando o M´etodo das Diferen¸cas Finitas, podemos escrever:

∂2u ∂t2 = uj+1_i − 2uj_i + uj−1_i ∆t2 (5) ∂2u ∂x2 = uj_i+1− 2uj_i + uj_i−1 ∆x2 (6)

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Substituindo (5) e (6) em (1), resulta: uj_i+1− 2uj_i + uj_i−1 ∆x2 = 1 c2 uj+1_i − 2uj_i + uj−1_i ∆t2 ! (7)

Resolvendo (7) para uj+1_i , escrevemos:

uj+1_i = _c.∆t ∆x 2 uj_i+1− 2uj_i + u_i−1j + 2uj_i − uj−1_i (8) Fazendo ent˜ao k1 = _c.∆t ∆x 2

e k2 = 2.(1 − k1), obtemos finalmente a discretiza¸c˜ao da

Equa¸c˜ao da Onda:

uj+1_i = k1.uji+1+ k2.uji + k1.uji−1− u j−1

i (9)

satisfazendo as condi¸c˜oes j´a impostas:

    

u(0, t) = uj₁= 0 , (a)Condi¸c˜ao de Dirichlet u(x, 0) = 0 ⇐⇒ u1_i = 0, ut(x, 0) = 0 ⇐⇒ ut(i, 1) = 0 (b)Condi¸c˜oes Iniciais

ux(L, t) = p ⇐⇒ ux(n + 1, j) = p (c)Condi¸c˜ao de Neumann

Em [1] e [4] a discretiza¸cão dada em (9) é dita discretiza¸cão por Esquema Expl´ıcito.

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Observa¸c˜oes:

1. Para os n´os (1, j) e (i, 1) utilizaremos as condi¸c˜oes dadas em (a) e (b) respectivamente:

(

uj₁= 0, 1 ≤ j ≤ m + 1 u1

i = 0, 2 ≤ i ≤ n + 1

Figura 7: Pontos de Fronteira

2. Para obter u2_i = uj+1_i , temos j = 1 em (9). No entanto, se empregar a equa¸cão (9) para j = 1, devemos ter uj−1_i = u0_i e o nó (i, 0) não está na malha discretizada: (1 ≤ i ≤ n + 1) × (1 ≤ j ≤ m + 1) .

Figura 8: Pontos abaixo da malha

Para o c´alculo de u0

i devemos empregar a Condi¸c˜ao de Inicial dada em (b):

∂u ∂t|t=0= 0 ⇐⇒ u2_i − u0 i 2.∆t = 0 ⇒ u 0 i = u2i (10)

(9)

Assim, substituindo (10) em (9), obtemos uma nova equa¸c˜ao: u2_i = k1.u1i+1+ k2.u1i + k1u1i−1− u 2 i (11) ou ainda, u2_i = k1.u 1 i+1+ k2u1i + k1u1i−1 2 (12)

3. Se fizermos i = n + 1 em (9) necessitamos do n´o (i + 1, j) = (n + 2, j) que est´a fora da malha.

Figura 9: Pontos `a esquerda da malha

Neste caso, para o c´alculo de uj+1_n+2 devemos empregar a Condi¸c˜ao de Neumann dada em (c): ux(n + 1, k) = p ⇐⇒ uk_n+2− uk n 2∆x = p ⇐⇒ u k n+2= 2p∆x + ukn (13)

Portanto, substituindo i = n + 1 em (9) e usando (13) para k = j + 1 resulta:

uj+1_n+1 = k1.(2p∆x + ujn) + k2ujn+1+ k1ujn− u j−1 n+1 (14) ou ainda, uj_n+1= 2k1.ujn+ k2ujn+1− u j−1 n+1+ 2pk1∆x (15)

4. Para o n´o (n + 1, 1) em particular, devemos empregar (15) e lembrar que: u0_n+1 = u2_n+1. Deste modo, obtemos:

u2_n+1= 2k1.u1n+ k2u1n+1− u 2

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ou seja, u2_n+1 = 2k1.u 1 n+ k2u1n+1+ 2pk1∆x 2 (17) Simplificando (16), resulta: u2_n+1 = k1.u1n+ k2 2u 1 n+1+ pk1∆x (18) Resumindo,                                                uj₁ = 0, 1 ≤ j ≤ m + 1 u1_i = 0, 2 ≤ i ≤ n + 1 u2_i = k1.u 1 i+1+ k2u1i + k1u1i−1 2 , 2 ≤ i ≤ n u2_n+1= k1.u1n+ k2 2 u 1 n+1+ pk1∆x uj+1_i = k1.uj_i+1+ k2.uj_i + k1.uj_i−1− uj−1_i , 2 ≤ j ≤ m, 2 ≤ i ≤ n uj_n+1= 2k1.ujn+ k2ujn+1− u j−1 n+1+ 2pk1∆x, 2 ≤ j ≤ m.

