ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS GRÁFICOS DE SHEWHART COM REGRA ESPECIAL DE DECISÃO VIA SIMULAÇÕES

ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS GRÁFICOS DE SHEWHART COM

REGRA ESPECIAL DE DECISÃO VIA SIMULAÇÕES

André Sardá Barbosa

FEG – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, UNESP

R. Ariberto Pereira da Cunha, 333 – CEP 12500-00 – Guaratinguetá, SP, Brasil Tel.: (012) 3125.2800 e-mail: pro03012@feg.unesp.br

Marcela Aparecida Guerreiro Machado

FEG – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, UNESP

R. Ariberto Pereira da Cunha, 333 – CEP 12500-00 – Guaratinguetá, SP, Brasil Tel.: (012) 3125.2800 e-mail: marcelagmachado@yahoo.com.br

Prof. Dr. Antônio Fernando Branco Costa

FEG – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, UNESP

R. Ariberto Pereira da Cunha, 333 – CEP 12500-00 – Guaratinguetá, SP, Brasil Tel.: (012) 3125.2800 e-mail: fbranco@feg.unesp.br

RESUMO

Neste trabalho estudam-se as propriedades de uma nova geração dos gráficos de Shewhart, destinados ao monitoramento de processos de produção. Por meio de simulações, pretende-se estudar o desempenho dos Gráficos de Shewhart com regra especial de decisão, que consiste em se esperar até que uma segunda observação seja plotada na área de ação do gráfico; dependendo do número de pontos entre os dois plotados na região de ação tem se um alarme. A validação do código computacional utilizado para estudar o desempenho do gráfico proposto, medido pelo número de amostras após a alteração do processo e o instante que o gráfico sinaliza, vem sendo feita por meio de comparações entre resultados obtidos por simulações e os teóricos existentes para o gráfico de X . Resultados da literatura têm mostrado que com a estatística Qui-quadrado não-central os gráficos de Shewhart se tornam mais ágeis no diagnóstico de mudanças na média do processo e em sua variabilidade. Com o código computacional desenvolvido pretende-se investigar o desempenho de tais gráficos.

NOMENCLATURA

d - deslocamento da média do processo (em unidades do desvio padrão) k - fator de abertura dos limites do gráfico de controle

n - tamanho da amostra

L - número de amostras entre as amostras plotadas sucessivamente na área de ação do gráfico de controle

NMA – número médio de amostras até o sinal EWMA – média móvel ponderada exponencialmente

1. INTRODUÇÃO

Os gráficos de controle surgiram em 1924, quando Shewhart, então funcionário da Bell Laboratories, publicou relatório técnico visando divulgar os fundamentos de uma técnica estatística destinada ao monitoramento de processos. No início, como era de se esperar, poucos acreditaram no potencial desta nova técnica. Pouco a pouco, no entanto, os gráficos de controle ganharam a fama de serem ferramentas poderosas de monitoramento. A década de 70 pode ser considerada como a década dos gráficos de Shewhart; o lema da época era: “só se assegurar qualidade de processos que estejam

lado bom foi que o uso intenso dos gráficos de controle facilitou a divulgação de diversas técnicas estatísticas, especialmente desenvolvidas para o monitoramento de processos industriais. O lado ruim foi que, em função da pressão natural gerada pelo modismo da época, os gráficos de Shewhart passaram a ser utilizados de forma indevida, ou pior, em situações desnecessárias, caindo assim no descrédito. Ainda hoje, se sente o efeito deste modismo.

De acordo com os fundamentos estabelecidos por Shewhart, sempre que um ponto é plotado na região de ação do gráfico, o responsável pelo processo deve interrompê-lo imediatamente, visando encontrar causas especiais que afetam a qualidade dos produtos, exemplo, um desgaste de ferramenta que altera a dimensão dos eixos que estão sendo manufaturados. Na prática, contudo, poucos são aqueles que seguem a regra estabelecida por Shewhart, a maioria prefere esperar o surgimento de um segundo ponto na região de ação e, além disso, só tomam a decisão drástica de parar o processo se este ponto não estiver muito longe do primeiro. Em função desta realidade, Wu e Spedding (2000) têm proposto um gráfico de Shewhart com regra especial de decisão conhecido como “Synthetic Control

Chart”. Quando os gráficos de Shewhart estão em uso, uma amostra de tamanho n é extraída da linha

de produção a cada intervalo de tempo h. Então, para cada amostra, obtém-se um ponto que corresponde ao valor de uma estatística de monitoramento, por exemplo, a média da amostra X . O gráfico de Shewhart sinaliza uma deterioração do processo sempre quando um ponto cai em sua região de ação; alternativamente, o “Synthetic Control Chart” sinaliza somente quando um segundo ponto cai na região de ação, e sob a condição de que o número de amostras entre os dois pontos que caíram na região de ação, não seja superior a L. O “Synthetic Control Chart” que aqui chamaremos de

Gráfico de Shewhart com Regra Especial de Decisão, tem sido objeto recente de pesquisa, ver Wu e

Spedding (2000, 2000a), Wu e Yeo (2001), Wu et al. (2001), Calzada e Scariano (2001), ou Davis e Woodall (2002).

