Aula 14
Caracterização dos movimentos sísmicos em
Engenharia Sísmica quanto ao conteúdo em frequência:
espectro de Fourier, espectros de resposta em regime
elástico.
Espectro de Fourier de uma série cronológica discreta
(por
exemplo
,
u
&&
g(
t
)
.
∑
∞ =π
=
ω
∆
π
=
ω
φ
+
ω
+
=
1 n n n n n n 0 gT
2
n
n
T
2
)
t
sin(
c
c
)
t
(
u&&
Espectro de Fourier de amplitude:
c
ns014.jpg
Espectro de Fourier de fase:
φ
nEspectro de resposta
(relativo a uma dada grandeza representativa
do comportamento do OL1GL)
de um certo movimento
u
&&
g(
t
)
é o
gráfico
(
T
n,
R
máx)
representando os valores máximos da resposta
Espectro de resposta de deslocamento relativo
)
,
T
,
t
(
u
máx
)
,
T
(
S
)
,
T
(
D
n t n dβ
=
β
=
β
Relaciona-se com o valor máximo da força de restituição elástica
KD
F
máx=
.
Espectro de resposta de velocidade (relativa)
)
,
T
,
t
(
u
máx
)
,
T
(
S
n t n vβ
=
&
β
Espectro de resposta de aceleração (total)
)
,
T
,
t
(
u
máx
)
,
T
(
S
t n t n atβ
=
&&
β
Pseudo-espectro de resposta de velocidade
D
V
(
T
,
)
S
(
T
,
)
V
n n d nω
=
β
=
ω
β
Relaciona-se com a energia potencial de deformação elástica:
2 2 n 2 2 máx máx p
mV
2
1
V
k
2
1
D
k
2
1
u
k
2
1
E
=
ω
=
=
=
Pseudo-espectro de aceleração
V
D
A
)
,
T
(
S
)
,
T
(
A
n 2 n n d 2 n nω
=
ω
=
β
ω
=
β
Relaciona-se com o valor máximo da força de restituição elástica
e com
o valor do denominado coeficiente sísmico
W
g
A
W
mA
F
máx=
=
=
α
coeficiente sísmico
α
: proporção entre a força de restituição
elástica (estática) equivalente à ocorrência do valor máximo do
pseudo-espectro de aceleração e o peso da massa do oscilador.
Relação entre espectro de resposta de aceleração (total) e de
pseudo-aceleração.
1
)
t
(
u
2
)
t
(
u
)
t
(
u
0
)
t
(
u
)
t
(
u
2
)
t
(
u
n 2 n t 2 n n t−
ω
β
−
=
ω
=
ω
+
βω
+
&
&&
&
&&
0
=
β
1
S
A
)
t
(
u
)
t
(
u
t a 2 n t=
⇒
−
=
ω
&&
No instante em que
u
(
t
)
= tem-se
D
u
&
(
t
)
=
0
, logo
S
at=
A
A relação
S
at= é tão mais representativa quanto menor fôr β e
A
menor T
n(maior ω
n)
Relação entre espectro de resposta de velocidade (relativa) e de
pseudo-velocidade.
Relação entre A,V e D
V
log
T
log
)
2
log(
A
log
V
T
2
A
n n+
−
π
=
π
=
A isolinha da pseudo-ordenada espectral de aceleração (
A
=
c
)n n n
T
log
'
c
V
log
2
c
log
T
log
V
log
V
log
T
log
)
2
log(
c
log
+
=
π
+
=
+
−
π
=
é uma recta de declive igual a 1 num sistema de eixos logarítmicos
)
V
,
T
(
n n nT
log
)
2
log(
V
log
D
log
T
2
V
D
+
π
−
=
π
=
A isolinha da ordenada espectral de deslocamento (
D
=
c
) n n nT
log
'
c
V
log
T
log
2
c
log
V
log
T
log
)
2
log(
V
log
c
log
−
=
−
π
=
+
π
−
=
é uma recta de declive igual a -1 num sistema de eixos logarítmicos
)
V
,
T
(
n .Equação das isolinhas de V, A e D num sistema de eixos
logarítmico (T
n,V): representação trilogarítmica das respostas.
Velocidade
'
c
V
log
c
log
V
log
c
V
=
⇔
=
⇔
=
recta horizontal de ordenadas
iguais a '
c .
Pseudo-aceleração
nT
log
'
c
V
log
c
A
=
⇔
=
+
recta de declive igual a 1
Pseudo-deslocamento
nT
log
'
c
D
log
c
D
=
⇔
=
−
recta de declive igual a -1
A representação gráfica de uma dada grandeza faz-se na direcção
perpendicular à respectiva isolinha, logo a direcção de leitura de
cada uma das grandezas V, A e D é:
Isolinhas de V, A e D
Esta circunstância permite representar as respostas V, A e D num
diagrama de três eixos logarítmicos
0.5 1 5 10 50 100 250 0.1 50 10 5 1 0.5 0.02 0.1 0.5 1 5 10 20 0.1 500 100 50 10 5 1 Deslocamento [cm] Aceleração [g] Velocidade [cm/s] Período [s] Diagram tri-logarítmico (Tn, V, A, D)
Aulas 15 e 16
Factores que influenciam as ordenadas espectrais.
