CONDIÇÕES DE CONTORNO TIPO ALBEDO EM CÁLCULOS GLOBAIS DE REATORES NUCLEARES EM GEOMETRIA CARTESIANA X, Y NA FOMULAÇÃO DE ORDENADAS DISCRETAS

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CONDIÇÕES DE CONTORNO TIPO ALBEDO EM CÁLCULOS GLOBAIS DE REATORES NUCLEARES EM GEOMETRIA CARTESIANA X, Y NA FOMULAÇÃO

DE ORDENADAS DISCRETAS Hermes Alves Filho – halves@iprj.uerj.br

Ricardo C. Barros – ricardob@iprj.uerj.br

Instituto Politécnico, IPRJ

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, UERJ Caixa Postal 97282

28601-970 Nova Friburgo, RJ, Brasil

Resumo. Neste trabalho descrevemos as condições de contorno não-convencionais tipo albedo

para cálculos globais de reatores nucleares, na formulação de ordenadas discretas (SN) e em geometria cartesiana X, Y. O operador albedo substitui de forma aproximada a região de refletor no em torno do núcleo do reator. Esta aproximação é feita desconsiderando a presença dos termos de fuga transversal dentro da região refletora, i.e., assumimos que o refletor possa ser considerado um meio infinito nas direções transversais. Embora as condições de contorno tipo albedo possam ser aplicadas em métodos numéricos convencionais para cálculos de criticalidade SN, usamos, neste trabalho, as condições de contorno tipo albedo no método numérico híbrido Spectral Diamond-Spectral Green’s Function-Constant nodal (SD-SGF-CN). Apresentamos resultados numéricos para um problema-modelo típico com o intuito de ilustrarmos a precisão do método.

Palavras-chave: Ordenadas discretas, Condição de contorno tipo albedo, Problemas de autovalor.

1. INTRODUÇÃO

Em cálculos globais de reatores nucleares utilizamos as condições de contorno convencionais, e.g., as condições de contorno tipo vácuo que se aplicam significando que nenhuma partícula incide no domínio através dos contornos estruturais, e as condições de contorno reflexiva que impõem simetria material e geométrica (Duderstadt & Hamilton, 1975). O uso das condições de contorno tipo albedo, por sua vez, é muito conveniente porque substitui regiões não-multiplicativas no em torno do núcleo de reatores nucleares, evitando desta forma cálculos desnecessários que reduzem a eficiência do código computacional. As condições de contorno tipo albedo são obtidas através de uma análise espectral das equações SN “unidimensionais” integradas transversalmente, desconsiderando os termos de fuga transversal

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em uma região refletora de nêutrons do reator nuclear, nas equações constituintes do método numérico nodal SGF. As equações constituintes relacionam os fluxos angulares de nêutrons definidos na interface combustível-refletor para todas as direções discretas. De forma conveniente é possível expressar o fluxo angular de nêutrons em uma dada direção refletida para a região combustível em função de uma ponderação em todos os fluxos angulares de nêutrons em direções incidentes no refletor. Estas reformulações das equações representam condições de contorno aproximadas tipo albedo em problemas de autovalor SN, considerando que a região refletora é assumida um meio infinito na direção transversal A seguir apresentamos um resumo do trabalho. Na seção 2 apresentamos uma análise espectral das equações SN “unidimensionais” integradas transversalmente, desconsiderando os termos de fuga transversal. Na seção 3 apresentamos o operador albedo SN aproximado, e na seção 4 apresentamos resultados numéricos para um problema-modelo típico e sugestões para trabalhos futuros.

