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RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2015
DA FUVEST-FASE 1.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Q 45)A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?
a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180
RESOLUÇÃO:
Como a altura máxima do projétil, de 200m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m V = (10, 200) é o vértice da parábola e a reta d = 10 é o eixo de simetria.
Sendo d’ = 30 uma raíz da equação que representa a parábola e a reta d = 10 o eixo de simetria dessa parábola, 10 + 20 = 30 , a outra raíz d’’ = 10 – 20 = – 10.
Então a equação da parábola é h(d) = a (d + 10)(d – 30).
Como h(10) = 200: a (10 + 10)(10 – 30) = 200 –400a = 200 a = – 0,5.
Então h(d) = – 0,5 (d + 10)(d – 30) h(d) = – 0,5d2 +10d + 150. A distância em metros do ponto no qual estava o projétil quando foi lançado é o valor de h(0) = 150.
RESPOSTA: Alternativa d.
Q 46)
Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de
integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é
a) R$ 0,85 b) R$ 1,15 c) R$ 1,45 d) R$ 2,50 e) R$ 2,80 RESOLUÇÃO:
Viagem simples: R$ 12,50 = R$ 3.00 × 4 + R$ 0,50 4 viagens e um saldo no bilhete de R$ 0,50. Viagem c/integração: R$ 12,50 = R$4,65 × 2 + R$ 3,20 2 viagens e um saldo no bilhete de R$ 3,20.
Viagem
simples Viagem c/integração Valor (R$) das viagens Valor (R$) da recarga 5 0 R$ 3.00 × 5 = R$ 15,00 R$ 15,00 – R$12,50 = R$ 2,50 3 1 R$ 3.00 × 3 + R$ 4,65 = R$ 13,65 R$ 13,65 – R$12,50 = R$ 1,15 2 2 R$ 3.00 × 2 + R$ 4,65 × 2= R$ 15,30 R$ 15,30 – R$12,50 = R$ 2,80 0 3 R$ 4,65 × 3= R$ 13,95 R$ 13,95 – R$12,50 = R$ 1,45
A equação x2+ 2x +y2 + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = – x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (– 3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,
a) – 4 e 3 b) 4 e 5 c) – 4 e 2 d) – 2 e 4 e) 2 e 3 RESOLUÇÃO: x2+ 2x +y2 + my = n
x
y m mn 2 1 2 1 2 2 o centro da circunferência é o ponto
2 , 1 m
C que pertence á reta y = – x + 1, então, 2 4.
2 1 ) 1 ( 2 m m m
Na equação x2+ 2x +y2 + my = n, substituindo m por – 4, tem-se: x2+ 2x +y2 – 4y = n.
O ponto (– 3, 4) pertence à circunferência: (3)22(3)(4)24.4nn961616n3 Os valores de m e n são, respectivamente, – 4 e 3.
RESPOSTA: Alternativa a. Q 48)
No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BCmede 6 cm . Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo
MÂCé igual a a) 7 2 b) 7 3 c) 7 2 d) 7 2 2 e) 7 3 2 RESOLUÇÃO:
Figura I Figura 2 Figura 3
No triângulo retângulo ABC da figura 1, sendo BC AC BÂC 30o
2 , O cateto AB
mede
3 6 108 36 144 c.
No triângulo retângulo ABM da figura 2,
6 3 3 6 3 tg .
Na figura 3, sendo 30o30o, como
tgb tga tgb tga b a tg . 1 ) ( tgtg(30o) 6 3 . 3 3 1 6 3 3 3 . 30 1 30 tg tg tg tg tg tg o o 7 3 6 7 6 3 6 1 1 6 3 tg tg tg
Q 49)
O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento SAque faz com que o volume do sólido seja igual a
3 4
do volume da pirâmide SEFGH é
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm RESOLUÇÃO:
Sendo ABCDEFGH um paralelepípedo reto no qual as bases ABCD e EFGH são retângulos e AE
perpendicular aos planos das bases, V ABCDEFGH = 2.4.5 cm3 = 40 cm3.