Para variáveis de qualidade do tipo mensurável, é comum o uso de dois gráficos de controle, um para o monitoramento da média do processo e outro para o monitoramento da variabilidade, ver Costa et al (2004). Nos últimos anos, uma grande atenção tem sido devotada ao estudo das propriedades conjuntas dos gráficos de controle destinados ao monitoramento da média e da variância do processo. Por exemplo, Costa (1993), Costa & Rahim (2000, 2001) e Rahim & Costa (2000) desenvolveram modelos econômicos para os gráficos conjuntos de X e R. Gan (1995) estudou as propriedades conjuntas de dois gráficos de controle EWMA. Albin et al. (1997) estudaram os gráficos conjuntos, X e EWMA, para observações individuais. Costa (1998 & 1999) estudou os gráficos conjuntos de e R com parâmetros variáveis, e Costa & Rahim (2004) estudaram os gráficos conjuntos de X e R com amostragens em dois estágios. Reynolds & Stoumbos (2001) investigaram três gráficos conjuntos destinados ao monitoramento da média e da variância de uma variável normal, quando uma observação individual é tomada a cada instante de amostragem. Eles consideraram o gráfico das observações individuais X em uso conjunto com o gráfico da amplitude móvel (MR), o gráfico das observações individuais X em uso conjunto com um gráfico de EWMA, e dois gráficos de EWMA em uso conjunto; sendo que um deles utiliza as observações diretamente, enquanto o outro utiliza a raiz quadrada dos desvios das observações em relação a um valor especificado (valor alvo).

A principal conclusão que pode ser tirada de todos esses estudos é que nenhum dos gráficos conjuntos é confiável na identificação do tipo de causa especial. Em outras palavras, sempre que uma causa especial é detectada, nunca se sabe se tal causa especial é aquela que apenas altera a média, ou apenas aumenta a variabilidade, ou, no pior caso, altera a média aumentando a variabilidade. Exemplo, quando os gráficos conjuntos de X e R estão em uso, e o gráfico de X sinaliza a presença de uma causa especial, então se deve investigar qual parâmetro do processo foi afetado pela causa especial, pois o gráfico de X é sensível não só a mudanças da média, como também a aumentos da variabilidade.

Na prática, a velocidade com a qual os gráficos de controle detectam mudanças no processo parece ser mais importante do que a habilidade destes em identificar o tipo de mudança. Deste modo, faz sentido considerar um único gráfico de controle, baseado em uma única estatística, para o monitoramento simultâneo da média e da variância do processo. Esse é o caso do gráfico de controle proposto por Domangue & Patch (1991), que é excelente na detecção de mudanças da média e/ou da

condições em que o intervalo de tempo entre a retirada de amostras é variável. Chen et al. (2001) combinaram dois gráficos de controle de EWMA em um único e mostraram que o novo gráfico de

EWMA é eficiente na detecção de aumentos e decréscimos da média e/ou da variância do processo.

Mais recentemente, Chen et al. (2004) exploraram a idéia de se utilizar uma única estatística para o controle da média e da variância. A maneira como eles definiram a estatística de monitoramento, T*, é

muito parecida com a maneira com que se define a variância amostral 2

S

∑

∑

μ

Enquanto

S

mudanças na média do processo. Outro ponto importante a destacar é que a adoção da regra especial de decisão proposta por Wu e Spedding (2000) e o uso de gráficos conjuntos podem tornam o processo de monitoramento tedioso.

Com base nas discussões apresentadas, propõe-se para este projeto o estudo das propriedades dos Gráficos de Shewhart com Regra Especial de Decisão quando diferentes estatísticas de monitoramento são adotadas. Resultados da literatura têm mostrado que com a estatística de

Qui-quadrado Não-central os gráficos de Shewhart se tornam mais simples de operar e ficam mais ágeis

no diagnóstico de mudanças no processo, ver Costa e Rahim (2004a, 2005), Costa e De Magalhães (2005), ou Costa et al. (2005). O projeto global prevê o estudo dos Gráficos de Shewhart com Amostragem em Dois Estágios e Regra Especial de Decisão, quanto a estatística de monitoramento adotada no segundo estágio da amostragem (estatística de X , estatísticas de X e R e a estatística Qui-quadrado Não-Central), e comparar a eficiência dos gráficos de controle estudados com os gráficos tradicionais de X e R, CUSUM, EWMA, etc.

2. ESTUDO DO DESEMPENHO DO GRÁFICO DE SHEWHART COM REGRA ESPECIAL DE DECISÃO PARA ESTATÍSTICA X

Por meio de simulações é possível, para diversos valores de d, n, k e L obter o NMA, número médio de amostras até o sinal. O NMA é a medida de eficiência mais usual dos gráficos de controle por Costa et al. (2005).