3.3 Estabilidade Num´erica

Como já mencionada no RELAT ÓRIO I, os esquemas expl´ıcitos são condicionalmente estáveis, pois necessitam de um passo de tempo menor que um certo passo de tempo cr´ıtico para que o algoritmo evolua corretamente sem divergir.

Para teste da estabilidade da uma solu¸cão numérica de uma equa¸cão hiperbólica utiliza-se a análise de von Neumann descrita em [4]:

∆t ≤ ∆x v ⇐⇒

v.∆t

∆x ≤ 1 (19)

onde o produto v.(∆t) representa a distˆancia percorrida por u durante um intervalo de tempo ∆t, e essa distˆancia deve ser sempre menor que o espa¸camento ∆x da malha.

Para o modelo hiperb´olico proposto neste trabalho:

∂2u ∂x2 = 1 c2 ∂2u ∂t2

(11)

a velocidade de propaga¸cão da onda é dada pela constante c. Portanto, o critério de estabi-lidade da solu¸cão numérica da equa¸cão da onda será dado por:

Co= c.

∆t ∆x ≤ 1

onde:

Co: n´umero de Courant;

Co ≤ 1 : Condi¸c˜ao CFL, representada pelas iniciais dos sobrenomes dos autores que

pri-meiro a enunciaram (Courant, Friedrichs e Lewy).

Na implementa¸cão numérica descrita na se¸cão anterior adotamos:

                   ∆x = L_n = 1 5 = 0.2 ∆t = _mT = 8 800 = 0.01 c = 1 Assim, c.∆t ∆x = 0.01 0.2 = 0.05 ≤ 1.

Logo, a estabilidade da solu¸cão numérica está garantida.

3.4 Implementa¸cão da Solu¸cão Numérica em Fortran

Para obten¸cão da solu¸cão numérica do problema proposto implementou-se um programa em FORTRAN, onde resumidamente realizou-se os seguintes procedimentos:

1- Abertura de arquivo de dados apresentada na figura (4);

2- C´alculo dos incrementos: dx = L/(1.0d0 ∗ n) e dt = T /(1.0d0 ∗ m)

3- C´alculo das constantes adimensionais: ρ = cdt

dl , k1= ρ

2_{, k}

2 = 2.(1 − k1).

4- C´alculo do n´umero de linhas e colunas a serem considerados na malha: x = n + 1 e y = m + 1.

5- Aloca¸cão das matrizes u(x, y) e e(x, y) para armazenar a solu¸cão numérica e o erro come-tido na aproxima¸cão.

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- a condi¸c˜ao de contorno: u(1, j) = 0;

- a condi¸c˜ao inicial: u(i, 1) = 0

- os pontos u(i, 2) para i 6= n + 1

- o ponto u(n + 1, 2)

- os pontos u(i, j) para j > 2, i 6= n + 1

- o ponto u(n + 1, j) para j > 2

Figura 10: Subrotina em FORTRAN para implementa¸cão da Solu¸cão Numérica

7- Implementa¸cão de subrotina para cálculo do erro cometido na aproxima¸cão:

e(i, j) = |u(i, j) − h(i, j)|

8- Implementa¸cão da subrotina IMPRIME-RESULTADOS para armazenamento das colunas utilizadas na representa¸cão gráfica tridimensional:

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A Figura 11 traz o gráfico da solu¸cão numérica obtida.

Figura 11: Solu¸cão Numérica da Equa¸cão da Onda

Já na Figura 12 podemos observar que o erro absoluto da aproxima¸cão é inferior a 0.3.