Exemplo do pseudo-espectro de aceleração. Intensidade
sísmica baseada na velocidade. Intensidade espectral.
Espectro de dimensionamento. O caso do espectro de
Newmark e Hall
Factores que influenciam a ordenada espectral A(Tn,β)
A ordenada espectral
A
(
T
n,
β
)
reflecte as características do movimentosuperficial e pode ser conceptualmente apresentada na seguinte forma:
)
,
T
(
A
a
)
,
T
(
A
nβ
=
nβ
em quea
)
,
T
(
A
)
,
T
(
A
n nβ
=
β
representa o pseudo-espectro normalizadopelo valor da aceleração de pico do solo tendo o significado de
pseudo-amplificação espectral. Logo, tem-se
lim
A
(
T
n,
)
1
0
Tn→
β
=
reflectindo ofacto de para osciladores de elevada frequência própria o deslocamento relativo ser desprezável.
Os principais factores que influenciam a ordenada espectral
A
(
T
n,
β
)
podem ser resumidos na seguinte equação:
)
,
T
,
Sup
,
R
(
A
)
R
,
h
,
M
(
a
A
=
nβ
em que as variáveis têm o seguinte significado:
M – medida da severidade da génese sísmica (habitualmente uma das definições de magnitude)
h – profundidade focal R – distância epicentral
Sup – condições geológicas e geotécnicas locais
Influência de M
A magnitude sísmica espelha a energia potencial libertada na ocorrência sísmica, pelo que, nas mesmas condições relativamente aos outros factores, se têm valores de pico a crescentes com a magnitude. O efeito de
M na forma do pseudo-espectro de amplificação
A
(
T
n,
β
)
não é facilmente equacionável dada a dificuldade em identificar e, por conseguinte individualizar, o efeito que o mecanismo de génese sísmica exerce naquela forma.Influência de h
A profundidade focal desempenha um papel preponderante no padrão do movimento superficial devido às diferenças existentes entre mecanismos de génese sísmica profundos e superficiais (inferiores a duas dezenas de quilómetros).
No entanto tal dependência é presentemente explicitada somente no que respeita ao valor de pico a, tipicamente através de uma relação inversa do tipo
ln
a
=
f
(
R
−α),
α
>
0
.Influência de R
A propagação das ondas sísmicas processa-se com decaímento de amplitude em resultado da dissipação energética devido à histerese do meio atravessado (amortecimento de natureza mecânica), ao aumento da frente de onda (amortecimento de natureza geométrica) e perdas pontuais no atravessamento de interfaces entre meios de rigidez contrastante (refracções e reflexões). O carácter dispersivo dos meios atravessados leva a que a dissipação das ondas se processe com rapidez diferente consoante a sua frequência: quanto maior a frequência da onda (i.e. menor o seu comprimento de onda para a mesma velocidade de propagação) maior a
Em resumo: A maiores distâncias epicentrais correspondem menores
acelerações de pico e um maior conteúdo relativo para
T
ncrescentes.Influência de Sup
Como se disse, a propagação das ondas sísmicas desenrola-se, essencialmente em material rochoso, ao longo de distâncias variáveis (desde poucos até algumas centenas de quilómetros) num processo dissipativo que inclui fenómenos pontuais nas interfaces entre meios de velocidade de propagação contrastantes. Na proximidade da superfície a existência de formações geologicamente mais recentes (por exemplo terrenos aluvionares) introduz uma singularidade significativa no processo de propagação superficial. Em primeiro lugar, a ocorrência de reflexão e refracção acompanhadas de dissipação energética por fenómenos essencialmente radiativos. Depois, pelo mecanismo não linear de propagação nos terrenos recentes, devido ao qual as características em frequência (espectrais) do trem de ondas são alterados num processo de filtragem assimilável ao que o movimento imposto na base de um oscilador linear de um grau de liberdade é sujeito pela função de transferência do oscilador. A este efeito de concentração do conteúdo em frequência em redor de certas frequência associadas aos modos de propagação das ondas nos solos superficiais e do condicionamento dos valores de pico do movimento dá-se, correntemente, o nome de efeito sísmico de sítio (cf. acetato 78 e figura abaixo).