2. ANÁLISE ESPECTRAL DAS EQUAÇÕES SN INTEGRADAS

TRANSVERSALMENTE NO REFLETOR

Vamos considerar as equações SN a uma velocidade, em geometria cartesiana X, Y com espalhamento isotrópico aplicadas dentro de um meio homogêneo não-multiplicativo, e.g., a região de refletor no em torno do núcleo do reator

, w ) y , x ( ) y , x ( ) y , x ( y ) y , x ( x M 1 n m n S m T m m m m _∂ ψ +σ ψ =σ ∑ ψ ∂ η + ψ ∂ ∂ µ = m = 1 : M, M = N(N + 2) / 4 . (1)

Aqui a notação é convencional (Lewis & Miller, 1993). Agora vamos considerar uma grade espacial retangular Ω , onde cada nodo espacial Ω tem comprimento e altura , onde _i_,_j

e , como mostrado na Fig. 1.

i h k_j ) 1 I ( : 1 i = + j=1:(J+1) Aplicando o operador ∫ + − 2 / 1 j y 2 / 1 j y j dy ) . ( k 1 (2) na Eq. (1) no interior de um nodo arbitrário ΩI+1,j da região refletora obtemos

[

(x,y ) (x,y )

]

, m 1:M , k w ) x ( ~ ) x ( ~ ) x ( ~ dx d 2 / 1 j m 2 / 1 j m j m M 1 n n,j n j , 1 I S j , m j , 1 I T j , m m = ψ − ψ η − ∑ ψ σ = ψ σ + ψ µ − + = + + (3)

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Figura1. Grade Espacial . Ω

onde x∈Ω_I₊₁_,_j e as seções de choque macroscópicas total (_σ_T_I₊₁) e de espalhamento (_σ_S_I₊₁) são constantes no nodo Ω_I+₁_,_j. Ademais ψ~_m_,_j(x) é definido como o fluxo angular médio de nêutrons no lado y do nodo. Desconsiderando os termos de fuga transversal na Eq. (3), i.e., considerando a região refletora como sendo um meio infinito na direção transversal (neste caso y) obtemos as equações SN “unidimensionais”

∑ ψ σ = ψ σ + ψ µ = + + M 1 n n,j n j , 1 I S j , m j , 1 I T j , m m _dx ~ (x) (x) ~ (x) w d , m = 1 : M , x∈ΩI+1,j . (4)

Para obtermos a solução geral da Eq. (4), fazemos uma análise espectral como descrita no trabalho (Barros et al., 1999). O resultado desta análise aparece na forma

e ) ( a ) x ( ~ x/ ) j , 1 I T ( x m M 1 j , m = ∑ α ϑ σ ϑ ψ − + = l l l l , m = 1 : M , ₍₅₎

onde αl são constantes arbitrárias e ϑl são M números reais que são simétricos em relação à origem, devido a simetria do conjunto convencional de quadraturas angulares de nível (Lewis & Miller, 1993). Enfatizamos que até este ponto a única aproximação considerada foi admitir heuristicamente meio infinito na direção transversal na Eq. (3). Para a direção y, adotamos um procedimento análogo e obtemos uma equação similar à equação (5)

(4)

3. OPERADOR ALBEDO SN APROXIMADO

Vamos integrar a Eq. (1) no interior de um nodo arbitrário Ω_I+₁_,_j na região refletora para obtermos as equações discretizadas de balanço espacial SN

[

]

[

]

, w y ( ˆ y ( ˆ k x ( ~ x ( ~ h n M 1 n n,I 1,j j , 1 I S j , 1 I , m j , 1 I T ) 2 / 1 j i, m ) 2 / 1 j i, m j m ) 2 / 1 I j , m ) 2 / 3 I j , m 1 I m ∑ ψ σ = ψ σ + ψ − ψ η + ψ − ψ µ = + + + + − + + + + m = 1 : M . (6)

Aqui é o fluxo angular médio na face x, e ψˆ_m_i,(y) ψ_m_,_I_{+ j}₁_, é o fluxo angular médio no interior do nodo. Para determinarmos o operador albedo SN aproximado na direção x, desconsideramos o

termo de fuga transversal na direção y na Eq. (6), e obtemos as equações discretizadas de balanço espacial SN “em uma dimensão”

[

]

, w x ( ~ x ( ~ h n M 1 n n,I 1,j j , 1 I S j , 1 I , m j , 1 I T ) 2 / 1 I j , m ) 2 / 3 I j , m 1 I m ∑ ψ σ = ψ σ + ψ − ψ µ = + + + + + + + m = 1 : M . (7)