Das Tabelas 1, 2, 3 e 4 observa-se que quanto maior o deslocamento da média (d) mais rápido se detecta o desajuste do processo, ou seja, menor o NMA, exemplo: para n = 2, L = 1 e k = 1,944, o NMA para d = 0 vale 370, já para d = 1 o NMA vale 11,3. Da Tabela 4, para o mesmo L(no caso L = 1) e mesmo d, a detecção se torna mais lenta à medida que o valor de k aumenta, exemplo: para k = 1,944 e d = 0,5 o NMA vale 33,2, já para k = 2,164 e o mesmo d = 0,5 o NMA vale 67,3. Das Tabelas 5 e 6 temos que para o processo em controle, ou seja, d = 0, é possível observar que o NMA independe de n. Já para as situações fora de controle, o número médio de amostras até o sinal diminui à medida que n aumenta, exemplo: para n = 2, L = 1, k = 1,944 e d = 0,2 o NMA vale 268,7 já para as mesmas condições de L, k e d, mas com n = 5 o NMA vale 170,7. Conseqüentemente o poder do gráfico aumenta, assim como seu desempenho. A Tabela 7 mostra os erros percentuais decorrentes da comparação entre os resultados obtidos e os resultados teóricos existentes. Para o cálculo do erro utiliza-se a seguinte expressão:

T S T NMA NMA NMA Erro =100% −

onde o NMA_T é o número médio de amostras até o sinal teórico por Davis e Woodall (2002), e o

S

NMA é o número médio de amostras até o sinal obtidos nas simulações. É importante ressaltar que

quanto menor o erro inerente ao código, mais confiável esse será. Considera-se razoável para este estudo um erro no máximo de 5%. Nos casos assinalados na Tabela 7 (**) foram necessárias mais de dez mil simulações para que o erro não ultrapassasse 5%. A Figura 1 apresenta os erros percentuais médios entre os resultados teóricos e os obtidos por simulação para L=1, 3 e 5. Diferentemente do que era de se esperar o erro percentual não aumentou proporcionalmente com o aumento do valor de L.

Tabela 1: Valores de NMA (n=2) L 1 3 5 k 1,944 2,164 2,263 d 0 370 372,6 374,4 0,2 268,7 255,2 243,1 0,5 79,2 64 59,4 0,8 22,7 17,4 15,8 1 11,3 8,3 7,6 1,5 3,1 2,4 2,4 2 1,5 1,4 1,4 Tabela 2: Valores de NMA (n=4) L 1 3 5 k 1,944 2,164 2,263 d 0 369,7 370,7 374,8 0,2 197,1 179,4 169,6 0,5 33,2 25 23 0,8 7,4 5,5 5,1 1 3,7 2,8 2,8 1,5 1,4 1,3 1,3 2 1 1 1

Tabela 3: Valores de NMA (n=5) L 1 3 5 k 1,944 2,164 2,263 d 0 368,4 376,5 373,5 0,2 170,7 156,2 148,5 0,5 23,8 18 16,2 0,8 5,2 4 3,8 1 2,7 2,1 2,1 1,5 1,2 1,1 1,2 2 1 1 1

Tabela 4: Valores de NMA (n=4) L 1 1 1 k 1,944 2,164 2,263 d 0 369,7 1077,4 1826,1 0,2 197,1 507,3 819,7 0,5 33,2 67,3 92,2 0,8 7,4 12,2 15,8 1 3,7 5,3 6,4 1,5 1,4 1,6 1,7 2 1 1,1 1,1

Tabela 5: Valores de NMA

n 2 4 5 L 1 1 1 k 1,944 1,944 1,944 d 0 370 369,7 368,4 0,2 268,7 197,1 170,7 0,5 79,2 33,2 23,8 0,8 22,7 7,4 5,2 1 11,3 3,7 2,7 1,5 3,1 1,4 1,2 2 1,5 1 1 Tabela 6: Valores de NMA

n 2 4 5 L 3 3 3 k 2,164 2,164 2,164 d 0 372,6 370,7 376,5 0,2 255,2 179,4 156,2 0,5 64 25 18 0,8 17,4 5,5 4 1 8,3 2,8 2,1 1,5 2,4 1,3 1,1 2 1,4 1 1 Tabela 7: erros percentuais entre os resultados

obtidos e os resultados teóricos de NMA. (n=4) L 1 3 5 k 1,944 2,164 2,263 d 0 0,43 0,11 5,39** 0,2 1,12 0,17 3,01** 0,5 0,60 0,00 0,87 0,8 1,35 0,00 0,00 1 0,00 0,00 3,57** 1,5 0,00 0,00 0,00 2 0,00 0,00 0,00

3. CONCLUSÕES

O código computacional elaborado na linguagem delphi mostrou-se confiável, pois os resultados obtidos por simulação são próximos dos resultados teóricos existentes. Deste modo o código ora desenvolvido será de grande utilidade na próxima etapa do estuda proposto na bolsa de Iniciação Cientifica, que trata do estudo do desempenho dos Gráficos de Shewhart com Amostragem em Dois Estágios e Regra Especial de Decisão baseado na estatística de Qui-quadrado Não-Central. Então, estas medidas de desempenho, obtidas por simulação, para o gráfico proposto, serão de grande valia para o orientador, que vem trabalhando na obtenção de expressões fechadas de medidas de desempenho. A comparação dos resultados teóricos com os de simulação servirão para validar tais expressões.

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