Ilustração da influência das condições geotécnicas superficiais no deslocamento superficial na Formosa 011.jpg
Influência de Tn
O valor de pico de
u
(
t
,
T
n,
β
)
– determinado através do integral deDuhamel – depende do período próprio
T
nconsiderado. Para valores muitopequenos de
T
n, correspondentes a estruturas pouco esbeltas com0
T
n→
, tem-se:0
D
)
t
(
u
)
t
(
u
0
)
t
(
u
≈
⇔
t≈
g⇔
→
e, ainda,0
T
2
V
n→
π
=
embora com menor significado e2
2
π
Por sua vez, para valores elevados de
T
n – estruturas esbeltas – tem-se:1
u
/
D
)
t
(
u
)
t
(
u
0
)
t
(
u
t≈
⇔
≈
−
g⇔
g;máx≈
e,D
0
T
2
A
2 n→
π
=
Influência de β
Quanto maior a fracção de amortecimento crítico menor será a amplitude da resposta em deslocamento relativo
2 2 2 d
)
2
(
)
1
(
1
)
(
R
βϖ
+
ϖ
−
=
ϖ
e por conseguinte se
β
2>
β
1 entãoA
(
T
n,
β
2)
<
A
(
T
n,
β
1)
para
∀
T
n.Espectro de resposta de dimensionamento
Um espectro de resposta constitui a assinatura espectral de um
dado movimento sísmico e representa o conjunto das respostas de
pico de um conjunto de osciladores Para o efeito de
dimensionamento, a irregularidade típica de um espectro de
resposta – derivada da individualidade e da irregularidade do
movimento, a qual limita a sua representatividade estatística –
aconselha a que se definam estatisticamente envolventes para o
efeito de estabelecer uma configuração espectral com baixa
probabilidade de excedência.
Esta configuração, o
espectro de resposta de dimensionamento
,
está associada a um conjunto de espectros de resposta os quais se
tomam como representativos da sismicidade do local. O espectro
de resposta de dimensionamento substitui, assim, a consideração
individual de cada espectro na medida em que deles deriva e
corresponde a um quantilho superior tido por suficientemente
elevado. Um caso particular, de definição particularmente
expedita uma vez conhecidos os valores de pico d, v e a, é
seguidamente apresentado.
Espectro de resposta de dimensionamento de Newmark e Hall
Este espectro de resposta de pseudo-velocidade é composto por
troços rectos no plano definido pelos eixos logarítmicos (T
n,V) os
quais reflectem essencialmente três condições chave:
a
A
0
T
n≈
⇒
≈
d
D
0
n≈
⇒
≈
ω
Os valores de pico do movimento dos osciladores resultam da
amplificação conferida pela respectiva função de transferência,
assim:
A
a
A
=
α
para períodos baixos (sensíveis à aceleração)
vv
V
=
α
para períodos intermédios (sensíveis à velocidade)
dd
D
=
α
para períodos altos (sensíveis ao deslocamento)
Factores de amplificação
Mediana (percentil 50) Mediana+desvio padrão (percentil 84)
a
α
3
.
21
−
0
.
68
ln
β
4
.
38
−
1
.
04
ln
β
vα
2
.
31
−
0
.
41
ln
β
3
.
38
−
0
.
67
ln
β
dα
1
.
82
−
0
.
27
ln
β
2
.
73
−
0
.
45
ln
β
Ponto Período [s] Troço
D
[m] [m/s]V
[m/sA
2] …AA
2
T
2
π
2
A
T
π
a
A33
1
AB m m 1 A AT
2
T
V
− +π
m m A AT
T
V
− (1) 1 m m A AT
T
V
2
π
− − B8
1
BCA
2
T
2
π
2
A
T
π
aα
a C a v Ca
v
2
T
α
α
π
=
(3) CDV
2
T
π
vα
vT
V
2π
Dd
d2
T
=
π
α
DEdα
d2π
D
D
2
2
π
E 10 EF m 1 m E E
T
2
T
V
− +π
m m E ET
T
V
− (2) 1 m m E ET
T
V
2
π
− − F 33 F…d
2π
T
D
D
T
2
2
π
(1)
m m A A A B A B A AT
T
V
)
T
(
V
T
log
T
log
V
log
V
log
m
);
T
log
T
(log
m
V
log
V
log
−=
−
−
=
−
=
−
(2) m m E E E F E F E ET
T
V
)
T
(
V
T
log
T
log
V
log
V
log
m
);
T
log
T
(log
m
V
log
V
log
−=
−
−
=
−
=
−
(3) a v C v C a a C v Ca
v
2
T
v
T
2
a
a
A
;
v
V
α
α
π
=
⇔
α
π
=
α
α
=
α
=
(4) v d D d D v ad D v Dv
d
2
T
d
T
2
v
d
D
;
v
V
α
α
π
=
⇔
α
π
=
α
α
=
α
=
A pseudo-ordenada espectral V relaciona-se directamente com a máxima energia de deformação elástica armazenada pelo oscilador linear de
período
T
n. A soma destas energias representa uma medida da severidadesísmica no que respeita ao comportamento elástico e linear. A tal conceito corresponde a intensidade espectral de Housner