Ademais, vamos considerar as equações auxiliares do método SGF (Barros & Larsen, 1992)

∑ θ ψ ∑ θ ψ + = ψ < µ + > µ + + 0 n 2 / 3 I j , n n , m 0 n 2 / 1 I j , n n , m j , 1 I , m ~ (x ) ~ (x ) , m = 1 : M , (8)

onde os parâmetros dependem dos parâmetros materiais e do comprimento da região refletora, e eles relacionam o fluxo angular médio no nodo numa da direção m com todos os dafluxos angulares médios que entram nas faces da região refletora, desconsiderando a face transversal. Para determinarmos os parâmetros

θm,n

θm,n, substituímos a Eq. (5) nas equações

auxiliares SGF representada pela Eq. (8). Uma descrição detalhada deste procedimento está feita em (Barros & Larsen, 1992). Aplicando-se a condição de contorno tipo vácuo no contorno externo da região refletora, o que é convencional em cálculos de criticalidade, i.e., substituindo

0 , 0 ) x ( ~ m 2 / 3 I j , m = µ < ψ ₊ (9)

na a equação auxiliar SGF (8) e usando o resultado nas equações discretizadas de balanço espacial SN (7) para eliminarmos os fluxos angulares médios nos interiores dos nodos, obtemos um sistema de M equações lineares e algébricas nos fluxos angulares médios nas faces y apenas. Após algum desenvolvimento algébrico, podemos escrever o sistema resultante na forma matricial compacta

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) x ( Ψ~ ) x ( Ψ~jµm<0 I+1/2 =ΛxR jµm>0 I+1/2 , ₍₁₀₎ onde ΛR

x é o operador matricial albedo SN aproximado de ordem M/2 x M/2 no lado direito do

contorno do domínio (viz Fig. 1). Este operador matricial albedo depende do conjunto de quadratura angular, das seções de choque e do comprimento da região refletora, e dos parâmetros

das equações auxiliares SGF. Os vetores

θm,n Ψj de dimensão M/2 contêm os fluxos angulares

médios nas faces y em x_I₊₁_/₂ entrando na região refletora (µ_m> 0) ou entrando na região do combustível ( ). Para o lado esquerdo, bem como para as regiões acima e abaixo do domínio, o procedimento de obtenção do operador matricial de albedo é análogo.

0 m< µ

4. RESULTADOS NUMÉRICOS E CONCLUSÕES

Nesta seção, vamos considerar um problema-modelo típico usando um conjunto de quadraturas angulares de simetria de nível S4 (Lewis & Miller, 1993). O problema-modelo é

representado na Fig. 2. Na Tabela 1 são listados os dados materiais do problema-modelo e na Tabela 2 listamos os resultados numéricos gerados para o fator de multiplicação efetivo (keff) pelo

método híbrido SD-SGF-CN utilizando várias grades espaciais com o refletor explícito e usando as condições de contorno tipo albedo. Observamos que o uso da condição de contorno tipo albedo não aumenta significativamente os desvios relativos em relação ao resultado gerado pelo tradicional método DD para uma grade espacial fina. A Fig. 3 mostra a distribuição da densidade média de potência gerada pelo método híbrido SD-SGF-CN com uma grade espacial formada por um nodo por região, assumindo que a densidade média de potência gerada por todo o domínio (4/4 da Fig. 3) é igual a 1 Watt / cm3.

Tabela 1. Dados Materiais para o Problema-Modelo. Número da

zona material σT σs0 νσF

1 _2.22589E-1a _{2.20563E-1 2.83283E-3} 2 2.16566E-1 2.10697E-1 1.04347E-2 3 3.01439E-1 2.96069E-1 5.13036E-4 4 2.52250E-1 2.50794E-1 0.0

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Condição de Contorno tipo Vácuo 4 4 4 4 j Condição de Contorno Reflexiva 3 3 3 h 4 i Condição de Contorno tipo Vácuo 2 2 e 3 f 4 g 1 a 2 b 3 c 4 d 0 35 45 65 105 cm Condição de Contorno Reflexiva