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9 - Implementa¸cão da subrotina Solu¸cão-2D para compara¸cão gráfica entre as solu¸cões numérica e analitica em um ponto x fixo na viga.

Figura 13: Compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica para x = L

Note que o comportamento oscilatório é descrito pelas duas solu¸cões. No entanto, a solu¸cão anal´ıtica é mais suave que a solu¸cão numérica.

Já no meio da barra, em x = L/2 podemos observar uma melhor aproxima¸cão entre a solu¸cão numérica e anal´ıtica, conforme indica a figura (14).

Figura 14: Compara¸cão entre as solu¸cões numérica e anal´ıtica para x = L/2

Observa-se ainda que o erro se torna maior nos pontos (L, t) onde u(L, t) atinge amplitude máxima ou m´ınima. Nos demais instantes de tempo, as solu¸cões apresentam uma boa con-cordância.

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Figura 15: Erro cometido na aproxima¸c˜ao por M.D.F

Na análise do erro, obtemos erro absoluto é inferior a 0.3, o que indica a eficácia do Método das Diferen¸cas Finitas.

No ANEXO deste trabalho segue a implementa¸c˜ao completa do problema em Fortran.

Considera¸c˜oes finais

Neste trabalho, pudemos comprovar a eficácia do Método das Diferen¸cas Finitas (M.D.F) no estudo do Problema da Onda Unidimensional. Mesmo adotando aproxima¸cões tão simples (diferen¸cas finitas) e o Esquema Expl´ıcito, que é condicionalmente estável, obtemos uma boa precisão comparada a solu¸cão anal´ıtica.

Sabe-se que a estabilidade foi garantida pela escolha adequada dos passos no tempo e espa¸co, de modo que o Crit´erio de Courant foi verificado.

Os aspectos f´ısicos do problema também foram mantidos, uma vez que o objetivo era des-crever a oscila¸cão de cada ponto da viga em fun¸cão do tempo.

Quanto a implementa¸cão do problema, o programa FORTRAN se mostrou eficiente e de rápida execuca¸cão, mesmo para uma malha bem refinada, desde que atendido o Critério de Estabilidade. No entanto, utilizando dados que não satisfaziam a condi¸cão c∆t

∆x ≤ 1 o programa apontava problema de execuca¸c˜ao.

A implementa¸cão numérica possibilitou uma rápida verifica¸cão do critério de estabilidade estabelecido, pois foi feita de modo que os passos de tempo e espa¸co eram inseridos pelo usuário e em seguida emitia-se um aviso da garantia ou não da estabilidade da solu¸cão. Pudemos ob-servar que, quanto menor o número de Courant, menor é o erro absoluto. A implementa¸cão inicial do arquivo de dados possibilitou a imediata varia¸cão destes. Deste modo, pudemos testar diferentes dados de entrada.

Outra ferramenta que se mostrou muito eficaz foi a implementa¸cão gráfica. Adotando valores adequados, a visualiza¸cão gráfica das solu¸cões e do erro mostrou-se muito útil na constata¸cão da eficácia do método adotado.

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Referˆ

encias

[1] ABBOTT, Michael B. Computacional Fluid Dynamics: an introduction for engineers. New York: Longman Scientific Technical, 1931.

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[4] FORTUNA, Armando de Oliveira. Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: Conceitos Básicos e Aplica¸cões. 2a. Edi¸cão. São Paulo: Edusp, 2012.

[5] GREENBERG, Michael D. Advanced Engineering Mathematics. 2a. Edi¸c˜ao. New Jersey: Prentice Hall, 1998.

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[8] THOALDO, Daniele Cristina. Formula¸cão Unidimensional do Método dos Elementos de Contorno para a Equa¸cão da Onda com solu¸cão fundamental independente do tempo. 2011. 49 f. Disserta¸cão (Mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia) - PPGMNE,Setor de Ciências Exatas e Setor de Tecnologia, UFPR, Curitiba, 2011.

[9] RODRIGUES, Vivianne L. C. Propaga¸cão de ondas unidimensionais por meio de formula¸cão dependente do tempo do Método dos Elementos de Contorno. 2012. 68 f. Disserta¸cão (Mes-trado em Métodos Numéricos em Engenharia) - PPGMNE,Setor de Ciências Exatas e Setor de Tecnologia, UFPR, Curitiba, 2012.

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