1a lista de Equa¸c˜oes Diferenciais B – 3a parte Universidade Federal de S˜ao Jo˜ao del-Rei - CAP
ENTREGA: 12/12/2013 (Bioprocessos e Mecatrˆonica), 13/12/2013 (Telecomunica¸c˜oes).
1. Seja equa¸c˜ao do calor com condi¸c˜oes de contorno de Robin homogˆeneas
ut =α2uxx , t >0,0< x < L, u(0, t) = 0 , t >0,
ux(L, t) = 0 , t >0, u(x,0) =f(x) , 0< x < L.
Sua solu¸c˜ao ´e1: u(x, t) =
∞
X
n=1
c2n−1 sen
(2n−1)πx 2L
exp
−
α2(2n−1)2π2 4L2 t
,
onde os coeficientes c2n−1 s˜ao calculados pela s´erie de Fourier de senos de per´ıodo 4L da condi¸c˜ao inicial f(x). Mostre que se definirmos a extens˜ao ˜f da fun¸c˜ao f como
f(x) =˜
f(x) , se 0< x < L, f(2L−x) , seL < x <2L,
−f˜(x) , se −2L < x <0, ent˜ao temos que os coeficientes s˜ao dados por
c2n−1 = 2 L
Z L
0
f(x) sen
(2n−1)πx 2L
dx ,
uma forma similar aos coeficientes da solu¸c˜ao com condi¸c˜oes de con- torno de Dirichlet homogˆenea.
1Aten¸c˜ao: n˜ao pedi que ningu´em mostre que a solu¸c˜ao ´e essa.