Considerando h como a medida do segmento SA, altura da pirâmide SABCD, . 3 20 3 . 5 . 4 h h VSABCD . 3 20 40 3 ) 2 .( 5 . 4 h h VSEFGH
A medida h, deve ser tal que
9 80 160 3 20 40 . 3 4 h h VSólido 10 200 20 80 160 60 360 9 80 160 3 20 40 h h h h h h RESPOSTA: Alternativa e. Q 50) No sistema linear m z x z y y ax 1 1
, nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:
a) No caso em que a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m = 2, o sistema tem solução para qualquer valor de a. d) O sistema só tem solução se a = m = 1.
a) Seja o determinante principal
,
formado pelos coeficientes das variáveis e x,
y,
z,... os
secundários.
Se for diferente de zero, o sistema terá sempre solução.
Se for igual a zero, o sistema somente terá solução se, e somente se os determinantes x
,
y,
z,...
,forem também nulos.
0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 a a a 2 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 m m m y 2 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 m m m z
Conclusão: Para a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2. b) Para a = 1 e m 2 o sistema não tem solução;
c) No caso em que m = 2, o sistema tem solução para qualquer valor de a. d) Se a = m = 1, o sistema não tem solução.
e) A análise dos itens a e c negam a afirmativa do ítem e. RESPOSTA: Alternativa a.
Q 51)
Sabe-se que existem números reais A e x0, sendo A > 0, tais que sen x + 2cos x = A cos(x – x0) para todo x real. O valor de A é igual a
a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 2 e) 2 3
RESOLUÇÃO:
sen x + 2cos x = A cos(x – x0) sen x + 2cos x = A (cos x cos x0 + sen x sen x0), onde x0 é um arco do 1o quadrante e A > 0.
Na expressão sen x + 2cos x sendo 1 o coeficiente de senx e 2 o coeficiente de cos x, consideremos o seguinte triângulo retângulo a ela associado, onde um dos ângulos agudos é x0, a hipotenusa mede y, e os catetos,1 e 2. Por Pitágoras: y 14 5 Logo, 5 2 x cos e 5 1 sen x0 0 .
Dividindo e multiplicando os termos de sen x + 2cos x por 5 :
cos x .cos x sen x.sen x
A
cos x .cos x sen x.sen x
A 5 5 sen x sen x. x cos . x cos 5 5 2 . x cos 5 1 sen x. 5 0 0 0 0 0 0 Q 52) Dadas as sequências an n24n4,bn 2n2,cnan1ane , 1 n n n b b
d definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:
I. an é uma progressão geométrica; II. bn é uma progressão geométrica; III. cn é uma progressão aritmética; IV. dné uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. RESOLUÇÃO:
9, 16, 25, 36,...
nãoéPA enemPG. ) 2 ( 4 4 2 2 n n n n n n a n a a a
2, 2 , 2 ,2 ,....
nãoéPA nemPG. 2n2 n 4 9 16 n n b b b
1 2
2 2
2 2 5
7 ,9,11,13,....
cnéumaPA. 1 n n n n n n a a c n n c n c c
2 ,2 ,2 ,2 ....
éumaPG. 2 2 : 2( 1) 2 1 3 5 7 9 1 2 2 n n n n n n n n n n d d d d b b d RESPOSTA: Alternativa e. Q 53)De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:
a) 130 1 b) 420 1 c) 1771 10 d) 7117 25 e) 8117 52 RESOLUÇÃO:
Nas 23 cartas restantes, existem 5 de ouros, 6 de espadas, 6 de copas e 6 de paus. Para conseguir a primeira carta de ouros entre as 23 cartas é
23 5
.
Nas 22 cartas restantes, 4 são de ouros. Então a probabilidade de entre elas escolher uma de
ouros é
22 4
.
Nas 21 cartas restantes, 3 são de ouros. Então a probabilidade de entre elas escolher uma de
ouros é
21 3
.
Logo probabilidade de Luis conseguir 3 cartas de ouros é:
1771 10 7 1 11 2 23 5 21 3 22 4 23 5 RESPOSTA: Alternativa c.