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Tabela 2. Resultados Numéricos para o Problema-Modelo. Grade Espacial

Γ

a n

Método Numérico (

_k

_eff) Desvio relativo (%)e

Γ

2 SD-SGF-CNb SD-SGF-CN-ALBc 0.96865121 0.96901281 0.67 0.71

Γ

3 SD-SGF-CN SD-SGF-CN-ALB 0.96395579 0.96459353 0.18 0.25

Γ

4 SD-SGF-CN SD-SGF-CN-ALB 0.96273334 0.96340257 0.06 0.12

Γ

8 DDd 0.96220092

a₂n_/₄_{Nodos espaciais por região em cada direção espacial.}

b

Método Spectral Diamond-Spectral Green’s Function-Constant Nodal com o refletor explícito.

c_{Método Spectral Diamond-Spectral Green’s Function-Constant Nodal com}

condição de contorno tipo albedo.

d_{Médodo Diamond Difference.}

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j ***_{método DD} ***_1.784E-3 **_1.806E-3 *_1.799E-3 ***_1.224E-3 **_1.197E-3 *_1.192E-3 ***_6.658E-4 **_6.556E-4 *_6.509E-4 h i **_{método SD-SGF-CN com o} refletor explícito ***_7.988E-2 **_8.204E-2 *_8.175E-2 ***_5.581E-2 **_5.060E-2 *_5.174E-2 e ***_1.224E-3 **_1.197E-3 *_1.194E-3 f g *_{método SD-SGF-CN com}

condições de contorno tipo albedo ***_2.774E-2 **_2.824E-2 *_2.813E-2 a ***_7.988E-2 **_8.204E-2 *_8.174E-2 b ***_1.784E-3 **_1.806E-3 *_1.806E-3 c d 0 35 45 65 105 cm

Figura 3. Distribuição da Densidade Média de Potência para o Problema-Modelo.

Ressaltamos que a distribuição da densidade média de potência gerada pelo método híbrido SD-SGF-CN em cálculos de malha grossa, tanto com o refletor explícito quanto com a utilização da condição de contorno tipo albedo, não apresentaram desvios relativos significativos quando comparados com os resultados gerados pelo método DD em grade espacial fina.

Baseados nos resultados numéricos apresentados nesta seção, listamos a seguir algumas conclusões e sugestões para trabalhos futuros:

• as condições de contorno SN albedo aproximadas para cálculos de criticalidade substituem

de forma bastante precisa o refletor em torno do núcleo ativo;

• como trabalho futuro nosso próximo passo será o de determinar as matrizes SN de albedo

para mais de uma região não-multiplicativa em torno do núcleo ativo, e.g., sistema baffle-refletor;

• para aplicações práticas em cálculos globais de reatores nucleares, as condições de contorno albedo SN aproximadas usando um modelo multigrupo de energia são de grande

interesse por considerar as trocas de energia nas interações nêutron-nucleares. AGRADECIMENTOS

Agradecemos a Marcos P. de Abreu (IPRJ/UERJ) por sua ajuda durante o desenvolvimento deste trabalho e á FAPERJ pelo apoio fornecido para o progresso do nosso projeto de pesquisa.

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REFERÊNCIAS

Barros, R.C., Alves Filho, H., Carvalho, F.C., 1999. Recent Advances in Spectral Nodal Methods for X,Y-Geometry Discrete Ordinates Deep Penetration and Eigenvalue Problems. Prog. Nucl. Energy., vol. 35, pp. 293-331.

Barros, R.C., Larsen, E.W., 1992. A Spectral Nodal Method for One-Group X, Y-Geometry Discrete Ordinates Problems. Nucl. Sci. Eng., vol. 111, pp. 34-45.

Duderstadt, J.J., Hamilton, L.J., 1976. Nuclear Reactor Analysis, John Wiley & Sons, New York.

Lewis, E.E., Miller, W.F.Jr., 1993. Computational Methods of Neutron Transport, American Nuclear Society, La Grange Park, Ilinois.