Com base nos dados do gráfico, pode se afirmar corretamente que a idade a) mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi maior que 27 anos. b) mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi menor que 23 anos. c) mediana das mães das crianças nascidas em 1999 foi maior que 25 anos. d) média das mães das crianças nascidas em 2004 foi maior que 22 anos. e) média das mães das crianças nascidas em 1999 foi menor que 21 anos. RESOLUÇÃO:
CÁLCULO DA IDADE MEDIANA DAS MÃES DAS CRIANÇAS NASCIDAS EM 2009:
1 2 3 4 5 6 7 8
TOTAL Idades i < 15 15 a 19 20 a 24 25 a 29 30 a 34 35 a 39 40 ou mais Ignorada
F(%) 0,8 18,2 28,3 25,2 16,8 8,0 2,3 0,4 100
FA 0,8 19,0 47,3 72,5 89,3 97,3 99,6 100
Posição da idade mediana: 50,5 2
1 100
a idade mediana pertence ao intervalo 25<i<29.
A afirmativa a é falsa porque a idade mediana não é necessariamente maior que 27, e, a b também é falsa porque 23 anos não pertence ao intervalo.
CÁLCULO DA IDADE MEDIANA DAS MÃES DAS CRIANÇAS NASCIDAS EM 1999:
1 2 3 4 5 6 7 8
TOTAL Idades i < 15 15<i<19 20 a 24 25 a 29 30<i<34 35<i<39 40 ou mais Ignorada
F(%) 0,7 20,8 30,8 23,3 14,4 6,7 1,9 1,4 100
FA 0,7 21,5 52,3 75,6 90,0 96,7 98,6 100
Posição da idade mediana: 50,5 2
1 100
a idade mediana pertence ao intervalo 20 a 24.
A alternativa c é falsa porque a idade mediana não é maior que 25.
Idade Ponto médio 1999 2004 2009
15 a 19
17 20,8 19,9 18,220 a 24
22 30,8 30,7 28,325 a 29
27 23,3 23,7 25,230 a 34
32 14,4 14,8 16,8CÁLCULO DA MÉDIA DAS IDADES DAS MÃES DAS CRIANÇAS NASCIDAS EM 2004: 86 , 24 96,4 2397,3 96.4 270,1 473,6 639,9 675,4 338,3 4 , 96 37 3 , 7 32 8 , 14 27 7 , 23 22 7 , 30 17 9 . 19 x x
Assim a idade média das mães das crianças nascidas em 2004 foi maior que 22 anos. Logo a afirmativa d é verdadeira.
CÁLCULO DA MÉDIA DAS IDADES DAS MÃES DAS CRIANÇAS NASCIDAS EM 1999:
68 , 24 96,0 2369,0 96.4 247,9 460,8 629,1 677,6 353,6 4 , 96 37 7 , 6 32 4 , 14 27 3 , 23 22 8 , 30 17 8 , 20 x x
Assim a idade média das mães das crianças nascidas em 1999 foi maior que 24 anos, logo maior que 21. Assim a afirmativa e é falsa.
RESPOSTA: Alternativa d. Q 55)
A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é
a) 5 × 1023 b) 1 × 1023 c) 5 × 1022 d) 1 × 1022 e) 5 × 1021
Nota:
1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro.
2) Adote os valores aproximados de:
2,2g/cm3 para a densidade da grafita;
12g/mol para a massa molar do carbono; 6,0 × 1023 mol– 1
para a constante de Avogadro.
RESOLUÇÃO:
Sendo a grafite um cilindro circular reto que tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura (diâmetro), o seu volume é
0,1cm
215cm3,140,15cm30,471cm3.Se a densidade de cada cm3 da grafita é2,2g, a massa da grafite é 2,20,471g1,0362g
.
Se a 1 mol C corresponde 12g, o número de mols correspondentes a 1,0362g é: mols mols 0,08635 12 0362 , 1 .
O número de átomos da grafite é aproximadamente
22 23 23 23 10 5 10 5 , 0 10 0,5181 10 6,0 0,08635
.
RESPOSTA: Alternativa c.
Q 56)Diz se que dois pontos da superfície terrestre são antípodas quando o segmento de reta que os une passa pelo centro da Terra.
Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo, em que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os seus antípodas, sobre terra firme.
longitude, respectivamente, a) x graus sul e y graus oeste. b) x graus sul e (180 – y) graus oeste. c) (90 – x) graus sul e y graus oeste. d) (90 – x) graus sul e (180 – y) graus oeste. e) (90 – x) graus sul e (90 – y) graus oeste. RESOLUÇÃO:
Considerando o centro da Terra como ponto O, e os eixos coordenados passando pelo centro dela tem-se a figura:
